第3和第6章 图形平移旋转和平行四边形（考点压轴压轴必刷7种题型29题）（解析板）-2023-2024学年8下数学期末考点大串讲（北师大版）

第3/6章图形平移旋转和平行四边形（压轴必刷7种题型29题）一．三角形中位线定理（共5小题）1．已知：四边形ABCD中，AB＝2，CD＝3，M、N分别是AD，BC的中点，则线段MN的取值范围是（）A．1＜MN＜5 B．1＜MN≤5 C．＜MN＜ D．＜MN≤【答案】D【解答】解：连接BD，过M作MG∥AB，连接NG．∵M是边AD的中点，AB＝2，MG∥AB，∴MG是△ABD的中位线，BG＝GD，MG＝AB＝×2＝1；∵N是BC的中点，BG＝GD，CD＝3，∴NG是△BCD的中位线，NG＝CD＝×3＝，在△MNG中，由三角形三边关系可知NG﹣MG＜MN＜MG+NG，即﹣1＜MN＜+1，∴＜MN＜，当MN＝MG+NG，即MN＝时，四边形ABCD是梯形，故线段MN长的取值范围是＜MN≤．故选：D．2．如图，△ABC中，∠BAD＝∠CAD，BE＝CE，AD⊥BD，DE＝，AB＝4，则AC的值为（）A．6 B． C．7 D．8【答案】C【解答】解：如图，延长BD，交AC于F，∵AD⊥BD，∴∠ADB＝∠ADF＝90°，在△ABD和△AFD中，，∴△ABD≌△AFD（ASA），∴BD＝DF，AF＝AB＝4，∵BE＝CE，∴CF＝2DE＝3，∴AC＝AF+CF＝4+3＝7，故答案为：C．3．如图，已知四边形ABCD中，AC⊥BD，AC＝6，BD＝8，点E、F分别是边AD、BC的中点，连接EF，则EF的长是（）A． B．5 C． D．10【答案】B【解答】解：如图，取AB的中点G，连接EG、FG，∵E、F分别是边AD、CB的中点，∴EG∥BD且EG＝BD＝×8＝4，FG∥AC且FG＝AC＝×6＝3，∵AC⊥BD，∴EG⊥FG，∴EF＝＝＝5．故选：B．4．如图，在△A1B1C1中，已知A1B1＝7，B1C1＝4，A1C1＝5，依次连接△A1B1C1三边中点，得△A2B2C2，再依次连接△A2B2C2的三边中点得△A3B3C3，…，则△A5B5C5的周长为1．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵A2B2、B2C2、C2A2分别等于A1B1、B1C1、C1A1的一半，∴以此类推：△A5B5C5的周长为△A1B1C1的周长的，∴则△A5B5C5的周长为（7+4+5）÷16＝1．故答案为：15．（1）证明三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半；[要求根据图1写出已知、求证、证明；在证明过程中，至少有两处写出推理依据（“已知”除外）]（2）如图2，在▱ABCD中，对角线交点为O，A1、B1、C1、D1分别是OA、OB、OC、OD的中点，A2、B2、C2、D2分别是OA1、OB1、OC1、OD1的中点，…，以此类推．若▱ABCD的周长为1，直接用算式表示各四边形的周长之和l；（3）借助图形3反映的规律，猜猜l可能是多少？【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）已知：在△ABC中，D、E分别是边AB、AC的中点，求证：DE∥BC且DE＝BC，证明：如图，延长DE至F，使EF＝DE，∵E是AC的中点，∴AE＝CE，在△ADE和△CFE中，，∴△ADE≌△CFE（SAS），∴AD＝CF（全等三角形对应边相等），∠A＝∠ECF（全等三角形对应角相等），∴AD∥CF，∵点D是AB的中点，∴AD＝BD，∴BD＝CF且BD∥CF，∴四边形BCFD是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形），∴DF∥BC且DF＝BC（平行四边形的对边平行且相等），∵DE＝EF＝DF，∴DE∥BC且DE＝BC；（2）∵A1、B1、C1、D1分别是OA、OB、OC、OD的中点，∴A1B1＝AB，B1C1＝BC，C1D1＝CD，A1D1＝AD，∴四边形A1B1C1D1的周长＝×1＝，同理可得，四边形A2B2C2D2的周长＝×＝，四边形A3B3C3D3的周长＝×＝，…，∴四边形的周长之和l＝1++++…；（3）由图可知，+++…＝1（无限接近于1），所以l＝1++++…＝2（无限接近于2）．二．平行四边形的性质（共4小题）6．