2024成都中考数学第一轮专题复习之第三章 微专题 二次函数综合题 类型五~七 教学课件

二次函数综合题微专题满分技法(1)求作平行四边形①三定一动：如图①，分别过三个定点作对边的平行线，三条所作直线的交点即为所求动点；图①类型五特殊四边形存在性问题(8年2考)一阶

设问突破②两定两动：已知A，B为两定点，a．若AB为平行四边形的边，如图②，平移AB，确定另外两点位置；b．若AB为平行四边形的对角线，如图③，取AB中点，作过中点的直线确定另外两点的位置．③求点坐标的方法：a．线段中点坐标公式：在平面直角坐标系中，已知点A(x1，y1)，点B(x2，y2)，则线段AB的中点坐标为(，

)；b．平行四边形顶点坐标公式：平行四边形两条对角线两端点的横坐标之和相等，纵坐标之和相等．(2)求作矩形①AB为边时：如图④，分别过点A，B作AC1⊥AB，BC2⊥AB确定点C；图④②AB为对角线时：如图⑤，以AB为直径构造辅助圆．(3)求作菱形①AB为边时：如图⑥，图⑦，以点A或点B为圆心，AB长为半径作圆；图⑥图⑦图⑤②AB为对角线时：如图⑧，作AB的垂直平分线．(4)求作正方形①AB为边时：如图⑨，过点A，B分别作垂直于AB的直线；②AB为对角线时：如图⑩，作AB的垂直平分线．图⑨图⑩图⑧例

如图，抛物线y＝－x2－2x＋3与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C.(1)如图①，在平面内是否存在点D，使得以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由；例题图①解：(1)存在，理由如下：令y＝－x2－2x＋3＝0，解得x＝－3或x＝1，∴A(－3，0)，B(1，0).令x＝0，解得y＝3，∴C(0，3).如解图①，由作图可知，D1D2∥AB，∴点D1，D2的纵坐标都为3.∵以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，∴CD1＝CD2＝AB＝1－(－3)＝4，∴D1(－4，3)，D2(4，3)，由中点坐标公式可得D3横坐标为－2，纵坐标为－3，∴D3(－2，－3)，综上所述，满足条件的点D的坐标为(－4，3)或(4，3)或(－2，－3)；例题解图①(2)如图②，E是抛物线上一动点，若点G是对称轴上的点，当以点A，C，E，G为顶点的四边形是平行四边形时，求点E的坐标；例题图②(2)设点E的坐标为(m，－m2－2m＋3)，∵对称轴为直线x＝－1，∴点G的横坐标为－1，∴分三种情况讨论：①当以AC为对角线时，由中点坐标公式得

，∴m＝－2，∴－m2－2m＋3＝3，此时点E的坐标为(－2，3)；②当以AC为边，AE为对角线时，由中点坐标公式得

，∴m＝2.∴－m2－2m＋3＝－5，此时点E的坐标为(2，－5)；③当以AC为边，AG为对角线时，由中点坐标公式得

，∴m＝－4，∴－m2－2m＋3＝－5，此时点E的坐标为(－4，－5).综上所述，满足条件的点E的坐标为(－2，3)或(2，－5)或(－4，－5)；例题图②例题图③(3)E是抛物线上一动点，F是平面内任意一点，当以点B，C，E，F为顶点，且BC为边的四边形是矩形时，求出点E的坐标；(3)由(1)得A(－3，0)，B(1，0)，C(0，3).设直线BC的表达式为y＝kx＋b，将B(1，0)，C(0，3)代入∴直线BC的表达式为y＝－3x＋3.得

