新教材高中数学第十一章立体几何初步11. 3. 3 平面与平面平行

11.3.3平面与平面平行

新课程标准学业水平要求

★水平一

1.借助长方体，通过宜观感知•了1.能够r解用数学语言表达的面面平行的判定与性质定理.（数学抽象）

解平面与平面平行的关系，并归2.r解面面平行的判定与性质定理的条件勺结论之间的逻辑关系.（逻辑推理）

纳出面面平行的判定与性质3.掌握芈堪本命题的证明.并仃条理地发述论证过程.（逻辑推理）

定理.★水平二

2.能运用直观感觉、定理和已求得1.能够理解用数学语甫表达的画面平行的判定与性质定理.（数学抽象）

的结论证明空间基本图形位置2.理解面面平行的判定与性质定理的条件与结论之间的逻轼关系.（逻轼推理）

关系的命题.3.对r-的基本命题•能选择合适的论证方法表述论ilE过程•他够通过举反例说明某

些数学结论不成立.（逻轼推理）

1.平面与平面平行的判定定理是什么？

2.平面与平面平行的性质定理是什么？

3.如何用平面与平面平行的性质定理证明线段成

比例？

i.平面与平面的位置关系

位置关系平行相交

九_/

图示

/___/

表示法a//Ba(']p=a

公共点个数0个无数个

2.平面与平面平行的判定定理

判定定理符号表示图形表示

如果一个平面

内有两条相交如果lUa,mU

直线分别平行

Q./nw0,///

于另一个平面，//B，〃7//B，则a

那么这两个平〃SZx/

面平行

3.平面与平面平行的性质定理

性质定理符号表示图形表示

如果两个平行

平面同时与第如果Q〃S，QPly

三个平面相交，=/,£Cly=in•

那么它们的交则/〃〃7

线平行

基础小测〉

1.辨析记忆(对的打“J”，错的打“X”)

(1)两个平面a〃B,一条直线a平行于平面a,则a一定平行于平面3.()

(2)三角板的两条边所在直线分别与平面a平行,这个三角板所在平面与平面a平行.()

(3)平面a内的一个平行四边形的两边与平面B内的一个平行四边形的两边对应平行,则a||

6.()

(4)若平面a||6,点PGa,a||£且P^a,那么aua.()

提示：(1)X.直线a可能与B平行，也可能在B内.

(2)三角板的两条边所在直线是相交的，根据平面与平面平行的判定定理可知此说法正确.

(3)X.若平行四边形的两边是对边，则互相平行不相交，无法推出a〃B.

(4)J.因为平面&〃。，2〃|3，所以a〃a或aua,又因为点PGa,PGa,所以aua.

2.已知平面a〃平面B,过平面a内的一条直线a的平面y与平面B相交,交线为直线b,

则a,b的位置关系是()

A.平行B.相交C.异面D.不确定

K解析》选A.由面面平行的性质定理可知选项A正确.

3.(教材二次开发:例题改编)底面为平行四边形的四棱柱ABCD-A3CD中，与平面BBCC平行

的平面是()

A.平面AAiDiD

B.平面AAiBiB

C.平面DDCC

D.平面ABCD

K解析》选A.根据图形及平面平行的判定定理知，平面BBCC〃平面AAiD.D.

4.下列命题：

①两个平面有无数个公共点,则这两个平面重合；

②若I,m是异面直线,I//a,m//B,则a〃B.

其中错误命题的序号为.

R解析H对于①，两个平面相交，则有一条交线，也有无数多个公共点，故①错误；对于②，借助

于正方体ABCD-AiBiCD,AB〃平面DCCiDi,BC〃平面AAiDiD,又AB与BiCi异面,而平面DCCD与

平面AADD相交，故②错误.

答案:①②

关键能力•合作学习

类型一平面与平面平行的判定(逻辑推理、直观想象)

K典例U已知正方形ABCD与菱形ABEF所在平面相交，求证:平面BCE〃平面ADF.

