第24章圆全章教案（人教九年级）

第二十四章圆

单元要点分析

教学内容

1.本单元数学的主要内容.

(1)圆有关的概念：垂直于弦的直径，弧、弦、圆心角、圆周角.

(2)与圆有关的位置关系：点和圆的位置关系，直线与圆的位置关系，•圆和圆的位置

关系.

(3)正多边形和圆.

(4)弧长和扇形面积：弧长和扇形面积，圆锥的侧面积和全面积.

2.本单元在教材中的地位与作用.

学生在学习本章之前，已通过折叠、对称、平移旋转、推理证明等方式认识了许多图形

的性质，积累了大量的空间与图形的经验.本章是在学习了这些直线型图形的有关性质的基

础上，进一步来探索一种特殊的曲线——圆的有关性质.通过本章的学习，对学生今后继续

学习数学，尤其是逐步树立分类讨论的数学思想、归纳的数学思想起着良好的铺垫作用.本

章的学习是高中的数学学习，尤其是圆锥曲线的学习的基础性工程.

教学目标

1.知识与技能

(1)了解圆的有关概念，探索并理解垂径定理，探索并认识圆心角、弧、•弦之间的相

等关系的定理，探索并理解圆周角和圆心角的关系定理.

(2)探索并理解点和圆、直线与圆以及圆与圆的位置关系：了解切线的概念，•探索切

线与过切点的直径之间的关系，能判定一条直线是否为圆的切线，会过圆上一点画圆的切线.

(3)进一步认识和理解正多边形和圆的关系和正多边的有关计算.

(4)熟练掌握弧长和扇形面积公式及其它们的应用；•理解圆锥的侧面展开图并熟练掌

握圆锥的侧面积和全面积的计算.

2.过程与方法

(1)积极引导学生从事观察、测量、平移、旋转、推理证明等活动.•了解概念，理解

等量关系，掌握定理及公式.

(2)在教学过程中，鼓励学生动手、动口、动脑，并进行同伴之间的交流.

(3)在探索圆周角和圆心角之间的关系的过程中，♦让学生形成分类讨论的数学思想和

归纳的数学思想.

(4)通过平移、旋转等方式，认识直线与圆、圆与圆的位置关系，•使学生明确图形在

运动变化中的特点和规律，进一步发展学生的推理能力.

(5)探索弧长、扇形的面积、•圆锥的侧面积和全面积的计算公式并理解公式的意义、

理解算法的意义.

3.情感、态度与价值观

经历探索圆及其相关结论的过程，发展学生的数学思考能力；通过积极引导，帮助学生

有意识地积累活动经验，获得成功的体验；利用现实生活和数学中的素材，设计具有挑战性

的情景，激发学生求知、探索的欲望.

教学重点

1.平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，•并且平分弦所对的两条弧及其运用.

2.在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，•所对的弦也相等及其运用.

3.在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，•都等于这条弧所对的圆心角的一

半及其运用.

4.半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90・°的圆周角所对的弦是直径及其运用.

5.不在同一直线上的三个点确定一个圆.

6.直线L和。0相交od<r；直线L和圆相切=d=r；直线L和。0相离=d>i•及

其运用.

7.圆的切线垂直于过切点的半径及其运用.

8.•经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线并利用它解决一些具体问题.

9.从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，•这一点和圆心的连线平分两

条切线的夹角及其运用.

10.两圆的位置关系：d与n和门之间的关系：外离od>ri+n；外切od=n+r2；相

交OIr2-ri|<d<n+r2；内切Od=|n-r?I：内含=d<|n-n|.

11.正多边形和圆中的半径R、边心距r、中心角9之间的等量关系并应用这个等量关

系解决具体题目.

12.n°的圆心角所对的弧长为匕=竺£,n。的圆心角的扇形面积是S.=生戈及其

180360

运用这两个公式进行计算.

13.圆锥的侧面积和全面积的计算.

教学难点

1.垂径定理的探索与推导及利用它解决一些实际问题.

2.弧、弦、圆心有的之间互推的有关定理的探索与推导，•并运用它解决一些实际问题.

3.有关圆周角的定理的探索及推导及其它的运用.

4.点与圆的位置关系的应用.

5.三点确定一个圆的探索及应用.

6.直线和圆的位置关系的判定及其应用.

7.切线的判定定理与性质定理的运用.

8.切线长定理的探索与运用.

9.圆和圆的位置关系的判定及其运用.

10.正多边形和圆中的半径R、边心距r、中心角。的关系的应用.

