人教A版选择性必修第二册5 . 3 导数在研究函数中的应用

5.3导数在研究函数中的应用

5.3.1函数的单调性

学习目标

1.理解导数与函数的单调性的关系，发展直观想象和逻辑推理的核心

素养.

2.掌握利用导数判断函数单调性的方法,增强逻辑推理的核心素养.

3.会用导数求函数的单调区间,提升数学运算的核心素养.

竖直上抛一个小沙袋,沙袋的高度h是时间t的函数,设为h(t),

其图象如图所示.横轴表示时间t,纵轴表示沙袋的高度h,设沙袋的

最高点为A,其横坐标为t=t。.小沙袋从a到t。这段时间内运动速度越

来越慢,从t。至b这段时间内，运动速度越来越快.

探究:怎样才能更深刻地研究速度变化的各区间呢？

提示:我们可以利用导数来判断函数的单调性,从而可研究速度变化

的各个区间.

［问题1］观察下面几个图象，探究函数的单调性和导数的正负的关

系.

提示：(1)函数y=x的定义域为R,并且在定义域上是增函数,其导数y'

=l>0.

(2)函数y=x2的定义域为R,在(-8,0)上单调递减,在(0,+8)上单调

递增，其导数为y'=2x,当x<0时,其导数才<0;当x>0时，其导数

y'>0;当x=0时,其导数y'=0.

(3)函数y=x，的定义域为R,在定义域上为增函数.而y'=3x2,当xWO

时,其导数3x2>0;当x=O时,其导数3x2=0.

(4)函数y」的定义域为(-8,o)U(0,+8),在(-8,0)上单调递减,在

X

(0,+8)上单调递减，而/=-2，因为xr0,所以y'<0.

从以上四个函数的单调性及其导数正负的关系上说明，在某个区间

(a,b)上，如果f'(x)>0,那么函数y=f(x)在这个区间上单调递增；如

果f'(x)<0,那么函数y=f(x)在这个区间上单调递减.

1.函数的单调性与其导函数正负的关系

一般地,在区间(a,b)上函数f(x)的单调性与导函数f'(x)的正负之

间有如下关系：

导函数函数的单调性

f'(x)>0单调递增

f’(x)<0单调递减

f'(x)=0常函数

［思考1］在区间(a,b)上，函数f(x)单调递增是f'(x)>0的什么条

件？

提示:必要不充分条件.

［思考2］若函数f(x)的单调递增区间是A,且f(x)在区间B上单调递

增，那么A与B是什么关系？

提示:BGA.

［问题2］观察下图，试分析函数增长或减少的速度与导数大小的关

系？

提示：由图象可知若伊(x)>0,则f(x)单调递增,而导数值的大小不

同决定了函数增长的快慢,显然f'(x)越大，函数f(x)增长的就越快;

同样，若伊(x)<0,则f(x)单调递减，显然|f'&)|越大，函数£&)递

减的就越快.

2.函数图象的变化趋势与导函数值大小的关系

一般地,如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大,那么函数在

这个范围内变化得较快，这时函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下);

反之，函数在这个范围内变化得较慢,函数的图象就比较“壬缓”.

［做一做］(1)

函数y=f(x)的图象如图所示,则在区间(1,3)内，有()

A.f(x)>0

B.f'(x)<0

C.f'(x)=0

D.f'(x)的符号不确定

(2)

设f'(x)是函数f(x)的导函数,y=f'(x)的图象如图所示，则y=f(x)

的单调递增区间为，

单调递减区间为；

⑶若函数f(x)=x-klnx在区间(1,+8)上单调递增，则k的取值范围

是.

解析：(1)在区间(1,3)内，函数y=f(x)的图象是下降的，函数单调递减,

所以*(x)<0.故选B(2)由题意可知当x<0或x>2时,*(x)〉0,函

数f(x)单调递增，当x£(0,2)时,f'(x)〈0,函数f(x)单调递减.

(3)f(x)=x-klnx在区间(1,+8)上单调递增，

所以f'(x)=l上20在区间(1,+8)上恒成立，

X

即kWx在区间(1,+8)上恒成立，故kwi.

答案：⑴B(2)(-8,0)和⑵+8)(0,2)(3)(-8,1]

依》探究点一函数与导函数图象间的关系

[例1](1)设函数f(x)在定义域内可导,y=f(x)的图象如图所示，则导

函数y=f'(x)的图象可能为()

(2)已知『(x)是f(x)的导函数,y=f'(x)的图象如图所示，则y=f(x)

的图象只可能是()

解析：(1)由函数的图象可知，当x<0时，函数单调递增，导函数始终为

正；当x>0时-，函数先增后减再增，即导函数先正后负再正,对照选项

可知D正确.故选D.

