立体几何之所成角-(必修第二册)

立体几何之所成角

她知识剖析

1异面直线所成的角

①范围（0。,90。］；

②作异面直线所成的角：平移法.

如图，在空间任取一点。，过。作优//a,b'//b,则a',b'所成的0角为异面直线a,b所成

的角.特别地，找异面直线所成的角时，经常把一条异面直线平移到另一条异面直线的特殊点

（如线段中点，端点等）上，形成异面直线所成的角.

2线面所成的角

「定义如下图，平面的一条斜线（直线。和它在平面上的射影（40）所成的角，叫做这条直线

和这个平面所成的角.

一条直线垂直平面，贝招=90°；一条直线和平面平行或在平面内，则。=0°.

）范围［0°,90。］

3二面角

。定义从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.

在二面角的棱，上任取一点0,以点。为垂足，在半平面a和S内分别作垂直于棱I的射线。4和

OB,则射线04和。B构成的乙4OB叫做二面角的平面角.

②范围[0°,180°].

经典例题

【题型一】异面直线所成的角

【典题1】如图,正方体4BCD—4B1C也中，点E,F分别是44i，力。的中点，则CQ与EF

所成角为（）

A.0°B.45°C.60°D.90°

【解析】连结4D、BD、4B,

•••正方体4BCD—公%白。1中，点E,尸分别是441，4。的中点,EF||ArD,

•••ArB||。1。,二NDAiB是CD1与E尸所成角，

vAiD=AiB=BD,4DA$=60°.二皿与EF所成角为60°.

故选C.

【点拨】

①找异面直线所成的角，主要是把两条异面直线通过平移使得它们共面，可平移一条直线也

可以同时平移两条直线；

②平移时常利用中位线、平行四边形的性质；

【典题2】如图所示，在棱长为2的正方体4BCD—中，。是底面力BCD的中心,E、F

分别是CG,4。的中点，那么异面直线OE和FD］所成角的余弦值等于.

【解析】取BC的中点G.连接GG，则GG||F£）i，再取GC的中点H,连接HE、。4则

E是CG的中点,...GCiIINOEH为异面直线所成的角.

在^OEH中,OE==亨,OH=y.

由余弦定理，可得cos/OEH=吟寒丝=f=W.

2OEEH2―5

故答案为手

【点拨】

本题利用平移法找到异面直线所成的角（4OEH）后，确定含有该角的三角形（△OEH）,利用解三

角形的方法（正弦定理,余弦定理等）把所求角ZOEH最终求出来.

【典题3】如图，已知P是平行四边形HBCO所在平面外一点,M,N分别是48,PC的中点.

⑴求证：MN||平面P4D；

【解析】（I）证明：取P。中点。连4Q,QN,

则AM||QN,且力M=QN,

四边形4MNQ为平行四边形

MN||AQ

又•••4Q在平面PAD内,MN不在平面P4C内

•••MNII面PA。：

⑵解

方法一•••MN||AQ

"4Q即为异面直线P4与MN所成的角

•••MN=BC=4,PA=4V3,

•••AQ=4,

设PQ=X,根据余弦定理可知COSNAQ。+cos^AQP=0

即Aj8+16+416=°解得％=4

8x8x

在三角形AQP中,4Q=PQ=4,AP=4V3

••cos^PAQ=霁濯=当即"4Q=30。

.•屏面直线P4与MN所成的角的大小为30。

方法二过点4作4H1PD交PC于〃，如图

•••MN=BC=4,.-.”是QD的中点

设HO=x,则QH=x,PQ=2x,

在/?(:△AQD和

利用勾股定理可得4”2=16-x2=48-9/,解得x=2

1­•cosZ.PAQ=爱=*=当即4PAQ=30°

.••异面直线P4与MN所成的角的大小为30。

【点拨】

本题中所成角NP4Q找到后，无法在一个三角形里求出，此时把问题转化为平面几何问题，

再利用解三角形的方法进行求解.

【题型二】线面所成的角

【典题1］如图，直角梯形4BCD与等腰直角三角形4BE所在的平面互相垂直.AB||CD.AB1

BC,AB=2CD=2BC,EA1EB.

⑴求证：ABIDE；

(2)求直线EC与平面4BE所成角的正弦值.

【解析】(1)证明：取4B中点。，连接EO,Z)。.

EB=EA,EO1AB.

•••四边形ABC。为直角梯形,AB=2CD=2BC.AB1BC,

二四边形OBCC为正方形,二AB1OD.

又：EOC0。=0,：.AB，平面EOD.

:,AB1.ED.

