高中数学【函数的应用】

函数的应用

一、选择题

1.某研究小组在一项实验中获得一组关于y,t之间的数据，将其整理得到如图所示的散点图，下列函数中

最能近似刻画y与t之间关系的是()

A.y=2t2B.y=2fC.y=log2tD.y=t3

2.某工厂去年总产值为a,计划今后5年内每年比上一年增长10%,则这5年的最后一年该厂的总产值是

()

A.1.1、B.l.l5aC.l.l6aD.(RI.I5)a

3.我国古代著名的思想家庄子在《庄子•天下篇》中说：“一尺之锤，日取其半，万世不竭”.用现代语

言叙述为：一尺长的木棒，每天取其一半，永远也取不完.这样，每天剩下的部分都是前一天的一半，如果

把“一尺之锤”看成单位“1”，那么x天后剩下的部分y与x的函数关系式为()

A.y=GN*)B.y=xz(xGN*)C.y=2x(xGN*)D.y=(xGN*)

4.某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入.若该公司2010年全年投入研发资金130万元，在此

基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%,则该公司全年投入的研发资金开始超过400万元的年份

是（参考数据：lgL1220.05,lgl.3«0.11,lg2«0.30）

A.2018年B.2019年C.2020年D.2021年

5.某创业公司2018年投入的科研资金为100万元，在此基础上，每年投入的科研资金比上一年增长20%,

则该厂投入的科研资金开始超过200万元的年份是

A.2021年B.2022年C.2023年D.2024年

6.某储蓄所计划从2004年底起，力争做到每年的吸蓄量比前一年增加8%,则到2007年底该蓄所的吸蓄

量比2004年的吸蓄量增加()

A.24%B.32%C.(1.083-1)100%D.(1.084-1)100%

7.在一定的储存温度范围内，某食品的保鲜时间y(单位：小时)与储存温度x(单位：°C)满足函数关系y=

/+16=2.71828..为自然对数的底数，k,6为常数),若该食品在0℃时的保鲜时间为120小时，在3(FC

时的保鲜时间为15小时，则该食品在2(TC时的保鲜时间为()

A.30小时B.40小时C.50小时D.80小时

8.某化工厂生产一种溶液，按市场要求，杂质含量不能超过0.1%,若初时含杂质2%,每过滤一次可使杂

质含量减少;，要使产品达到市场要求，则至少应过滤的次数为(已知：lg2=0.3010,lg3=0.4771)()

4

A.8B.9C.10D.11

9.某工厂2017年投入的科研资金为120万元，在此基础上，每年投入的科研资金比上年增长12%,则该

厂投入的科研资金开始超过200万元的年份是(参考数据：Igl.12=0.05,lg3=0.48,lg2=0.30)()

A.2020年B.2021年C.2022年D.2023年

10.双“十一”要到了，某商品原价为a元，商家在节前先连续5次对该商品进行提价且每次提价10%.然

后在双“十一”期间连续5次对该商品进行降价且每次降价10%.则最后该商品的价格与原来的价格相比

A.相等B.略有提高C.略有降低D.无法确定

11.某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入，若该公司2017年全年投入研发资金130万元，在此

基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%,则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是

()(参考数据：Igl.12«0.05,Igl.3®0.11,1g2ko.30)

A.2020年B.2021年C.2022年D.2023年

12.某种热饮需用开水冲泡，其基本操作流程如下：①先将水加热到100。。水温7(。(7)与时间t(min)近似

满足一次函数关系；②用开水将热饮冲泡后在室温下放置，温度y(。。)与时间t(min)近似满足函数的关系式

t-a

为y=80+b(a,b为常数)，通常这种热饮在40。(；时，口感最佳，某天室温为2(FC时，冲泡热饮

的部分数据如图所示，那么按上述流程冲泡一杯热饮，并在口感最佳时饮用，最少需要的时间为

A.35minB.30minC.25minD.20min

二、填空题

13.某品牌笔记本电脑的成本不断降低，若每隔4年价格就降低%则现在价格为8100元的笔记本电脑，

12年后的价格将降为元.

14.濮阳市生产总值连续两年持续增加，第一年的增长率为p,第二年的增长率为q,则我市这两年生产总

值的年平均增长率为.

15.将甲桶中的a升水缓慢注入空桶乙中，t秒后甲桶剩余的水量符合指数衰减曲线y=aent,假设过5秒

后甲桶和乙桶的水量相等，若再过m秒甲桶中的水只有;升，则m的值为.

