泰州市重点中学2025届数学九上期末学业质量监测试题含解析

泰州市重点中学2025届数学九上期末学业质量监测试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题（每题4分，共48分）1．下表是二次函数的的部分对应值：············则对于该函数的性质的判断：①该二次函数有最小值；②不等式的解集是或③方程的实数根分别位于和之间；④当时，函数值随的增大而增大；其中正确的是：A．①②③ B．②③ C．①② D．①③④2．已知⊙O的半径为6cm，OP＝8cm，则点P和⊙O的位置关系是（）A．点P在圆内 B．点P在圆上 C．点P在圆外 D．无法判断3．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，下列结i论：①abc＞1；②b2﹣4ac＞1；③2a+b＝1；④a﹣b+c＜1．其中正确的结论有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个4．点A(-2，1)关于原点对称的点A'的坐标是（）A．(2，1) B．(-2，-1) C．(-1，2) D．(2，-1)5．表中所列的7对值是二次函数图象上的点所对应的坐标，其中x……y…7m14k14m7…根据表中提供的信息，有以下4个判断：①；②；③当时，y的值是k；④其中判断正确的是（）A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④6．m是方程的一个根，且，则的值为（）A． B．1 C． D．7．如图，在△ABC中，DE∥BC，，BC=12，则DE的长是（）A．3 B．4 C．5 D．68．若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+2x﹣2=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）A．k＞ B．k≥ C．k＞且k≠1 D．k≥且k≠19．如图所示，图中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A． B． C． D．10．把二次函数y=2x2的图象向右平移3个单位，再向上平移2个单位后的函数关系式是（）A． B．C． D．11．关于x的一元二次方程x2+4x+k=0有两个实数根，则k的取值范围是（）A．k≤﹣4 B．k＜﹣4 C．k≤4 D．k＜412．如图5，一棵大树在一次强台风中于离地面5米处折断倒下，倒下部分与地面成30°夹角，这棵大树在折断前的高度为（）A．10米 B．15米 C．25米 D．30米二、填空题（每题4分，共24分）13．请你写出一个函数，使它的图象与直线无公共点，这个函数的表达式为_________．14．如图，矩形中，，，以为圆心，为半径画弧，交延长线于点，以为圆心，为半径画弧，交于点，则图中阴影部分的面积是_________．15．线段，的比例中项是______.16．已知△ABC中，AB＝5，sinB＝，AC＝4，则BC＝_____．17．只请写出一个开口向下，并且与轴有一个公共点的抛物线的解析式__________．18．已知点A（2，4）与点B（b﹣1，2a）关于原点对称，则ab＝_____．三、解答题（共78分）19．（8分）如图，在直角坐标系中，，．借助网格，画出线段向右平移个单位长度后的对应线段，若直线平分四边形的面积，请求出实数的值．20．（8分）如图是某学校体育看台侧面的示意图，看台的坡比为，看台高度为米，从顶棚的处看处的仰角，距离为米，处到观众区底端处的水平距离为米．（，，结果精确到米）（1）求的长；（2）求的长．21．（8分）某山区不仅有美丽风光，也有许多令人喜爱的土特产，为实现脱贫奔小康，某村组织村民加工包装土特产销售给游客，以增加村民收入.已知某种士特产每袋成本10元.试销阶段每袋的销售价x（元）与该士特产的日销售量y（袋）之间的关系如表：x（元）152030…y（袋）252010…若日销售量y是销售价x的一次函数，试求：（1）日销售量y（袋）与销售价x（元）的函数关系式；（2）假设后续销售情况与试销阶段效果相同，要使这种土特产每日销售的利润最大，每袋的销售价应定为多少元？每日销售的最大利润是多少元？22．（10分）根据学习函数的经验，探究函数y＝x2+ax﹣4|x+b|+4（b＜0）的图象和性质：（1）下表给出了部分x，y的取值；xL﹣3﹣2﹣1012345LyL30﹣1030﹣103L由上表可知，a＝，b＝；（2）用你喜欢的方式在坐标系中画出函数y＝x2+ax﹣4|x+b|+4的图象；（3）结合你所画的函数图象，写出该函数的一条性质；（4）若方程x2+ax﹣4|x+b|+4＝x+m至少有3个不同的实数解，请直接写出m的取值范围．23．（10分）如图，AC是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，点P是⊙O外一点，连接PB、AB，∠PBA＝∠C．（1）求证：PB是⊙O的切线；（2）连接OP，若OP∥BC，且OP＝4，⊙O的半径为，求BC的长．24．（10分）某单位800名职工积极参加向贫困地区学校捐书活动，为了解职工的捐书数量，采用随机抽样的方法抽取30名职工的捐书数量作为样本，对他们的捐书数量进行统计，统计结果共有4本、5本、6本、7本、8本五类，分别用A、B、C、D、E表示，根据统计数据绘制成了如图所示的不完整的条形统计图，由图中给出的信息解答下列问题：（1）补全条形统计图；（2）求这30名职工捐书本数的平均数，写出众数和中位数；（3）估计该单位800名职工共捐书多少本？25．（12分）如图，抛物线与x轴交于A（1，0）、B（-3，0）两点，与y轴交于点C（0，3），设抛物线的顶点为D．