匕”的公式的应用.

11.n的圆心角所对的弧长L=—及S扇形

180360

12.圆锥侧面展开图的理解.

教学关键

1.积极引导学生通过观察、测量、折叠、平移、旋转等数学活动探索定理、•性质、“三

个”位置关系并推理证明等活动.

2.关注学生思考方式的多样化，注重学生计算能力的培养与提高.

3.在观察、操作和推导活动中，使学生有意识地反思其中的数学思想方法，•发展学生

有条理的思考能力及语言表达能力.

单元课时划分

本单元教学时间约需13课时,具体分配如下:

24.1圆3课时

24.2与圆有关的位置关系4课时

24.3正多边形和圆1课时

24.4弧长和扇形面积2课时

教学活动、习题课、小结3课时

24.1圆

第一课时

教学内容

1.圆的有关概念.

2.垂径定理：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，•并且平分弦所对的两条弧及其它

们的应用.

教学目标

了解圆的有关概念，理解垂径定理并灵活运用垂径定理及圆的概念解决一些实际问题.

从感受圆在生活中大量存在到圆形及圆的形成过程，讲授圆的有关概念.利用操作几何

的方法，理解圆是轴对称图形，过圆心的直线都是它的对称轴.通过复合图形的折叠方法得

出猜想垂径定理，并辅以逻辑证明加予理解.

重难点、关键

1.重点：垂径定理及其运用.

2.难点与关键：探索并证明垂径定理及利用垂径定理解决一些实际问题.

教学过程

一、复习引入

（学生活动）请同学口答下面两个问题（提问一、两个同学）

1,举出生活中的圆三、四个.

2.你能讲出形成圆的方法有多少种？

老师点评（口答）：（1）如车轮、杯口、时针等.（2）圆规：固定一个定点，固定一个

长度，绕定点拉紧运动就形成一个圆.

二、探索新知

从以上圆的形成过程，我们可以得出：

在一个平面内，线段0A绕它固定的一个端点0旋转一周，•另一个端点所形成的图形

叫做圆.固定的端点。叫做圆心，线段0A叫做半径.

以点0为圆心的圆，记作“。0”，读作“圆0”.

学生四人一组讨论下面的两个问题：

问题1：图上各点到定点（圆心0）的距离有什么规律？

问题2：到定点的距离等于定长的点又有什么特点？

老师提问几名学生并点评总结.

（1）图上各点到定点（圆心0）的距离都等于定长（半径r）；

（2）到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上.

因此，我们可以得到圆的新定义：圆心为O,半径为r的圆可以看成是所有到定点0的

距离等于定长r的点组成的图形.

同时，我们又把

①连接圆上任意两点的线段叫做弦，如图线段AC,AB；

②经过圆心的弦叫做直径，如图24-1线段AB；

③圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，“以A、C为端点的弧记作AC”，读作“圆

弧AC”或“弧AC”.大于半圆的弧（如图所示ABC叫做优弧，•小于半圆的弧（如图所

示）AC或BC叫做劣弧.

④圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆.

（学生活动）请同学们回答下面两个问题.

1.圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？•你能找到多少条对称轴？

2.你是用什么方法解决上述问题的？与同伴进行交流.

（老师点评）1.圆是轴对称图形，它的对称轴是直径，•我能找到无数多条直径.

3.我是利用沿着圆的任意一条直径折叠的方法解决圆的对称轴问题的.

因此，我们可以得到：

圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线.

（学生活动）请同学按下面要求完成下题：

如图，AB是。。的一条弦，作直径CD,使CDLAB,垂足为M.

（1）如图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？

（2）你能发现图中有哪些等量关系？说一说你理由.

（老师点评）（1）是轴对称图形，其对称轴是CD.

（2）AM=BM,AC=BC,40=8D,即直径CD平分弦AB,并且平分AB及ADB.

这样，我们就产到下面的定理：

垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧.

下面我们用逻辑思维给它证明一下：

己知：直径CD、弦AB且CDJ_AB垂足为M

求证：AM=BM,AC=BC,AD=BD.

分析：要证AM=BM,只要证AM、BM构成的两个三角形全等.因此，只要连结0A、

•OB或AC、BC即可.

证明：如图，连结OA、OB,贝IJOA=OB

在RtAOAM和RtAOBM中

OA^OB

OM^OM

ARtAOAM^RtAOBM\/

AAM=BM

.•.点A和点B关于CD对称

关于直径CD对称

当圆沿着直线CD对折时，点A与点B重合，AC与重合，A。与8。重合.

