2024新高考数学基础知识梳理与课本优巩固-模块09-解三角形

2024新高考数学基础知识梳理与课本优秀题目巩固-模块09-解三角形模块九：解三角形1、余弦定理(1)余弦定理:三角形中任意一边的平方,等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍.即在△ABC中,角A,B提示:在△ABC中,若∠C=(2)余弦定理的推论及其变形推论:cosA=由余弦定理知在△ABC中,若∠A为锐角,则cosA>0,从而b2+c2−a2>0,即b2+c2>a(3)余弦定理的证明(阅读课本人教A版必修二P42)2、正弦定理(用不同方法给出证明)(1)正弦定理:在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等.在△ABC中,角A,B,C在正弦定理中,设asinA=bsin(2)正弦定理的变形与推广边化角。1)a:2)a=2Rsin径);.角化边.3)sinA=a2R,sin4)asin5)a=(3)正弦定理的证明(阅读课本人教A版必修二P46)3、三角形中三个内角之间的关系利用正弦定理、余弦定理解决三角形的综合问题时,要注意三角形三个内角的一些三角函数关系:在△ABC中,∠(1)sinAtanA=−tanB+tan(2)sinA∴tanA1−tan-(tanB+tanC),∴tanA−tanAtanB∴tanA+tantanAtanBcos2A4、三角形的面积公式在△ABC中,角A,B(1)S△(2)S△(3)S△ABC=12(4)数量积形式的三角形面积公式:在△ABC中,设AB=mS(5)坐标形式的三角形面积公式:在△ABC中,设ABS注:其他表示三角形面积公式形式,请阅读课本人教A版必修二P54)5、三角形中的两个重要模型(1)三角形周长的求解:三角形周长等于三边和,但是有的时候需要转化。周长=模型:a(2)三角形面积最值:均值不等式求面积:均值不等式结合完全平方公式运算模型:a等量代换:aS6、测量中角的有关术语及计算1.方位角○名师点睛正南方向:指从原点O出发经过目标的射线与正南的方向线重合,即目标在正南方向线上,可类推正北方向、正东方向和正西方向.从指北方向顺时针转到目标方向的水平角,如图(1).图(1)图(2):北偏东m∘图(3):南偏西2.方向角正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角,通常表达为北偏东(西)、南偏东(西)xx度,如图(2),(3).3.仰角与俯角在同一铅直平面内,目标视线与水平视线所成的角中,目标视线在水平视线上方的叫做仰角,目标视线在水平视线下方的叫做俯角.如图.4.坡角坡角:坡面与水平面的夹角.坡度:坡面的垂直高度h和水平长度l的比.设坡角为α,坡度为i,则i=【课本优质习题汇总】人教A版必修二P512.如下页图,在山脚A测得山顶P的仰角为α,沿倾斜角为β的斜坡向上走a m到达B处,在B处测得山顶P的仰角为γ.求证:山高h(第2题)人教A版必修二P53(第8题)8.如图,测量河对岸的塔高AB时,可以选取与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C与D.现测得∠BCD=α,∠BDC=β,CD=s12.如图,在△ABC中,已知AB(第12题)AC边上的两条中线AM,BN相交于点P,求13.一条河的两岸平行,河的宽度d=500 m,一艘船从河岸边的A处出发到河对岸.已知船在静水中的速度v1的大小为v1=(1)当船逆流行驶,与水流成钝角时;(2)当船顺流行驶,与水流成锐角时;(3)当船垂直于对岸行驶,与水流成直角时.请同学们计算上面三种情况下船行驶的时间,判断是否当船垂直于对岸行驶,与水流成直角时所用时间最短.人教A版必修二P5315.△ABC的三边分别为a,b,cmmm16.