(2"平面ABE_L平面ABC。,且4B1BC,

BCJ_平面4BE.

则4CEB为直线EC与平面48E所成的角.

设8c=a,则4B=2a,BE=V2a,：.CE=V3a,

在直角三角形CBE中,sin/CEB=秒=鬓=g.

即直线EC与平面ABE所成角的正弦值为日.

【点拨】

本题中的“直线EC与平面ABE所成的角”是根据线面角的定义直接在题目原图上找到的，在含

所求角NCEB的直角三角形CBE中求出角度！

【典题2】如图,四边形4BCD为正方形,PA1平面ABC。,且4B=4,PA=3,点4在PD上的射

影为G点,E点在边上，平面PEC1平面PDC.

⑴求证：AG||平面PEC；

(2)求BE的长；

(3)求直线4G与平面PC4所成角的余弦值.

【解析】(1)证明：rCDLAD,CClPA

CDJL平面PAD•••CD1AG,

又PD1AG

AAG，平面PCD

作EF1PC于F,因面PECiffiPCD

EF，平面PCD

EF||AG.y.AG<t®PFC,EFu面PEC,

AG||平面PEC

(2)由(1)知2、E、F、G四点共面，乂4E||CD•••AEII平面PCD

AE||GF.•・四边形4EFG为平行四边形,，.AE=GF

vPA=3tAD=AB=4:.PD=5,AG=/

在Rt△P4GP中,PG2=PA2-AG2=:.PG=|

AE=阻，故BE=—

2525

(3)---EF||4G,所以4G与平面PAC所成角等于EF与平面PAC所成的角,

过E作E。14C于。点，易知EO1平面P4C,乂EF1PC,

。产是EF在平面PAC内的射影

NEF0即为EF与平面P4C•所成的角

EO=AEsin450=-x—="又EF=AG=-,

252255

.,EO18V253V2

stnZ-EF0=—=---X—=——

EF251210

故cos乙EFO=V1-sin2^EFO=—

10

所以4G与平面PAC所成角的余弦值等于察.

【点拨】

①若在题目中不能直接找到所求线面角,则可用“作高法”确定所求角,

比如下图中，求直线力P与平面a所成的角，具体步骤如下：

(1)如图,过点尸作平面a的高P。,垂足为。，则4。是线段4P在平面a上的投影；

(2)找到所求角仇

(3)求解三角形4Po进而求角夕

(此方法关键在于找到垂足。的位置,证明到P。1•平面a,如本题中E。，平面PAC的证明)

②本题若直接求“4G与平面P4C所成角”，过点G做高有些难度，则由EF||4G,能把“4G与平面

PAC所成角”转化为“EF与平面PAC所成的角”，这方法称为“间接法”吧.

【典题3】如图，正四棱锥S—4BCO中,54=48=2上,凡6分别为8。,5(；,。。的中点.设P为

线段FG上任意一点.

(I)求证：EP1AC；

(II)当P为线段FG的中点时,求直线8P与平面EFG所成角的余弦值.

$

AB

【解析】证明：（I）连接4c交BD了0,

S-ABCD是正四棱锥,二S0，平面ABC。,；.SO1AC,

XvAC1BD,S0flBD=。,二AC1平面SBD,AC1SD,

-F,G分别为SC,CD的中点，二SD||FG,

••ACGF,

同理AC1EF,AC，平面GEF,

又PEu平面GEF,•••EP1AC.

（II）方法一过8作BH1GE于点H,连接PH,

•••BD1AC,BD||GF,：.BH||AC,

由（I）知：4cL平面GEF,：.BHL平面GEF,

N8PH就是直线BP与平面EFG所成的角，

vS4=48=2,

.•.在RtABHP中，解得BH*,PH=号,PB=殍,

（易知1△BHE是等腰直角三角形，又由斜边BE=1,.-.BH=~

在三角形尸GH中,PG=；,G，=乎/PGH用余弦定理可得PH=字）

2242

则cos4BPH=登=等,故直线BP与平面EFG所成角的余弦值为等.

ro1515

设过点B作平面EFG的垂直，垂直为T,

则NBP7就是直线BP与平面EFG所成的角,B7是点B到平面PGE的距离,

由已知条件可求GF=EF=1,GE=近，则4GFE=90",

S&PEG=JS^GFE=JX2=4,

由于P、尸是中点,易得点P到平面48CD的距离心=*。=¥，

而SAGEB=]SAGCB=3x1=5，

对于三棱锥P-GEB,

由%-PEG=^P-GEB=£XBTXS“EG=~x/IXxS&GEB=77BT=g=BT=¥，

O<JJL44a4

在正四棱锥S-4BC。中可求P8=平，

（方法较多，提示过点P作平面4BCD的高P/）

.ST专噂「os乙BPT=71-siMBPT=嘿,

故直线BP与平面EFG所成角的余弦值为管.