AC=BC,AD=BD

进一步，我们还可以得到结论：

平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条豕一

(本题的证明作为课后练习)

例1.如图，一条公路的转弯处是一段圆弦(即图中，点。是C。的圆心，•其中

CD=600m,E为CO上一点，J.OE1CD,垂足为F,EF=90m,求这段弯路的半径.

分析：例1是垂径定理的应用，解题过程中使用了列方程的方法，这种用代数方法解

决几何问题即儿何代数解的数学思想方法一定要掌握.

解：如图，连接0C

设弯路的半径为R,则0F=(R-90)m

VOE±CD'''

11,、\E

CF=-CD=-X600=300(m)\

22

根据勾股定理，得：OC2=CF2+OF2

即R2=3OO2+(R-90)2解得R=545

这段弯路的半径为545m.

三、巩固练习

教材P86练习P88练习.

四、应用拓展

例2.有一石拱桥的桥拱是圆弧形，如图245所示，正常水位下水面宽AB=・60m,水

面到拱顶距离CD=18m,当洪水泛滥时，水面宽MN=32m时是否需要采取紧急措施？请说

明理由.

分析：要求当洪水到来时，水面宽MN=32m•是否需要采取紧急措施，•只要求出DE

的长，因此只要求半径R,然后运用几何代数解求R.

解：不需要采取紧急措施

设OA=R,在RtZ\AOC中，AC=30,CD=18D

R2=302+(R-18)2R2=900+R2-36R+324MIE_____N

解得R=34(M)

连接OM,设DE=E=16A----------------------------B

342=162+（34-x）2

162+342-68x+x2=342x2-68x+256=0

解得xi=4,X2=64（不合设）

.*.DE=4

，不需采取紧急措施.

五、归纳小结（学生归纳，老师点评）

本节课应掌握：

1.圆的有关概念；

2.圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴.

3.垂径定理及其推论以及它们的应用.

六、布置作业

1.教材P94复习巩固1、2、3.

2.车轮为什么是圆的呢？

3.垂径定理推论的证明.

4.选用课时作业设计.

第一课时作业设计

一、选择题.

1.如图1,如果AB为。。的直径，弦CD_LAB,垂足为E,那么下列结论中，•错误的是

（）.

A.CE=DEB.BC=BDC.ZBAC=ZBADD.AOAD

2.如图2,。0的直径为10,圆心0至I」弦AB的距离0M的长为3,则弦AB的长是（）

A.4B.6C.7D.8

3.如图3,在。0中，P是弦AB的中点，CD是过点P的直径，•则下列结论中不正确的

是（）

A.AB±CDB.ZAOB=4ZACDC.AD=BDD.PO=PD

二、填空题

1.如图4,AB为。O直径，E是BC中点，OE交BC于点D,BD=3,AB=10,则AC=.

B

E

AB

（4）（5）

2.P为。。内一点，0P=3cm,。0半径为5cm，则经过P点的最短弦长为;•最

长弦长为.

3.如图5,OE、OF分别为（DO的弦AB、CD的弦心距，如果OE=OF,那么（只

需写一个正确的结论）

三、综合提高题

1.如图24-11,AB为。。的直径，CD为弦，过C、D分别作CN_LCD、DM・_LCD,•分

别交AB于N、M,请问图中的AN与BM是否相等，说明理由.

2.如图，。。直径AB和弦CD相交于点E,AE=2,EB=6,NDEB=30°,求弦CD长.

3.（开放题）AB是的直径，AC、AD是。0的两弦，已知AB=16,AC=8,AD=-8,•

求NDAC的度数.

答案：

一、I.D2.D3.D

二、1.82.8103.AB=CD

三、1.AN=BM理由：过点O作OE_LCD于点E,则CE=DE,且CN〃OE〃DM.

.*.ON=OM,.\OA-ON=OB-OM,

AAN=BM.

2.过。作OF_LCD于F,如右图所示

VAE=2,EB=6,.,.OE=2.

；.EF=6,OF=1,连结OD,

在Rt^AODF中，42=12+DF2,DF=V15,，CD=2而.

3.(1)AC、AD在AB的同旁，如右图所示:

VAB=16,AC=8,AD=8区

111

AC=-(-AB),/.ZCAB=60o°,

222

同理可得NDAB=30°,

...NDAC=30°.

(2)AC、AD在AB的异旁，同理可得：ZDAC=60°+30°=90°.

24.1圆(第2课时)

教学内容

1.圆心角的概念.