在△ABC中,求证:c20.已知△ABC的三个角A,B,C(1)三角形的面积S=(2)若r为三角形的内切圆半径,则r(3)把边BC,AC,hhh人教A版必修二P5421.如图,为了测量两山顶M,(第21题)沿水平方向在A,B两点进行测量,A,(1)指出要测量的数据(用字母表示,并标示在图中);(2)用文字和公式写出计算M,22.已知a,b,c分别为△ABC(1)求A;(2)若a=2,则△ABC的面积为312.海中有一座小岛,周围3nmile内有暗礁.一艘海轮由西向东航行,望见该岛在北偏东75∘;海轮航行8n人教B版必修三P(4)如果在△ABC中,角A的外角平分线AD与BC的延长线相交于点DBD人教B版必修三P一例4如图9-1-8所示平面四边形ABCD中,已知B+AD=25人教B版必修三P例5在△ABC中,求证:abc【上述公式成为射影定理,熟记熟练应用】人教B版必修三P11求证:在ABC中,有a人教B版必修三P12(3)已知sinA+sinB:sinA(5)已知△ABC的顶点为A1,1,分别根据下列条件，判断△ABC(1)a2tanB人教B版必修三P12(1)已知圆内接四边形ABCD的边长分别为AB=2,(2)已知△ABC中,AB=43,AC=23(3)已知三角形的两边和为4,其夹角为60∘(4)在△ABC中,已知a(5)在△ABC中,已知A=2B(1)已知△ABC中,a(1)求角B;(2)若b=2,求人教B版必修三P14例2如图9-2-5所示,在某海滨城市A附近的海图9-2-5面出现台风活动.据监测,目前台风中心位于城市A的东偏南60∘方向、距城市A300 km的海面点P处,并以20 km/h的速度向西偏北30∘方向移动.如果台风影响的范围是以台风中心为圆心的圆形区域,半径为(3)如图所示,在倾斜角等于15∘的山坡上有一根旗杆,当太阳的仰角是α=45(第3题)(第4题)(1)如图所示,在曲柄CB绕C点旋转时,活塞A作直线往复运动,设连杆AB长为340 mm,曲柄CB长85 mm,求曲柄CB从初始位置CB0按顺时针方向旋转60∘人教B版必修三P16(5)如图所示,A,(第5题)顶P处测得3点的俯角分别为α,β,γ.计划沿直线AC开通穿山隧道.为求出隧道DE的长度,你认为还需要直接测量出AD,EB5.已知△ABC的周长为2+1(1)求AB的长;(2)若△ABC的面积为16sin6.在△ABC中,已知tan(1)求cosC(2)若CB⋅CA=7.已知AD是△ABC的角平分线,且AC(第8题)A=60∘8.如图所示,为测量山高MN,选择水平地面上一点A和另一座山的山顶C为测量观测点.从A点测得M点的仰角∠MAN=60∘,C点的仰角∠CAB=45∘以及1.已知△ABC(1)若sin2A=sin2B(2)若sinA=cosB(3)若cosAcosB(4)若cosA−B2.已知向量a与a+b的夹角为60∘,且a=83.已知▫ABCD中,对角线AC=57,它与两条邻边AB和AD的夹角分别是30∘和45∘4.在△ABC中,已知c=b1+25.在△ABC中,cos(1)求sin2(2)若a=3,求6.在△ABC中,D是BC的中点,已知∠BAD+∠7.在四边形ABCD中,B=D=90∘8.在△ABC中,已知a(1)若sinC:sinA(2)求△ABC9.已知D是Rt△ABC斜边BC上一点,AB=AD(1)求证:sinα(2)若AC=3DC10.已知锐角△ABC中,sin(1)求证:tanA(2)若AB=3,求11.根据三角形的3边长a,b,S也可以用海伦公式S其中p=人教B版必修三P211.在△ABC中,∠ABC=90(1)若PB=12(2)若∠APB=150人教B版必修三P222.已知△ABC中,D是BC上的点,AD平分∠BAC,且△ABD(1)求sinB(2)若AD=1,DC=3.