新高考版2024年高考数学必刷压轴题专题23抛物线解答题压轴题学生版

专题23抛物线（解答题压轴题）①抛物线焦点弦问题1．（2024·浙江·模拟预料）已知抛物线，直线与抛物线交于、两点（在的上方）.(1)若过抛物线的焦点，且垂直于轴时，，求此时抛物线的方程；(2)若直线的斜率，过点作直线的垂线交抛物线于另外一点，当，且的重心落在直线上时，求直线的斜率.2．（2024·全国·高二课时练习）如图，抛物线E：y2＝2px的焦点为F，四边形DFMN为正方形，点M在抛物线E上，过焦点F的直线l交抛物线E于A，B两点，交直线ND于点C.(1)若B为线段AC的中点，求直线l的斜率；(2)若正方形DFMN的边长为1，直线MA，MB，MC的斜率分别为k1，k2，k3，则是否存在实数λ，使得k1＋k2＝λk3？若存在，求出λ；若不存在，请说明理由．3．（2024·浙江·瑞安市第六中学高二开学考试）已知抛物线的焦点为F，以F和准线上的两点为顶点的三角形是边长为的等边三角形，过的直线交抛物线E于A，B两点．(1)求抛物线E的方程；(2)是否存在常数，使得，假如存在，求的值，假如不存在，请说明理由；(3)证明：内切圆的面积小于．4．（2024·内蒙古赤峰·高三阶段练习（理））已知曲线的短轴长为，曲线，的一个焦点在的准线上.（1）求曲线的方程；（2）设曲线的左焦点为，右焦点为，若过点的直线与曲线的轴左侧部分（包含与轴的交点）交于，两点，直线与曲线交于，两点，直线与曲线交于，两点，试求的取值范围.5．（2024·上海浦东新·高三阶段练习）已知点是抛物线上的焦点，、是抛物线上的两个动点．（1）若直线经过点，且，求；（2）若，求证:线段的垂直平分线经过一个定点，并求出点的坐标；（3）若线段与轴交于点，是否存在这样的点，使得为定值，若存在，求出这个定值和点的坐标；若不存在，请说明理由．②抛物线中参数范围与最值问题1．（2024·全国·高三专题练习）已知、、，圆，抛物线，过的直线与抛物线交于、两点，且．(1)求抛物线的方程；(2)若直线与圆交于、两点，记面积为，面积为，求的取值范围.2．（2024·湖北·黄冈中学模拟预料）已知点在抛物线E：（）的准线上，过点M作直线与抛物线E交于A，B两点，斜率为2的直线与抛物线E交于A，C两点.(1)求抛物线E的标准方程；(2)（ⅰ）求证：直线过定点；（ⅱ）记（ⅰ）中的定点为H，设的面积为S，且满意，求直线的斜率的取值范围.3．（2024·全国·高三专题练习）如图，已知椭圆，抛物线，O为坐标原点．(1)若抛物线的焦点正好为椭圆的上顶点，求p的值；(2)椭圆与抛物线在第一象限的交点为，过点P但不过原点的的直线l交椭圆于点Q，交抛物线于点M（Q，M不同于点P），若M是线段PQ的中点，求p的最大值，并求当p取最大时直线l的斜率．4．（2024·全国·高三专题练习（文））已知抛物线C：，F为抛物线C的焦点，是抛物线C上点，且；(1)求抛物线C的方程；(2)过平面上一动点作抛物线C的两条切线PA，PB（其中A，B为切点），求的最大值.5．（2024·全国·高三专题练习（文））已知抛物线的焦点为，抛物线上一点到点的距离为．(1)求抛物线的方程及点的坐标；(2)设斜率为的直线过点且与抛物线交于不同的两点、，若且，求斜率的取值范围．6．（2024·全国·高三专题练习）如图，已知椭圆，曲线与轴的交点为，过坐标原点的直线与相交于、，直线、分别与交于点、.(1)证明：以为直径的圆经过点；(2)记、的面积分别为、，若，求的取值范围.7．（2024·全国·高三专题练习）已知椭圆的左、右焦点分别为，焦距为2，离心率，抛物线的焦点是是椭圆上的随意一点，且位于轴左侧，过点分别作抛物线的两条切线，切点分别为.(1)求椭圆和抛物线的方程；(2)求面积的取值范围.8．（2024·浙江·高三专题练习）如图，已知椭圆和抛物线，斜率为正的直线与轴及椭圆依次交于、、三点，且线段的中点在抛物线上．(1)求点的纵坐标的取值范围；(2)设是抛物线上一点，且位于椭圆的左上方，求点的横坐标的取值范围，使得的面积存在最大值．③物线中定点、定值、定直线问题1．（2024·全国·高三专题练习）已知定点，，定直线：，不在轴上的动点与点的距离是它到直线的距离的倍．设点的轨迹为，过点的直线交于、两点，直线、分别交于点、．(1)求的方程；(2)试推断以线段为直径的圆是否过定点，若过定点，求出定点的坐标；若不存在，说明理由．2．（2024·全国·高三专题练习）已知，是抛物线上两个不同的点，的焦点为．已知点，记直线的斜率分别为，且，当直线过定点，且定点在轴上时，点在直线上，满意，求点的轨迹方程．3．（2024·浙江·高二期末）设点为抛物线：（）的动点，是抛物线的焦点，当时，.(1)求抛物线的方程；(2)当在第一象限且时，过作斜率为，的两条直线，，分别交抛物线于点，，且，证明：直线恒过定点，并求该定点的坐标；(3)是否存在定圆：，使得过曲线上随意一点作圆的两条切线，与曲线交于另外两点，时，总有直线也与圆相切？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由.4．（2024·全国·高二课时练习）如图，F是抛物线的焦点，Q是准线与x轴的交点，斜率为k的直线l经过点Q．