⑵从f'(x)的图象可以看此在区间(a,手)内，导函数单调递增;在

区间(等,b)内，导函数单调递减.即函数f(x)的图象在(a,等)内越

来越陡,在(等,b)内越来越平缓，由此可知，只有选项D符合.故选D.

研究函数与导函数图象之间关系的方法

研究一个函数的图象与其导函数图象之间的关系时，注意抓住各自的

关键要素,对于原函数,要注意其图象在哪个区间内单调递增,在哪个

区间内单调递减;而对于导函数,则应注意其函数值在哪个区间内大

于零,在哪个区间内小于零,并分析这些区间与原函数的单调区间是

否一致.

［针对训练］(1)(2021•四川绵阳期中)如果函数y=f(x)的图象如图

所示，那么导函数y=f(x)的图象可能是()

(2)(2021•天津河东区期末)若函数y=f'(x)图象如图所示,则

y=f(x)的图象可能是()

解析：(l)y=f(x)的单调变化情况为先增后减，再增再减，因此y=f'(x)

的符号变化情况为大于零，小于零,大于零，小于零，四个选项只有A

符合.故选A.

⑵由y=f'(x)图象可得在(-8,b］上f，(x)NO,在(b,+8)上f'

(xXO,

根据原函数图象与导函数图象关系可得y=f(x)图象在(-8为］上单调

递增,在(b,+oo)上单调递减,可排除A,D,且在x=0处,f'(x)=0,即在

x=0处,y=f(x)的切线的斜率为0,可排除B.

故选C.

8探究点二利用导函数求函数的单调区间

角度1求不含参数函数的单调区间

［例2］求下列函数的单调区间：

(1)f(x)=3x2-21nx;

(2)f(x)=x+-.

X

解：(1)函数的定义域为(0,+8).f'(x)=6x--,

X

令f'(x)=0,得Xiq,X2=q(舍去)，当X变化时,f'(x),f(x)的变化

情况如表，

(0,9V3

X(冬+00)

T

广(X)—0+

f(X)

所以函数f(x)的单调递减区间为(0,4)，单调递增区间为(日,+8).

(2)函数的定义域为(-8,0)U(0,+8).

f(x)=l。,

xz

令f'(x)=0,得Xi=T,X2=l,

当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如表,

(-8,(1,

X-1(-1.0)(0,1)1

-1)+oo)

*(X)+0——0+

f(X)//

所以函数f(x)的单调递减区间为(-1,0)和(0,1),单调递增区间为

(-8,-1)和(1,+8).

求不含参数函数的单调区间的步骤

(1)确定函数f(x)的定义域.

⑵求导数f'(X).

(3)由f'(x)>0(或伊(x)〈0),解出相应的x的范围.

当f'(x)>0时,f(x)在相应的区间上单调递增；当f'(x)<0时,f(x)

在相应区间上单调递减.

(4)结合定义域写出单调区间.

注意：当单调区间有多个时，不要写成并集，用“和”隔开即可.

［针对训练］求下列函数的单调区间：

(1)f(x)=2X3+3X2-36X+1;

(2)f(x)=sinx-x(0<x<n).

解：(l)f'(X)=6X2+6X-36.

由伊(x)>0,得6X2+6X-36>0,

解得x〈-3或x>2;

由f'(x)<0,解得-3<x<2.

故f(x)的单调递增区间是(-8,-3)和(2,+8),单调递减区间是

(-3,2).

(2)f'(x)=cosx-1.

因为0<x<n,所以cosx-l<0恒成立，

故函数f(x)的单调递减区间为(0,n).

角度2求含参数函数的单调区间

［例3］讨论函数f(x)*x2+x-(a+l)Inx(a20)的单调区间.

解：函数f(x)的定义域为(0,+8),

*(x)=ax+l-吧=正比"(a20).

XX

①当a=0时,f'(x),

由f'(x)>0,得x>l,由f'(x)<0,得0<x<l.

所以f(x)在(0,1)上单调递减，在(1,+8)上单调递增.

.,,/\a(x+^i)(x-1)

②当a>0时，f'(x)=-一口——，

X

因为a>0,所以上卫>0.

a

由f'(x)>0,得x>l,由f(x)<0,得0〈x〈l.