如图所示,公园里有一块边长为2的等边三角形草坪(记为(第3题)△ABC),图中DE把草坪分成面积相等的两部分,D在AB上,E在AC(1)设AD=x,DE=(2)如果要沿DE铺设灌溉水管,则水管最短时DE的位置应在哪里?说明理由.模块十:平面向量及其应用、复数1、平面向量的概念(1)基本概念向量的定义向量的模零向量单位向量向量的表示几何表示字母表示注:在平面内,若将所有单位向量的起点平移到同一点,则它们的终点可以构成一个半径为1的圆.(2)有向线段与向量的区别与联系区别联系有向线段具有方向的线段，包含三个要素:起点、方向量用有向线段表示，并不是说向量向、长度.在空间中是固定的线段.就是有向线段,每条有向线段对应着向量有大小、方向两个要素，在空间中可以自由平移.一个向量，但每一个向量对应着无数条有向线段.(3)平面向量的相关概念定义符号表示图形表示相等向量a平行向量(共线向量)a相反向量a与b互为相反向量⇔b=−注:(1)规定:零向量与任意向量平行,即对任意向量a,都有0//(2)已知四边形ABCD,则“AB=DC”是“四边形(3)零向量的相反向量仍然是零向量.2、平面向量的基本运算(1)平面向量的加法运算a(1)向量加法的三角形法则(顺次连接,指向终点)如图,已知非零向量a,b,在平面内任取一点A,作AB=a,BC=b,则向量AC叫做a次连接、指向终点”.(2)向量加法的平行四边形法则如图,以同一点O为起点的两个已知向量a,b,以OA,OB为邻边作▫OACB,则以O为起点的向量OC(OC是▫(3)多个向量的和运算为了得到有限个向量的和,只需将这些向量依次首尾相接,那么以第一个向量的始点为始点,最后一个向量的终点为终点的向量,就是这些向量的和.(4)向量加法的运算律（阅读课本,自证)1)交换律:a+b=b(1)向量减法的三角形法则(共起点,指向被减向量终点)“终减超”.如图,已知非零向量a,b,在平面内任取一点O,作OA=a,OB=b,连接BA,则BA=OA−(3)∥a(4)平面向量的数乘运算(λa)(1)实数λ与向量a相乘的运算简称为数乘向量.一般地,给定一个实数λ与任意一个向量a,规定它们的乘积是一个向量,记作λa,其中:(1)当λ≠0且a≠0时,λa的模为λ(1)当λ>0时,与(2)当λ<0时,与(2)当λ=0或a=(2)运算律:设λ,1)λμa=λμa(1)向量aa≠0与b共线a//b(2)A,B,C三点共线的充要条件是:存在实数(3)若点O异于A,A,B,C三点共线的充要条件是存在实数对λ,(4)若两个非零向量a与b共线且λa+μ3、向量的数量积(1)向量的夹角0给定两个非零向量a,b,在平面内任选一点O,作OA=a,OB=b,则称[0注:⟨a,b⟩=0⇔a与b(2)向量的数量积(内积)(注意:数量积是一个实数)一般地,当a与b都是非零向量时,称abcos⟨a,b⟩为向量a规定:0与任意向量的数量积为0.(3)投影向量设非零向量AB=a,CD=垂足分别为A1,B1,则A1注:(1)向量a在向量b方向上的投影向量acosθ⋅e(其中⟨a,b⟩=θ,e是与b(4)数量积的性质(熟记,给出证明)设a,b是非零向量,它们的夹角是θ,如果a⋅b=0,是否有(1)a⋅(2)a⊥(3)当a与b同向时,a⋅b=ab;当a与b反向时,aa⋅a常常记作此外,由cosθ(4)a⋅(5)向量夹角公式:cosθ=a⋅bab (其中⟨a,b(6)aa4、平面向量基本定理(阅读课本,并给出证明)平面向量基本定理如果e1,e2是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量a若e1,e说明:(1)平面向量基本定理表明,在给定的平面内,当向量e1与e2与e2不共线时,任意一个向量a,都可以写成e(2)平面内任意不共线的两个向量e1与e2与e2都可以组成该平面上向量的一组基底e1,e2,此时若a5、平面向量的正交分解与坐标表示(1)平面向量的正交分解如果平面向量的基底e1,e在正交基底下向量的分解称为向量的正交分解.