（1）求该抛物线的解析式与顶点D的坐标．

（2）试判断△BCD的形状，并说明理由．

（3）探究坐标轴上是否存在点P，使得以P、A、C为顶点的三角形与△BCD相似？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．26．如图，在平面直角坐标系中，⊙O的半径为1，点A在x轴的正半轴上，B为⊙O上一点，过点A、B的直线与y轴交于点C，且OA2＝AB•AC．（1）求证：直线AB是⊙O的切线；（2）若AB＝，求直线AB对应的函数表达式．

参考答案一、选择题（每题4分，共48分）1、A【分析】由表知和，的值相等可以得出该二次函数的对称轴、二次函数的增减性、从而判定出以及函数的最值情况，再结合这些图像性质对不等式的解集和方程解的范围进行判断即可得出答案．【详解】解：∵当时，；当时，；当时，；当时，∴二次函数的对称轴为直线：∴结合表格数据有：当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小∴，即二次函数有最小值；∴①正确，④错误；∵由表格可知，不等式的解集是或∴②正确；∵由表格可知，方程的实数根分别位于和之间∴③正确．故选：A【点睛】本题主要考查二次函数的性质如：由对称性来求出对称轴、由增减性来判断的正负以及最值情况、利用图像特征来判断不等式的解集或方程解的范围等．2、C【分析】根据点与圆的位置关系即可求解．【详解】∵⊙O的半径为6cm，OP＝8cm，∴点P到圆心的距离OP＝8cm，大于半径6cm，∴点P在圆外，故选：C．【点睛】本题考查了点与圆的位置关系：设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则有：①点P在圆外⇔d＞r；②点P在圆上⇔d=r；③点P在圆内⇔d＜r．3、C【分析】首先根据开口方向确定a的取值范围，根据对称轴的位置确定b的取值范围，根据抛物线与y轴的交点确定c的取值范围，根据抛物线与x轴是否有交点确定b2﹣4ac的取值范围，根据x＝﹣1函数值可以判断．【详解】解：抛物线开口向下，，对称轴，，抛物线与轴的交点在轴的上方，，，故①错误；抛物线与轴有两个交点，，故②正确；对称轴，，，故③正确；根据图象可知，当时，，故④正确；故选：．【点睛】此题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求与的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用是解题关键．4、D【解析】根据两个点关于原点对称时，它们的横纵坐标符号相反，即可求解．【详解】解：点A（-2，1）关于原点对称的点A'的坐标是（2，-1）．

