高中数学《离散型随机变量的均值》教案、导学案与同步练习

《7.3.1离散型随机变量的均值》教案

【教材分析】

本节课选自《2019人教A版高中数学选择性必修第三册》，第七章《随机变量及其分布

列》，本节课主本节课主要学习离散型随机变量的均值

本节本部分内容主要包括随机变量的均值和方差。本节课是前面学习完随机变量分布列的

基础上进行研究的，知识上具有着承前启后的作用。随机变量的均值和方差是概率论和数

理统计的重要概念，节课是从实际出发，通过抽象思维，建立数学模型，进而认知数学理

论，应用于实际的过程。

【教学目标与核心素养】

课程目标学科素养

A.理解离散型随机变量的均值的意义和性质.1.数学抽象：离散型随机变量的均值的概念

B.会根据离散型随机变量的分布列求出均值.2.逻辑推理：离散型随机变量的均值的性质

C.会利用离散型随机变量的均值解决一些相关3.数学运算：求离散型随机变量的均值

的实际问题.4.数学建模：模型化思想

【重点与难点】

重点：离散型随机变量的均值的意义和性质

难点：用离散型随机变量的均值解决一些相关的实际问题

【教学过程】

教学过程教学设计

一、问题导学

对于离散型随机变量，可以由它的概率分布列确定与该随机变量相关事件

的概率。但在实际问题中，有时我们更感兴趣的是随机变量的某些数字特

征。例如，要了解某班同学在一次数学测验中的总体水平，很重要的是看通过知识回顾，

平均分；要了解某班同学数学成绩是否“两极分化”则需要考察这个班数提出问题.

学成绩的方差。

我们还常常希望直接通过数字来反映随机变量的某个方面的特征，最常用

的有期望与方差.

二、探究新知

探究1.甲乙两名射箭运动员射中目标靶的环数的分布列如下表所示：如何

比较他们射箭水平的高低呢？

环数X78910

甲射中的概率0.10.20.30.4

乙射中的概率0.150.250.40.2

类似两组数据的比较,首先比较击中的平均环数,如果平均环数相等，再看

稳定性.假设甲射箭n次，射中7环、8环、9环和10环的频率分别为：甲

n次射箭射中的平均环数通过具体的问题

情境，引发学生

x=7x2+8+9x2+10x—

nnnn思考积极参与互

当n足够大时，频率稳定于概率，所以x稳定于动，说出自己见

7X0.1+8X0.2+9X0.3+10X0.4=9.解。从而引入离

即甲射中平均环数的稳定值(理论平均值)为9,散型随机变量分

这个平均值的大小可以反映甲运动员的射箭水平.布列均值的概

同理,乙射中环数的平均值为7X0.15+8X0.25+9X0.4+10X0.2=8.65.念，发展学生逻

辑推理、数学运

从平均值的角度比较，甲的射箭水平比乙高.算、数学抽象和

离散型随机变量取值的平均值.数学建模的核心

一般地，若离散型随机变量X的概率分布为：则称E(X)=/pi+x2P2+素养。

",+xiPi++xnPn

为随机变量X的均值(mean)或数学期望(mathematicalexpectation),数学

期望简称期望.均值是随机变量可能取值关于取值概率的加权平均数,它综

合了随机变量的取值和取值的概率,反映了随机变量取值的平均水平.

XX・・・X・・・X

X12n

PPP・・・P・・・P

I2n

三、典例解析

例I.在篮球比赛中，罚球命中1次得1分,不中得0分,如果某运动员罚球

命中的概率为0.8,那么他罚球1次的得分X的均值是多少？

分析:罚球有命中和不中两种可能结果,命中时X=l,不中时X=0,因此随机变

量X服从两点分布,X的均值反映了该运动员罚球1次的平均得分水平.

解：因为P(X=l)=0.8,P(X=0)=0.2,

所以E(X)=1XP(X=l)+0XP(X=0)=1X0.8+0X0.2=0.8

即该运动员罚球1次的得分X的均值是0.8.

