广东省揭阳市揭东区2024-2025学年高一数学上学期期中试题含解析

Page19广东省揭阳市揭东区2024-2025学年高一数学上学期期中试题温馨提示：请将答案写在答题卡上，考试时间为120分钟.满分150分一、单项选择题（共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一个选项符合题目要求）1.设集合，，则（）A. B.C. D.2.已知函数，则（）A.-3 B.2 C.10 D.53.命题：“，”否定是（）A.， B.，C.， D.，4.下列函数中与函数相等的函数是（）A. B. C. D.5.“”是“是幂函数”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件6.已知函数的定义域为，则的定义域为（）A. B.C. D.7.设，，，则（）A B. C. D.8.已知，，且，若不等式恒成立，则a的取值范围是（）A. B.C. D.二、多项选择题（共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，选错得0分）9.下列函数中是偶函数，且在区间上单调递增的是（）A. B.C. D.10.已知关于x的不等式的解集为，则（）A.B.C.不等式的解集为D.不等式的解集为11.德国数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其名命名的函数称为狄利克雷函数，则关于函数f(x)有（）A.f(f(x))＝1 B.函数=f(x)的图象是两条直线C.>f(1) D.x∈R，都有f(1－x)＝f(1＋x)12.若函数在R上满意对随意都有成立，则实数b的值可以为（）A.0 B.-1 C.-2 D.三、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13.当时，函数的最大值为______．14.函数单调递增区间为__________.15.已知定义在上的函数满意，，则__________.16.设函数为奇函数，且，则__________．四、解答题（共6小题，共70分）17.已知全集，集合，集合.求：（1）；（2）18.实数a，b满意，.（1）求实数a，b取值范围；（2）求的取值范围.19.已知函数，点，是图象上的两点.（1）求a，b的值；（2）依据定义推断并证明函数的奇偶性.20.已知函数.（1）当时，求函数的零点；（2）当时，求不等式的的解集.21.为宣扬2024年北京冬奥会，某公益广告公司拟在一张矩形海报纸（记为矩形，如图）上设计三个等高的宣扬栏（栏面分别为一个等腰三角形和两个全等的直角梯形），宣扬栏（图中阴影部分）的面积之和为.为了美观，要求海报上全部水平方向和竖直方向的留空宽度均为.设直角梯形的高为.（1）当时，求海报纸的面积；（2）为节约成本，应如何选择海报纸的尺寸，可运用纸量最少（即矩形的面积最小）？22.函数是定义在实数集R上的奇函数，当时，.（1）推断函数在的单调性，并给出证明：（2）求函数的解析式；（3）若对随意的，不等式恒成立，求实数k的取值范围.

2024-2025学年度第一学期期中教学质量监测高一级数学科试题温馨提示：请将答案写在答题卡上，考试时间为120分钟.满分150分一、单项选择题（共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一个选项符合题目要求）1.设集合，，则（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】干脆用交集的定义即可.【详解】因为，，所以，故选：D.2.已知函数，则（）A.-3 B.2 C.10 D.5【答案】C【解析】【分析】依据题意对分段函数，先求出，然后再求的值，从而可求解.【详解】由题意知：当时，，所以：，故C项正确.故选C3.命题：“，”的否定是（）A.， B.，C.， D.，【答案】C【解析】【分析】依据全称量词命题的否定求解.【详解】命题：“，”的否定是，，故选：C.4.下列函数中与函数相等的函数是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】依据相等函数的要求一一判定即可.【详解】两函数若相等，则需其定义域与对应关系均相等，易知函数的定义域为R，对于函数，其定义域为，对于函数，其定义域为，明显定义域不同，故A、D错误；对于函数，定义域为R，符合相等函数的要求，即B正确；对于函数，对应关系不同，即C错误.故选：B5.“”是“是幂函数”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】运用幂函数定义及集合包含关系即可求得结果.【详解】因为是幂函数，所以，解得或，故“”是“是幂函数”充分不必要条件.故选：A.6.已知函数的定义域为，则的定义域为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】定义域是的范围，分清定义域是关键；或简化为括号内取值范围一样.【详解】已知函数的定义域为，所以对有，所以，故选：A7.设，，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先由指数运算得出，再由幂函数的单调性得出大小关系.【详解】因为，所以，又函数在上单调递增，所以.故选：B8.已知，，且，若不等式恒成立，则a的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】确定，变换，绽开利用均值不等式计算最值得到答案.【详解】，故，，，，故，当且仅当，即时取等号，故，最小值是16，由不等式恒成立可得.a的取值范围是，故选：B.二、多项选择题（共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，选错得0分）9.下列函数中是偶函数，且在区间上单调递增的是（）A. B.C. D.【答案】AD【解析】【分析】利用函数的奇偶性的定义推断奇偶性，依据函数解析式推断单调性.