2.有关弧、弦、圆心角关系的定理：在同圆或等圆中，•相等的圆心角所对的弧相等，

所对的弦也相等.

3.定理的推论：在同圆或等圆中，如果两条弧相等，•那么它们所对的圆心角相等，所

对的弦相等.

在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧也相等.

教学目标

了解圆心角的概念：掌握在同圆或等圆中，圆心角、弦、弧中有一个量的两个相等就可

以推出其它两个量的相对应的两个值就相等，及其它们在解题中的应用.

通过复习旋转的知识，产生圆心角的概念，然后用圆心角和旋转的知识探索在同圆或等

圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都

分别相等，最后应用它解决一些具体问题.

重难点、关键

1.重点：定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，•所对弦也相等及其两

个推论和它们的应用.

2.难点与关键：探索定理和推导及其应用.

教学过程

一、复习引入

（学生活动）请同学们完成下题.

已知△OAB,如图所示，作出绕0点旋转30°、45°、60°的图形.

老师点评：绕。点旋转，。点就是固定点，旋转30°,就是旋转角/BOB'=30°.

二、探索新知

如图所示，NAOB的顶点在圆心，像这样顶点在圆心的角叫做圆心角.

（学生活动）请同学们按下列要求作图并回答问题：

如图所示的。O中，分别作相等的圆心角NAOB•和/A・'OB•'将圆心角NAOB绕

圆心O旋转到NA'OB'的位置，你能发现哪些等量关系？为什么？

AB=A'B',AB=A'B'

理由：•.•半径OA与O'A'重合，且NAOB-NA'OB'

半径OB与OB'重合

:点A与点A'重合，点B与点B'重合

A8与A'B'重合，弦AB与弦A'B'重合

AB=A'B',AB=A'B'

因此，在同一个圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等.

在等圆中，相等的圆心角是否也有所对的弧相等，所对的弦相等呢？•请同学们现在动

手作一作.

(学生活动)老师点评：如图1,在。。和00'中，•分别作相等的圆心角NA0B和

NA'O'B'得到如图2,滚动一个圆，使0与0'重合，固定圆心，将其中的一个圆旋

转一个角度，使得0A与O'A'重合.

你能发现哪些等量关系？说一说你的理由？

我能发现：AB=A'B',AB=AF.

现在它的证明方法就转化为前面的说明了，•这就是又回到了我们的数学思想上去呢一

—化归思想，化未知为已知，因此，我们可以得到下面的定理：

在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等.

同样，还可以得到：

在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，•所对的弦也相等.

在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，•所对的弧也相等.

(学生活动)请同学们现在给予说明一下.

请三位同学到黑板板书，老师点评.

例1.如图，在中，AB、CD是两条弦，0E_LAB,0F1CD,垂足分别为EF.

(1)如果/A0B=/C0D,那么OE与OF的大小有什么关系？为什么？

(2)如果OE=OF,那么A8与C。的大小有什么关系？AB与CD的大小有什么关系？

•为什么？NA0B与NCOD呢？

分析：(1)要说明OE=OF,只要在直角三角形AOE和直角三角形COF中说明AE=CF,

即说明AB=CD,因此，只要运用前面所讲的定理即可.

(2)VOE=OF,在RtAAOE和RtACOF中，

又有AO=CO是半径，，RtAAOE^Rt*ACOF,

.,.AE=CF,.\AB=CD,又可运用上面的定理得到AB=CD

解：(1)如果/AOB=/COD,那么OE=OF

理由是：VZAOB=ZCOD

AAB=CD

VOE±AB,OF±CD

11

.,.AE=-AB,CF=-CD

22

.\AE=CF

XVOA=OC

ARtAOAE^RtAOCF

.\OE=OF

(2)如果OE=OF,那么AB=CD,AB=CD,ZAOB=ZCOD

理由是：

VOA=OC,OE=OF

ARtAOAE^RtAOCF

.\AE=CF

又：OE_LAB,OF±CD

11

；.AE=-AB,CF=-CD

22

.\AB=2AE,CD=2CF

AAB=CD

AB=CD,ZAOB=ZCOD

三、巩固练习

教材P89练习1教材P90练习2.

四、应用拓展

例2.如图3和图4,MN是。O的直径，弦AB、CD•相交于MN•上的一点P,«ZAPM=

ZCPM.

由以上条件，你认为AB和CD大小关系是什么，请说明理由

(2)若交点P在。。的外部，上述结论是否成立？若成立,加以证明；若不成立，请

说明理由.