所以f(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+8)上单调递增.综上所述，当a

20时,f(x)的单调递减区间为(0,1),单调递增区间为(1,+8).

求含参数函数的单调区间的步骤

(1)确定函数f(x)的定义域.

(2)求导数『(x).

⑶解方程f'(x)=0,此时可能要对参数讨论,一般有三个讨论点：

a>0,

①二次项系数a:a=0,

,a<0;

仅>0,

②判别式4:/=0,

/<0;

%>x,

③方程f'(X)=O根的大小:卜1=%22，

<x2.

⑷结合定义域，画数轴、标根.

⑸判定方程f'(x)=0的根的左右两侧导数的符号，写出单调区间.

注意:①讨论参数要全面，做到不重不漏.②若涉及分式不等式要注意

通分,结合定义域化简,也可转化为二次不等式求解.

［针对训练］已知函数f(x)=ax2e*-l(aWO),求函数f(x)的单调区间.

解:f'(x)=2axe*+ax?e'=axe'(2+x)(aWO),

令f'(x)=0,则x=0或x=-2,

①若a>0,

当X<-2时，f'(x)>O,f(x)单调递增；

当-2<x<0时,f'(x)〈O,f(x)单调递减;

当x>0时，f'(x)>0,f(x)单调递增.

②若a<0,

当x<-2时，f'(x)<0,f(x)单调递减;

当-2<x<0时,f'(x)>0,f(x)单调递增；

当x>0时，f'(x)<0,f(x)单调递减.

综上所述,当a>0时,f(x)的单调递增区间为(-8,一2)和(0,+8),单

调递减区间为(-2,0);

当a<0时,f(x)的单调递增区间为(-2,0),单调递减区间为(-8,一2)

和(0,+8).

心探究点三已知函数的单调性求参数的范围

[例4](1)若函数f(x)=(x2-cx+5)e'在区间(0,+8)上单调递增,则实

数c的取值范围是()

A.(-8,2]B.(-8,4]

C.(-8,8]D.[-2,4]

⑵已知函数f(x)=x：!-ax-l为增函数,求实数a的取值范围.

(1)解析：f'(x)=[x2+(2-c)x-c+5]ex.

因为函数f(x)在区间(0,+8)上单调递增,等价于X2+(2-C)X-C+5^0

对任意x£(0,+8)恒成立，

因为x£(0,+8),所以x+l>l>0,

所以cW*”对任意xe(0,+8)恒成立.

X+1

所以巴三比=*+1+工24,当且仅当x=l时,等号成立,所以cW4.故选

X+lX+1

B.

(2)解：由已知得f'(x)=3x?-a,

因为f(x)在(-8,+8)上是增函数,

所以f'(x)=3x2-a20在(-8,+8)上恒成立,即aW3xz对xeR恒成

立，因为3x22。

所以只需aWO.

又因为当a=0时,f'(x)=3x^0,

f(x)=x3-l在R上是增函数,所以aWO.

故实数a的取值范围为(-8,0].

变式探究1：若函数f(x)=x3-ax-l的单调递减区间为(-1,1),求a的

值.

解：由f'(x)=3x2-a,

①当aWO时，尹(x)N0,

所以f(x)在(-8,+8)上为增函数.

②当a>0时，令3x2-a=0,得x=±^p,

当-亨<x<苧时,*(x)<0.

所以f(x)在(-苧,军)上单调递减，

所以f(x)的单调递减区间为(-苧,苧)，

所以苧=1,解得a=3.

变式探究2:若函数f(x)=x〜ax-1在(-1,1)上单调递减,求a的取值范

围.

解：由题意可知f'(x)=3x2-aWO在(-1,1)上恒成立,

即露梵

所以a23.

即a的取值范围是［3,+8).

⑴可导函数f(x)在(a,b)上单调递增(或单调递减)的充要条件是fz

(x)20(或f，(x)WO)在(a,b)上恒成立，且f'(x)在(a,b)的任何子

区间内都不恒等于0.

(2)已知f(x)在区间(a,b)上的单调性,求参数范围的方法.

①利用集合的包含关系处理f(x)在(a,b)上单调递增(减)的问题,则

区间(a,b)是相应单调区间的子集；

②利用不等式的恒成立处理f(x)在(a,b)上单调递增(减)的问题,则

*(x)20(f，(x)W0)在(a,b)内恒成立，注意验证等号是否成立.