(2)平面向量的坐标表示如图6.3-8,在平面直角坐标系中,设与x轴、y轴方图6.3-8向相同的两个单位向量分别为i,j,取{i,ja这样,平面内的任一向量a都可由x,y唯一确定,我们把有序数对x,a(1)其中,x叫做a在x轴上的坐标,y叫做a在y轴上的坐标,(1)叫做向量a的坐标表示.显然,i(3)平面向量坐标运算(1)如果平面上一点A的坐标为x,y⇔(2)若Ax1线段AB的中点为M,则OM=12(3)设a=xλa⋅b⇔ 试表示向量a在向量b方向上的投影向量的坐标?(4)三角形重心坐标公式:若△ABC三个顶点坐标为Ax1,y1,如图6.3-18,线段P1P2的端点P点P是直线P1P2上的一点.当P图6.3-18拓展阅读向量的数量积与三角形的面积在平面直角坐标系xOy中,给定Ax1,y1,B图1一般地,利用向量的数量积可以方便地求出△OABS事实上,如图2所示,记t=OA,a=1图2过B作OA的垂线BC.因为a为单位向量,所以由向量数量积的几何意义可知BC因此,△OABS===由此也可以看出,如图3所示,如果图3Ax1,y1,BS由此你能体会到向量数量积的作用之大吗?【向量中重点方法总结】1、极化恒等式(1)概念:设a、b(2)几何意义:向量的数量积为和对角线与差对角线平方差的14a(3)空间几何与极化恒等式:在矩形ABCD中,若对角线AC和BD交于点O,(1)PA2+2、共线问题(1)P、A、证明方法:坐标方法:设Ax1,x(2)定理应用:平面上O,A,B上,且AD=λAB,令OA=a,OB3、等和线平面内一组基底OA,OB及任一向量OP,OP=λOA+μOBλ,μ∈R,若点(1)当等和线恰为直线AB时,k=(2)当等和线在O点和直线AB之间时,k∈(3)当直线AB在O点和等和线之间时,k∈1,+∞;(4)当等和线过O(1)重心(1)概念:三角形三条边中线的交点.(2)重心向量表达:O为△ABC的重心⇔(3)重心的性质:1)重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2:2)重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等.3)△ABC中Ax(2)垂心(1)概念:三角形的三条高线的交点叫做三角形的垂心。(2)向量表达:若H为△ABC所在平面内一点,则HA⋅HB(3)内心(1)概念:三角形内切圆圆心.三内角角平分线交点.(2)内心向量表达:O为△ABC的内心⇔(3)内心的性质:1)内心到三角形边的距离相等2)三角形面积与内切圆半径关系:S内心:三角形的内心在向量ABAB(1)概念:三角形外接圆圆心.三条边垂直平分线交点.(2)外心向量表达:O为△ABC的外心⇔(3)外心的性质:1)外心到三角形三顶点的距离相等2)三角形面积与外接圆半径关系:S【复数】1、复数的概念(1)虚数单位i:(1)i2=−1一般地,当a与b都是实数时,称a+biz其中a称为z的实部,b称为z的虚部,分别记作Re所有复数组成的集合称为复数集,复数集通常用大写字母C表示,因此C(3)复数的分类复数a两个复数z1与z2,如果实部与虚部都对应相等,我们就说这两个复数相等,记作这就是说,如果a,a特别地,当a,b都是实数时,应当注意,两个不相等的实数,一定有大小之分(从而也就一定能用大于号或小于号连接),但是两个复数,如果不全是实数,一般不规定它们之间的大小,只能说它们相等或不相等.