16.通常表明地震能量大小的尺度是里氏震级，其计算公式是沪lgJ-lg4,其中，/是被测地震的最大振

幅，4是“标准地震”的振幅，〃为震级.则8级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的倍.

三、解答题

17.物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述：设物体的初始温度是"，经过一段时间，后的

温度是T,则有7一工=(()一7；).其中，表示环境温度，〃称为半衰期且/?=1().现有一杯用

89℃热水冲的速溶咖啡,放置在25℃的房间中2()分钟，求此时咖啡的温度是多少度？如果要降温到35℃,

共需要多长时间？(1g2。0.301,结果精确到().1)

18.某种放射性元素的原子数N随时间f的变化规律是N=No"〃，其中N0,2是正的常数，e为自然对

数的底数.

(1)判断函数是增函数还是减函数；

(2)把/表示成原子数N的函数.

19.数据显示，某厅公司2018年上半年五个月的收入情况如下表所示:

月份23456

月收入（万元）1.42.565.311121.3

根据上述数据，在建立该公司2018年月收入y（万元）与月份x的函数模型时，给出两个函数模型y=£与

y=g供选择.

（1）你认为哪个函数模型较好，并简单说明理由；

（2）试用你认为较好的函数模型，分析大约从第几个月份开始，该公司的月收入会超过100万元？（参考

数据lg2=0.3010,Ig3=0.4771）

20.大西洋娃鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵，经研究发现鲤鱼的游速可以表示为函数y=^log3（磊）,

单位是m/s,，是表示鱼的耗氧量的单位数.

（1）当一条能鱼的耗氧量是900个单位时，它的游速是多少？

（2）计算一条鱼静止时耗氧量的单位数.

（3）某条鞋鱼想把游速提高1m/s,那么它的耗氧量的单位数是原来的多少倍？

21.科学研究表明：人类对声音有不的感觉，这与声音的强度1（单位：瓦/平方米）有关.在实际测量时，常

用L（单位：分贝）来表示声音强弱的等级，它与声音的强度I满足关系式：L=a-lg；（a是常数），其中I。=

lx10-12瓦/平方米如风吹落叶沙沙声的强度I=lx10-11瓦/平方米，它的强弱等级L=10分贝.

(1)已知生活中几种声音的强度如表：

声音来源

声音大小风吹落叶沙沙声轻声耳语很嘈杂的马路

强度1(瓦/平方米

1xion1x10-1。1X10-3

)

强弱等级L(分贝)10m90

求a和m的值

(2)为了不影响正常的休息和睡眠，声音的强弱等级一般不能超过50分贝，求此时声音强度I的最大值.

22.医药公司针对某种疾病开发了一种新型药物，患者单次服用制定规格的该药物后，其体内的药物浓度

c(mg/L)随时间t(/t)的变化情况(如图所示)：当0WtW1时，c与t的函数关系式为c=m(2(-1)(m为常

数)；当1时，c与t的函数关系式为c=为常数).服药2人后，患者体内的药物浓度为10mg/L,

这种药物在患者体内的药物浓度不低于最低有效浓度，才有疗效；而超过最低中毒浓度，患者就会有危险.

(1)首次服药后，药物有疗效的时间是多长？

(2)首次服药1小时后，可否立即再次服用同种规格的这种药物？

(参考数据：lg2“0.3,lg3«0.477)

函数的应用答案

一、选择题

1.【答案】C根据图中的特殊点(2,1),(4,2)，通过选项可知只有C：y=log2t满足题意.故选C.

2.【答案】B由题意，得x年后的总产值为尸由1+10%尸,则5年后的总产值为a(l+10%)5,即iM”.

3.【答案】D由题意可得：剩下的部分所构成的数列为/卜?…，

.•.X天后剩下的部分y与x的函数关系式为y=2(xeN*)

4.【答案】C根据题意，设第"年开始超过400万元，

则130x(1+12%广25°>400,化为：(«-2010)lgl.l2>21g2-lgl.3,

CCS21g2-lgl.3

解可得：〃-2010>彳,^9.8；贝()〃之202(),

lgl.12

5.【答案】B某创业公司2018年投入的科研资金为100万元，

在此基础上，每年投入的科研资金比上一年增长20%,则x年后投入的科研资金为：

y=100(1+20%)*=100x1.21由100x1.2、>200,解得於4.

该厂投入的科研资金开始超过200万元的年份是2018+4=2022年.