故选：D．【点睛】本题主要考查了关于原点对称点的性质，正确把握横纵坐标的关系是解题关键．5、B【分析】根据表格得到二次函数的性质,分别求出开口方向,对称轴、最值即可解题.【详解】解：由表格中的数据可知,当时,y的值先变大后减小,说明二次函数开口向下,所以①正确；同时可以确定对称轴在与之间,所以在对称轴左侧可得②正确；因为不知道横坐标之间的取值规律,所以无法说明对称轴是直线x=,所以此时顶点的函数值不一定等于k,所以③当时，y的值是k错误；由题可知函数有最大值,此时,化简整理得：④正确,综上正确的有①②④,故选B.【点睛】本题考查了二次函数的性质,中等难度,将表格信息转换成有效信息是解题关键.6、A【解析】将m代入关于x的一元二次方程x2+nx+m=0，通过解该方程即可求得m+n的值．【详解】解：∵m是关于x的一元二次方程x2+nx+m=0的根，

∴m2+nm+m=0，

∴m（m+n+1）=0；

又∵m≠0，

∴m+n+1=0，

解得m+n=-1；

故选：A．【点睛】本题考查了一元二次方程的解的定义．一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的解一定满足该一元二次方程的关系式．7、B【解析】试题解析：在△ABC中，DE∥BC，故选B.8、C【详解】根据题意得k-1≠0且△=2²-4（k-1）×（-2）＞0，解得：k＞且k≠1．故选C【点睛】本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b²-4ac，关键是熟练掌握：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．9、C【解析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义（轴对称图形是沿某条直线对折，对折的两部分能够完全重合的图形，中心对称图形是绕着某一点旋转后能与自身重合的图形）判断即可.【详解】解：A选项是中心对称图形但不是轴对称图形，A不符合题意；B选项是轴对称图形但不是中心对称图形，B不符合题意；C选项既是轴对称图形又是中心对称图形，C符合题意；D选项既不是轴对称图形又不是中心对称图形.故选：C.【点睛】本题考查了轴对称图形与中心对称图形，熟练掌握轴对称图形与中心对称图形的判断方法是解题的关键.10、A【解析】将二次函数的图象向右平移3个单位，再向上平移2个单位后的函数关系式为：.故选A.11、C【解析】根据判别式的意义得△=12﹣1k≥0，然后解不等式即可．【详解】根据题意得△=12﹣1k≥0，解得k≤1．故选C．【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2﹣1ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．12、B【分析】如图，在Rt△ABC中，∠ABC=30°，由此即可得到AB=2AC，而根据题意找到CA=5米，由此即可求出AB，也就求出了大树在折断前的高度．【详解】解：如图，在Rt△ABC中，∵∠ABC=30°，∴AB=2AC，而CA=5米，∴AB=10米，∴AB+AC=15米．所以这棵大树在折断前的高度为15米．故选B．【点睛】本题主要利用定理--在直角三角形中30°的角所对的直角边等于斜边的一半，解题关键是善于观察题目的信息，利用信息解决问题．二、填空题（每题4分，共24分）13、（答案不唯一）【分析】直线经过一三象限，所以只要找到一个过二、四象限的函数即可.【详解】∵直线经过一三象限，图象在二、四象限∴两个函数无公共点故答案为【点睛】本题主要考查正比例函数的图象与性质，掌握正比例函数与反比例函数的图象与性质是解题的关键.14、【分析】阴影部分的面积为扇形BDM的面积加上扇形CDN的面积再减去直角三角形BCD的面积即可．【详解】解：∵，∴根据矩形的性质可得出，∵∴∴利用勾股定理可得出，因此，可得出故答案为：．【点睛】本题考查的知识点是求不规则图形的面积，熟记扇形的面积公式是解此题的关键．15、【分析】根据比例中项的定义，若b是a，c的比例中项，即b2＝ac．即可求解．【详解】解：设线段c是线段a、b的比例中项，∴c2＝ab，∵a＝2，b＝3，∴c＝故答案为：【点睛】本题主要考查了线段的比例中项的定义，注意线段不能为负．16、4+或4﹣【分析】根据题意画出两个图形，过A作AD⊥BC于D，求出AD长，根据勾股定理求出BD、CD，即可求出BC．【详解】有两种情况：如图1：过A作AD⊥BC于D，∵AB＝5，sinB＝＝，∴AD＝3，由勾股定理得：BD＝4，CD＝，∴BC＝BD+CD＝4+；如图2：同理可得BD＝4，CD＝，∴BC＝BD﹣CD＝4﹣．综上所述，BC的长是4+或4﹣．故答案为：4+或4﹣．【点睛】本题考查了解直角三角形的问题，掌握锐角三角函数的定义以及勾股定理是解题的关键．17、【分析】要根据开口向下且与x轴有惟一的公共点，写出一个抛物线解析式即可．【详解】解：∵与x轴只有一个公共点，并且开口方向向下，