一般地，如果随机变量X服从两点分布，

通过典例解析，

那么：£(X)=1xp+0x(1-p)=p.

提升对概念精细

化的理解。引出

X10

两点分布均值的

概念。发展学生

PP1-p

逻辑推理，直观

例2.抛掷一枚质地均匀的骰子，设出现的点数为X,求X的均值.

想象、数学抽象

分析:先求出X的分布列,再根据定义计算X的均值。

和数学运算的核

解：X的分布列为P(X=k)=；,k=l,2,3,4,5,6

心素养。

因此，E(X)=工(l+2+3+4+5+6)=3.5.

6

求离散型随机变量X的均值的步骤：

(1)理解X的实际意义，写出X全部可能取值；

(2)求出X取每个值时的概率；

(3)写出X的分布列(有时也可省略)；

(4)利用定义公式E(X)=£?=逐通求出均值

跟踪训练1.某地最近出台一项机动车驾照考试规定：每位考试者一年之内

最多有4次参加考试的机会，一旦某次考试通过，即可领取驾照，不再参

加以后的考试，否则就一直考到第4次为止.如果李明决定参加驾照考

试，设他每次参加考试通过的概率依次为0.6,0.7,0.8,0.9,求在一年内

李明参加驾照考试次数X的分布列和X的均值.

［解］X的取值分别为1,2,3,4.

X=l,表明李明第一次参加驾照考试就通过了，

故P(X=D=0.6.

X=2,表明李明第一次考试未通过，

第二次通过了，故P(X=2)=(1—0.6)*0.7=0.28.

X=3,表明李明第一、二次考试未通过，第三次通过了，

故P(X=3)=(1-0.6)X(1-0.7)X0.8=0.096.

X=4,表明李明第一、二、三次考试都未通过，

故P(X=4)=(1-0.6)X(1-0.7)X(1-0.8)=0.024.

通过典例解析，

所以李明一年内参加考试次数X的分布列为

深化概率的理

X1231

解。发展学生逻

P0.60.280.0960.024

辑推理，直观想

所以X的均值为均X)=1X0.6+2X0.28+3X0.096+4X0.024=1.544.

象、数学抽象和

探究2.已知X是一个随机变量，且分布列如下表所示.

数学运算的核心

设a,b都是实数且a#0,,则丫=aX+b也是一个随机变量，那么，这两个

素养。

随机变量的均值之间有什么...联系呢？...

■“2■■

・・・・・・

PP1P2PiPn

离散型随机变量的均值的性质

若X,丫是两个随机变量,且Y=aX+b,则有E(Y)=aE(X)+b,即随机变量X的线

性函数的均值等于这个随机变量的均值E(X)的同一线性函数.特别地：

(1)当a=0时,E(b)=b,即常数的均值就是这个常数本身.

(2)当a=l时,E(X+b)=E(X)+b,即随机变量X与常数之和的均值等于X的均

值与这个常数的和.

(3)当b=0时,E(aX)=aE(X),即常数与随机变量乘积的均值等于这个常数与

随机变量的均值的乘积.

例3:猜歌名游戏是根据歌曲的主旋律制成的铃声来猜歌名.某嘉宾参加猜

歌名节目，猜对每首歌曲的歌名相互独立，猜对三首歌曲A,B,C歌名的

概率及猜对时获得相应的公益基金如下表所示：

规则如下：按照A,B,C的顺序猜，只有猜对当前歌曲的歌名才有资格猜

下一首，求嘉宾获得的公益基金总额X的分布列及均值.

歌曲ABC

猜对的概率0.80.60.4

获得的公益基金额/元100020003000

解：分别用A,B,C表示猜对歌曲A,B,C歌名的事件，A,B,C相互独立

P(X=O)=P(彳)=0.2,

P(X=1000)=P(A万)=0.8X0.4=0.32,

P(X=3000)=P(ABC)=0.8X0.6X0.6=0.288,

(X=6000)=UBC)=0.8X0.6X0.4=0.192.