6.【答案】C设2004年储蓄量为a,根据等比数列通项公式得

2005年储蓄量为a(l+0.08)=1.08a2006年储蓄量为a(l+0.08)(1+0,08)=1.082a

2007年储蓄量为a(l+0.08)(14-0.08)(1+0.08)=1.083a所以2007年底该蓄所的吸蓄量比2004年的

吸蓄量增加了"』=1.083-1

7.【答案】A

由题意可知[30抚is，W，2。V，

e20k+fc=(e10fc)2-e6=i-120=30.

8.【答案】D

设至少需要过滤n次，则0.02x(1W0.001,

即04，

所以nig,S-lg20,

即n>——=-------------------x10.42,

Ig4-lg32x0.3010-0.4471

又neN,所以n>11,

所以至少过滤11次才能使产品达到市场要求，故选D.

9.【答案】C设第n年后，建立不等式120(1+12%)n>200,

n>l°gi12y=loginlO-Egi.126=黑一簧=4.4

故从2017年起第5年，故为2022,故选C.

5555

10.【答案】C<1+10%)S♦fl_10%；=1.1-0.9=0,99<1,

11.【答案】B由题意求满足130(1+12%)nT>200最小n值，

由130(1+12%尸>200得

lg[130(l+12%)”-4>lg200Igl.3+2+(n-l)lgl.12>lg2+2

0.11+0.05(n-1)>0.3n>4.8Anmin=5,开始超过200万元的年份是2017+5-1=2021,选B.

t-a

12.【答案】C由题意，当叱於5时，函数图象是一个线段，当仑5时，函数的解析式为y=80@)而+b，

点(5,100)和点(15,60),代入解析式，

/5-a

[60=80Q)10+b

解得6f=5,b=20,

t-s

故函数的解析式为y=80^)1°+20,仑5.令y=40,解得t=25,

最少需要的时间为25min.

二、填空题

13.【答案】2400

12年后的价格可降为8100X(1-i)3=2400元.

14.【答案】J(1+p)(l+q)-1

设该市这两年生产总值的年平均增长率为x面题意(1+x)2=(1+p)(l+q),

所以x=J(1+p)(l+q)—1»故填+U)(l+q)—1.

15.【答案】5秒后两桶水量相等..ae5n=^a=n=-，n2

若上秒后水量为&aenk=ae-^ln2=：今-ifcln2=-21n2,即〃=10

445

m=10—5=5

AA..

M

16.【答案】1000由M=lgA-lgAo可得，M=lg丁=丁=10%A=40»10.

当M=8时，地震的最大振幅为A8=4)T08；当M=5时，地震的最大振幅为A5=4)405；

.•.两次地震的最大振幅之比是：?=然=1000,.*.8级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的100()

As4。105

倍.

三、解答题

17.【答案】41℃,需要约26.8分钟.

t_20

由条件知，4=89,7；=25,r=20.代入7―7；=(£—?；){；［,得T—25=(89-25)1gJ。，

t

解得T=41℃；如果要降温到35℃,则35—25=(89-25)解得fa26.8.

答：此时咖啡的温度41℃,要降温到35℃,共需要约26.8分钟.

1N

18.【答案】⑴减函数；⑵r=-jln—(其中O<NWNo).

(D由已知可得N=乂(，)因为;I是正常数，e>l,所以/>1,即0<}<1,

又是正常数，所以N=No(，)是关于，的减函数

(2)因为N=Noe-〃，所以e"=2,所以—力=ln，］，即，=(其中0<N<N°).

No42N°

19.【答案】(1)函数丁=”这一模型较好(2)大约从第9月份开始(1)画出散点图

由图可知点(2,1.4);(3,2.56);(4,5.31);(5,11)；(6,21.3)基本上是落在函数y=5的图像的附近，

因此用函数y=学区一模型较好

(2)当g>100时，2*>300,Ig2x>lg300即久lg2>2+lg3:.x>斗竽=喂翳«8.23

故大约从第9月份开始，该公司的月收入会超过100万元.

另解：当§>100时，2才>30028=256<300;29=512>300

故大约从第9月份开始，该公司的月收入会超过100万元.

20.【答案】(1)1(2)100(3)9

19001

(1)由y=：log3(磊)可知，当。=900时，v=21og.,T00=21og39=l(m/s).

所以当一条鞋鱼的耗氧量是90()个单位时，它的游速是1m/s.

(2)令y=0,贝61呜击=0,•=10=100,•一条鱼静止时耗氧量为KSO

⑶由丁门=1,即斗怵急一上怵急=1,得今=9.所以耗氧量的单位数为原来的9倍.