∴a＜0，△=0，即b2-4ac=0，满足这些特点即可．如．

故答案为：（答案不唯一）．【点睛】此题主要考查了二次函数的性质，要了解性质与函数中a，b，c的关系．18、1．【解析】由题意，得b−1=−1，1a=−4，解得b=−1，a=−1，∴ab=(−1)×(−1)=1，故答案为1.三、解答题（共78分）19、【分析】根据平移变换即可作出对应线段，根据平行四边形的性质，平分平行四边形面积的直线经过平行四边形的中心，然后求出AC的中点，代入直线计算即可求出k值．【详解】画图如图所示：点坐标为，点坐标为，的中点坐标为，又直线平分平行四边形的面积，则过点，，．【点睛】本题考查的是作图-平移变换，平行四边形的性质，待定系数法求函数解析式，要注意平分平行四边形面积的直线经过平行四边形的中心的应用．20、（1）24；（2）25.6【分析】（1）根据坡比=垂直高度比水平距离代入求值即可．（2）先过D做EF的垂线，形成直角三角形，再根据锐角三角函数来求．【详解】解：（1）的坡比为，（2）过点作交于点，在中，，，，【点睛】本题考查了坡比公式和锐角三角函数，锐角三角函数必须在直角三角形中求解．21、（1）y＝﹣x+40；（2）要使这种土特产每日销售的利润最大，每袋的销售价应定为25元，每日销售的最大利润是225元.【分析】(1)根据表格中的数据，利用待定系数法，求出日销售量y(袋)与销售价x(元)的函数关系式即可(2)利用每件利润×总销量＝总利润，进而求出二次函数最值即可.【详解】(1)依题意，根据表格的数据，设日销售量y(袋)与销售价x(元)的函数关系式为y＝kx+b得，解得，故日销售量y(袋)与销售价x(元)的函数关系式为：y＝﹣x+40；(2)依题意，设利润为w元，得w＝(x﹣10)(﹣x+40)＝﹣x2+50x+400，整理得w＝﹣(x﹣25)2+225，∵﹣1＜0，∴当x＝2时，w取得最大值，最大值为225，故要使这种土特产每日销售的利润最大，每袋的销售价应定为25元，每日销售的最大利润是225元.【点睛】本题考查了一次函数的应用，二次函数的应用，正确分析得出各量间的关系并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键.22、（1）﹣1，﹣1；（1）详见解析；（3）函数关于x＝1对称；（4）0＜m＜1．【分析】（1）将点（0，0）、（1，3）代入函数y＝x1+ax﹣4|x+b|+4，得到关于a、b的一元二次方程，解方程组即可求得；（1）描点法画图即可；（3）根据图象即可得到函数关于x＝1对称；（4）结合图象找，当x＝﹣1时，y＝﹣1；当x＝1，y＝3；则当0＜m＜1时，方程x1+ax﹣4|x+b|+4＝x+m至少有3个不同的实数解．【详解】解：（1）将点（0，0）、（1，3）代入函数y＝x1+ax﹣4|x+b|+4（b＜0），得，解得a＝﹣1，b＝﹣1，故答案为﹣1，﹣1；（1）画出函数图象如图：（3）该函数的一条性质：函数关于x＝1对称；（4）∵方程x1+ax﹣4|x+b|+4＝x+m至少有3个不同的实数解∴二次函数y=x1+ax﹣4|x+b|+4的图像与一次函数y＝x+m至少有三个交点，根据一次函数图像的变化趋势，∴当0＜m＜1时，方程x1+ax﹣4|x+b|+4＝x+m至少有3个不同的实数解，故答案为0＜m＜1．