X的分布列如下表所示：

X0100040006000

P0.20.480.1280.192

X的均值为E(X)=0X0.2+1000X0.32+3000X0.288+6000X0.192=2336.

思考：如果改变猜歌的顺序，获得公益基金的均值是否相同？如果不同，

你认为哪个顺序获得的公益基金均值最大？

解：如越MB的刘林却心分别用A,B,C表示猜对歌曲A,B,C歌名的事

件，

A,B,C相互独立;(X=0)=P(Z)=0.2,

(X=1000)=P(AC)=0.8X0.4=0.32,

P(X=3000)=PUCB)=0.8X0.4X0.4=0.128,

(X=6000)=(4CB)=0.8X0,4X0.6=0.192.

X的分布列如下表所示：

X0100030006000

P0.20.320.2880.192

X的均值为E(X)=0x0.2+1000x0.48+4000x0.128+6000x0.192

=2144.

就由・卿（的,蝴的公第法的均nx

猜歌顺序E(X)/元猜歌顺序E(X)/元

ABC2336BCA2112

ACB2144CAB1904

BAC2256CBA1872

例4.根据气象预报，某地区近期有小洪水的概率为0.25,有大洪水的概率

为0.01,该地区某工地上有一台大型设备，遇到大洪水时要损失60000

元，遇到小洪水时要损失10000元。为保护设备，有以下三种方案：

方案1：运走设备，搬运费为3800元。

方案2：建保护围墙，建设费为2000元，但围墙只能挡住小洪水。

方案3：不采取措施，希望不发生洪水。

工地的领导该如何决策呢？

分析:决策目标为总损失（投入费用与设备损失之和）越小越好,根据题意，各

种方案在不同状态下的总损失如表所示：

天气状况

大洪水小洪水没有洪水

概率0.010.250.74

总损失/元方案1380038003800

方案26200020002000

方案360000100000

方案2和方案3的总损失都是随机变量,可以采用期望总损失最小的方案。

解:设方案1、方案2、方案3的总损失分别为X,X,X.

123

采用方案1,无论有无洪水,都损失3800元.因此,P(X=3800)=1.

!

采用方案2,遇到大洪水时，总损失为2000+6000=62000元;没有大洪水时，

总损失为2000元,因此,P(X=62000)=0.01,P(X=2000)=0.99.

22

采用方案3,P(X=60000)=0.01,P(X=10000)=0.25,P(X=0)=0.74.

333

于是,E(X)=3800,

i

E(X)=62000X0.01+2000X0.99=2600,

2

E(X)=60000X0.01+10000X0.25+0X0.74=3100.

3

因此,从期望损失最小的角度,应采取方案2.

值得注意的是，上述结论是通过比较“期望总损失”而得出的,一般地，我们

可以这样来理解“期望总损失”：如果问题中的天气状况多次发生，那么采

用方案2将会使总损失减到最小,不过,因为洪水是否发生以及洪水发生的

大小都是随机的,所以对于个别的一次决策,采用方案2也不一定是最好的.

三、达标检测

1.若随机变量X的分布列为通过练习巩固本

X-101

节所学知识，通

1j_1

P

263过学生解决问

则E(X)=()题，发展学生的

数学运算、逻辑

A.0B.-1C.——D.——

推理、直观想

C[E(X)=(—1)x1+0x1+1]

2636象、数学建模的

2.某射手对靶射击,直到第一次命中为止,每次命中的概率为0.6,现有4颗核心素养。

子弹，命中后的剩余子弹数目X的数学期望为()

A.2.44B.3.376C.2.376D.2.4

解析:X的可能取值为3,2,1,0,P(X=3)=0.6;

2

P(X=2)=0.4X0.6=0.24;P(X=l)=0.4X0.6=0.096;

3

P(X=0)=0.4=0.064.

所以E(X)=3X0.6+2X0.24+1X0.096+0X0.064=2.376.

答案:C

3.已知C的分布列如下表,若n=3g+2,则E(n)=.