【详解】A，因为，是偶函数，在区间上为增函数，符合题意；B，因为，是奇函数，且在区间上为减函数，不符合题意；C，因为，是偶函数，当时，单调递减，不符合题意；D，因为，是偶函数，且在区间上为增函数，符合题意.故选：AD10.已知关于x的不等式的解集为，则（）A.B.C.不等式的解集为D.不等式的解集为【答案】ABD【解析】【分析】依据一元二次不等式的解与二次方程的根之间的关系可得，即可结合选项逐一求解.【详解】由于不等式的解集为，所以和是的两个实数根，所以，故，，故AB正确，对于C,不等式为，故，故C错误，对于D,不等式可变形为，解得，故D正确，故选：ABD11.德国数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其名命名的函数称为狄利克雷函数，则关于函数f(x)有（）A.f(f(x))＝1 B.函数=f(x)的图象是两条直线C.>f(1) D.x∈R，都有f(1－x)＝f(1＋x)【答案】AD【解析】【分析】利用题中的定义，干脆分析求解即可【详解】对于A，当为有理数时，，所以，，当为无理数时，，，所以，A正确；对于B，明显地，函数=f(x)的图象是断续的点集，不是两条直线，B错误；对于C，，，所以，，C错误；对于D，明显地，定义域为，且，所以，为偶函数，若是有理数，则也是有理数；若是无理数，则也是无理数；所以，依据函数的表达式，任取一个不为零的有理数，对恒成立，取，则有，所以，x∈R，都有f(1－x)＝f(1＋x)，所以，D正确故选：AD【点睛】关键点睛：利用题中的新定义，进行代值和求出单调性以及周期，然后逐个推断选项，属于基础题12.若函数在R上满意对随意都有成立，则实数b的值可以为（）A.0 B.-1 C.-2 D.【答案】CD【解析】【分析】首先由随意都有成立可推断该分段函数在R上为单调递减函数，再结合单调性学问求解即可.【详解】因为函数在满意对随意都有成立，所以函数在R上为单调减函数，所以，解得，由选项可知，b可以为-2，.故选：CD.三、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13.当时，函数的最大值为______．【答案】8【解析】【分析】对函数配方后，利用二次函数的性质求解即可.【详解】，对称性为，因为，所以当时，函数的最大值为，故答案为：814.函数的单调递增区间为__________.【答案】和【解析】【分析】画函数图像，再依据图像得出结果.【详解】函数，开口向上与轴的两个交点对称轴为，图像如下所以函数单调递增区间为故答案为：15.已知定义在上的函数满意，，则__________.【答案】1【解析】【分析】当时，，当时，，解得答案.【详解】定义在上函数满意，，当时，；当时，，解得.故答案为：16.设函数为奇函数，且，则__________．【答案】27【解析】【分析】依据奇函数的定义求解即可.【详解】因为，所以，因为为奇函数，所以，则，所以，故答案为:.四、解答题（共6小题，共70分）17.已知全集，集合，集合.求：（1）；（2）.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用交集概念及运算即可得到结果；（2）先求交集，进而求补集即可.【小问1详解】∵集合，集合.∴；【小问2详解】∵集合，集合.∴，∴.18.实数a，b满意，.（1）求实数a，b的取值范围；（2）求的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）应用不等式性质线性运算可得；（2）用已知式子表示所求式子结合不等式性质线性运算即可.【小问1详解】∵，∴，.【小问2详解】，因为，所以，又，所以，所以.19.已知函数，点，是图象上的两点.（1）求a，b的值；（2）依据定义推断并证明函数的奇偶性.【答案】（1），（2）为奇函数，证明见解析【解析】分析】（1）将两点坐标代入函数解析式，列出方程组，求解即可得出答案；（2）先求出函数的定义域，然后求出的表达式，即可得出答案.【小问1详解】因为点，是图象上的两点，所以，解得.所以函数.【小问2详解】函数为奇函数，理由如下：由（1）知：函数，由，得且，所以函数的定义域为，关于原点对称.且对随意，都有，所以函数为奇函数.20.已知函数.（1）当时，求函数的零点；（2）当时，求不等式的的解集.【答案】（1）2或3（2）答案见解析【解析】【分析】（1）依据零点定义计算求解即可；（2）分类探讨结合根的状况解不等式.【小问1详解】当时，，令，得或，所以的零点为2或3.【小问2详解】当时，，则为，得；当时，，当即时，的解为或；当即时，的解为；当即时，的解为或，综上所述，当时，的解集为；当即时，的解集为或当时，的解集为；当即时，的解集为或.21.为宣扬2024年北京冬奥会，某公益广告公司拟在一张矩形海报纸（记为矩形，如图）上设计三个等高的宣扬栏（栏面分别为一个等腰三角形和两个全等的直角梯形），宣扬栏（图中阴影部分）的面积之和为.为了美观，要求海报上全部水平方向和竖直方向的留空宽度均为.设直角梯形的高为.（1）当时，求海报纸的面积；（2）为节约成本，应如何选择海报纸的尺寸，可运用纸量最少（即矩形的面积最小）？【答案】（1）（2）当海报纸宽为，长为，可运用纸量最少．【解析】【分析】（1）依据已知条件，先求出梯形长的底边，再分别求出，，即可求解；（2）依据已知条件，结合基本不等式的公式，即可求解．【小问1详解】宣扬栏（图中阴影部分）的面积之和为，直角梯形的高为，则梯形长的底边，海报上全部水平方向和竖直方向的留空宽度均为，，，故海报面积为．【小问2详解】直角梯形的高为，宣扬栏（图中阴影部分）的面积之和为，，海报上全部水平方向和竖直方向的留空宽度均为，海报宽，海报长，故，当且仅当，即，故当海报纸宽为，长为，可运用纸量最少．22.函数是定义在实数集R上的奇函数，当时，.（1）推断函数在的单调性，并给出证明：（2）求函数的解析式；（3）若对随意的，不等式恒成立，求实数k的取值范围.【答案】（1）单调递增，证明见解析（2）（3）【解析】【分析】（1）依据函数单调性定义证明即可；（2）令，则，代入的解析式，依据奇偶性即可求得的解析式；（3）推断函数的单调性，依据函数单调性列出定义域的不等式，反解算出范围即可.【小