K思路导引!］由四边形ABCD是正方形，证得BC〃平面ADF,由四边形ABEF为菱形，证得BE〃平

面ADF,即可利用面面平行的判定定理，证得平面BCE〃平面ADF.

R解析』因为四边形ABCD是正方形，所以BC〃AD.

因为BCQ平面ADF,ADc平面ADF,

所以BC〃平面ADF.因为四边形ABEF是菱形，

所以BE〃AF.因为BEG平面ADF,AFu平面ADF,

所以BE〃平面ADF.因为BC〃平面ADF,BE〃平面ADF,BCClBE=B,BC,BEu平面BCE,所以平面BCE

〃平面ADF.

♦解题策略

常见面面平行的判定方法

(1)定义法:两个平面没有公共点.

(2)判定定理法:转化为线面平行.

(3)平行平面的传递性:两个平面都和第三个平面平行,则这两个平面平行.

(4)利用平面与平面平行的判定定理的推论:若一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个

平面内的两条相交直线,则这两个平面平行.

即"US，//US，a'rU'=P'，〃艮

a//a,b//bfJ

跟踪训练,

如图所示,在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形.点M,N,Q分别在PA,BD,PD上,且

PM：MA=BN:ND=PQ：QD.求证:平面MNQ〃平面PBC.

R证明』因为PM：MA=BN:ND=PQ：QD,

所以MQ〃AD,NQ〃BP.

又因为BPu平面PBC,NQC平面PBC,所以NQ〃平面PBC.

因为四边形ABCD为平行四边形.所以BC〃AD,所以MQ〃BC.

又因为BCu平面PBC,MQ。平面PBC,

所以MQ〃平面PBC.又因为MQClNQ=Q,MQ,NQc平面MNO,

所以平面MNQ〃平面PBC.

类型二面面平行性质定理的应用（逻辑推理、直观想象）

角.度工…与性质有关的证明问题….

K典例》如图,在四面体ABCD中，点E,F分别为棱AB,AC上的点，点G为棱AD的中点,且平面

EFG〃平面BCD.

求证：BC=2EF.

K思路导引》由平面EFG〃平面BCD,可得出线线平行，再利用点G为棱AD的中点，即可得出结

论.

R证明U因为平面EFG〃平面BCD,

平面ABDPl平面EFG=EG,

平面ABDCl平面BCD=BD,所以EG〃BD,

又G为AD的中点，故E为AB的中点，

同理可得，F为AC的中点，

所以BC=2EF.

免度N…与性质有关的让票问题.…

K典例』如图，已知平面a〃平面B,P庄a,且P住B,过点P的直线m与a,8分别交于A,C,

过点P的直线n与a,8分别交于B,D,且PA=6,AC=9,PD=8,则BD=.

K思路导引》面面平行=线线平行=分线段比例相等.

R解析U因为ACC1BD=P,所以经过直线AC与BD可确定平面PCD,因为a〃B,

aPI平面PCD=AB,BC平面PCD=CD,所以AB〃CD.

PAPB68-BD

所以—=---,即-=------

ACBD9BD

24

所以BD=一.

5

”解题策略

应用平面与平面平行性质定理的基本步骤

提醒:面面平行性质定理的实质：面面平行=线线平行，体现了转化思想.与判定定理交替使用,

可实现线面、线线、面面平行间的相互转化.

K拓展延伸》

1.常用的面面平行的其他几个性质

(1)两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面.

(2)夹在两个平行平面之间的平行线段长度相等.

(3)经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行.

(4)两条直线被三个平行平面所截,截得的对应线段成比例.

(5)如果两个平面分别平行于第三个平面,那么这两个平面互相平行.

2.证明线与线、线与面的平行关系的一般规律是：“见了已知想性质，见了求证想判定”，也就

是说“发现已知，转化结论，沟通已知与未知的关系”.这是分析和解决问题的一般思维方法，

而作辅助线和辅助面往往是沟通已知和未知的有效手段.