A

（3）（4）

分析：（1）要说明AB=CD,只要证明AB、CD所对的圆心角相等，.只要说明它们的

一半相等.

上述结论仍然成立，它的证明思路与上面的题目是一模一样的.

解：（1）AB=CD

理由：过0作OE、OF分别垂直于AB、CD,垂足分别为E、F

VZAPM=ZCPM

.\Z1=Z2

OE=OF

连结OD、0B且OB=OD

.".RtAOFD^RtAOEB

DF=BE

根据垂径定理可得：AB=CD

（2）作OE_LAB,OF1CD,垂足为E、F

ZAPM=ZCPN且OP=OP,ZPEO=ZPFO=90°

ARtAOPE^RtAOPF

.*.OE=OF

连接OA、OB、OC、OD

易证RtAOBE^RtAODF,RtAOAE^RtAOCF

AZ1+Z2=Z3+Z4

AAB=CD

五、归纳总结（学生归纳，老师点评）

本节课应掌握：

1.圆心角概念.

2.在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，•那么它们所

对应的其余各组量都部分相等，及其它们的应用.

六、布置作业

1.教材P94-95复习巩固4、5、6、7、8.

2.选用课时作业设计.

第二课时作业设计

一、选择题.

1.如果两个圆心角相等，那么（）

A.这两个圆心角所对的弦相等;B.这两个圆心角所对的弧相等

C.这两个圆心角所对的弦的弦心距相等;D.以上说法都不对

2.在同圆中，圆心角NA0B=2NC0D,则两条弧AB与CD关系是（）

A.AB=2CDB.AB>CDC.AB<2CDD.不能确定

3.如图5,。0中，如果AB=2AC,那么（）.

A.AB=ACB.AB=ACC.AB<2ACD.AB>2AC

C

AE

B

(5)(6)

二、填空题

1.交通工具上的轮子都是做圆的，这是运用了圆的性质中的.

2.一条弦长恰好为半径长，则此弦所对的弧是半圆的.

3.如图6,AB和DE是。0的直径，弦AC〃DE,若弦BE=3,则弦CE=.

三、解答题

1.如图，在。O中，C、D是直径AB上两点，且AC=BD,MCJLAB,ND1AB,M、

N•在。O上.

(1)求证：AM=BN；

(2)若C、D分别为OA、0B中点，则AM==成立吗？

2.如图，以QABCD的顶点A为圆心，AB为半径作圆，分别交BC、AD于E、F,

若ND=50°,求BE的度数和EF的度数.

3.如图，ZAOB=90°,C、D是AB三等分点，AB分别交OC、0D于点E、F,求

证：AE=BF=CD.

0B

答案：

一、1.D2.A3.C

二、1.圆的旋转不变形2.，或33.3

33

三、1.（1）连结OM、ON,在Rt^OCM和Rt/XODN中OM=ON,OA=OB,

VAC=DB,；.OC=OD,ARtAOCM^RtAODN,

，NAOM=NBON,/.AM=NB

2.BE的度数为80°,EF的度数为50°.

3.连结AC、BD,VC,D是AB三等分点，

；.AC=CD=DB,且NAOC=-X90°=30°,

3

VOA=OC,；.NOAC=NOCA=75°,

又NAEC=/OAE+/AOE=45°+30°=75°,

；.AE=AC,

同理可证BF=BD,AE=BF=CD

24.1圆（第3课时）

教学内容

i.圆周角的概念.

2.圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弦所对

的圆心角的一半.

推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径及其它们的

应用.

教学目标

1,了解圆周角的概念.

2.理解圆周角的定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条

弧所对的圆心角的一半.

3.理解圆周角定理的推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对

的弦是直径.

4.熟练掌握圆周角的定理及其推理的灵活运用.

设置情景，给出圆周角概念，探究这些圆周角与圆心角的关系，运用数学分类思想给予

逻辑证明定理，得出推导，让学生活动证明定理推论的正确性，最后运用定理及其推导解决

一些实际问题.

重难点、关键

1.重点：圆周角的定理、圆周角的定理的推导及运用它们解题.

2.难点：运用数学分类思想证明圆周角的定理.

3.关键：探究圆周角的定理的存在.

教学过程

一、复习引入

（学生活动）请同学们口答下面两个问题.

1.什么叫圆心角？

2.圆心角、弦、弧之间有什么内在联系呢？

老师点评：（1）我们把顶点在圆心的角叫圆心角.

(2)在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们

所对的其余各组量都分别相等.