例如,2+i与3+i,22、复数的几何意义(1)复数z=a(2)复数z=a(3)复数z=a+bi a,b∈R的模（或称为绝对值）:z(1)z=1;(2)z−z0(z,如果z1加减法则:a+乘法法则:a+除法法则:a乘方法则:i幂运算:zm由复数与向量之间的对应关系可以得出复数图10-2-1加法的几何意义:如果复数z1,z2所对应的向量分别为OZ1与OZ2,则当OZ1与OZ由复数加法的几何意义可以得出z由复数与向量之间的对应关系同样可以得出复数减法的几何意义:如果复数z1,z2所对应的向量分别为OZOZ则z1−z由复数减法的几何意义可以得出z(2)两个复数相乘,类似于两个多项式相乘,只要在所得的结果中把i2(3)在进行复数除法运算时,对分母“实数化”,并把实部与虚部分别合并即可.5、复数中的常用结论(1)1±(2)i的运算性质:i4n=1,i(4)复数z的共轭复数为z,则z⋅z=z16、复数的三角表示（阅读人教A版必修第二册P83-P89)【课本优质习题汇总】新人教A版必修第二册P2417.(1)如图(1),在△ABC中,计算AB(2)如图(2),在四边形ABCD中,计算AB+(3)如图(3),在n边形A1A2(1)(2)(3)21.已知△ABC的外接圆圆心为O,且2AO=AB+(A)14BC(B)34BC22.如图,O是平行四边形ABCD外一点,用OA,OB,(第22题)(第24题)24.如图,在⊙C中,是不是只需知道⊙C的半径或弦AB的长度,就可以求出新人教A版必修第二册P3715.如图,设Ox,Oy是平面内相交成60∘(第15题)e2分别是与x轴、y轴正方向同向的单位向量.若向量OP=xe1+ye2(1)计算OP的大小;(2)根据平面向量基本定理判断,本题中对向量坐标的规定是否合理.16.用向量方法证明:对于任意的a,ac新人教A版必修第二册P392.如下页图,正方形ABCD的边长为a,E是AB的中点,F是BC边上靠近点B的三等分点,AF与DE交于点M,求3.如图,在△ABC中,点O是BC的中点,过点O的直线分别交直线AB,AC于不同的两点M,N(第2题)(第3题)新人教A版必修第二册P521.若非零向量AB与AC满足ABAB+ACAC⋅BC=(A)三边均不相等的三角形(B)直角三角形(C)底边和腰不相等的等腰三角形(D)等边三角形2.已知O,N,P在△ABC所在平面内,满足OA垂心是三角形三条高所在直线的交点.PA,则点O,N,(A)重心,外心,垂心(B)重心,外心,内心(C)外心,重心,垂心(D)外心,重心,内心3.用向量法证明:直径所对的圆周角是直角.新人教A版必修第二册P5311.已知对任意平面向量AB=x,y,把AB绕其起点沿逆时针方向旋转θ角得到向量AP=xcosθ−ysinθ,xsinθ+ycosθ,叫做把点B绕点A新人教A版必修第二册P5419.如图,在▫ABCD中,点E,F点,BE,BF分别与AC交于R,T两点,你能发现(4)若e1,e2是夹角为60∘的两个单位向量,则a(A)30∘(B)60∘(C)120(5)已知等边三角形ABC的边长为1,BC=(A)3(B)-3(C)32(D)(6)若平面向量a,b,c两两的夹角相等,且(A)2(B)5(C)2或5(D)2或5新人教A版必修第二册P6115.已知△P1P2POP1=16.如图,已知OA=a,OB=b,任意点M关于点A的对称点为S,点S关于点B的对称点为19.如图,直线l与△ABC的边AB,ACAB=c,BC=(1)已知点E,F,G,H分别是平面四边形(2)已知三个非零向量a,b,c满足条件(3)已知M,N分别是线段AB和MN新人教B版必修第二册P173(3)如图,已知M,N,P分别是(第5题)AB上的点,且BM如果AB=a,AC=3.如图所示,已知OA(第3题)OB,∠AOC=30∘,用OA4.已知e1,e2不共线,向量a=5.已知a,b不共线,AB=λa(A)λ+μ=2(B)λ−2.设O是正五边形ABCDE内任意一点,求证:AB(第3题)3.如图所示,△ABC中,AB=a,AC=b,D为AB中点,E(1)用向量a与b表示AE;(2)用向量a与b表示AF,并求出AE:EF和利用向量的数量积证明如下结论.(