R拓展训练》

已知平面a〃平面6,点A,CWa,点B,DGB,直线AB,CD交于点S,且SA=8,SB=9,CD=34.

⑴若点S在平面a,p之间，则SC=.

⑵若点S不在平面a,p之间，则SC=.

K解析』(1)如图①所示，因为ABCCD=S，所以AB,CD确定一个平面，设为丫，则aCY=AC,B

A丫=BD.

SASCSASC

因为a//B,所以AC〃BD.于是—=---,即---1=--------.

SBSDABCD

SA•CD8X34

所以SC=-------=------=16.

AB9+8

SASC

⑵如图②所示，同理知AC〃BD,则一=—,

SBSD

8SC

即-------,解得SC=272.

9SC+34

答案：⑴16(2)272

R变式训练』

将本题中的条件"SA=8,SB=9,CD=34.”改为“S将本,SB=9,条件4”，求SC.

R解析》如图(1),由a〃B可知BD〃AC,

SBSD9SC-34

所以—=,即—=------,所以SC=68.

SASC18SC

SASCSC

如图⑵，由a〃B知AC〃BD,所以一=-=------,

SBSDCD-SC

18SC68

即—=------.所以sc=—.

934-SC3

68

综上,SC的大小为68或——.

3

题组训练、

1.平面a与圆台的上、下底面分别相交于直线m,n,则m,n的位置关系是（）

A.平行B.相交

C.异面D.平行或异面

K解析》选A.因为圆台的上、下底面互相平行，所以由平面与平面平行的性质定理可知m〃n.

2.已知平面a〃平面B,直线aua,则直线a与平面B的位置关系为.

K解析》因为a，所以a与0元公共点，

因为aua,所以a与B无公共点，所以a〃B.

答案：a〃a

3.如图,在长方体ABCD-AiB.C.D,中,E是CC,的中点.

⑴求证:AC〃平面BDE.

⑵判断并证明，点F在棱DD上什么位置时,平面ACF〃平面BDE.

K解析U⑴设ACCBD=0,连接0E.

AB

因为0,E分别为AC,CC1的中点，所以0E〃AG,又AGC平面BDE,OEc平面BDE,所以A6〃平面

BDE.

（2）F为棱DD,的中点时，平面ACF〃平面BDE.

证明如下：因为点F为DDi的中点，E为CCi的中点，所以DFXCIE,四边形DFGE为平行四边形，

所以FCi〃DE,FGC平面BDE,DEc平面BDE,所以FG〃平面BDE.

又AG〃平面BDE,且FGDACFG.

所以平面AGF〃平面BDE.

类型三平行关系的综合应用（逻辑推理、直观想象）

K典例》已知底面是平行四边形的四棱锥P-ABCD,点E在PD上，且PE：ED=2：1,在棱PC上是

否存在一点F,使BF〃平面AEC?若存在，证明你的结论,并说出点F的位置.若不存在，请说明理

由.

K思路导引』

解答本题应抓住BF〃平面AEC.先找BF所在的平面平行于平面AEC,再确定F的位置.

K解析U存在点F,当F为PC中点时，BF〃平面AEC,

证明如下：

如图，连接BD交AC于0点，连接0E,过B点作0E的平行线交PD于点G,过点G作GF〃CE,交

PC于点F,连接BF.

因为BG〃OE,BGQ平面AEC,

OEc平面AEC,

所以BG〃平面AEC.

同理，GF〃平面AEC,又BGClGF=G.

所以平面BGF〃平面AEC.所以BF〃平面AEC.

因为BG〃0E,0是BD中点，所以E是GD中点.

又因为PE：ED=2:1,所以G是PE中点.

而GF〃CE,所以F为PC中点.

综上，当点F是PC中点时，BF〃平面AEC.

。解题策略

空间中线、面平行关系的转化

线线、线面、面面间的平行关系的判定和性质，常常是通过线线关系、线面关系、面面关系的

相互转化来表达.

