新教材同步备课2024春高中数学第6章平面向量及其应用6.4平面向量的应用6.4.1平面几何中的向量方法6.4.2向量在物理中的应用举例教师用书新人教A版必修第二册

6.4.1平面几何中的向量方法6.4.2向量在物理中的应用举例学习任务驾驭用向量方法解决简洁的几何问题、力学问题等一些实际问题，体会向量是处理几何问题、物理问题的重要工具．(数学建模)物理中的共点力平衡，用两个力F1和F2拉的效果和用一个力问题：(1)F能不能称为F1和F(2)它们之间有什么关系？学问点向量法解决平面几何问题的“三步曲”思索辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)求力F1和F2的合力可依据向量加法的平行四边形法则来解决．()(2)若△ABC为直角三角形，则有AB·BC＝0． ()(3)物理学中的功是一个向量． ()[答案](1)√(2)×(3)×类型1向量在平面几何中的应用长度问题【例1】如图，在平行四边形ABCD中，已知AD＝1，AB＝2，对角线BD＝2，求对角线AC的长．[解]设AD＝a，AB＝b，则BD＝a－b，AC＝a＋b，而|BD|＝|a－b|＝a＝1+4-2a·b所以5－2a·b＝4，所以a·b＝12又|AC|2＝|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝1＋4＋2a·b＝6，所以|AC|＝6，即AC＝6．共线问题【例2】(源自北师大版教材)如图，点O是▱ABCD两条对角线的交点，点E，F分别在边CD，AB上，且CEED＝AFFB＝12．求证：点E，[证明]设AB＝m，AD＝n，由CEED＝AFFB＝12，知E，F所以FO＝FA+AO＝1＝－13m＋12(m＋n)＝16m＋OE＝OC+CE＝12AC＋13CD＝12(m＋n)－13所以FO＝OE．又O为FO和OE的公共点，故点E，O，F在同始终线上．垂直问题【例3】如图所示，在正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，求证：AF⊥DE．[证明]法一：设AD＝a，AB＝b，则|a|＝|b|，a·b＝0，又DE＝DA+AE＝－a＋b2，AF＝AB+BF所以AF·DE＝b+a2·-a+b2＝－12a2－34a·b＋b22＝－12故AF⊥DE，即AF⊥DE．法二：建立如图所示的平面直角坐标系，设正方形的边长为2，则A(0，0)，D(0，2)，E(1，0)，F(2，1)，AF＝(2，1)，DE＝(1，－2)．因为AF·DE＝(2，1)·(1，－2)＝2－2＝0，所以AF⊥DE，即AF⊥DE．用向量法解决平面几何问题的两种方法(1)几何法：选取适当的基底(基底中的向量尽量已知模或夹角)，将题中涉及的向量用基底表示，利用向量的运算法则、运算律或性质计算．(2)坐标法：建立平面直角坐标系，实现向量的坐标化，将几何问题中的长度、垂直、平行等问题转化为代数运算．[跟进训练]1．如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC＝3，点D在线段BC上，且BD＝12DC．(1)AD的长；(2)∠DAC的大小．[解](1)设AB＝a，AC＝b，则AD＝AB+BD＝AB＋13BC＝AB＋13(AC-AB)＝2∴|AD|2＝AD2＝23a+13b2＝49a2＋2×29a·b＋19b2＝49×9＋2×2∴AD＝3．(2)设∠DAC＝θ(0°<θ<120°)，则θ为AD与AC的夹角．∴cosθ＝AD·AC＝2＝23×∴θ＝90°，即∠DAC＝90°．类型2平面对量在物理中的应用【例4】如图所示，在细绳O处用水平力F2缓慢拉起所受重力为G的物体，绳子与铅垂方向的夹角为θ，绳子所受到的拉力为F1．(1)求|F1|，|F2|随角θ的变更而变更的状况；(2)当|F1|≤2|G|时，求角θ的取值范围．[解](1)由力的平衡及向量加法的平行四边形法则，得－G＝F1＋F2，|F1|＝Gcosθ，|F2|＝|G|tan当θ从0°趋向于90°时，|F1|，|F2|都渐渐增大．(2)由|F1|＝Gcosθ，|F1|≤2|G|，得cosθ≥又因为0°≤θ<90°，所以0°≤θ≤60°．用向量方法解决物理问题的四个步骤[跟进训练]2．