［例1］

已知函数f(x)与其导函数f'(x)的图象如图所示,则满足fz

(x)<f(x)的x的取值范围为()

A.(0,4)

B.(-8,o)u(1,4)

C.(0,学

D.(0,1)U(4,+8)

解析:观察题中图象，可得导函数f'(X)的图象过点(0,0),($0),原

函数f(x)的图象过点(0,0),(2,0),可得满足f'(x)<f(x)的x的取值

范围为(0,1)U(4,+8).故选D.

[例2]⑴设*(x)是奇函数f(x)(x£R)的导函数,f(T)=0,当x>0

时,xf'(x)-f(x)<0,则使得f(x)>0成立的x的取值范围是()

A.ST)u(0,1)

B.(-1,0)U(l,+oo)

C.(-oo,-l)U(-1,0)

D.(0,1)U(1,+8)

(2)(多选题)已知函数f(x)的导函数为f,(x),且先(x)<f(x),对

任意的x£R恒成立,则(AB)

A.f(In2)<2f(0)B.f(2)<e2f(0)

C.f(ln2)>2f(0)D.f(2)>e2f(0)

(3)设f(x),g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x<0时一,f'

(x)g(x)+f(x)g'(x)>0,且g(-3)=o,则不等式f(x)g(x)<0的解集

为.

解析：(1)令g(x)」竺,

X

则，(X)"，吗一小).

X乙

由题意知，当x>0时，g'(x)<0,

所以8a)在(0,+8)上单调递减.

因为f(x)是奇函数,f(-1)=0,

所以f(l)=-f(T)=O,

所以晨l)=f(1)=0,

所以当x£(0,1)时，,g(x)>0,从而f(x)>0;

当x£(1,+8)时,g(x)<0,从而f(x)<0.

又因为f(x)是奇函数，

所以当xG(一8,-1)时,f(x)>0;

当x£(T,0)时,f(x)<0.

综上,x的取值范围是(-8,-1)U(0,1).

故选A.

(x)(x)

⑵令g(x)=4,则g'f-f<0,

故g(x)在R上单调递减,而In2>0,2>0,

故g(ln2)<g(0),g(2)<g(0),

即f(ln2)(f(O)/•⑵<f(O)

所以f(In2)<2f(0),f⑵<e2f(0).故选AB.

(3)借助导数的运算法则,f'(x)g(x)+f(x)g'

(x)>0<=>[f(x)g(x)]'>0,

所以函数y=f(x)g(x)在(-8,0)上单调递增.

又由题意知函数y=f(x)g(x)为奇函数,所以其图象关于原点对称,且

过点(-3,0),(3,0).

数形结合可求得不等式f(x)g(x)<0的解集为(-8,—3)U(0,3).

答案：⑴A(2)AB(3)(-8,一3)U(0,3)

[例3]求下列函数的单调区间.

(l)f(2)y=ix2-lnx.

X-12

解：⑴f(x)的定义域为{x|x£R且xWl},

Q//\2X(X-1)-(X2+1)X2~2X~1

f(x)=———2——=,.2

(x-1)(x-1)

_民-(1-迎)］区-(1+e)］

(x-1)2'

令f'(X)>O,解得X>l+&或X〈1-夜；

令f'(X)〈O,解得1-必X〈1或kxCl+/.

所以f(x)的单调递增区间是(-co,1-V2)和(1+V2,+8),单调递减区

间是(1-V2,1)和(1,1+V2).

(2)函数y=1x2-lnx的定义域为(0,+°°),

/(x+l)(X-1)

y=-x—•

若y'>0,即1"解得x>l；

若y'<0,即卜％+J)(%T)<°，解得0<xG.

故函数y=#Tnx的单调递增区间为(1,+8),单调递减区间为(0,1).

［例4］已知函数f(x)=lnx+，2+ax(a£R),求f(x)的单调区间.

解:f(x)的定义域为(0,+8),

f，(x)，+ax+i(x>o),

X

对于函数y=x2+ax+l(x>0),

①当△=a2-4W0,即-2WaW2时一，x2+ax+1^0在x>0时恒成立.

所以f，(x),2+ax+Qo在(0,+8)上恒成立,所以f(x)在(0,+8)上

X

为增函数.

②由△>(),得£-2或a>2,

当aG2时，由f'(x)>0,

得X〈士警或x>土A，

由f'(x)<0得0〈耳?〈三笄，

所以f(X)在(0,三尹)上单调递增,在(？尹,左弊)上单调递

减,在(左浮三,+8)上单调递增，

当a>2时，f'(x)="+ax+i>0在(0,+8)上恒成立,

X

所以f(x)在(0