解得如解图②，∵以点B，C，E，F为顶点的四边形是以BC为边的矩形，∴分两种情况：例题解图②①当CE⊥BC时，易得直线CE的表达式为y＝

x＋3，联立解得x1＝－

，x2＝0(舍去)，此时点E的坐标为(－

，

)；②当BE⊥BC时，易得直线BE的表达式为y＝

x－

，联立解得x1＝－

，x2＝1(舍去)，此时点E的坐标为(－

，－

).例题解图②综上所述，点E的坐标为(－

，

)或(－

，－

)；

解题关键点矩形的一边BC固定，则分别过点B，点C作垂线即可，找点E或点F.例题图④(4)E是抛物线对称轴上一动点，Q是平面内任意一点，当以点A，C，E，Q为顶点的四边形是菱形时，求出点E的坐标；(4)∵y＝－x2－2x＋3＝－(x＋1)2＋4，∴抛物线对称轴为直线x＝－1.设点E的坐标为(－1，r)，∵A(－3，0)，C(0，3)，AC2＝32＋32＝18，∴AE2＝r2＋22＝r2＋4，CE2＝(3－r)2＋12＝r2－6r＋10.①当AC是菱形的边，AC＝AE时，如解图③，则r2＋4＝18，解得r1＝

，r2＝－

，∴点E的坐标为(－1，

)或(－1，－

)；AC＝CE时，如解图④，则r2－6r＋10＝18，解得r3＝3＋

，r4＝3－

，∴点E的坐标为(－1，3＋

)或(－1，3－

)；例题解图③例题解图④②当AC是菱形的对角线，AE＝CE时，如解图⑤，则r2＋4＝r2－6r＋10，解得r5＝1，∴点E的坐标为(－1，1).综上所述，点E的坐标为(－1，

)或(－1，－

)或(－1，3＋

)或(－1，3－

)或(－1，1)；例题解图⑤例题图⑤(5)P是直线AC上一动点，点Q是平面内一点，当以点B，C，P，Q为顶点的四边形是菱形时，求出点P的坐标；(5)由题意可得直线AC的表达式为y＝x＋3，设点P的坐标为(p，p＋3).∵B(1，0)，C(0，3)，∴BC2＝12＋32＝10，BP2＝(1－p)2＋[0－(p＋3)]2＝2p2＋4p＋10，CP2＝(0－p)2＋[3－(p＋3)]2＝2p2.①如解图⑥，当BC是菱形的边，BC＝BP时，2p2＋4p＋10＝10，解得p＝－2或p＝0(舍去)，∴点P的坐标为(－2，1)；当BC＝CP时，2p2＝10，解得p＝

或p＝－

，∴点P的坐标为(

，

＋3)或(－

，－

＋3)，例题解图⑥②如解图⑦，当BC是菱形的对角线时，BP＝CP，2p2＋4p＋10＝2p2，解得p＝－

，∴点P的坐标为(－

，

).综上所述，点P的坐标为(－2，1)或(

，

＋3)或(－

，－

＋3)或(－

，

)；例题解图⑦例题图⑥(6)E是抛物线上一动点，点N为直线AC上一动点，点K为坐标平面内一动点，若A，E，N，K四点构成的四边形为正方形，求出点E的坐标．(6)∵A(－3，0)，C(0，3)，∴OA＝OC＝3，∴△OAC是等腰直角三角形，∴∠OAC＝45°.若A，E，N，K四点构成的四边形为正方形，则△AEN是等腰直角三角形，①当AN为正方形对角线时，即AN为等腰直角三角形的斜边时，如解图⑧，此时点E1与B重合，E1(1，0)；例题解图⑧②当AN为正方形的边时，即AN为等腰直角三角形的直角边时，如解图⑨，∴∠N2AE2＝90°，∴∠OAC′＝45°，∴OA＝OC′，∴C′(0，－3)，∴直线AC′的函数表达式为y＝－x－3，∴－x－3＝－x2－2x＋3，解得x＝2或x＝－3(舍去)，∴E2(2，－5).当点N在线段AC上时，如解图⑩，点E4与B重合，E4(1，0)，综上所述，点E的坐标为(1，0)或(2，－5).例题解图⑩例题解图⑨探究相似三角形存在性问题的具体步骤：1.假设结论成立，分情况讨论：其中直角三角形找对应的直角关系，一般三角形中会存在隐含的等角；2.设未知，求边长．直接或间接设出所求点的坐标，然后表示出线段长；3.建立关系式并计算．利用三角函数或由相似三角形列出比例式，进行计算求解即可．满分技法类型六相似三角形问题(2020.28)一阶