如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，AE平分∠BAD，交BC于点E，且∠ADC＝60°，AB＝BC，连接OE，下列结论：①∠CAD＝30°；②OD＝AB；③S▱ABCD＝AC•CD；④S四边形OECD＝S△AOD，其中成立的个数为（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】见试题解答内容【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，∠ADC＝60°，∴AD∥BC，∠ABC＝∠ADC＝60°，OB＝OD，∴∠DAE＝∠AEB，∠BAD＝∠BCD＝120°，∵AE平分∠BAD，∴∠BAE＝∠DAE，∴∠BAE＝∠AEB∴△ABE为等边三角形，∴∠BAE＝∠AEB＝60°，AB＝BE＝AE，∵AB＝BC，∴EC＝AE，∴∠EAC＝∠ECA＝30°，∴∠CAD＝30°，故①正确；∵∠BAD＝120°，∠CAD＝30°，∴∠BAC＝90°，∴BO＞AB，∴OD＞AB，故②错误；∴S▱ABCD＝AB•AC＝AC•CD，故③正确；∵∠BAC＝90°，BC＝2AB，∴E是BC的中点，∴S△BEO：S△BCD＝1：4，∴S四边形OECD：S△BCD＝3：4，∴S四边形OECD：S▱ABCD＝3：8，∵S△AOD：S▱ABCD＝1：4，∴S四边形OECD＝S△AOD，故④正确．故选：C．7．如图，▱ABCD的对角线AC、BD交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，且∠ADC＝60°，AB＝BC，连接OE．下列结论：①∠ADO＝30°；②S▱ABCD＝AB•AC；③OB＝AB；④S四边形OECD＝S△AOD，其中成立的个数为（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，∠ADC＝60°，∴AD∥BC，∠ABC＝∠ADC＝60°，OB＝OD，AO＝CO，∴∠DAE＝∠AEB，∠BAD＝∠BCD＝120°，∵AE平分∠BAD，∴∠BAE＝∠DAE，∴∠BAE＝∠AEB∴△ABE为等边三角形，∴∠BAE＝∠AEB＝60°，AB＝BE＝AE，∵AB＝BC，∴EC＝AE＝BE，又∵AO＝CO，∴∠EAC＝∠ECA＝30°，OE＝AB，∴∠CAD＝30°，OB≠OC，∴∠OBC≠∠OCB≠30°，∴∠ADO≠30°，故①错误；∵∠BAD＝120°，∠CAD＝30°，∴∠BAC＝90°，∴BO＞AB，∴故③错误；∴S▱ABCD＝AB•AC＝AC•CD，故②正确；∵∠BAC＝90°，BC＝2AB，∴E是BC的中点，∴S△BEO：S△BCD＝1：4，∴S四边形OECD：S△BCD＝3：4，∴S四边形OECD：S▱ABCD＝3：8，∵S△AOD：S▱ABCD＝1：4，∴S四边形OECD＝S△AOD，故④正确．故选：B．8．如图，在平行四边形ABCD中，∠A＝90°，AD＝10，AB＝8，点P在边AD上，且BP＝BC，点M在线段BP上，点N在线段BC的延长线上，且PM＝CN，连接MN交CP于点F，过点M作ME⊥CP于E，则EF＝2．【答案】2．【解答】解：如图，过点M作MH∥BC交CP于H，则∠MHP＝∠BCP，∠NCF＝∠MHF，∵BP＝BC，∴∠BCP＝∠BPC，∴∠BPC＝∠MHP，∴PM＝MH，∵PM＝CN，∴CN＝MH，∵ME⊥CP，∴PE＝EH，在△NCF和△MHF中，，∴△NCF≌△MHF（AAS），∴CF＝FH，∴EF＝EH+FH＝CP，∵矩形ABCD中，AD＝10，∴BC＝AD＝10，∴BP＝BC＝10，在Rt△ABP中，AP＝＝＝6，∴PD＝AD﹣AP＝10﹣6＝4，在Rt△CPD中，CP＝＝＝4，∴EF＝CP＝×4＝2．故答案为：2．9．在平行四边形ABCD中，E是BC上任意一点，延长AE交DC的延长线于点F．（1）在图中当CE＝CF时，求证：AF是∠BAD的平分线．（2）根据（1）的条件和结论，若∠ABC＝90°，G是EF的中点（如图），请求出∠BDG的度数．（3）如图，根据（1）的条件和结论，若∠BAD＝60°，且FG∥CE，FG＝CE，连接DB、DG，求出∠BDG的度数．