号123

11

Pt

23

解析：因为;+t+91,所以tg.

23o

E(€)=ixi+2xi+3xi=-.

2636

E(n)=E(3C+2)=3E(€)+2=3X-+2=-.

62

答案与

4.设1为平面上过点(0,1)的直线，1的斜率等可能地取-2夜，-遍

当0,泉遮,2V2.用X表示坐标原点到1的距离,则随机变量X的数学期望

E(X)=.

解析:当1的斜率k=±2近时，直线方程为土2鱼x-y+l=0,此时d《;k=土百

时,直线方程为土gx-y+l=0,此时d2);k=土争寸,直线方程为土争-y+l=0,

此时d3=|;k=0时,直线方程为y-l=0,此时d1=l.由等可能性事件的概率可得

分布列为

112

X1

323

2221

P

7777

^^E(X)=ix|+ix|+|x^lxl=i

答案彳

5.口袋里装有大小相同的8张卡片,其中3张标有数字1,3张标有数字2,2

张标有数字3.第一次从口袋里任意抽取1张,放回口袋里后第二次再任意

抽取1张,记第一次与第二次取到卡片上数字之和为€.求：

(1)C为何值时,其发生的概率最大?并说明理由.

(2)随机变量€的数学期望量&).

解：(1)随机变量&的可能取值是2,3,4,5,6,

当g=4时,其发生的概率最大.

因为P(g=2)得=看,

P(g=3)=亨=竺=工

826432

32+2X3X221

P(E-产=64，

p(5)=2X^2=12=±

P(.6)考=±=工,

826416

故当g=4时满足题意.

⑵E(g)=2X"3X*44去5Xa6X|=/

四、小结

1.求离散型随机变量均值的步骤通过总结，让学

(1)确定离散型随机变量X的取值；

生进一步巩固本

(2)写出分布列，并检查分布列的正确与否；

节所学内容，提

(3)根据公式写出均值.

高概括能力。

2.若X,丫是两个随机变量，且丫=a*+1>,则E(Y)=aE(X)+b；如果一个

随机变量服从两点分布，可直接利用公式计算均值.

【教学反思】

本节课需要学生探究的内容比较多，由于学生的数学基础比较薄弱，所以在教学过程中教

师不仅要耐心的指导，还要努力创设一个轻松和谐的课堂氛围，让每个学生都能大胆的说

出自己的想法，保证每个学生都能学有所得。为了让每个学生在课上都能有话说，还需要

学生做到课前预习，并且教师要给学生提出明确的预习目标。进一步发展学生直观想象、

数学抽象、逻辑推理和数学运算的核心素养。

《7.3.1离散型随机变量的均值》导学案

【学习目标】

1.理解离散型随机变量的均值的意义和性质.

2.会根据离散型随机变量的分布列求出均值.

3.会利用离散型随机变量的均值解决一些相关的实际问题.

【重点与难点】

重点：离散型随机变量的均值的意义和性质

难点：用离散型随机变量的均值解决一些相关的实际问题

【知识梳理】

1.随机变量X的均值：一般地，若离散型随机变量X的概率分布为：则称E(X)=x1pi+

X2P2+…+XiPi+…+XnPn

XXX・・・X•••X

12n

PPP・・・P・・・P

12n

为随机变量X的均值(mean)或数学期望(mathematicalexpectation),数学期望简称期望.

均值是随机变量可能取值关于取值概率的加权平均数，它综合了随机变量的取值和取值的概

率,反映了随机变量取值的平均水平.

2.两点分布的均值：一般地，如果随机变量X服从两点分布，

那么：E(X)=lxp+Ox(l-p)=p.

X10

pp1-p

3.离散型随机变量的均值的性质：已知X是一个随机变量，且分布列如下表所示.

PPlP2…Pi…Pn

若x,Y是两个随机变量，且Y=aX+b,则有E(Y)=aE(X)+b,即随机变量X的线性函数的均值等

于这个随机变量的均值E(X)的同一线性函数.特别地：

(1)当a=0时,E(b)=b,即常数的均值就是这个常数本身.