(1)当k取不同数值时，求直线l与抛物线公共点的个数；(2)若直线l与抛物线相交于A、B两点，求证：是定值．(3)在x轴上是否存在这样的定点M，对随意的过点Q的直线l与抛物线相交于A、B两点，均能使得为定值，若有，找出满意条件的点M;若没有，请说明理由．5．（2024·福建省福州第一中学高三开学考试）已知抛物线C的顶点在坐标原点O，准线方程为，F为抛物线C的焦点，点P为直线上随意一点，以P为圆心，为半径的圆与抛物线C的准线交于A、B两点，过A、B分别作准线的垂线交抛物线C于点D、E．(1)求抛物线C的方程；(2)设点O到直线的距离为d，求d的最大值．6．（2024·广东佛山·高三阶段练习）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线的焦点为F，抛物线上不同两点M，N同时满意下列三个条件中的两个：①；②；③直线的方程为．(1)请分析说明两点M，N满意的是哪两个条件？并求抛物线的标准方程；(2)过抛物线的焦点F的两条倾斜角互补的直线和交抛物线于A，B，C，D，且A，C两点在直线的下方，求证：直线的倾斜角互补并求直线的交点坐标．7．（2024·四川·宜宾市教科所三模（理））设抛物线：，以为圆心，5为半径的圆被抛物线的准线截得的弦长为8．(1)求抛物线的方程；(2)过点的两条直线分别与曲线交于点A，B和C，D，且满意，，求证：线段的中点在直线上．8．（2024·全国·高三专题练习）已知拋物线，为拋物线外一点，过点作抛物线的切线交抛物线于，两点，交轴于，两点.（1）若，设的面积为，的面积为，求的值；（2）若，求证：的垂心在定直线上.9．（2024·全国·高三专题练习）已知圆经过点与直线相切，圆心的轨迹为曲线，过点做直线与曲线交于不同两点，三角形的垂心为点.（1）求曲线的方程；（2）求证：点在一条定直线上，并求出这条直线的方程.10．（2024·全国·高三专题练习）已知抛物线L：（）的焦点为F，过点的动直线l与抛物线L交于A，B两点，直线交抛物线L于另一点C，直线的最小值为4.（1）求抛物线L的方程；（2）若过点A作y轴的垂线m，则x轴上是否存在一点，使得直线PB与直线m的交点恒在一条定直线上？若存在，求该点的坐标及该定直线的方程；若不存在，请说明理由.11．（2024·全国·高三专题练习）平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y2＝2px（p＞0）及点M（2，0），动直线l过点M交抛物线于A，B两点，当l垂直于x轴时，AB＝4.（1）求p的值；（2）若l与x轴不垂直，设线段AB中点为C，直线l1经过点C且垂直于y轴，直线l2经过点M且垂直于直线l，记l1，l2相交于点P，求证：点P在定直线上.12．（2024·全国·高二课时练习）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且．（1）求抛物线的方程；（2）过焦点的直线与抛物线分别交于两点，点的坐标分别为，，为坐标原点，若，求直线的方程．④抛物线综合问题1．（2024·广东广州·高三阶段练习）已知抛物线的焦点为，且与圆上点的距离的最大值为6．(1)求的方程；(2)若点在圆上，，是的两条切线，，是切点，求面积的最小值．2．（2024·全国·高三专题练习）抛物线焦点为，过斜率为的直线交抛物线于，两点，且(1)求抛物线的标准方程；(2)过直线上一点作抛物线两条切线，切点为，猜想直线与直线位置关系，并证明猜想.3．（2024·上海市松江二中高三阶段练习）如图，已知、为抛物线Γ：的图像上异于顶点的随意两个点，抛物线Γ在点A、B处的切线相交于.(1)写出这条抛物线的焦点坐标和准线方程；(2)求证：、、成等差数列，、、成等比数列；(3)若A，F，B三点共线，求出动点P的轨迹方程及面积的最小值.4．（2024·全国·高三专题练习）已知抛物线上的点到其焦点的距离为．(1)求和的值；(2)若直线交抛物线于、两点，线段的垂直平分线交抛物线于、两点，求证：、、、四点共圆．5．（2024·全国·高二课时练习）已知抛物线，焦点为F，直线交抛物线C于A，B两点，P是线段AB的中点，过P作x轴的垂线交抛物线C于点Q．(1)若抛物线C上有一点到焦点F的距离为3，求m的值；(2)是否存在实数m，使是以Q为直角顶点的直角三角形？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．6．（2024·全国·高三专题练习）已知抛物线的焦点为F，过F的直线l与C相交于A，B两点，，是C的两条切线，A，B是切点．当轴时，．(1)求抛物线C的方程；(2)证明：．7．（2024·山东·济南市历城其次中学模拟预料）已知抛物线上的点到坐标原点的距离等于该点到准线的距离．(1)求抛物线的标准方程；(2)过抛物线上一点P作圆的两条斜率都存在的切线，分别与抛物线交于异于点P的M，N两点．证明：直线MN与圆相切．8．（2024·河南·商丘市第一高级中学高二期末（文））已知抛物线上的点到焦点的距离等于圆的半径．(1)求抛物线的方程；(2)过点作两条相互垂直的直线与，直线交于，两点，直线交于，两点，求四边形面积的最小值．9．（2024