刚体绕定轴转动的微分方程讲解_第1页
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主动力:约束力:定轴转动刚体对转轴的动量矩刚体绕定轴的转动微分方程由质点系的动量矩定理，有刚体对于z轴的转动惯量为Jz,角速度为z（2）转动惯量

1.刚体绕定轴的转动微分方程的形式

刚体转动惯性的度量，其大小表现了刚体转动状态改变的难易程度。2.刚体绕定轴的转动微分方程的物理意义刚体对定轴的转动惯量与角加速度的乘积，等于作用于刚体的主动力对该轴之矩的代数和。（1）刚体绕定轴转动时，其主动力对转轴的矩使刚体转动状态发生变化。（3）与质点的运动微分方程有相似的形式

z3.刚体绕定轴的转动微分方程的应用（1）已知刚体的转动规律，求作用在刚体上的主动力矩；（2）已知作用在刚体上的主动力矩，求刚体的转动规律。两类问题：

例1如图所示，已知滑轮半径为R，转动惯量为J，带动滑轮的皮带拉力为F1和F2

。求滑轮的角加速度a。F1F2ORa解：由刚体定轴转动的微分方程得由上式可见，只有当定滑轮匀速转动（包括静止）或虽非匀速转动，但可忽略滑轮的转动惯量时，跨过定滑轮的皮带拉力才是相等的。

例2图示物理摆的质量为m，C为其质心，摆对转轴的转动惯量为JO。求微小摆动的周期。此方程通解为mg这表明，如已知某物体的质量和质心位置，并将物体悬挂于O点作微幅摆动，测出摆动周期后即可计算出此物体对于O轴的转动惯量。

解：设

角以逆时针方向为正。当角为正时，重力对O点之矩为负。由刚体定轴转动的微分方程，有当微摆动时，有

，故方程写为为角振幅，θ为初相位,它们均由初始条件确定。摆动周期为

例3如图所示，啮合齿轮各绕定轴O1、O2转动，其半径分别为r1、r2，质量分别为m1、m2，转动惯量分别为J1、J2，若在轮O1上作用一力矩M，求其角加速度。解：分别以两轮为研究对象，画受力图。注意到 ，联立求解以上三式得O1r1r2O2MFO1yFO1xFtFnm1gFO2yFO2xm2gO1O2F′t

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