【答案】见试题解答内容【解答】（1）证明：如图1，∵CE＝CF∴∠CEF＝∠F，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥DC，∴∠FAD＝∠FEC，∠BAF＝∠F，∴∠BAF＝∠FAD，∴AF是∠BAD的平分线；（2）解：如图2，连接CG，BG在平行四边形ABCD中，∠ABC＝90°，∴平行四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC，∠BCD＝90°，∴∠BCF＝180°﹣90°＝90°，又∵CE＝CF，∴△CEF是等腰直角三角形，即：∠CEF＝∠F＝45°，由（1）可得：∠FAD＝∠CEF＝∠F＝45°，∴AD＝DF＝BC，又∵G是EF的中点，∴CG＝GF，∠ECG＝∠F＝45°，∠CGF＝90°，在△BGC与△DGF中，，∴△BGC≌△DGF（SAS），∴BG＝DG，∠BGC＝∠DGF，∴∠BGD＝∠CGF＝90°∴△BGD是等腰直角三角形，即：∠BDG＝45°；（3）解：如图3，延长AB，FG相较于H，连接EG，DH．∴GF∥CE，GF＝CE∴四边形EGFC是平行四边形．∵AD∥GF，AB∥DF，∴四边形AHFD为平行四边形由（1）可得：AD＝DF，CE＝CF∴平行四边形EGFC是菱形．平行四边形AHFD是菱形．∵∠BAD＝60°∴△AHD、△FHD是等边三角形，即∠ADH＝∠FDH＝60°，在△BHD与△GFD中，，∴△BHD≌△GFD（SAS），∠BDH＝∠GDF，∴∠BDG＝60°．三．平行四边形的判定（共1小题）10．如图，在图（1）中，A1、B1、C1分别是△ABC的边BC、CA、AB的中点，在图（2）中，A2、B2、C2分别是△A1B1C1的边B1C1、C1A1、A1B1的中点，…，按此规律，则第n个图形中平行四边形的个数共有3n个．【答案】见试题解答内容【解答】解：在图（1）中，A1、B1、C1分别是△ABC的边BC、CA、AB的中点，∴A1C1∥AB1，A1B1∥BC1，A1C1∥B1C，A1C1＝AB1，A1B1＝BC1，A1C1＝B1C，∴四边形A1B1AC1、A1B1C1B、A1C1B1C是平行四边形，共有3个．在图（2）中，A2、B2、C2分别是△A1B1C1的边B1C1、C1A1、A1B1的中点，同理可证：四边形A1B1AC1、A1B1C1B、A1C1B1C、A2B2C2B1、A2B2A1C2、A2C2B2C1是平行四边形，共有6个．…按此规律，则第n个图形中平行四边形的个数共有3n个．四．平行四边形的判定与性质（共6小题）11．如图，在▱ABCD中，AB＝6cm，AD＝10cm，点P在AD边上以每秒1cm的速度从点A向点D运动．点Q在BC边上以每秒4cm的速度从点C出发，在CB之间往返运动．两个点同时出发，当点P到达点D时停止（同时点Q也停止运动），设运动时间为t秒．当5＜t＜10时，运动时间t＝秒或8秒时，以P、D、Q、B为顶点的四边形是平行四边形．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴PD∥BQ．若要以P、D、Q、B四点组成的四边形为平行四边形，则PD＝BQ．当5＜t≤时，AP＝tcm，PD＝（10﹣t）cm，CQ＝（4t﹣20）cm，BQ＝（30﹣4t）cm，∴10﹣t＝30﹣4t，解得：t＝；当＜t≤10时，AP＝tcm，PD＝（10﹣t）cm，BQ＝（4t﹣30）cm，∴10﹣t＝4t﹣30，解得：t＝8．综上所述：当运动时间为秒或8秒时，以P、D、Q、B四点组成的四边形为平行四边形．故答案为：秒或8秒．12．如图，在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为（9，0），点C的坐标为（3，3），四边形OABC是平行四边形，点D、E份别在边OA、BC上，且OD＝OA，CE＝4．动点P、Q在平行四边形OABC的一组邻边上，以点D、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形时，其面积为或或．【答案】或或．【解答】解：如图，过点C作CH⊥OA于点H，∵A的坐标为（9，0），∴OA＝9，∵OD＝OA，∴OD＝3，∵点C的坐标为（3，3），∴OH＝3，CH＝3，∴D，H重合，∵CE＝4．