(2)当a=l时,E(X+b)=E(X)+b,即随机变量X与常数之和的均值等于X的均值与这个常数的

和.

(3)当b=0时,E(aX)=aE(X),即常数与随机变量乘积的均值等于这个常数与随机变量的均值

的乘积.

【学习过程】

一、问题探究

对于离散型随机变量，可以由它的概率分布列确定与该随机变量相关事件的概率。但在实

际问题中，有时我们更感兴趣的是随机变量的某些数字特征。例如，要了解某班同学在-

次数学测验中的总体水平，很重要的是看平均分；要了解某班同学数学成绩是否“两极分

化”则需要考察这个班数学成绩的方差。

我们还常常希望直接通过数字来反映随机变量的某个方面的特征，最常用的有期望与方差.

探究1.甲乙两名射箭运动员射中目标靶的环数的分布列如下表所示：

如何比较他们射箭水平的高低呢？

环数X78910

甲射中的0.10.20.30.4

概率

乙射中的0.150.250.40.2

概率

二、典例解析

例1.在篮球比赛中，罚球命中1次得1分,不中得0分,如果某运动员罚球命中的概率为

0.8,那么他罚球1次的得分X的均值是多少？

例2.抛掷•枚质地均匀的骰子,设出现的点数为X,求X的均值.

求离散型随机变量X的均值的步骤：

(1)理解X的实际意义，写出X全部可能取值；

(2)求出X取每个值时的概率；

(3)写出X的分布列(有时也可省略)；

(4)利用定义公式E(X)=£UxiPi求出均值

跟踪训练1.某地最近出台一项机动车驾照考试规定：每位考试者一年之内最多有4次参加

考试的机会，一旦某次考试通过，即可领取驾照，不再参加以后的考试，否则就一直考到

第4次为止.如果李明决定参加驾照考试，设他每次参加考试通过的概率依次为

0.6,0.7,0.8,0.9,求在一年内李明参加驾照考试次数X的分布列和X的均值.

例3:猜歌名游戏是根据歌曲的主旋律制成的铃声来猜歌名.某嘉宾参加猜歌名节目，猜对

每首歌曲的歌名相互独立，猜对三首歌曲A,B,C歌名的概率及猜对时获得相应的公益基

金如下表所示：

规则如下：按照A,B,C的顺序猜，只有猜对当前歌曲的歌名才有资格猜下一首，求嘉宾

获得的公益基金总额X的分布列及均值.

歌曲ABC

猜对的概率0.80.60.4

获得的公益基金额/元100020003000

思考：如果改变猜歌的顺序，获得公益基金的均值是否相同？如果不同，你认为哪个顺序

获得的公益基金均值最大？

例4.根据气象预报，某地区近期有小洪水的概率为0.25,有大洪水的概率为0.01,该地

区某工地上有一台大型设备，遇到大洪水时要损失60000元，遇到小洪水时要损失10000

元。为保护设备，有以下三种方案：

方案1：运走设备，搬运费为3800元。

方案2：建保护围墙，建设费为2000元，但围墙只能挡住小洪水。

方案3：不采取措施，希望不发生洪水。

工地的领导该如何决策呢？

值得注意的是,上述结论是通过比较“期望总损失”而得出的，一般地,我们可以这样来理解

“期望总损失”：如果问题中的天气状况多次发生,那么采用方案2将会使总损失减到最小，

不过,因为洪水是否发生以及洪水发生的大小都是随机的,所以对于个别的一次决策,采用方

案2也不一定是最好的.

【达标检测】

1.若随机变量X的分布列为

X-101

111

P

263

则E(X)=()

11

A.0B.-1C.-gD.15

2.某射手对靶射击,直到第一次命中为止,每次命中的概率为0.6,现有4颗子弹,命中后的

剩余子弹数目X的数学期望为()

A.2.44B.3.376C.2.376D.2.4

3.已知€的分布列如下表,若n=3&+2,贝！］E(n)=.