一条宽为3km的河，水流速度为2km/h，在河两岸有两个码头A，B，已知AB＝3km，船在水中最大航速为4km/h．怎样支配航行速度，可使该船从A码头最快到达彼岸B码头？用时多少？[解]如图所示，设AC为水流速度，AD为航行速度，以AC和AD为邻边作▱ACED，当AE与AB重合时能最快到达彼岸．依据题意知AC⊥AE，在Rt△ADE和▱ACED中，|DE|＝|AC|＝2，|AD|＝4，∠AED＝90°，∴|AE|＝AD2-DE23÷23＝0.5(h)，sin∠EAD＝12∴∠EAD＝30°，∴船实际航行速度大小为4km/h，与水流成120°角时能最快到达B码头，用时0.5小时．1．已知力F的大小|F|＝10，在F的作用下产生的位移s的大小为|s|＝14，F与s的夹角为60°，则F做的功为()A．7 B．10C．14 D．70D[F做的功为F·s＝|F||s|cos60°＝10×14×12＝2．某人在静水中游泳的速度为3km/h，水流的速度为1km/h，他沿着垂直于对岸的方向前进，那么他实际前进的方向与水流方向的夹角为()A．90° B．60°C．45° D．30°B[如图，OA表示水速，用OB表示某人沿着垂直于岸的方向前进的速度，则他的实际前进的方向与水流方向的夹角为∠AOC．因为tan∠AOC＝31＝3，所以∠AOC＝故选B．]3．在四边形ABCD中，若AB+CD＝0，AC·BD＝0，则四边形为(A．平行四边形 B．矩形C．等腰梯形 D．菱形D[由AB+CD＝0，得AB＝－CD＝DC，∴四边形ABCD为平行四边形．又AC·BD＝04．在△ABC中，AB＝3，AC边上的中线BD＝5，AC·AB＝5，则AC的长为________．2[因为BD＝AD-AB＝所以BD2＝12AC-AB2＝14AC所以|AC|＝2，即AC＝2．]回顾本节学问，自主完成以下问题：1．利用向量方法可以解决平面几何中哪些问题？并说出其大体的求解思路．[提示]利用向量方法可以解决平面几何中的平行、垂直、夹角、距离等问题．利用向量解决平面几何问题时，有两种思路：一是选择一组基底，利用基底表示涉及的向量；另一种是建立直角坐标系，求出题目中涉及的向量的坐标．2．用向量解决物理中的力学、速度、位移、功等问题的步骤大体有哪些？[提示]首先：问题的转化，把物理问题转化成数学问题；其次：模型的建立，建立以向量为主体的数学模型；再次：参数的获得，求出数学模型的相关解；最终：回到物理现象中，用已经获得的数值去说明一些物理现象．课时分层作业(十一)平面几何中的向量方法向量在物理中的应用举例一、选择题1．某人在无风条件下骑自行车的速度为v1，风速为v2(|v1|>|v2|)，则逆风行驶的速度的大小为()A．v1－v2 B．v1＋v2C．|v1|－|v2| D．vC[题目要求的是速度的大小，即向量的大小，而不是求速度，速度是向量，速度的大小是实数．故逆风行驶的速度的大小为|v1|－|v2|．]2．一质点受到平面上的三个力F1，F2，F3(单位：牛顿)的作用而处于平衡状态，已知F1，F2成90°角，且F1，F2的大小分别为2和4，则F3的大小为()A．6 B．2C．25 D．27C[由题意知F3＝－(F1＋F2)，所以|F3|2＝(F1＋F2)2＝F12+F22＋＝4＋16＝20，∴|F3|＝25．]3．在直角三角形ABC中，斜边BC长为2，O是平面ABC内一点，点P满意OP＝OA＋12(AB+AC)，则|APA．2 B．1C．12B[设BC边的中点为M，则12(AB+∴OP＝OA+AM＝∴P与M重合，∴|AP|＝12|BC|＝4．在△ABC中，若(CA+CB)·(CA-CB)＝0，则△A．是正三角形 B．是直角三角形C．是等腰三角形 D．形态无法确定C[由条件知CA2＝CB2，即|CA|＝|CB|，即△ABC5．(多选)关于船从两平行河岸的一岸驶向另一岸所用的时间，正确的是()A．船垂直到达对岸所用时间最少B．当船速v的方向与河岸垂直时用时最少C．沿随意直线航行到达对岸的时间都一样D．船垂直到达对岸时航行的距离最短BD[依据向量将船速v分解，当v垂直河岸时，用时最少．船垂直到达对岸时航行的距离最短．]二、填空题6．用两条成120°角的等长绳子悬挂一个灯具，已知灯具重量为10N，则每根绳子的拉力大小为________N．10[如图，由题意，得∠AOC＝∠COB＝60°，|OC|＝10，则|OA|＝|OB|＝10，即每根绳子的拉力大小为10N．]