新教材2024版高中数学第六章概率4二项分布与超几何分布4.1二项分布学生用书北师大版选择性必修第一册

4.1二项分布[教材要点]要点一二项分布一般地，在n重伯努利试验中，用X表示这n次试验中胜利的次数，且每次胜利的概率均为p，则X的分布列可以表示为：P(X＝k)＝__________________(k＝0，1，2，…，n)则称X听从参数为n，p的二项分布，简记为____________．状元随笔推断一个随机变量是否听从二项分布的关键在于它是否同时满意以下两个条件：①在一次试验中只有两种试验结果，而且事务A发生的概率为p，事务A发生的概率为1－p.②试验可以独立重复地进行，即每次重复做一次试验，事务A发生的概率都是同一常数p，事务A发生的概率都是1－p.要点二二项分布与两点分布的均值与方差(1)若随机变量X～B(n，p)，则EX＝np，DX＝np(1－p)(2)若随机变量X听从参数为p的两点分布，则EX＝p，DX＝p(1－p)[基础自测]1．思索辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)在n次独立重复试验中，各次试验的结果相互没有影响．()(2)在n次独立重复试验中，各次试验中事务发生的概率可以不同．()(3)假如在1次试验中某事务发生的概率是p，那么在n次独立重复试验中这个事务恰好发生k次的概率P(X＝k)＝Cnkpk(1－p)n－k，k＝0，1，2，…，(4)两点分布是二项分布的特殊状况．()2．某射击选手每次射击击中目标的概率是0.8，这名选手在10次射击中，恰有8次击中目标的概率为()A.C108×0.88×0.22B．0.8C.C102×0.28×0.82D．0.23．已知X是一个随机变量，若X～B6，13，则PA．316B．4243C．134．已知X～B(n，p)，EX＝8，DX＝1.6，则n＝__________，p＝________．题型一求独立重复试验的概率例1甲、乙两人各射击一次击中目标的概率分别是23和34(1)求甲射击4次，至少1次未击中目标的概率；(2)求两人各射击4次，甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次的概率；(3)假设某人连续2次未击中目标，则射击停止，问：乙恰好射击5次后被中止射击的概率是多少？方法归纳独立重复试验概率求法的三个步骤(1)推断：依据n次独立重复试验的特征，推断所给试验是否为独立重复试验．(2)分拆：推断所求事务是否须要分拆．(3)计算：就每个事务依据n次独立重复试验的概率公式求解，最终利用互斥事务概率加法公式计算．跟踪训练1甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为12，乙每次击中目标的概率为2(1)甲恰好击中目标2次的概率；(2)乙至少击中目标2次的概率；(3)乙恰好比甲多击中目标2次的概率．题型二二项分布的应用角度1与二项分布有关的应用题例2某校有关探讨性学习小组进行一种验证性试验，已知该种试验每次胜利的概率为12(1)求他们做了5次这种试验至少有2次胜利的概率．(2)假如在若干次试验中，累计有两次胜利就停止试验，求该小组做了5次试验就停止试验的概率．角度2可转化为与二项分布有关的应用题例3甲、乙两队参与世博会学问竞赛，每队3人，每人回答一个问题，答对者为本队赢得一分，答错者得零分．假设甲队中每人答对的概率均为23，乙队中每人答对的概率分别为23，(1)求随机变量ξ的分布列．(2)用A表示“甲、乙两个队总得分之和等于3”这一事务，用B表示“甲队总得分大于乙队总得分”这一事务，求P(AB)．方法归纳利用二项分布解决实际问题的关键在于在实际问题中建立二项分布模型，也就是看它是不是n次独立重复试验．