样本相关系数

8.1.2样本相关系数

课标要求素养要求

1.结合实例，会通过相关系数比较多组

成对数据的相关性.通过学习样本相关系数，提升数学抽象

2.了解样本相关系数与标准化数据向量及数据分析素养.

夹角的关系.

课前预习知识探究

新知探究

A情境引入

散点图可以说明变量间有无线性相关关系，但无法量化两个变量之间的相关程

度的大小，更不能精确地说明成对样本数据之间关系的密切程度，那么我们如何

才能寻找到这样一个合适的量来对样本数据的相关程度进行定量分析呢？

问题若样本系数/•=0.97,则成对样本数据的相关程度如何?

提示r=0.97,表明成对样本数据正线性相关程度很强.

►•知识梳理

1.相关系数尸的计算

注意：相关系数是研究变量之间线性相关程度的量

假设两个随机变量的数据分别为（尤1，）1）,（如”），…，（羽，泗），对数据作进一

步的“标准化处理”处理，用5-32,Sy=4E（»—1）2分别

除为一光和y—V（i=l，2,…，n,光和y分另U为x”及，…，x”和yi,丁2，…，yn

/

的均值），得&二二X。X2一犬)；2—y包二二,为简单起见,

<SxSy）<SiSy)

把上述“标准化”处理后的成对数据分别记为（X/,>/）,（X2',R），…，（%',yJ），

则变量x和变量y的样本相关系数r的计算公式如下：

=：(为'+尤2'>2'H--------FX„>,/)

E(xf—x)Cyi~y)

z=i

£Cyi-y)

2.相关系数/•的性质

（1）当r>0时，称成对样本数据正相关；当r<0时，成对样本数据负相关；当r

=0时，成对样本数据间没有线性相关关系.

（2）样本相关系数r的取值范围为「一1,1］.

当团越接近1时，成对样本数据的线性相关程度越强；

当|厂|越接近0时，成对样本数据的线性相关程度越弱.

3.样本相关系数与标准化数据向量夹角的关系

r=%'j'=5x'||y'|cos0=cos。（其中x'=（xi',及'，…，xj）,y'=bi'，>2'，…，yJ），

=尸血，。为向量x'和向量V的夹角）.

拓展深化

［微判断］

1.回归分析中，若「=±1说明x,y之间具有完全的线性关系.（J）

2.若;■=（）,则说明成对样本数据间是函数关系.（X）

提示若r=0,则说明成对样本数据间没有线性相关关系.

3.样本相关系数r的范围是re（—8,4-oo）.（X）

提示样本相关系数的范围是［-1,1］.

［微训练］

1.下面对相关系数/•描述正确的是（）

A.「>0表明两个变量负相关

B.r>1表明两个变量正相关

C.r只能大于零

D.|r|越接近于0,两个变量相关关系越弱

解析因r>0表明两个变量正相关，故A错误；又因re[-l,1],故B,C错

误；两个变量之间的相关系数「的绝对值越接近于1,表明两个变量的线性相关

性越强，「的绝对值越接近于0,表示两个变量之间几乎不存在线性相关，故D

正确.

答案D

2.（多选题）下面的各图中，散点图与相关系数「符合的是（）

解析因为相关系数「的绝对值越接近1,线性相关程度越高，且r>0时正相关,

rVO时负相关，故观察各选项，易知B不符合，A,C,D均符合.故选ACD.

答案ACD

[微思考]

当r=l或一1时，两个变量的相关性如何？

提示当r=l时，两个变量完全正相关；当r=—1时，两个变量完全负相关.

■■■课堂互动:题型剖析删

题型一线性相关性的检验

【例1】现随机抽取了某中学高一10名在校学生，他们入学时的数学成绩共分）

与入学后第一次考试的数学成绩y（分）如下：

学生号12345678910

X12010811710410311010410599108

y84648468696869465771

请问：这10名学生的两次数学成绩是否具有线性相关关系？

解^=7O(12O+1O8H---F99+108)=107.8,

一1

y=/84+64H---F57+71)=68,

岁?=12()2+1082H---F992+1082=116584,

10

gy?=842+642H——F572+712=47384,

10

120X84+108X64+-+99X57+108X71

=73796.

所以相关系数为r=

__________73796—10X107.8X68__________

yj（116584-10X107.82）（47384-10X682）

-0.7506.

由此可看出这10名学生的两次数学成绩具有线性相关关系.

规律方法利用相关系数r判断线性相关关系，需要应用公式计算出r的值，由

于数据较大，需要借助计算器.

【训练1】假设关于某种设备的使用年限x（年）与所支出的维修费用y（万元）有如

下统计资料：

X23456

y2.23.85.56.57.0

555

已知却”90,140.78,旦孙=112.3.

(1)求x,y；

⑵对x,y进行线性相关性检验.

„-2+3+4+5+6

解(l)x=-------------=4.