平面与平面平行的判定

平面与平面平行的性质

“变式探究

本例若改为“已知底面是平行四边形的四棱锥P-ABCD,在棱PD上是否存在一点E,使PB〃平

面ACE?若存在,请找出E点位置;若不存在,请说明理由"，该如何解决？

R解析』如图，连接AC,BD交于点0,取PD中点为E,连接0E,AE,CE,则在4PBD中，0E〃PB,又

OEu平面ACE,PBQ平面ACE,所以PB〃平面ACE.此时E为PD中点，故当E为PD中点时，能使PB

〃平面ACE.

跟踪训练\

如图,三棱柱ABC-A.B,C,中,底面是边长为2的正三角形,点E,F分别是棱CC,.BBi上的点,点M

是线段AC上的动点，EC=2FB=2,当点M在何位置时,BM〃平面AEF.

K解析》如图，取EC的中点P,AC的中点Q,连接PQ,PB,BQ,则PQ/7AE.

因为EC=2FB=2,所以PE=BF.所以四边形BFEP为平行四边形，所以PB〃EF.又AE,EFu平面

AEF,PQ,PB。平面AEF,

所以PQ〃平面AEF,PB〃平面AEF.

又PQCPB=P,PQ,PBc平面PBQ,所以平面PBQ〃平面AEF,又BQc平面PBQ,所以BQ〃平面AEF.

故点Q即为所求的点M,即点M为AC的中点时,BM〃平面AEF.

K补偿训练』

如图,在三棱柱ABC-A3G中,E,F,G分别为BC,AiB,,AB的中点.

(1)求证:平面ACG〃平面BEF.

⑵若平面ACGnBC=H,求证:H为BC的中点.

R证明』(1)因为E,F分别为BC,AB的中点，

所以EF〃AC,因为ACu平面ACG,EFC平面ACG,所以EF〃平面A,C,G,又F,G分别为AB,AB

的中点，

所以AF=BG,又AF〃BG,所以四边形A.GBF为平行四边形,则BF〃A£,因为AiGc平面ACG,BFQ

平面AiGG,

所以BF〃平面A.CiG,又EFABF=F,

所以平面ACG〃平面BEF.

(2)因为平面ABC〃平面ABG,平面ACGH平面ABC产AC,平面ACG与平面ABC有公共点G,

则这两个平面的交线经过G,又因为平面ACGCIBC=H，所以设平面ACGC1平面ABC=GH,则A.C,

〃GH,得GH〃AC,因为G为AB的中点，所以H为BC的中点.

课堂检测•素养达标

1.平面a与平面B平行的条件可以是()

A.a内有无数多条直线与B平行

B.直线a//a,a//H

C.直线aua,直线bu8,且2〃。，13〃(1

D.a内的任何直线都与B平行

k解析』选D.由面面平行的定义知，选D.

2.在三棱台ABC-A,B,C,中，直线AB与平面ABG的位置关系是()

A.相交B.平行

C.在平面内D.不确定

R解析】选B.因为AB〃AB,ABQ平面ABG,ABu平面ABG,所以AB〃平面ABC,.

3.(教材二次开发:练习改编)已知点S是正三角形ABC所在平面外一点，点D,E.F分别是

SA,SB,SC的中点，则平面DEF与平面ABC的位置关系是.

K解析U由D,E,F分别是SA,SB,SC的中点，知EF是ASBC的中位线，所以EF〃BC.

又因为BCu平面ABC,EFQ平面ABC,所以EF〃平面ABC.

同理DE〃平面ABC,

又因为EFClDE=E,EF,DFu平面DEF,所以平面DEF〃平面ABC.

答案：平行

4.如图是长方体被一平面所截得的几何体，四边形EFGI1为截面，则四边形EFGH的形状为

R解析?因为平面ABFE〃平面CDHG,

又平面EFGHA平面ABFE=EF,

平面EFGHD平面CDHG=HG,

所以EF/7HG.同理EH〃FG,

所以四边形EFGH的形状是平行四边形.