随机变量是不是在这n次独立重复试验中某事务发生的次数，满意这两点的随机变量才听从二项分布，否则不听从二项分布．跟踪训练2某学生在上学路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是13(1)求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率；(2)求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间至多是4min的概率．题型三二项分布的均值与方差例4一次数学测验由25道选择题构成，每道选择题有4个选项，其中有且仅有一个选项是正确的，每道题选择正确得4分，不作出选择或选错不得分，满分100分，某学生选对任一题的概率均为0.6，求此学生在这一次测验中的成果的数学期望和方差．方法归纳对于二项分布，关键是通过题设环境确定随机变量听从二项分布，然后干脆应用公式计算．跟踪训练3一出租车司机从某饭店到火车站途中有6个交通岗，假设他在各交通岗遇到红灯这一事务是相互独立的，并且概率是13(1)求这位司机遇到红灯数ξ的期望与方差．(2)若遇上红灯，则需等待30秒，求司机总共等待时间η的期望与方差．易错辨析审题不清致误例5某学问大奖赛，竞赛分初赛和决赛两部分．为了增加节目的趣味性，初赛接受选手选一题答一题的方式进行．每位选手最多有5次选题答题的机会，选手累计答对3题或答错3题即终止其初赛的竞赛，答对3题者干脆进入决赛，答错3题者则被淘汰．已知选手甲答题的正确率为23(1)求选手甲可进入决赛的概率．(2)设选手甲在初赛中答题的个数为ξ，试写出ξ的分布列．解析：(1)选手甲答3道题进入决赛的概率为233＝选手甲答4道题进入决赛的概率为C32×选手甲答5道题进入决赛的概率为C42×所以选手甲可进入决赛的概率为827+8(2)依题意，ξ的可能取值为3，4，5，则有P(ξ＝3)＝233＋13P(ξ＝4)＝C32×P(ξ＝5)＝C422所以ξ的分布列如下：ξ345P1108【易错警示】易错缘由纠错心得本题对“甲答4题进入决赛”与“甲答4题结束竞赛”等概念的理解不全面，简洁导致失误．在求分布列时，确定要将X的取值全面考虑，不要漏掉某一种情形，如求本例中P(ξ＝4)的时候，简洁忽视“甲答4题结束竞赛”这一状况．[课堂特殊钟]1．[多选题]下列随机变量X听从二项分布的是()A．投掷一枚匀整的骰子5次，X表示点数为6出现的次数B．某射手射中目标的概率为p，设每次射击是相互独立的，X为从起先射击到击中目标所须要的射击次数C．实力相等的甲、乙两选手进行了5局乒乓球竞赛，X表示甲获胜的次数D．某星期内，每次下载某网站数据被病毒感染的概率为0.3，X表示下载n次数据电脑被病毒感染的次数2．若100件产品中有10件次品，从中有放回地抽取5件，其中次品数ξ～B(n，p)，则()A．n＝5，p＝0.1B．n＝10，p＝0.1C．n＝5，p＝0.9D．n＝10，p＝0.93．在竞赛中运动员甲获胜的概率是13A．80243B．C．4243D．4．设X～B(4，p)，且P(X＝2)＝827，那么一次试验胜利的概率p5．某人投弹击中目标的概率P＝0.8.(1)求投弹一次，命中次数X的均值和方差．(2)求重复10次投弹时击中次数Y的均值和方差．4.1二项分布新知初探·课前预习要点一Cnkpk(1－p)n－kX～B(n，[基础自测]1．(1)√(2)×(3)√(4)√2．解析：设X为击中目标的次数，则X～B(10，0.8)，∴这名选手在10次射击中，恰有8次击中目标的概率为P(X＝8)＝C108×0.88×(1－0.8)2＝C108×0.8答案：A3．解析：由题意知n＝6，p＝13，故P(X＝2)＝C62×1答案：D4．解析：因为随机变量X～B(n，p)，所以EX＝np＝8，DX＝np(1－p)＝1.6，解得p＝0.8，n＝10.