【点拨】

①本题第二问中方法一就是用“做高法''，计算量有些大；方法二是觉得垂足H的位置难确定,

可设点8到平面EFG的投影为T（即垂足），再用“等积法”求高8T,则sinNBPT=*,可求所求角

4BPT,这种方法称为“等积法”；

②思考：上一题试试用“等积法”！

【题型三】二面角

【典题1】如图，在棱长为a的正方体4BCD—4/心。1中,4C与BD相交于点0.

求二面角Ai—BD—4的正切值.

DiCi

AB

【解析】在正方体中801平面44CC1，

•••4。1BD.A^O1BD,.•.二面角41-BD一4的平面角为440A

D-______P,

由题中的条件求出：A0=当a,AAi=a

•••tanZ-Aj^OA=*=企，所以二面角4-BD-A的正切值为V2.

当a

【点拨】本题根据二面角的定义找到二面角二面角必一B。「4的平面角为乙I1。川再在三角

形A04内用解三角形的方法求解角乙4104

【典题2】如图,四棱锥P—ABCD中,底面力BCD为矩形,P41底面4BCD,PA==e，点E

是棱PB的中点.

⑴求直线4D与平面PBC的距离；

(2)若4D=再，求二面角4一EC一。的平面角的余弦值.

【解析】⑴在矩形4BCD中,40||BC,从而AOI卜平面PBC,

故直线4D与平面PBC的距离为点4到平面PBC的距离.

因PA1底面ABCD,故P414B,可得△P48为等腰直角三角形,

又点E是棱PB的中点，故4E1PB,

vBC1AB,BC1PA,：■BCL平面P4BBC14瓦从而AE，平面P8C,

故4E之长即为宜线AD与平面P8C的距离,

在Rt△24B中,PA=AB=瓜

所以4E=：PB=^PA2+AB2=V3

(2)过点。作DF1CE于匕过点尸做FG1CE,交4c于G,连接DG,

则4DFG为所求的二面角的平面角.

由(I)知8c1AEXAD||BC.^AD1AE,

从而CE=y/AE2+AD2=>/6

在Rt△CBE中,CE=\/BE2+BC2=何>CD=瓜,

所以△CDE为等边三角形,

故F为CE的中点，且DF=CD•sing=乎

因为4E_1_平面PBC,故4E1CE,又FG1CE,知尸G||AE.

G点为4c的中点,FG="E=当

则在Rt△ADC^,DG=|VT1£)2+CD2=|,

所以皿皿6=%笋=在

2DFFG3

【点拨】若在题目中不能直接得到所求二面角，就需要构造出二面角,

比如本题求二面角4-EC—D,解题具体步骤如下

⑴过点。作DF1EC,过点F作尸G1EC交4?于点。，则二面角4DFG为所求的二面角的平面

角；

(2)确定含角4DFG的三角形OFG,利用解三角形的方法求出角4DFG,常见的是求出三角形三

边再用余弦定理.

【典题3］如图，已知三棱锥P-4BC,PA_L平面ABC,44cB=90。/84c=60°,PA=AC.M

为PB的中点.

(1)求证：PC1BC.(2)求二面角M—AC—8的大小.

【解析】⑴证明：由PA1平面ABC,；.PA1BC,

又因为乙4cB=90。,即BC1AC.

BC1面PAC".PC1BC.

(2)取4B中点。，连结M。、过。作H。J.AC于H,连结MH,

•••时是/^的中点,；.“。||PA,

XvPA_L面ABC,；.MO_L面4BC.

NMH。为二面角M-4C—B的平面角.

设AC=2,则BC=2V3,MO=1,OH=V3,

在Rt△MH。中,.

二面角M—AC—8的大小为30。.

【点拨】求二面角也可以转化为线面角，比如求二面角。一48—C,解题思路如下

过点。作CE1AB,则二面角。-AB-C等于直线ED与平面A8C所成的角或其补角，若过点。

作DF1平面4BC,则二面角。一4B—C是锐角，等于角NDEF；二面角D—48—C是钝角，等于

角NDEr的补角.

£巩固练习

1(★)在正方体4BCD-AB'C'D'中，点P在线段AD'上运动，则异面直线CP与84所成的角。的

B.0<e钻c.O<0<=D.0<0号

2

【答案】D

【解析】||."P与4/成角可化为CP与QC成角.