设问突破例

如图，抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，OA＝OC＝3，点P在抛物线上．(1)如图①，若点P在第三象限，连接PB与线段AC交于点M，若△ABM∽△CPM，求点P的坐标；例题图①解：(1)∵OA＝OC＝3，∴A(－3，0)，C(0，－3).将A(－3，0)，C(0，－3)代入y＝x2＋bx＋c，∴抛物线的函数表达式为y＝x2＋2x－3.∵△ABM∽△CPM，∴∠ABM＝∠CPM，∴CP∥AB.令y＝x2＋2x－3中y＝－3，得x＝0或x＝－2.∵点P在第三象限内，∴点P的坐标为(－2，－3)；例题图①得

解得(2)如图②，连接BC，若点P在第三象限，过点P作PQ⊥AC于点Q，是否存在点P，使得△PCQ和△BOC相似？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由；例题图②(2)存在．∵A(－3，0)，C(0，－3)，∴直线AC的表达式为y＝－x－3.如解图，过点P作PN⊥x轴于点N，与AC相交于点G，过点G作GR⊥OC于点R，例题解图设点P的坐标为(x，x2＋2x－3)，则点G的坐标为(x，－x－3)，∴PG＝－x－3－(x2＋2x－3)＝－x2－3x，GR＝－x，∴GC＝－

x.∵PG∥y轴，PQ⊥AC，∴∠PGC＝45°，则△PQG是等腰直角三角形，∴QG＝PQ＝

PG＝

(－x2－3x)，∴QC＝GC－QG＝－

x－

(－x2－3x)＝

x2＋

x，令y＝x2＋2x－3中y＝0，得x1＝－3或x2＝1，∴点B的坐标为(1，0)，∴OB＝1.例题解图①当△QCP∽△OCB时，

，∴x2＋

x＝3×

(－x2－3x)，解得x＝0(舍去)或x＝－

，此时点P的坐标为(－

，－

)；②当△QCP∽△OBC时，

，∴

(－x2－3x)＝3×(

x2＋

x)，解得x＝0(舍去)或x＝－

，此时点P的坐标为(－

，－

).综上所述，点P的坐标为(－

，－

)或(－

，－

)；例题解图(3)存在，∵y＝x2＋2x－3＝(x＋1)2－4，∴点D的坐标为(－1，－4)，∴AD＝

＝2，CD＝

＝

，AC＝

＝3.∵(3)2＋(

)2＝(2

)2，即AC2＋CD2＝AD2，∴△ACD是直角三角形，∠ACD＝90°，设点P的坐标为(x，x2＋2x－3)，则点F的坐标为(x，0)，∴FA＝|x＋3|，PF＝|x2＋2x－3|.(3)如图③，抛物线的顶点为D，过点P作PF⊥x轴于点F，抛物线上是否存在点P，使得△APF与△ACD相似？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由；例题图③①当△AFP∽△ACD时，

，即

，整理得3x2＋5x－12＝0或3x2＋7x－6＝0，解得x1＝

，x2＝－3(舍去)，x3＝

，x4＝－3(舍去)，∴点P的坐标为(

，

)或(

，－

).②当△PFA∽△ACD时，

，即

，整理得x2－x－12＝0或x2＋5x＋6＝0，解得x1＝4，x2＝－3(舍去)，x3＝－2，x4＝－3(舍去)，∴点P的坐标为(4，21)或(－2，－3).例题图③综上所述，点P的坐标为(，

)或(

，－

)或(4，21)或(－2，－3)；(4)由(2)知直线AC的函数表达式为y＝－x－3，令x＝－1，得y＝－2，∴点D的坐标为(－1，－2).设P(m，m2＋2m－3)，N(－1，n)(n＞－2)，则DN＝n＋2.分情况讨论：①当∠DNP＝90°时，△DNP∽△AOC，∴DN＝PN，∴n＝m2＋2m－3，n＋2＝|m＋1|，解得m1＝－2(舍)，m2＝1，m3＝0(舍)，m4＝－3，∴n2＝n4＝0，∴N1(－1，0)；(4)连接AC交抛物线的对称轴于点D，在D点上方的抛物线对称轴上有一点N，当△DPN与△AOC相似时，求出点N的坐标．例题图④例题图④②当∠PDN＝90°时，△PDN∽△AOC，∴DP＝DN，∴m2＋2m－3＝－2，n＋2＝|m＋1|，解得m1＝－1＋