答案：平行四边形

叫_____________________________二二

课时素养评价

十七平面与平面平行

基础通关—水平一»(20分钟35分)

1.a〃a,b〃B,a〃B，则a与b位置关系是()

A.平行B.异面

C.相交D.平行或异面或相交

R解析』选D.如图(1),(2),(3)所示,a与b的关系分别是平行、异面或相交.

%ZX7

---------a----------a-------a

——b/b4

X7

(1)(2)(3)

2.下列说法中，错误的是)

A.平面内一个三角形各边所在的直线都与另一个平面平行，则这两个平面平行

B.平行于同一个平面的两个平面平行

C.若两个平面平行，则位于这两个平面内的直线也互相平行

D.若两个平面平行,则其中一个平面内的直线与另一个平面平行

K解析》选C.分别在两个平行平面内的直线，可能平行，也可能异面.

3.a,B是两个不重合的平面,在下列条件中，可判定a〃B的是（）

A.a,p都平行于直线1,m

B.a内有三个不共线的点到P的距离相等

C.l,m是a内的两条直线，且1〃B,m〃B

D.1,m是两条异面直线且

K解析U选D.A,B,C中都有可能使两个平面相交;D中l〃a,m〃a,可在a内取一点，过该点

作l,m的平行线I',m',则I',m'在平面a内且相交，又易知

I'〃B,m'〃。，所以。〃（3.

4.若夹在两个平面间的三条平行线段相等,那么这两个平面的位置关系为

R解析』三条平行线段共面时，两平面可能平行也可能相交，当三条平行线段不共面时，两平

面一定平行.

答案：平行或相交

5.如图所示,平面四边形ABCD所在的平面与平面a平行,且四边形ABCD在平面a内的平行

投影A.B.C,D,是一个平行四边形,则四边形ABCD的形状一定是.

K解析U由平行投影的定义，AA"BB,,而ABCD所在平面与平面a平行，则AB〃A同，

则四边形ABBA为平行四边形，所以ABAB,

同理四边形CC,D,D为平行四边形，CDCD.

因为AiB,CiDi,

所以ABCD,从而四边形ABCD为平行四边形.

答案：平行四边形

6.如图，四棱锥P-ABCD中，己知四边形ABCD是平行四边形，点E,M,N分别为边BC,AD,AP的中

点.

Pl

求证：PE〃平面BNM.

K证明U

连接DE,因为M,N分别为边AD,AP的中点，所以MN〃PD,

因为MNQ平面PDE,PDU平面PDE,所以MN〃平面PDE,

因为E,M分别是BC,AD的中点，四边形ABCD是平行四边形，所以四边形BEDM是平行四边形，所

以MB〃DE,MBC平面PDE,DEU平面PDE,所以MB〃面PDE,

因为MNCIMB=M,所以平面MNB〃平面PDE,因为PEU平面PDE,所以PE〃平面BNM.

I能力进阶一水平二》（30分钟60分）

一、单选题（每小题5分，共20分）

1.设平面a〃平面6"《0,15《8,（：是A13的中点，当点八,13分别在平面a,B内运动时，动

点C)

A.不共面

B.当且仅当点A,B分别在两条直线上移动时才共面

C.当且仅当点A,B分别在两条给定的异面直线上移动时才共面

D.无论点A,B如何移动都共面

K解析》选D.无论点A,B如何移动，其中点C到a,B的距离始终相等，故点C在到a,B距

离相等且与两平面都平行的平面上.

2.已知m,n是两条直线，a,B是两个平面.有以下说法:

①m,n相交且都在平面a,0外,m〃a,m〃B,n〃a,n〃6,则a〃B;②若m//a,m//P,则

a〃B；③若m〃a,n〃B,m//n,则a//[i.

其中正确的个数是)

A.0B.1C.2D.3

K解析1选B.把符号语言转换为文字语言或图形语言.可知①是面面平行的判定定理;②③中

平面a,B还有可能相交.