刚才讲的，顶点在圆心上的角，有一组等量的关系，如果顶点不在圆心上，它在其它的

位置上？如在圆周上，是否还存在一些等量关系呢？这就是我们今天要探讨，要研究，要解

决的问题.

二、探索新知

问题：如图所示的。0,我们在射门游戏中，设E、F是球门，设球员们只能在EP所

在的。0其它位置射门，如图所示的A、B、C点.通过观察，我们可以发现像NEAF、NEBF、

NECF这样的角，它们的顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角.

现在通过圆周角的概念和度量的方法回答下面的问题.

1.一个弧上所对的圆周角的个数有多少个?

2.同弧所对的圆周角的度数是否发生变化?

3.同弧上的圆周角与圆心角有什么关系？

(学生分组讨论)提问二、三位同学代表发言.

1.一个弧上所对的圆周角的个数有无数多个.

2.通过度量，我们可以发现，同弧所对的圆周角是没有变化的.

3.通过度量，我们可以得出，同弧上的圆周角是圆心角的一半.

下面，我们通过逻辑证明来说明“同弧所对的圆周角的度数没有变化,并且它的度数

恰好等于这条弧所对的圆心角的度数的一半."

(1)设圆周角/ABC的一边BC是(DO的直径，如图所示

ZAOC是aABO的外角

AZAOC=ZABO+ZBAO卜

--,OA=OB

AZABO=ZBAO(/\/\

ZAOC=ZABO\/0/

：.ZABC=-ZAOC/)

2

(2)如图，圆周角NABC的两边AB、AC在一条直径0D

两侧，那么NABC=!NAOC吗？请同学们独立完成这道题的说

2

过程.

老师点评:连结B0交。0于D同理NAOD是AABO的外角，

COD是△BOC的外角，那么就有NA0D=2/AB0,ZD0C=2ZCB0,

此NA0C=2/ABC.

（3）如图，圆周角NABC的两边AB、AC在一条直径0D的同侧，那

么/ABC=」NA0C吗？请同学们独立完成证明.

2

老师点评：连结OAsOC,连结B0并延长交。0于D,那么NA0D=2NABD,ZCOD=2ZCBO,

rfnZABC=ZABD-ZCB0=-ZAOD--ZCOD=-ZAOC

222

现在，我如果在画一个任意的圆周角/AB'C,同样可证得它等于同弧上圆心角一半，

因此，同弧上的圆周角是相等的.

从（1）、（2）、（3）,我们可以总结归纳出圆周角定理：

在同圆或等圆中，同弧等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半.

进一步，我们还可以得到下面的推导：

半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径.

下面，我们通过这个定理和推论来解一些题目.

例1.如图，AB是。。的直径，BD是。0的弦，延长BD到C,使AC=AB,BD与CD的大

小有什么关系？为什么？

分析：BD=CD,因为AB=AC,所以这个aABC是等腰，要证明D

是BC的中点，只要连结AD证明AD是高或是NBAC的平分线即可.

解：BD=CD

理由是：如图24-30,连接AD

VAB是。0的直径

ZADB=90°即AD±BC

XVAC=AB

；.BD=CD

三、巩固练习

1.教材P92思考题.

2.教材P93练习.

四、应用拓展

例2.如图，已知AABC内接于。0,NA、NB、NC的对边分别设为a,b,c,。。半

a_b_c

径为R,求证:=2R.

sinAsinBsinC

分析：要证明‘一=/一=」一=2R,只要证明‘一=2R,一^=2R,」一=2R,

sinAsinBsinCsinAsinBsinC

bc

一,sinC二——，因此，十分明显要在直角三角形中进行.

2R2R

证明：连接CO并延长交。。于D,连接DB

VCD是直径

ZDBC=90°

XVZA-ZD

sinD=",即2R=—―

在RtADBC中,

DCsinA

同理可证：—=2R,」一=2R

sinBsinC

abc

/.-----=-----=-----=2R

sinAsinBsinC

五、归纳小结（学生归纳，老师点评）

本节课应掌握：

1.圆周角的概念；

2.圆周角的定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都相等这条弧所

对的圆心角的一半：

3.半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90。的圆周角所对的弦是直径.

4.应用圆周角的定理及其推导解决一些具体问题.

六、布置作业

1.教材P95综合运用9、10、11拓广探索12、13.

2.选用课时作业设计.

第三课时作业设计

一、选择题

1.如图1,A、B、C三点在。0上，ZA0C=100o,则NABC等于（）.