∴BE＝BC﹣CE＝OA﹣CE＝9﹣4＝5，AD＝OA﹣AD＝9﹣3＝6，动点P、Q在平行四边形OABC的一组邻边上，以点D、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形时，则可分以下情况：①点P在OC上，点Q在BC上，如图，当点P与点O重合，∴S平行四边形PDEQ＝PD•CH＝3×3＝9；当DE是对角线时，如图，∴S平行四边形PDQE＝PD•CD＝3×3＝9；②点Q在OC上，点P在OA上，如图，点C与Q重合，∴S平行四边形QDPE＝PD•CD＝4×3＝12；③点Q在OC上，点P在AB上，如图，点P与B重合，∴S平行四边形DQPE＝PE•CD＝5×3＝15；综上所述：平行四边形面积为或或．故答案为：或或．13．如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD、∠ABC的平分线AF、BG分别与线段CD交于点F、G，AF与BG交于点E．（1）求证：AF⊥BG，DF＝CG；（2）若AB＝10，AD＝6，AF＝8，求FG和BG的长度．【答案】见试题解答内容【解答】（1）证明：∵AF平分∠BAD，∴∠DAF＝∠BAF＝∠BAD．∵BG平分∠ABC，∴∠ABG＝∠CBG＝∠ABC．∵四边形ABCD平行四边形，∴AD∥BC，AB∥CD，AD＝BC，∴∠BAD+∠ABC＝180°，即2∠BAF+2∠ABG＝180°，∴∠BAF+∠ABG＝90°．∴∠AEB＝180°﹣（∠BAF+∠ABG）＝180°﹣90°＝90°．∴AF⊥BG；∵AB∥CD，∴∠BAF＝∠AFD，∴∠AFD＝∠DAF，∴DF＝AD，∵AB∥CD，∴∠ABG＝∠CGB，∴∠CBG＝∠CGB，∴CG＝BC，∵AD＝BC．∴DF＝CG；（2）解：∵DF＝AD＝6，∴CG＝DF＝6．∴CG+DF＝12，∵四边形ABCD平行四边形，∴CD＝AB＝10．∴10+FG＝12，∴FG＝2，过点B作BH∥AF交DC的延长线于点H．∴∠GBH＝∠AEB＝90°．∵AF∥BH，AB∥FH，∴四边形ABHF为平行四边形．∴BH＝AF＝8，FH＝AB＝10．∴GH＝FG+FH＝2+10＝12，∴在Rt△BHG中：BG＝＝．∴FG的长度为2，BG的长度为4．14．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AB＝8cm，AD＝12cm，BC＝18cm，点P从点A出发以2cm/s的速度沿A→D→C运动，点P从点A出发的同时点Q从点C出发，以1cm/s的速度向点B运动，当点P到达点C时，点Q也停止运动．设点P，Q运动的时间为t秒．（1）从运动开始，当t取何值时，PQ∥CD？（2）从运动开始，当t取何值时，△PQC为直角三角形？【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）当PQ∥CD时，四边形PDCB是平行四边形，此时PD＝QC，∴12﹣2t＝t，∴t＝4．∴当t＝4时，四边形PQDC是平行四边形．（2）过D点，DF⊥BC于F，∴DF＝AB＝8．FC＝BC﹣AD＝18﹣12＝6，CD＝10，①当PQ⊥BC，则BQ+CQ＝18．即：2t+t＝18，∴t＝6；②当QP⊥PC，此时P一定在DC上，CP1＝10+12﹣2t＝22﹣2t，CQ2＝t，易知，△CDF∽△CQ2P1，∴，解得：t＝，③情形：当PC⊥BC时，因∠DCB＜90°，此种情形不存在．∴当t＝6或时，△PQC是直角三角形．15．我们给出如下定义：顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫中点四边形．（1）如图1，四边形ABCD中，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点．求证：中点四边形EFGH是平行四边形；（2）如图2，点P是四边形ABCD内一点，且满足PA＝PB，PC＝PD，∠APB＝∠CPD，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点，猜想中点四边形EFGH的形状，并证明你的猜想；（3）若改变（2）中的条件，使∠APB＝∠CPD＝90°，其他条件不变，直接写出中点四边形EFGH的形状．（不必证明）【答案】见试题解答内容【解答】（1）证明：如图1中，连接BD．∵点E，H分别为边AB，DA的中点，∴EH∥BD，EH＝BD，∵点F，G分别为边BC，CD的中点，∴FG∥BD，FG＝BD，∴EH∥FG，EH＝GF，∴中点四边形EFGH是平行四边形．（2）四边形EFGH是菱形．证明：如图2中，连接AC，BD．