R补偿训练』

设a,b表示直线，a,6,丫表示平面,则下列命题中不正确的是（）

A.a/70,any=a,0Py=b=^a//b

B.a〃b,b〃a,aQa=>a//a

C.a〃B,B〃Y今a〃丫

D.a〃B,a〃a>a〃B

R解析U选D.当a〃B且a〃a时，可能有aC0,也可能有a//B,因此选项D中的命题不

正确.

3.在正方体EFGH-ERG同中，下列四对截面彼此平行的一对是（）

A,平面EiFGi与平面EGHi

B.平面FHG与平面FUG

C.平面BHiH与平面FHE,

D.平面LH平与平面EHiG

K解析》选A.如图，因为EG〃EG,

EGQ平面E.FG,,

E1G1U平面E1FG1,

所以EG〃平面EiFGb

又GF〃4E,

同理可证H,E〃平面EiFGi,

又HiEDEG=E,HiEU平面EGH.EGU平面EGH,,

所以平面EFGi〃平面EGH,.

4.在棱长为2的正方体ABCD-AiB.CiD,中,M是AB的中点，点P是侧面CDDC上的动点,且MP〃

平面ABC则线段MP长度的取值范围是（）

A.[V2,V6]B.[V6,2V2]

c.[V6,2V3]D.[x^3,V6]

R解析』选B.取CD的中点N,CC,的中点R,B,C,的中点H,则MN〃BQ〃HR,MH〃AC,所以平面MNRH

〃平面ABC,所以MPU平面MNRH,线段MP扫过的图形是△MNR,因为AB=2,所以

MN=2V2,NR=V2,MR=V6,所以MNJNK+MR?,所以NMRN是直角,

所以线段MP长度的取值范围是［四,2V2］

R补偿训练】

如图,在正方体ABCD-A.B.C.D,中，E是AB的中点,F在CC,±,且CF=2FG,点P是侧面AADD（包括

边界）上一动点,且PB/平面DEF,则tan/ABP的取值范围是.

工解析］作出平面MNQB,〃平面DEF,则A,Q=2AQ,DN=2D,N,因为PB,〃平面DEF,所以点P的轨迹

AQ1

是线段QN,因此，当点P运动到点Q处时,tanNABP取得最小值，此时tanZABP=-=一；当点P

AB3

运动到点N处时,tanZABP取得最大值，此时

tan/ABP二丝上型尤因;所以tanNABP的取值范围是卜旭］

ABAB31_33」

1-7131

答案:,353J

二、多选题（每小题5分，共10分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分）

5.用一个平面去截三棱柱ABC-AiBiCu交A.C,,BC,BC,AC分别于点E,F,G,H,若AiA>AC,则截面

的形状可以为（）

A.矩形B.菱形

C.正方形D.梯形

K解析》选AD.因为四边形EFGH的相邻两边不可能相等，所以不能选B,C;当FG〃BB时，四边

形EFGH为矩形；当FG不与BB平行时，四边形EFGH为梯形.

6.已知a,b表示两条不重合的直线，a,B,丫表示三个不重合的平面,给出下列命题，其中正确

的是（）

A.若aC丫=a,BC丫=b,且a〃b,则a〃B

B.若a,b相交且都在a,8外,a〃a,b〃a,

a〃B,b〃B,则a〃B

C.若2〃<1,2〃6,则a〃B

D.若aUa,a〃B,anB=b,则a〃b

K解析U选BD.对于A,若a（1丫=a,）3fl丫=b，且a〃b,则a〃B或者a与B相交，故A错误；

对于B,若a,b相交且都在a,B外，

根据线面关系的基本事实可得a,b可以确定一个平面记为Y,a〃a,b〃a,a〃B,b〃B,可得

丫〃a,丫〃B,由面面平行的传递性可知a〃B,故B正确；对于C,a〃a,a〃B,则a〃。也

可能a与B相交，故C错误；对于D,由aUa,a〃B,aClB=b,结合线面平行的性质定理:如果

一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行，

则a〃b,故D正确.