【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，熟练掌握并灵活运用是解题的关键．23、（1）证明见解析；（2）BC=1；【分析】（1）连接OB，由圆周角定理得出∠ABC＝90°，得出∠C＋∠BAC＝90°，再由OA＝OB，得出∠BAC＝∠OBA，证出∠PBA＋∠OBA＝90°，即可得出结论；（2）证明△ABC∽△PBO，得出对应边成比例，即可求出BC的长．【详解】（1）连接OB，如图所示：∵AC是⊙O的直径，∴∠ABC＝90°，∴∠CBO+∠OBA＝90°，∵OC＝OB，∴∠C＝∠CBO，∴∠C+∠OBA＝90°，∵∠PBA＝∠C，∴∠PBA+∠OBA＝90°，即PB⊥OB，∴PB是⊙O的切线；（2）∵⊙O的半径为，∴OB＝，AC＝2，∵OP∥BC，∴∠C＝∠CBO＝∠BOP，又∵∠ABC＝∠PBO＝90°，∴△ABC∽△PBO，∴，即，∴BC＝1．【点睛】本题考查了切线的判定与性质、圆周角定理、平行线的性质、相似三角形的判定与性质；熟练掌握圆周角定理、切线的判定是解决问题的关键．24、（1）补全图形见解析；（2）平均数是6本，众数是6本，中位数是6本．（3）该单位800名职工共捐书有4800本．【分析】（1）根据总数和统计数据求解即可；（2）根据平均数，众数和中位数定义公式求解即可；（3）根据已知平均数乘以员工总数求解即可.【详解】解：（1）D组人数＝30﹣4﹣6﹣9﹣3＝8人，补图如下：．（2）平均数是：＝6（本），众数是6本，中位数是6本．（3）∵平均数是6本，∴该单位800名职工共捐书有6×800＝4800本．【点睛】本题主要考查了数据统计中的平均数，众数和中位数的问题，熟练掌握其定义与计算公式是解答关键.25、（1）y=-x2-2x+1，（-1，4）；（2）△BCD是直角三角形．理由见解析；（1）P1(0，0)，P2(0，−)，P1(−9，0)．【分析】（1）利用待定系数法即可求得函数的解析式；

（2）利用勾股定理求得△BCD的三边的长，然后根据勾股定理的逆定理即可作出判断；

（1）分p在x轴和y轴两种情况讨论，舍出P的坐标，根据相似三角形的对应边的比相等即可求解．【详解】（1）设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c

由抛物线与y轴交于点C（0，1），可知c=1．即抛物线的解析式为y=ax2+bx+1．

把点A（1，0）、点B（-1，0）代入，得解得a=-1，b=-2

∴抛物线的解析式为y=-x2-2x+1．

∵y=-x2-2x+1=-（x+1）2+4

∴顶点D的坐标为（-1，4）；

（2）△BCD是直角三角形．

理由如下：过点D分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为E、F．

∵在Rt△BOC中，OB=1，OC=1，

∴BC2=OB2+OC2=18

在Rt△CDF中，DF=1，CF=OF-OC=4-1=1，

∴CD2=DF2+CF2=2

在Rt△BDE中，DE=4，BE=OB-OE=1-1=2，

∴BD2=DE2+BE2=20

∴BC2+CD2=