2.2+3.8+5.5+6.5+7.0

尸5=5.

(2)*"—5x(=112.3-5X4X5=12.3,

5一

玄/一5/=90—5X42=10,

5一

,5)^-5/=140.78-125=15.78,

所以r=123^0.979.

41r0X15.78

所以无与y之间具有很强的线性相关关系.

题型二判断线性相关的强弱

［例2］维尼纶纤维的耐热水性能的好坏可以用指标“缩醛化度”y来衡量，这

个指标越高，耐水性能也越好，而甲醛浓度是影响缩醛化度的重要因素，在生产

中常用甲醛浓度M克/升）去控制这一指标，为此必须找出它们之间的关系，现安

排一批实验，获得如下数据.

甲醛浓

18202224262830

度X

缩醛化

26.8628.3528.7528.8729.7530.0030.36

度任）

求样本相关系数/•并判断它们的相关程度.

解列表如下

iXiVXT1孙

11826.86324721.4596483.48

22028.35400803.7225567

32228.75484826.5625632.5

42428.87576833.4769692.88

52629.75676885.0625773.5

62830.00784900840

73030.36900921.7296910.80

£168202.9441445892.01364900.16

168…-202.94

元=7=24,y~,

7--

.孙一7xy

1=1

士"记，产-7V

20294

4900.16-7X24X—y-

(202.94)2

小144—7X242、5892.0136-7XI

-0.96.

由此可知，甲醛浓度与缩醛化度之间有很强的正线性相关关系.

规律方法当相关系数m越接近1时，两个变量的相关关系越强，当相关系数M

越接近o时，两个变量的相关关系越弱.

【训练2】以下是收集到的新房屋的销售价格M万元)和房屋的大小Mm2)的数

据.

房屋大小Jc/m211511080135105

销售价格W万元24.821.618.429.222

⑴画出数据的散点图；

(2)求相关系数r,并作出评价.

解(1)图略.

(2)列表如下:

iXiVxi货孙

111524.813225615.042852

211021.612100466.562376

38018.46400338.561472

413529.218225852.643942

510522110254842310

£545116609752756.812952

545

元=^——109)

5

£孙一5Xy

z=1

X第一£yj—5y2

_________12952—5X109X23.2_______

-^60975-5X109^2756.8-5X23.22

=^1570X^65.6%0-96,

由此可知，新房屋的销售价格和房屋的大小之间有很强的正线性相关关系.

素养达成逐步落实

一'素养落地

1.通过本节课的学习，进一步提升数学抽象及数据分析素养.

2.判断变量之间的线性相关关系，一般用散点图，但在作图中，由于存在误差,

有时很难判断这些点是否分布在一条直线的附近，从而就很难判断两个变量之间

是否具有线性相关关系，此时就可利用线性相关系数来判断.

3.|“越接近1,它们的散点图越接近一条直线，两个变量之间的相关关系越强.

二、素养训练

1.两个变量之间的相关程度越低，则其线性相关系数的数值（）

A.越小B.越接近1

C.越接近0D.越接近一1

解析由相关系数的性质知选C.

答案c

2.给定〉与x的一组样本数据，求得相关系数厂=-0.690,则（）

A.y与x线性不相关B.y与x正线性相关

C.y与无负线性相关D.以上都不对

解析因为r=-0.690<0,所以y与x负线性相关.

答案C

3.（多选题）下列说法正确的是（）

A.变量间的关系是非确定性关系，因此因变量不能由自变量唯一确定

B.线性相关系数可以是正的或负的

C.如果厂=±1,说明x与y之间完全线性相关

D.线性相关系数re（—1,1）

解析•••相关系数mwi,

.••D错误.

答案ABC

4.某研究机构对高三学生的记忆力x和判断力y进行统计分析，得下表数据：

X681012

y2356

已知记忆力x和判断力y是线性相关的，求相关系数r.

解列表如下

iXiyi孙

16236412

28364924

31051002550

41261443672

£361634474158

尸彳=9,y-=4,

4--

昌“"4a-V158-4X9X4

，r=—/“―/“=/—/=七0.99.

课后作业巩固提高

基础达标

一'选择题

1.已知某产品产量与产品单位成本之间的线性相关系数为-0.97,这说明二者之

间存在着（）

A.高度相关B.中度相关

C.弱度相关D.极弱相关

解析由1-0.97|比较接近1知选A.

答案A

2.关于两个变量x,y与其线性相关系数r,有下列说法：

①若r>0,则x增大时，y也相应增大；

②若团越趋近于1，则尤与y的线性相关程度越强；

③若r=l或/■=-1,则x与y的关系完全对应（有函数关系），在散点图上各个散

点均在一条直线上.