∵∠APB＝∠CPD，∴∠APB+∠APD＝∠CPD+∠APD即∠APC＝∠BPD，在△APC和△BPD中，，∴△APC≌△BPD，∴AC＝BD∵点E，F，G分别为边AB，BC，CD的中点，∴EF＝AC，FG＝BD，∵四边形EFGH是平行四边形，∴四边形EFGH是菱形．（3）四边形EFGH是正方形．证明：如图2中，设AC与BD交于点O．AC与PD交于点M，AC与EH交于点N．∵△APC≌△BPD，∴∠ACP＝∠BDP，∵∠DMO＝∠CMP，∴∠COD＝∠CPD＝90°，∵EH∥BD，AC∥HG，∴∠EHG＝∠ENO＝∠BOC＝∠DOC＝90°，∵四边形EFGH是菱形，∴四边形EFGH是正方形．16．如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB⊥AC，AB＝3cm，BC＝5cm．点P从A点出发沿AD方向匀速运动，速度为1cm/s，连接PO并延长交BC于点Q．设运动时间为t（s）（0＜t＜5）（1）当t为何值时，四边形ABQP是平行四边形？（2）设四边形OQCD的面积为y（cm2），当t＝4时，求y的值．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）当t＝2.5s时，四边形ABQP是平行四边形，理由是：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB＝CD＝3cm，AD＝BC＝5cm，AO＝CO，BO＝OD，∴∠PAO＝∠QCO，在△APO和△CQO中∴△APO≌△CQO（ASA），∴AP＝CQ＝2.5cm，∵BC＝5cm，∴BQ＝5cm﹣2.5cm＝2.5cm＝AP，即AP＝BQ，AP∥BQ，∴四边形ABQP是平行四边形，即当t＝2.5s时，四边形ABQP是平行四边形；（2）过A作AM⊥BC于M，过O作ON⊥BC于N，∵AB⊥AC，AB＝3cm，BC＝5cm，∴在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC＝4cm，∵由三角形的面积公式得：S△BAC＝＝，∴3×4＝5×AM，∴AM＝2.4（cm），∵ON⊥BC，AM⊥BC，∴AM∥ON，∵AO＝OC，∴MN＝CN，∴ON＝AM＝1.2cm，∵在△BAC和△DCA中∴△BAC≌△DCA（SSS），∴S△DCA＝S△BAC＝＝6cm2，∵AO＝OC，∴△DOC的面积＝S△DCA＝3cm2，当t＝4s时，AP＝CQ＝4cm，∴△OQC的面积为1.2cm×4cm＝2.4cm2，∴y＝3cm2+2.4cm2＝5.4cm2．五．四边形综合题（共1小题）17．我们可以通过类比联想，引申拓展研究典型题目，可达到解一题知一类的目的，下面是一个案例，请补充完整原题：如图1，点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，∠EAF＝45°，连接EF，则EF＝BE+DF，试说明理由．（1）思路梳理∵AB＝AD，∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合．∵∠ADC＝∠B＝90°，∴∠FDG＝180°，点F、D、G共线．根据SAS，易证△AFE≌△AFG，得EF＝BE+DF．（2）类比引申如图2，四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝90°，点E、F分别在边BC、CD上，∠EAF＝45°．若∠B、∠D都不是直角，则当∠B与∠D满足等量关系∠B+∠ADC＝180°时，仍有EF＝BE+DF．（3）联想拓展如图3，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D、E均在边BC上，且∠DAE＝45°．猜想BD、DE、EC应满足的等量关系，并写出推理过程．