€123

11

Pt

23

4.设1为平面上过点(0,1)的直线，1的斜率等可能地取-2也S,-当0,今6,2V2.用X

表示坐标原点到1的距离,则随机变量X的数学期望E(X)=.

5.口袋里装有大小相同的8张卡片,其中3张标有数字1,3张标有数字2,2张标有数字3.

第一次从口袋里任意抽取1张，放回口袋里后第二次再任意抽取1张,记第一次与第二次取

到卡片上数字之和为&.求：

(1)g为何值时,其发生的概率最大?并说明理由.

⑵随机变量€的数学期望E(g).

【课堂小结】

1.求离散型随机变量均值的步骤

(D确定离散型随机变量X的取值：

(2)写出分布列，并检查分布列的正确与否；

(3)根据公式写出均值.

2.若X,丫是两个随机变量，且Y=aX+b,则E(Y)=aE(X)+b；如果一个随机变量服从两

点分布，可直接利用公式计算均值.

【参考答案】

学习过程

一、问题探究

探究1.类似两组数据的比较,首先比较击中的平均环数,如果平均环数相等，再看稳定性.

假设甲射箭n次，射中7环、8环、9环和10环的频率分别为：

甲n次射箭射中的平均环数

x=7x—+8x-^2-4-9x-^2.+10x

nnnn

当n足够大时,频率稳定于概率，所以x稳定于7X0.1+8X0.2+9X0.3+10X0.4=9.

即甲射中平均环数的稳定值(理论平均值)为9,

这个平均值的大小可以反映甲运动员的射箭水平.

同理，乙射中环数的平均值为7X0.15+8X0.25+9X0.4+10X0.2=8.65.

从平均值的角度比较，甲的射箭水平比乙高.

二、典例解析

例1.分析：罚球有命中和不中两种可能结果,命中时X=l,不中时X=0,因此随机变量X服从

两点分布,X的均值反映了该运动员罚球1次的平均得分水平.

解：因为P(X=1)=O.8,P(X=O)=O.2,

所以E(X)=1XP(X=l)+0*P(X=0)=1X0.8+0X0.2=0.8

即该运动员罚球1次的得分X的均值是0.8.

例2.分析:先求出X的分布列,再根据定义计算X的均值。

解：X的分布列为P(X=k)=ik=l,2,3,4,5,6

6

因此,E(X)=工(l+2+3+4+5+6)=3.5.

6

跟踪训练1.［解］X的取值分别为1,2,3,4.

X=l,表明李明第一次参加驾照考试就通过了，

故P(X=1)=O.6.

X=2,表明李明第一次考试未通过，

第二次通过了，故P(X=2)=(1—0.6)X0.7=0.28.

X=3,表明李明第一、二次考试未通过，第三次通过了,

故P(X=3)=(1-0.6)X(1-0.7)X0.8=0.096.

X=4,表明李明第一、二、三次考试都未通过，

故P(X=4)=(1-0.6)X(1-0.7)X(1-0.8)=0.024.

所以李明一年内参加考试次数X的分布列为

X1234

p0.60.280.0960.024

所以X的均值为均X)=1X0.6+2X0.28+3X0.096+4X0.024=1.544.

例3:解：分别用A,B,C表示猜对歌曲A,B,C歌名的事件，A,B,C相互独立

(X=0)=(A)=0.2,

(X=1000)=(AB)=0.8X0.4=0.32,

P(X=3000)=PUBC)=0.8X0.6X0.6=0.288,

(X=6000)=(ABC)=0.8X0.6X0.4=0.192.

X的分布列如下表所示：

X0100040006000

P0.20.480.1280.192

X的均值为E(X)=0X0.2+1000X0.32+3000X0.288+6000X0.192=2336.

思考：解：加果按*03的分别用A,B,C表示猜对歌曲A,B,C歌名的事件,

A,B.C相互独立；(X=0)=(A)=0.2,

(X=1000)=(AC)=0.8X0.4=0.32,

P(X=3000)=PUCB)=0.8X0.4X0.4=0.128,

(X=6000)=(4CB)=0.8X0.4X0.6=0.192.