K补偿训练》

a,B,丫为三个不重合的平面,a.b,c为三条不重合的直线,则下列命题中正确的是（）

a||c）a||y'

A.,，=a〃bB.>..，=a〃b

bM||c）b||y）

aIIc\

ca//eD

p||cP-SIIY)

K解析》选AD.对于A,两条直线平行于第三条直线，这两条直线平行，故A正确.对于B,两条

直线都与同一个平面平行，则这两条直线可能相交，也可能是异面直线，不一定平行，故B不正

确.对于C,两个平面都与同一条直线平行，则这两个平面可能平行，也可能相交，故C不正确.

对于D,由面面平行的传递性可知平行于同一平面的两个平面平行，故D正确.

三、填空题（每小题5分，共10分）

7.如图,在长方体ABCD-AiB.C.Di中,过BB,的中点E作一个与平面ACBi平行的平面交AB于M,交

BC于N,则MN=AC,MN平面AB,C.

R解析』因为平面MNE〃平面ACBi,平面ABCDPI平面MNE=MN,平面ABCDC1平面ACB产AC,

所以MN〃AC.同理可证EM〃ABi,EN〃B,C.

1

因为E是&B的中点，所以M,N分别是AB,BC的中点，所以MN=-AC.

2

又因为MN〃AC,MN。平面AB,C,ACU平面ABC,所以MN〃平面AB,C.

1

答案:一//

2

8.在长方体ABCD-AiB^.D,中，E为棱DDi上的点.当平面ABC〃平面A.EC.时，点E的位置

是.

K解析』如图，连接BD,BD,

3殳B.DiDA£FM,BDnAC=O,连接ME,B,0.

因为平面ABC〃平面A,ECI,平面ABCfl平面BDDB=BQ,

平面AIECIA平面BDDB=ME,所以B,0/7ME.

又四边形BiMDO为平行四边形，则BQ〃MD.所以得到点E与点D重合.

答案：点D处

四、解答题（每小题10分，共20分）

9.如图所示，在直角梯形ABCP中，BC:〃AP,AB_LBC,CD_LAP,AD=DC=PD.E,F,G分别为线段

PC,PD,BC的中点，现将4PDC折起，使点P在平面ABCD.求证:平面PAB〃平面EFG.

R证明H因为PE=EC,PF=FD,所以EF/7CD,

又因为CD〃AB,

所以EF〃AB,又EFQ平面PAB,ABU平面PAB,

所以EF〃平面PAB,同理可证EG〃平面PAB.

又因为EFDEG=E,所以平面PAB〃平面EFG.

10.如图所示,斜三棱柱ABC-A.B.C,中，点D,工分别为AC,A£上的点.

2AM】

⑴,等于何值时,BG〃平面ABD.

AD

⑵若平面BGD〃平面AB,D„求一的值.

DC

K解析》连接A,B交AB,于点0,连接0D,.

Ai。1

（1）如图所示，取D,为线段AC的中点，此时-----=1.

由棱柱的性质知，四边形AiABBi为平行四边形,

所以点0为AB的中点.在△ABC,中，点0,D,分别为A£,AC的中点，所以0D/BG.

又因为0DC平面ABD,BC血平面AB.Di,

所以BG〃平面ABiD,.

A1D1

所以当-----=1时，B6〃平面ABD.

⑵由平面BCD〃平面AB,Db

且平面ABGD平面B0iD=BCi,平面A,B平D平面AB,D尸DQ得BC,〃DQ,

AiAiO

所以上，

D1C1OB

DCA1。

又由题（1）可知-----=,-----=1,

DiADOB

DCAD

所以---=1,即---=1.

ADDC

创新迁移》

1.如图，在长方体ABCD-ABCD中,AAF6,AB=3,AD=8,点M是棱AD的中点，点N在棱AA1上,且满

足AN=2NA1,P是侧面四边形ADD周内一动点（含边界），若GP〃平面CMN,则线段CP长度的取值

范围是（）

A.[3,V17]