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）思路梳理∵AB＝AD，∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合，如图1，∵∠ADC＝∠B＝90°，∴∠FDG＝180°，点F、D、G共线，则∠DAG＝∠BAE，AE＝AG，BE＝DG，∠FAG＝∠FAD+∠GAD＝∠FAD+∠BAE＝90°﹣45°＝45°＝∠EAF，即∠EAF＝∠FAG，在△EAF和△GAF中，，∴△AFG≌△AFE（SAS），∴EF＝FG＝DG+DF＝BE+DF；故答案为：SAS；△AFG；（2）类比引申∠B+∠ADC＝180°时，EF＝BE+DF；理由如下：∵AB＝AD，∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合，如图2所示：∴∠BAE＝∠DAG，BE＝DG，∵∠BAD＝90°，∠EAF＝45°，∴∠BAE+∠DAF＝45°，∴∠EAF＝∠FAG，∵∠ADC+∠B＝180°，∴∠FDG＝180°，点F、D、G共线，在△AFE和△AFG中，，∴△AFE≌△AFG（SAS），∴EF＝FG，∵FG＝DG+DF，∴EF＝BE+DF，故答案为：∠B+∠ADC＝180°；（3）联想拓展猜想：DE2＝BD2+EC2．理由如下：把△ACE绕点A逆时针旋转90°到△ABF的位置，连接DF，如图3所示：则△ABF≌△ACE，∠FAE＝90°，∴∠FAB＝∠CAE．BF＝CE，∠ABF＝∠C，∴∠FAE＝∠BAC＝90°，∵∠DAE＝45°，∴∠FAD＝90°﹣45°＝45°，∴∠FAD＝∠DAE＝45°，在△ADF和△ADE中，，∴△ADF≌△ADE（SAS），∴DF＝DE，∵∠BAC＝90°，AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝45°，∴∠C＝∠ABF＝45°，∴∠DBF＝∠ABF+∠ABC＝90°，∴△BDF是直角三角形，∴BD2+BF2＝DF2，∴BD2+EC2＝DE2．六．旋转的性质（共11小题）18．如图，△ABC是等边三角形，D为BC边上的点，∠BAD＝15°，△ABD经旋转后到达△ACE的位置，那么旋转了（）A．75° B．60° C．45° D．15°【答案】B【解答】解：∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC，∠BAC＝60°，∵△ABD经旋转后到达△ACE的位置，∴∠BAC等于旋转角，即旋转角等于60°．故选：B．19．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AB＝8，点D为AB的中点，若直角MDN绕点D旋转，分别交AC于点E，交BC于点F，则下列说法正确的有（）①AE＝CF；②EC+CF＝；③DE＝DF；④若△ECF的面积确定，则EF的长也是一个定值．A．①② B．①③ C．①②③ D．①②③④【答案】D【解答】解：①连接CD．∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，点D为AB的中点，∴CD⊥AB，CD＝AD＝DB，在△ADE与△CDF中，∠A＝∠DCF＝45°，AD＝CD，∠ADE＝∠CDF，∴△ADE≌△CDF，∴AE＝CF．说法正确；②∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AB＝8，∴AC＝BC＝4．由①知AE＝CF，∴EC+CF＝EC+AE＝AC＝4．说法正确；③由①知△ADE≌△CDF，∴DE＝DF．说法正确；④∵△ECF的面积＝×CE×CF，如果面积确定，则CE•CF是一个定值，又∵EC+CF＝，∴可唯一确定EC与CF的值，再由勾股定理知EF的长也是一个定值，说法正确．故选：D．20．如图，点P为定角∠AOB平分线上的一个定点，且∠MPN与∠AOB互补．若∠MPN在绕点P旋转的过程中，其两边分别与OA、OB相交于M、N两点，则以下结论：①OM+ON的值不变；②∠PNM＝∠POB；③MN的长不变；④四边形PMON的面积不变，其中，正确结论的是（）A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④【答案】B【解答】解：作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F．