A.140°B.110°C.120°D.130°

2.如图2,Nl、N2、N3、N4的大小关系是（）

A.Z4<Z1<Z2<Z3B.Z4<Z1=Z3<Z2

C.Z4<ZKZ3Z2D.Z4<ZKZ3=Z2

3.如图3,AD是。。的直径，AC是弦，0B1AD,若0B=5,且NCAD=30°,则BC等于

().

A.3B.3+73C.5-15/3D.5

2

二、填空题

1.半径为2a的。0中，弦AB的长为2Ga,贝|弦AB所对的圆周角的度数是—

2.如图4,A、B是。。的直径，C、D、E都是圆上的点，则Nl+N2=___

3.如图5,已知△ABC为。0内接三角形，BC=1,ZA=60°,则。0半径为

三、综合提高题

1.如图，弦AB把圆周分成1：2的两部分，已知。0半径为1,求弦长AB.

2.如图，已知AB=AC,ZAPC=60°

(1)求证：AABC是等边三角形.

(2)若BC=4cm,求。0的面积.

A

B

3.如图，OC经过坐标原点，且与两坐标轴分别交于点A与点B,点A的坐标为(0,4),

M是圆上一点，ZBM0=120".

(1)求证：AB为。C直径.

(2)求OC的半径及圆心C的坐标.

答案：

\1.D2.B3.D

二、1.120°或60°2.9003.—

3

三、1.垂＞2.(1)证明：VZABC=ZAPC=60°,

又AB=AC,AZACB=ZABC=60°,Z\ABC为等边三角形.

(2)解：连结0C,过点0作ODJ_BC,垂足为D,

在RtZXODC中，DC=2,Z0CD=30o,

设0D=x,则0C=2x,：.4x2-x2=4,：.0C=-y/3

3

3.(1)略(2)4,(-273,2)

点和圆的位置关系

教学目标

（一）教学知识点

了解不在同一条直线上的三个点确定一个圆，以及过不在同一条直线上的三个点作圆

的方法，了解三角形的外接圆、三角形的外心等概念.

（二）能力训练要求

1.经历不在同一条直线上的三个点确定一个圆的探索过程，培养学生的探索能力.

2.通过探索不在同一条直线上的三个点确定一个圆的问题，进一步体会解决数学问题

的策略.

（三）情感与价值观要求

1.形成解决问题的一些基本策略，体验解决问题策略的多样性，发展实践能力与创新

精神.

2.学会与人合作，并能与他人交流思维的过程和结果.

教学重点

1.经历不在同一条直线上的三个点确定一个圆的探索过程，并能掌握这个结论.

2.掌握过不在同一条直线上的三个点作圆的方法.

3.了解三角形的外接圆、三角形的外心等概念.

教学难点

经历不在同一条直线上的三个点确定一个圆的探索过程，并能过不在同一条直线上的

三个点作圆.

教学方法

教师指导学生自主探索交流法.

教具准备

投影片三张

第一张：（记作§3.4A）

第二张：（记作§3.4B）

第三张：（记作§3.4C）

教学过程

I.创设问题情境，引入新课

［师］我们知道经过一点可以作无数条直线，经过两点只能作一条直线.那么，经过一

点能作几个圆？经过两点、三点……呢？本节课我们将进行有关探索.

II.新课讲解

1.回忆及思考

投影片(§3.4A)

1.线段垂直平分线的性质及作法.

2.作圆的关键是什么？

［生］1.线段垂直平分线的性质是：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等.

作法：如下图，分别以46为圆心，以大于长为半径画弧，在A?的两侧找出两

2

交点GD,作直线或，则直线切就是线段四的垂直平分线，直线切上的任一点到力与6

的距离相等.

［师］我们知道圆的定义是：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做

圆.定点即为圆心，定长即为半径.根据定义大家觉得作圆的关键是什么？

［生］由定义可知，作圆的问题实质上就是圆心和半径的问题.因此作圆的关键是确定

圆心和半径的大小.确定了圆心和半径，圆就随之确定.

2.做一做(投影片§3.4B)

(1)作圆，使它经过己知点4你能作出几个这样的圆？

(2)作圆，使它经过已知点A8你是如何作的？你能作出几个这样的圆？其圆心的分

i布有什么特点？与线段46有什么关系？为什么？

(3)作圆，使它经过已知点从B、C(/、B、C三点不在同一条直线上).你是如何作的？

你能作出几个这样的圆？

［师］根据刚才我们的分析已知，作圆的关键是确定圆心和半径，下面请大家互相交换

意见并作出解答.