X的分布列如下表所示：

X0100030006000

p0.20.320.2880.192

X的均值为E(X)=0x0.2+1000x0.48+4000x0.128+6000x0.192=2144.

按由•我■的蜘的公UK的微H次

猜歌顺序E(X)/元猜歌顺序E(X)/元

ABC2336BCA2112

ACB2144CAB1904

BAC2256CBA1872

例4.分析:决策目标为总损失(投入费用与设备损失之和)越小越好,根据题意,各种方案在

不同状态下的总损失如表所示：

天气状况

大洪水小洪水没有洪水

概率0.010.250.74

总损失/元方案1380038003800

方案26200020002000

方案360000100000

方案2和方案3的总损失都是随机变量,可以采用期望总损失最小的方案。

解:设方案1、方案2、方案3的总损失分别为X,X,X.

I23

采用方案1,无论有无洪水,都损失3800元.因此,P(X=3800)=1.

1

采用方案2,遇到大洪水时，总损失为2000+6000=62000元;没有大洪水时，

总损失为2000元,因此,P(X=62000)=0.01,P(X=2000)=0.99.

22

采用方案3,P(X=60000)=0.01,P(X=10000)=0.25,P(X=0)=0.74.

于是，E(X)=3800,

1

E(X)=62000X0.01+2000X0.99=2600,

2

E(X)=60000X0.01+10000X0.25+0X0.74=3100.

3

因此,从期望损失最小的角度,应采取方案2.

达标检测

1.C[E(X)—(—1)X-1+0X^+lx|=—]

2636

2.解析:X的可能取值为3,2,1,0,P(X=3)=0.6;

P(X=2)=0.4X0.6=0.24;

2

P(X=l)=0.4X0.6=0.096;

3

P(X=O)=0.4=0.064.

所以E(X)=3X0.6+2X0.24+1X0.096+0X0.064=2.376.

答案:C

3.解析：因为:+t+：=l,所以t=4.

236

E(€)=ixi+2xi+3xi=-.

2636

E(n)=E(3&+2)=3E(C)+2=3X-+2=^.

62

答案与

4.解析：当1的斜率k=±2&时，直线方程为±2夜x-y+l=O,此时d《;k=土百时，直线方程

为土V5x-y+l=0,此时d弓k=±争寸,直线方程为土等-y+l=0,此时d3-|;k=0时,直线方程

为y-l=0,此时di=l.由等可能性事件的概率可得分布列为

112

X1

323

2221

P

7777

所以E(X)=X+*+|x_lX；/

答案:;

5.解：（1）随机变量€的可能取值是2,3,4,5,6,

当自=4时,其发生的概率最大.

因为P(g-2)或=白

8Z64

2

P(g二3)二2X3_189

­32,

n/e人2XX21

P(g=4)-3-+2--32=

64f

P(g=5)=^^123

8N64

P(W=6)=g=41

6416

故当8=4时满足题意.

(2)E(€)=2X—+3X—+4X—+5X—+6X—=15

4

《7.3.1离散型随机变量的均值》基础训练

一、选择题

1.甲、乙两名射手一次射击得分（分别用X”均表示）的分布列如下:

则甲、乙两人的射击技术相比（）

A.甲更好B.乙更好C.甲、乙一样好D.不可比较

2.设&的分布列为

1234

1j_j_

P

6633

又设n=2g+5,则E（n）等于（）

3.某人进行一项实验，若实验成功，则停止实验，若实验失败，再重新实验一次，若实验

3次均失败，则放弃实验，若此人每次实验成功的概率为（，则此人实验次数&的期望是

（）

4「13八5八13

AA.-B.—C.-D.—

3937

4.某企业计划加大技改力度，需更换一台设备，现有两种品牌的设备可供选择，A品牌

设备需投入60万元，B品牌设备需投入90万元，企业对两种品牌设备的使用年限情况进

行了抽样调查：

A品牌的使用年限2345

概率0.40.30.20.1

B品牌的使用年限2345

概率0.10.30.40.2

更换设备技改后，每年估计可增加效益100万元，从年均收益的角度分析：（）

A.不更换设备B.更换为A设备

C.更换为3设备D.更换为A或3设备均可

5.（多选题）已知随机变量X的分布列为

X4a910

P0.30.1b0.2

若E（X）=7.5,则以下结论正确的是（）

A.a—1B.b=OA

c.E（aX）=52.5D.E（X+b）=7.9

6.（多选题）设Ovpvl,随机变量J的分布列如下，则下列结论正确的有（）

012

Pp-p2P2l-p

A.E（4）随着〃的增大而增大B.随着〃的增大而减小

C.P（=0）＜P（4=2）D.2（？=2）的值最大

二、填空题

7.设X是一个离散型随机变量，其分布列为：

X123

J_2

pi-q

2q-q

则X的数学期望为.

8.已知某位运动员投篮一次命中的概率是未命中概率的4倍，设随机变量X为他投篮一次

命中的个数，则X的期望是.

9.在一个不透明的摸奖箱中有五个分别标有1,2,3,4,5号码的大小相同的小球，现甲

、乙、丙三个人依次参加摸奖活动，规定：每个人连续有放回地摸三次，若得到的三个球编

号之和恰为4的倍数，则算作获奖，记获奖的人数为X，则X的数学期望为.

10.“四书”是《大学》《中庸》《论语》《孟子》的合称，又称“四子书”，在世界文化

史、思想史上地位极高，所载内容及哲学思想至今仍具有积极意义和参考价值.为弘扬中国

优秀传统文化，某校计划开展“四书”经典诵读比赛活动.某班有4位同学参赛，每人从

《大学》《中庸》《论语》《孟子》这4本书中选取1本进行准备，且各自选取的书均不相

同.比赛时，若这4位同学从这4本书中随机抽取1本选择其中的内容诵读，则抽到自己准

备的书的人数的均值为.

三、解答题

11.甲乙两人为了培养自己的体育素养，分别进行乒乓球和羽毛球两场比赛，两场比赛

中，胜者得2分、败者得0分，每场比赛一定会分出胜负，其中甲在两场比赛中胜出的概

率分别为：］3和女1，每场比赛相互独立，谁最终得分多谁获胜.

（1）求甲获胜的概率;

(2)求甲得分的分布列及数学期望.

12.某学校组织知识竞赛，有A,B两类问题，每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一

类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类

问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束.A类问题中的每个

问题回答正确得20分，否则得0分；B类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0

分，己知小明能正确回答A类问题的概率为0.8,能正确回答B类问题的概率为0.6,且能

正确回答问题的概率与回答次序无关.

(1)若小明先回答A类问题，记X为小明的累计得分，求X的分布列；

(2)为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由.

答案解析

一、选择题

1.甲、乙两名射手一次射击得分(分别用X,,X,表示)的分布列如下:

A.甲更好B.乙更好C.甲、乙一样好D.不可比较

【答案】B

【详解】因为E(X)=1XO.4+2XO.1+3X0.5=2.1,E(X2)=1XO.1+2X0.6+3X0.3=

2.2,所以E(X2)>E(XJ,故乙的射击技术更好.故选：B

2.设&的分布列为

g1234

\_]_]_

p

6633

又设n=2g+5,则E(n)等于()

【答案】D

【详解】E(U=1X-+2X-+3X-+4X-=—,所以E(n)=E(2&+5)=2E(g)

66336

,1732

+5=2X——F5=——.

63

3.某人进行一项实验，若实验成功，则停止实验，若实验失败，再重新实验一次，若实验

2

3次均失败，则放弃实验，若此人每次实验成功的概率为1,则此人实验次数&的期望是

()

413513

A.-B.—C.—D.—

3937

【答案】B

21

【详解】由题意可得自=123,每次实验成功的概率为1,则失败的概率为

2122