∵∠PEO＝∠PFO＝90°，∴∠EPF+∠AOB＝180°，∵∠MPN+∠AOB＝180°，∴∠EPF＝∠MPN，∴∠EPM＝∠FPN，∵OP平分∠AOB，PE⊥OA于E，PF⊥OB于F，∴∠PEO＝∠PFO＝90°，在△POE和△POF中，，∴△POE≌△POF（AAS），∴OE＝OF，PE＝PF，在△PEM和△PFN中，，∴△PEM≌△PFN（ASA），∴EM＝NF，PM＝PN，故①正确，∴S△PEM＝S△PNF，∴S四边形PMON＝S四边形PEOF＝定值，故④正确，设∠MPN＝x°，∵PM＝PN，∴∠PNM＝∠PMN＝×（180°﹣x）＝90°﹣x°，∵∠AOB+∠MPN＝180°，∴∠AOB＝180°﹣x°∴∠PON＝×（180°﹣x）＝90°﹣x°，∴∠PNM＝∠PON，故②正确，在旋转过程中，△PMN是等腰三角形，形状是相似的，因为PM的长度是变化的，所以MN的长度是变化的，故③错误，故选：B．21．如图，已知直线y＝kx+2k交x、y轴于A、B两点，以AB为边作等边△ABC（A、B、C三点逆时针排列），D、E两点坐标分别为（﹣6，0）、（﹣1，0），连接CD、CE，则CD+CE的最小值为（）A．6 B．5+ C．6.5 D．7【答案】D【解答】解：∵点B在直线y＝kx+2k上，∴k（x+2）＝0，∵k≠0，∴x+2＝0．，∴x＝﹣2∴A（﹣2，0），∵E（﹣1，0），D（﹣6，0），在x轴上方作等边△AOF，∵∠CAB＝∠FAO＝60°，∴∠CAB+∠BAF＝∠BAF+∠FAO，即∠CAF＝∠BAO，又∵CA＝BA，AF＝AO，∴△AOB≌△AFC（SAS），∴∠AFC＝∠AOB＝90°，∴点C的轨迹为定直线CF，作点E关于直线CF的对称点E'，连接CE'，CE＝CE'，∴CD+CE＝CD+CE'，∴当点D、C、E'在同一条直线上时，DE'＝CD+CE的值最小，∵AF＝AO＝2，∠FAO＝60°，∠AFG＝90°，∴AG＝4，EG＝3，EE'＝2×AF＝3，即E'（，），∴（CD+CE）的最小值＝DE'＝＝7故选：D．22．若点D为等边△ABC内一点，且DA＝4，DB＝3，DC＝5，则此等边三角形ABC的面积为（）A． B． C． D．【答案】A【解答】解：将△ABD绕点B顺时针旋转60°得△CBE，连接DE，过C作CF⊥BE交BE延长线于F，如图：由旋转性质可知：BD＝BE＝3，∠DBE＝60°，AD＝CE＝4，∴△BDE是等边三角形，∴∠BED＝60°，DE＝BD＝3，在△CDE中，DE＝3，CE＝4，CD＝5，∴DE2+CE2＝CD2，∴∠DEC＝90°，∴∠BEC＝∠BED+∠DEC＝150°，∴∠CEF＝30°，∴CF＝CE＝2，EF＝CF＝2，在Rt△BCF中，BC2＝CF2+BF2，∴BC2＝22+（3+2）2＝25+12，∵等边△ABC面积是BC2，∴等边△ABC面积为×（25+12）＝+9，故选：A．23．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，把△ABC绕点C顺时针旋转到△A1B1C的位置，A1B1交直线CA于点D．若AC＝6，BC＝8，当线段CD的长为6或5或时，△A1CD是等腰三角形．【答案】见试题解答内容【解答】解：三角形是等腰三角形，有如下三种情况：①当CD＝A1C＝AC＝6时，三角形是等腰三角形；②当CD＝A1D时，∵∠B＝90°﹣∠BCB1＝∠ACB1，∠B＝∠B1，∴∠B1＝∠B1CD，∴B1D＝CD．∵CD＝A1D，∴CD＝A1B1＝5时，三角形是等腰三角形；③当A1C＝A1D时，如图．过点C作CE⊥A1B1于E．∵△A1B1C的面积＝×6×8＝×10×CE，∴CE＝4.8．在△A1CE中，∠A1EC＝90°，由勾股定理知A1E＝＝3.6，∴DE＝6﹣3.6＝2.4．在△CDE中，∠CED＝90°，由勾股定理知CD＝＝．故当线段CD的长为6或5或时，△A1CD是等腰三角形．24．如图，边长为6的等边三角形ABC中，E是对称轴AD上的一个动点，连接EC，将线段EC绕点C逆时针旋转60°得到FC，连接DF．则在点E运动过程中，DF的最小值是1.5．【答案】见试题解答内容【解答】解：如图，取AC的中点G，连接EG，∵旋转角为60°，∴∠ECD+∠DCF＝60°，又∵∠ECD+∠GCE＝∠ACB＝60°，∴∠DCF＝∠GCE，∵AD是等边△ABC的对称轴，∴CD＝BC，∴CD＝CG，又∵CE旋转到CF，∴CE＝CF，在△DCF和△GCE中，，∴△DCF≌△GCE（SAS），∴DF＝EG，根据垂线段最短，EG⊥AD时，EG最短，即DF最短，此时∵∠CAD＝×60°＝30°，AG＝AC＝×6＝3，∴EG＝AG＝×3＝1.5，∴DF＝1.5．故答案为：1.5．25．如图，点D是等边△ABC的边BC上的一个动点，连接AD，将射线DA绕点D顺时针旋转60°交AC于点E，若AB＝4，则AE的最小值是3．