答案：100.8题型探究·课堂解透例1解析：设“甲、乙两人各射击一次击中目标分别记为A、B”，则P(A)＝23，P(B)＝3(1)甲射击4次，全击中目标的概率为C442所以甲射击4次至少1次未中目标的概率为P＝1－1681＝65(2)甲、乙各射击4次，甲恰好击中2次，概率为C422乙恰好击中3次，概率为C433所以概率为827×27(3)乙射击5次后，中止射击，第3次击中，4、5次不中，而1、2至少1次击中目标，所以中止的概率为343×142＋跟踪训练1解析：(1)甲恰好击中目标2次的概率为C32122(2)乙至少击中目标2次的概率为C322(3)设乙恰好比甲多击中目标2次为事务A，乙恰好击中目标2次且甲恰好击中目标0次为事务B1，乙恰好击中目标3次且甲恰好击中目标1次为事务B2，则A＝B1＋B2，B1，B2为互斥事务．P(A)＝P(B1)＋P(B2)＝C32232例2解析：(1)设5次试验中，只胜利一次为事务A，一次都不胜利为事务B，至少胜利2次为事务C，则P(C)＝1－P(A＋B)＝1－P(A)－P(B)＝1＝13所以5次试验至少2次胜利的概率为1316(2)该小组做了5次试验后停止，所以前4次有且只有一次胜利，且第5次胜利．设该事务为D，则P(D)＝C411所以做了5次试验就停止的概率为18例3解析：(1)由已知，甲队中3人回答问题相当于3次独立重复试验，所以ξ～B3，P(ξ＝0)＝C30×P(ξ＝1)＝C31×P(ξ＝2)＝C32×P(ξ＝3)＝C33×所以ξ的分布列为ξ0123P1248(2)用C表示“甲得2分乙得1分”这一事务，用D表示“甲得3分乙得0分”这一事务，AB＝C∪▒P(C)＝C32×23P(D)＝827×1所以P(AB)＝P(C)＋P(D)＝1081+4跟踪训练2解析：(1)记“这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯”为事务A.因为事务A等价于事务“这名学生在第一和其次个路口都没有遇到红灯，在第三个路口遇到红灯”，所以事务A发生的概率为：P(A)＝1-13(2)记“这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间至多是4min”为事务B，“这名学生在上学路上遇到k次红灯”为事务Bk(k＝0，1，2，3，4)．由题意，得P(B0)＝234＝P(B1)＝C41×P(B2)＝C42×由于事务B等价于事务“这名学生在上学路上至多遇到2次红灯”，所以事务B发生的概率为P(B)＝P(B0)＋P(B1)＋P(B2)＝89例4解析：设该学生在这次数学测验中选对答案的题目的个数为ξ，所得的分数为η，由题意知，η＝4ξ，且ξ～B(25，0.6)，则Eξ＝25×0.6＝15，D(ξ)＝25×0.6×(1－0.6)＝6.故Eη＝E4ξ＝4Eξ＝60，D(η)＝D(4ξ)＝42×D(ξ)＝96.所以该学生在这一次测验中的成果的数学期望与方差分别是60和96.跟踪训练3解析：(1)易知司机遇上红灯次数ξ听从二项分布，且ξ～B6，13，所以EξDξ＝6×13×1(2)由已知η＝30ξ，所以Eη＝30Eξ＝60，D(η)＝900D(ξ)＝1200.[课堂特殊钟]1．解析：选项A，试验出现的结果只有两种：点数为6和点数不为6，且点数为6的概率在每一次试验中都为16，每一次试验都是独立的，故随机变量X听从二项分布；选项B，虽然随机变量在每一次试验中的结果只有两种，每一次试验事务相互独立且概率不发生变更，但随机变量的取值不确定，故随机变量X不听从二项分布；选项C，甲、乙的获胜率相等，进行5局竞赛，相当于进行了5次独立重复试验，故X听从二项分布；选项D，由二项分布的定义，可知被感染次数X～B(n答案：ACD2．解