，m2＝－1－

.∵n＋2＝|m＋1|，∴n＝

－2，∴N2(－1，

－2)；③当∠DPN＝90°时，△DPN∽△AOC，∴DP＝PN，∴x轴是△DPN斜边的垂直平分线，∴点D和点N关于x轴对称，∴N3(－1，2).综上所述，点N的坐标为(－1，0)或(－1，

－2)或(－1，2).例

如图，抛物线y＝－x2＋3x＋4与x轴交于A，B两点(点A在点B左侧)，与y轴交于点C，对称轴为直线l.(1)如图①，点G是y轴上一点，连接AC，若AG恰好平分∠OAC，求点G的坐标；一阶

设问突破例题图①类型七角度问题(8年2考：2021.28，2018.28)解：(1)如解图①，过点G作GH⊥AC于点H，设点G的坐标为(0，n)，令y＝0时，即－x2＋3x＋4＝0，解得x1＝4，x2＝－1，∴A(－1，0)，B(4，0).令x＝0时，则y＝4，∴C(0，4).∵AG平分∠OAC，GO⊥AO，GH⊥AC，∴∠GHA＝∠AOC＝90°.设GH＝GO＝n，∵∠GCH＝∠ACO，∴△CHG∽△COA，∴，例题解图①∵A(－1，0)，C(0，4)，∴在Rt△AOC中，AC＝

＝

，∴，解得n＝

，∴点G的坐标为(0，

)；例题解图①(2)已知点P是抛物线对称轴上一点，当∠PCB＝15°时，求点P的坐标；例题图②【思维教练】因为点P在抛物线的对称轴l上运动，当∠PCB＝15°时，分点P在直线BC上方和点P在直线BC下方两种情况讨论即可．(2)根据题意可得抛物线的对称轴为直线x＝－

＝

，∵点P是抛物线对称轴上的点，∴点P的横坐标为

.由(1)知，OB＝OC＝4，∴∠OCB＝45°.①如解图②，当点P位于直线BC上方时，连接CP并延长交x轴于点D.∵∠PCB＝15°，∴∠DCO＝∠PCB＋∠OCB＝60°，∴∠CDO＝30°，∴CD＝2OC＝8，∴OD＝

＝4，∴D(4，0).设直线CD的表达为y＝kx＋b(k≠0)，把点C(0，4)，D(4，0)代入y＝kx＋b(k≠0)中，∴直线CD的表达式为y＝－

x＋4，当x＝

时，y＝－

×

＋4＝4－

，∴点P的坐标为(

，4－

)；得

解得

例题解图②②如解图③，当点P位于直线BC下方时，连接CP并延长交x轴于点E.∵∠PCB＝15°，∴∠PCO＝∠OCB－∠PCB＝30°，设OE＝x，则CE＝2x，在Rt△COE中，OC2＋OE2＝CE2，∴42＋x2＝(2x)2，解得x1＝－

(舍去)，x2＝

，∴E(，0)，例题解图③设直线CE的表达为y＝k1x＋b1(k1≠0)，把点C(0，4)，E(，0)代入y＝k1x＋b1(k1≠0)中，∴直线CE的表达式为y＝－

x＋4，得

解得当x＝

时，y＝－

×

＋4＝4－

，∴点P的坐标为(

，4－

).综上所述，点P的坐标为(

，4－

)或(

，4－

)；例题解图③(3)如图③，P为抛物线x轴上方一点，连接AC，BP，若∠PBA＋∠ACB＝90°，求点P的坐标；例题图③【思维教练】构造直角，通过等角转换得到两