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵△ABC为等边三角形，∴∠B＝∠C＝60°，AB＝BC＝AC＝4，∵∠B+∠BAD＝∠ADC＝∠ADE+∠EDC，∠ADE＝60°，∴∠BAD＝∠EDC，∴△ABD∽△DCE，∴＝，设BD＝x，则CD＝4﹣x，∴＝，∴CE＝﹣x2+x，∴AE＝AC﹣CE＝4﹣（﹣x2+x）＝x2﹣x+4＝（x﹣2）2+3，∵＞0，由二次函数的性质可知，当x的值为2时，AE有最小值，最小值为3，故答案为：3．26．（1）如图1，O是等边△ABC内一点，连接OA、OB、OC，且OA＝3，OB＝4，OC＝5，将△BAO绕点B顺时针旋转后得到△BCD，连接OD．求：①旋转角的度数60°；②线段OD的长4；③求∠BDC的度数．（2）如图2所示，O是等腰直角△ABC（∠ABC＝90°）内一点，连接OA、OB、OC，将△BAO绕点B顺时针旋转后得到△BCD，连接OD．当OA、OB、OC满足什么条件时，∠ODC＝90°？请给出证明．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）①∵△ABC为等边三角形，∴BA＝BC，∠ABC＝60°，∵△BAO绕点B顺时针旋转后得到△BCD，∴∠OBD＝∠ABC＝60°，∴旋转角的度数为60°；②∵△BAO绕点B顺时针旋转后得到△BCD，∴BO＝BD，而∠OBD＝60°，∴△OBD为等边三角形；∴OD＝OB＝4；③∵△BOD为等边三角形，∴∠BDO＝60°，∵△BAO绕点B顺时针旋转后得到△BCD，∴CD＝AO＝3，在△OCD中，CD＝3，OD＝4，OC＝5，∵32+42＝52，∴CD2+OD2＝OC2，∴△OCD为直角三角形，∠ODC＝90°，∴∠BDC＝∠BDO+∠ODC＝60°+90°＝150°；（2）OA2+2OB2＝OC2时，∠ODC＝90°．理由如下：∵△BAO绕点B顺时针旋转后得到△BCD，∴∠OBD＝∠ABC＝90°，BO＝BD，CD＝AO，∴△OBD为等腰直角三角形，∴OD＝OB，∵当CD2+OD2＝OC2时，△OCD为直角三角形，∠ODC＝90°，∴OA2+2OB2＝OC2，∴当OA、OB、OC满足OA2+2OB2＝OC2时，∠ODC＝90°．27．将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点C按照如图①的方式叠放在一起（∠A＝30°，∠ABC＝60°，∠E＝∠EDC＝45°），且三角板ACB的位置保持不动．（1）将三角板DCE绕点C按顺时针方向旋转至图②，若∠ACE＝60°，求∠DCB的度数．（2）将三角板DCE绕点C按顺时针方向旋转，当旋转到ED∥AB时，求∠BCE的度数（请先在备用图上补全相应的图形）．（3）当0°＜∠BCE＜180°且点E在直线BC的上方时，这两块三角尺是否存在一组边互相平行？若存在，请直接写出∠BCE所有可能的值；若不存在，请说明理由．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）如图2中，∵∠ACB＝∠ECD＝90°，∴∠ECB＝∠ACD，∵∠ACE＝60°，∴∠BCE＝∠ACD＝30°，∴∠BCD＝∠BCE+∠ECD＝30°+90°＝120°；（2）如图2中，当DE∥AB时，延长BC交DE于M，∴∠B＝∠DMC＝60°，∵∠DMC+∠EMC＝180°,∠EMC+∠E+∠MCE＝180°，∴∠DMC＝∠E+∠MCE，∴∠ECM＝15°，∴∠BCE＝165°，当D′E′∥AB时，∠E′CB＝∠ECM＝15°，∴当ED∥AB时，∠BCE的度数为165°或15°；（3）存在．如图，①CD∥AB时，∠BCE＝30°，②DE∥BC时，∠BCE＝45°，③CE∥AB时，∠BCE＝120°，④DE∥AB时，∠BCE＝165°，⑤当AC∥DE时，∠BCE＝135°综上所述，当∠BCE＜180°且点E在直线BC的上方时，这两块三角尺存在一组边互相平行，∠BCE的值为30°或45°或120°或165°或135°．28．如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB＝110°，∠BOC＝α，将CO绕点C顺时针方向旋转60°得到CD，连接AD，OD．（1）当α＝150°时，求证：△AOD为直角三角形；（2）求∠DAO的度