［生］(1)因为作圆实质上是确定圆心和半径，要经过已知点1作圆，只要圆心确定下来，

半径就随之确定了下来.所以以点/以外的任意一点为圆心，以这一点与点1所连的线段为

半径就可以作一个圆.由于圆心是任意的.因此这样的圆有无数个.如图(1).

(2)已知点/、8都在圆上，它们到圆心的距离都等于半径.因此圆心到4、8的距离相

等.根据前面提到过的线段的垂直平分线的性质可知，线段的垂直平分线上的点到线段两端

点的距离相等，则圆心应在线段的垂直平分线上.在的垂直平分线上任意取一点，都

能满足到从6两点的距离相等，所以在48的垂直平分线上任取一点都可以作为圆心，这点

到4的距离即为半径.圆就确定下来了.由于线段48的垂直平分线上有无数点，因此有无

数个圆心，作出的圆有无数个.如图(2).

(3)要作一个圆经过/、氏C三点，就是要确定一个点作为圆心，使它到三点的距离相

等.因为到46两点距离相等的点的集合是线段4?的垂直平分线，到6、C两点距离相等

的点的集合是线段%的垂直平分线，这两条垂直平分线的交点满足到从B、，三点的距离

相等，就是所作圆的圆心.

因为两条直线的交点只有一个，所以只有一个圆心，即只能作出一个满足条件的圆.

［师］大家的分析很有道理，究竟应该怎样找圆心呢？

3.过不在同一条直线上的三点作圆.

投影片(§3.4C)

作法图小

A

/

1.连结4氏BC/

B乙---C

A

2.分别作/3、8。的垂直/

平分线鹿和」%,应和

B2_^_c

用相交于点0

G

3.以。为圆心，物为半径作圆注

。。就是所要求作的圆D,

G

他作的圆符合要求吗？与同伴交流.

［生］符合要求.

因为连结AB,作四的垂直平分线ED,则皮上任意一点到48的距离相等；连结BC,

作6c的垂直平分线用，则/若上的任一点到氏C的距离相等.功与尸G的满足条件.

［师］由上可知，过已知一点可作无数个圆.过已知两点也可作无数个圆，过不在同一

条直线上的三点可以作一个圆，并且只能作一个圆.

不在同一直线上的三个点确定一个圆.

4.有关定义

由上可知，经过三角形的三个顶点可以作一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆

(circumcircleoftriangle),这个三角形叫这个圆的内接三角形.

外接圆的圆心是三角形三边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心(circumcenter).

m.课堂练习

已知锐角三角形、直角三角形、钝角三角形，分别作出它们的外接圆，它们外心的位

置有怎样的特点？

解：如下图.

锐角三角形直角三角形钝角三角形

。为外接圆的圆心，即外心.

锐角三角形的外心在三角形的内部，直角三角形的外心在斜边上，钝角三角形的外心

在三角形的外部.

IV.课时小结

本节课所学内容如下：

1.经历不在同一条直线上的三个点确定一个圆的探索过程.

方法.

3.了解三角形的外接圆，三角形的外心等概念.

V.课后作业

习题3.6

VI.活动与探究

如下图，口所在的直线垂直平分线段48.怎样使用这样的工具找到圆形工件的圆心？

解：因为48两点在圆上，所以圆心必与力、8两点的距离相等，又因为和一条线段

的两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，所以圆心在切所在的直线上.因此

使用这样的工具可以作出圆形工件的任意两条直径.它们的交点就是圆心.

板书设计

§3.4确定圆的条件

一、1.回忆及思考（投影片§3.4A）

2.做一做（投影片§3.4B）

3.过不在同一条直线上的三点作圆.

4.有关定义

二、课堂练习

三、课时小结

四、课后作业

直线和圆的位置关系

教学目标

（一）教学知识点

1.理解直线与圆有相交、相切、相离三种位置关系.

2.了解切线的概念，探索切线与过切点的直径之间的关系.

（-）能力训练要求

1.经历探索直线与圆位置关系的过程，培养学生的探索能力.

2.通过观察得出“圆心到直线的距离d和半径r的数量关系”与“直线和圆的位置关

系”的对应与等价，从而实现位置关系与数量关系的相互转化.

（三）情感与价值观要求

通过探索直线与圆的位置关系的过程，体验数学活动充满着探索与创造，感受数学的

严谨性以及数学结论的确定性.

在数学学习活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心.

教学重点

经历探索直线与圆位置关系的过程.

理解直线与圆的三种位置关系.

了解切线的概念以及切线的性