7．点P在平面上做匀速直线运动，速度v＝(4，－3)(即点P的运动方向与v相同，且每秒移动的距离为|v|个单位)．设起先时点P0的坐标为(－10，10)，则5s后点P的坐标为________．(10，－5)[由题意知，P0P＝5v＝(20，－设点P的坐标为(x，y)，则x+10=20解得点P的坐标为(10，－5)．]8．在四边形ABCD中，若AC＝(1，2)，BD＝(－4，2)，则向量AC与BD的夹角为________，四边形ABCD的面积为________．π25[由AC·BD＝1×(－4)＋2×2＝0知AC⊥BD，故向量AC与BD的夹角为π又∵|AC|＝5，|BD|＝-42+2∴S＝12|AC||BD|＝12×5×三、解答题9．如图所示，在倾斜角为37°(sin37°≈0.6)，高为2m的斜面上，质量为5kg的物体m沿斜面下滑，物体m受到的摩擦力是它对斜面压力的0.5倍．(1)求斜面对物体m的支持力所做的功；(2)重力对物体m所做的功．(g＝9.8m/s2)[解](1)物体m的位移大小为|s|＝2sin37°＝103(m)，则支持力对物体m所做的功为W1＝F·s＝|F||s(2)重力对物体m所做的功为W2＝G·s＝|G||s|·cos53°＝5×9.8×103×0.6＝98(J)10．在△ABC中，AB＝4，AC＝22，∠BAC＝135°，D为边BC的中点，且AM＝MD，则向量BM的模为()A．262 B．C．262或52 D．26B[因为AB＝4，AC＝22，∠BAC＝135°，所以AB·AC＝－8．因为BM＝AM-AB＝14AB+AC-所以BM＝-＝916AB2故选B．]11．长江某地南北两岸平行，一艘游船从南岸码头A动身航行到北岸．假设游船在静水中的航行速度v1的大小为|v1|＝10km/h，水流的速度v2的大小为|v2|＝4km/h．设v1和v2的夹角为θ(0°<θ<180°)，北岸的点A′在A的正北方向，若游船正好到达A′处，则cosθ等于()A．215 B．－C．25 D．－D[设船的实际速度为v，v1与南岸上游的夹角为α，如图所示．要使得游船正好到达A′处，则|v1|cosα＝|v2|，即cosα＝v2v1又θ＝π－α，所以cosθ＝cos(π－α)＝－cosα＝－2512．若点M是△ABC所在平面内的一点，且满意3AM-AB-AC＝0，则△ABM与△ABCA．1∶2 B．1∶3C．1∶4 D．2∶5B[如图，设D为BC边的中点，则AD＝12(因为3AM-AB-所以3AM＝2AD，所以AM＝23所以S△ABM＝23S△ABD＝13S△13．已知△ABC的三边长AC＝3，BC＝4，AB＝5，P为AB边上随意一点，则CP·(BA-BC)的最大值为9[法一(坐标法)：由题意可知AC⊥BC，所以以C为原点，建立平面直角坐标系如图所示，设P点坐标为(x，y)且0≤y≤3，0≤x≤4，则CP·(BA-BC)＝CP·CA＝(x，y)·(0，3)＝3y，当y＝3时，CP·(BA-法二(基向量法)：∵CP＝CA+AP，∴CP·(BA-BC)＝(CA+＝CA2＋AP·CA＝9－AP·＝9－|AP||AC|cos∠BAC＝9－3|AP|cos∠BAC．∵cos∠BAC为正且为定值，∴当|AP|最小即|AP|＝0时，CP·(BA-BC)14．如图，已知正方形ABCD中，E，F分别是CD，AD的中点，BE，CF交于点P．求证：(1)BE⊥CF；(2)AP＝AB．[解]如图建立平面直角坐标系xOy，其中A为原点，不妨设AB＝2，则A(0，0)，B(2，0)，C(2，2)，E(1，2)，F(0，1)．(1)BE＝OE-OB＝(1，2)－(2，0)＝(－1，CF＝OF-OC＝(0，1)－(2，2)＝(－2，－∵BE·CF＝(－1)×(－2)＋2×(－1)＝0，∴BE⊥CF，即BE⊥CF．(2)设P(x，y)，则FP＝(x，y－1)，CF＝(－2，－1)．∵FP∥CF，∴－x＝－2(y－1)，即x＝2y－2．同理由BP∥BE，得y＝－2x＋4，代入x＝2y－2，解得x＝65，∴y＝85，即P∴AP2＝652＋852∴|AP|＝|AB|，即AP＝AB．15．(2024·上海市延安中学月考)如图，在直角三角形ABC中，∠C＝90°，CA＝3，CB＝4，CD＝mCA，CE＝nCB，其中m，n