其中正确的有（）

A.①②B.②③

C.①③D.①②③

解析根据相关系数的定义，变量之间的相关关系可利用相关系数「进行判断：

当r为正数时，表示变量x,y正相关；

当r为负数时，表示两个变量x,y负相关；

|r|越接近于1,相关程度越强；

|r|越接近于0,相关程度越弱.故可知①②③正确.

答案D

3.甲、乙、丙、丁四位同学各自对A,B两变量进行线性相关试验，并分别求得

相关系数r如表：

甲乙丙T

r0.820.780.690.85

则这四位同学的试验结果能体现出A,B两变量有更强的线性相关性的是（）

A.甲B.乙

C.丙D.T

解析由相关系数的意义可知，相关系数的绝对值越接近于1,相关性越强，结

合题意可知，丁的线性相关性最强，故选D.

答案D

4.对于相关系数r,下列结论正确的个数为（）

①1,—0.75］时，两变量负相关很强

②rC［0.75,1］时，两变量正相关很强

③—.75,-0.3］或［0.3,0.75）时，两变量相关性一般

@r=0.1时，两变量相关性很弱

A.1B.2

C.3D.4

解析由相关系数的性质可知4个结论都正确.

答案D

5.对四对变量y和x进行线性相关检验，已知〃是观测值组数，，是相关系数，

且已知：

①”=7,r=0.9533；②〃=15,r=0.3012；

③”=17,r=0.4991；@n=13,r=0.9950.

则变量y和尤线性相关程度最高的两组是（）

A.①②B.①④

C.②④D.③④

解析相关系数r的绝对值越接近于1,变量x,y的线性相关程度越高.

答案B

二'填空题

6.已知某个样本点中的变量x,y线性相关，相关系数r〉0,平移坐标系，则在

以(x,y)为坐标原点的坐标系下的散点图中，大多数的点都落在第象

限.

解析因为r>0,

所以大多数的点都落在第一、三象限.

答案一、三

7.若已知石(y—是g(XL%)2的4倍,石⑶一x)(y—y)是篙(屈一彳尸的1.5

倍,则相关系数r的值为.

n-

Z(X/—x)(y—y)

解析由「=一I”一，得「=*

\£Cxi-x)2x\/E(y—y)2

答案i3

8.部门所属的10个工业企业生产性固定资产价值%与工业增加值y资料如下表(单

位:百万元)：

固定资

33566789910

产价值

工业增

15172528303637424045

加值

根据上表资料计算的相关系数为

-3+3+5+6+6+7+8+9+9+10

解析尸----------------------------=6.6.

15+17+25+28+30+36+37+42+40+45

y=----------------------------1--0---------------------------=31.5.

10--

£(xi-x)(y/~y)

=七0.9918.

_10

(x—x)2£(y-y)2

tz=l

答案0.9918

三'解答题

9.5个学生的数学和物理成绩如表:

^学生

ABCDE

学科

数学8075706560

物理7066686462

试用散点图和相关系数一判断它们是否有线性相关关系，若有，是正相关还是负

相关?

解散点图法：涉及两个变量：数学成绩与物理成绩，可以以数学成绩为自变量,

考察因变量物理成绩的变化趋势.以x轴表示数学成绩，y轴表示物理成绩，可

得相应的散点图.

＞物理成绩

•♦

60-,

50-

。50607（）8。。（）x数学成绩

由散点图可见，两者之间具有线性相关关系且是正相关.

（相关系数r法）列表：

iXiX?y?xiyi

18070640049005600

27566562543564950

37068490046244760

46564422540964160

56062360038443720

£350330247502182023190

5

之孙-5x

23190-23100

=0.9>0.

^250X40

，两变量具有相关关系且正相关.

10.某火锅店为了了解营业额M百元）与气温M°C）之间的关系，随机统计并制作

了某6天当天营业额与当天气温的对比表.

气温/℃261813104-1

营业额/百元202434385064

画出散点图并判断营业额与气温之间是否具有线性相关关系.

解画出散点图如图所示.

营业额/百元

60

5()•

40­,

30

2(),

10,气温/七

-51015202530x

一1

x=^(26+18+13+10+4-l)^11.7,

一1

尸制20+24+34+38+50+64户38.3,

6

£xy/=26X20+18X24+13X34+10X38+4X50-1X64-1910,

i=1z

£6=262+182+132+102+42+(—1)2=1286,

i=l

Sy?=202+242+342+382+502+642=10172,

i=1

6

£孙一6%y

z=l

由可得个一0.98.

由于|r|的值较接近1,所以光与y具有很强的线性相关关系.

能力提升

11.为考察两个变量x,y的相关性，搜集数据如下表，则两个变量的线性相关程

度（）

X510152025

y103105110111114

A.很强B.很弱

C.无相关D.不确定

55555,

解析£厮=75,Ey=543,£x}=1375,£为y=8285,£»=59051,

i=li=ri=li=l"i=l

x=15,y=108.6,

5--

,£Xiyi-5

i=lxy

{Jy—5)2

_________8285—5X1