4。道是正三角形可知当P与A重合时成角为以

不能与。1重合因为此时。传与4声平行而不是异面宜线，0<e<^.

2(**)如图所示的几何体，是将高为2、底面半径为1的圆柱沿过旋转轴的平面切开后，将其

中一半沿切面向右水平平移后形成的封闭体.。1，。2，。2’分别为48,BC,0E的中点,F

为弧48的中点,G为弧BC的中点.则异面直线4F与GO?'所成的角的余弦值为.

【解析】如图，连接4/、FB、BG、GC,为半圆弧4FB的中点，G为半圆弧BGC的中点,

由圆的性质可知，G、B、F三点共线，且4F=CG,FB=GB,ABBC,

△AFB2ACGB,：.AF\\CG,则“。。2‘即为所求的角或其补角,

又：半径为1,高为2,W^AFB,ACGB都是等腰口△,

•••CG=V2>CO2—GO1=V1+22=V5,

.•.在△CGO2'中，COS乙CGO]=后妥f卑,

即异面直线4尸与GO?'所成的角余弦值噜.

3(**)如图所示，在正方体4BCD-48心。1中,M是4B上一点,N是&C的中点,

MN平面&0C.

(1)求证：HQ1平面4DC；

(2)求MN与平面ABCD所成的角.

【答案】⑴见解析⑵彳

4

【解析】(1)证明：由A3C£>—ASG。为正方体，得平面AQOAi，

AQiU平面AQDiA

：.CD±ADi，

乂且4£>nC£)=。，

平面AQC；

(2)解：：MN_L平面4QC,

又由⑴知Ad_L平面4DC,

：.MN//AD\,

：.ADt与平面ABCD所成的角，就是MN与平面ABCD所成的角，

，平面A8CC,

/.ZD\AD即为AQ与平面ABCD所成的角，

由正方体可知/。送。=-,

4

.•.MN与平面ABCD所成的角为f.

4

4(★★★)如图,DC_L平面4BC,EB||OC,AC=BC=EB=2DC=2,N4CB=120。/,Q

分别为AE,4B的中点.

(1)证明：PQII平面4CD；(2)求4。与平面4BE所成角的正弦值.

【答案】⑴见解析(2)?

【解析】(1)证明：因为P，Q分别为AE,A8的中点，所以PQ〃EB.又DC〃EB,因此PQ

//DC,

乂平面AC£>,从而产。〃平面ACD.

(2)如图，连接CQ,DP,因为。为AB的中点，且AC=BC,所以CQLA8.

因为。CL平面ABC,EB//DC,所以E8L平面ABC,因此CQJ_E8.故CQ_L平面A8E.

由(1)有尸。〃力C,又PQ=*B=DC,所以四边形CQP。为平行四边形，DP//CQ,因此

£>P_L平面A8E,ND4P为AD和平面ABE所成的角，在RtaO心中，4)=花，DP=1,

sin/D4P=g即AD与平面ABE所成角的正弦值为今

5(***)四棱锥P—4BCD中,P4_L平面ABCD,四边形2BCD为菱形,4WC=60°,PA=

AD=2,E为4。的中点.

(1)求证：平面PCE1平面P4D；

(2)求PC与平面PAD所成的角的正切值；

(3)求二面角力-PD-C的正弦值.

【答案】⑴见解析(2)詈(3)等

【解析】(1)证明：,••四边形A8CO为菱形，...DAuQC,

VZADC=60°,.♦.△ADC为等边三角形，：.CA=CD,

在△AOC中，E是AO中点，J.CEVAD,

•.•外，平面A8CO,CEcYffiABCD,：.CE1.PA,

'：PAC\AD=A,租u平面用。，AOu平面勿£),

，EC_L平面以Q,

,?CEu平面PCE,二平面PCEL平面PAD.

(2)解：平面也n,...斜线PC在平面内的射影为尸E,

即NCPE是尸C与平面外。所成角的平面角，

•.•如，平面A8CQ,AQu平面ABCQ,：.PAYAD,

在RtAiBAE中，PE=皿2+g=瓜

在Rt/XCED中，CE=y/CD2-ED2=V3,

：EC_L平面BAO,PEu平面以。，:.EC工PE,

在RtZiCEP中，tan/CPE=^=西，

PE5

：.PC与平面PAD所成角的正切值为雷.

(3)解：在平面办。中，过点E作垂足为M,连结CM,

：EC_L平面P4O,PDu平面出。，：.ECLPD,

\