微积分试题库

1.已知函数/(X)在x=0的某个邻域内有持续的导数，且

吧(岑+?]=2,求/(0)及广(0).(-12)

2.已知/(%)在％=0处可导，且lim喏吧=3,则/(0)=,尸(0)=.

-0eJ(X)_1

(/(0)=0/，(0)=|)

3.limn[arctan—arctan-----]

8nn+1

aa2aa

解:limn2[arctan—arctan-----]=limx[arctan-----arctan-------]

〃T8nn+1*f+8xx+1

aa

----------------F-------------------

22223

、+1洛必达x+a(x+1)+aax(2x+l)

法1lim--------------------------------=lim/---------TV----------z------=a

+co

法则Xf+oo-2x^2\x+aJ^x+X)+a)

法2:设/(x)=arctan9,那么/(*)=-一,由拉格朗日中值定理得

xX+a

arctan--arctan——=一/'(4)=—-G(x,1+x)

xx+1+a

aaa

limx2[arctan----arctan-------]=limx2•-------

xf+8xx+1i+°°+a

4.求不定积分Jln(x+71+x2)dx

解：jln(x4-71+x2)dx=xln(x+71+x2)-J

=xln(x+71+x2)-f，=xln(x+V1+x2)-71+x2+C

32^177

十丁^一八.sinxcos%,

5r.求不定积分]-----i—dx

Jl+sin4x

sinxcosxrf(sin2x)

解：Jdx=-\=—arctan(sii?x)+C

1+sin4x2J1+(sin2x)2

6.计算以下定积分.

arcsin，d(------)

1-t2

V3V3乃

arcsine2-f1t-sinv43

dt-n-f\dy

2Jo33Jocosy

0(1—2)5

4।§

=—tany\

0

it

⑵上京心

乃乃冗冗

3X313r3

解：f----2=Jf乃x^(-c°tx)=-xcotx\cotxdx

7r丁

-4ssinxv44;4

,16,i.J46、i,3

=9-7)万+1小111%|生)^+-ln-

4

7.求以下广义积分.

(1)-axbxdx(a>0)

J0ecos

解：e~aXcosbxdx=--1^°°cosbxd(e~ax)

J。〃

=-—^e~axcos&x|^一力(一sin方x)dx)

=---f^°°e~axsmbxdx=—+f^°°sinbxd(e~ax)

aa"a/JO

2

|+8r+00_

1b(_ax,.axA1br+00

=—+—27esmfexLecosbxdx=--------cosbxdx

aa\IoJ。)a/Jo

r+oo_a

...ceaxcosftxdx==----7

J°a2+b2

dx

⑵I3

_22

解：广—5广生匕孚=Hm上0=--+lim---------=+oo

Ja3+Js3+11

—s—>a—s—>a—s"-

(x-«)2(x-«)2(x-«)2a2(s-a)2

故该广义积分发散.

8.计算定积分J%〃X

xvx2+5x+l

解:「l-EJ._J*)

1x7x2+5x+11+50+11h5221

r+i)一了

9.求定积分J。ln(l+tanx)dx

_冗

nU=~~Xn兀

解法1:Lln(l+tanx)dxdfln(l+-一碗")du=[ln(---------)du

1+tanwJo1+tanw

=Jo1112dJ。In(1+tanu)du=In2-JQln(l+tanx)dx=In2

解法2:

cosx+sinx

jln(l+tanx)dx=Jln()dx=ln(cosx+sinx)dr—Incosxrfx

0oCOST

而Joln(cosx+sinx)rfx=ln[V2cos(^—x)]dx

兀

u=----X生

--[In+Ineosu]du=—ln2+JoIneosxdx

J8

TC

因此原式二公1112

o

解法3:利用等式J：xf(sinx)dx=彳。/(sinx)rfx

£〃■生2

»4.一-4vsecx

Jln(l+tanx)dr=xln(l+tanx)|^-£-----------dx

oX+tanx

1,t7U_兀

-----------J(l+tan—)=—ln2-----ln(l+

1+tan—c

4

488

10.求双扭线储=4sin2e所围图形的面积.

解:由方程知sin2^>0,即

0<2"%或2"42643%,

得0<。<生或乃万,

22

故双纽线的两个分支别离位于第一象限和第三象限，由对称性

n冗

212-

A=20-p2dd=4.sin26de=—2cos2瑞=4

2

n.求圆P=i与心形线P=i+sine所围图形公共部份的面积

解：设从为心形线与x轴在第四象限围成的图形的面积，那么

叫i+s同应由对称性

4=半圆的面积+24

=-^--12+2f°-(l+sin(9)2rf(9

2_£2

—+[°(1+2sin6+sin20)d3

2」乃

F

，-2

4

dW=x-pgjry2dx=1000g^x(202-x2)dx

W=1000g^^°x(202-x2)dx=4x1。7g”I.2315X109(焦耳)

解法2:如图S)选取坐标系，图中半圆为半球体的截面，

水的密度夕=1000kg/63,设半球体的半径为R

水池中位于0的表面的水的面积为力(Kcos6)2,

表面距水面的距离为Rsin。,故图中薄片的体积

为》(Reos6)2d(Hsin。),因此将水池中位于6

的薄片的水吸出所作的功的微元为

dW=pg》(Rcos0)2d(Rsin0)Rsin0=pgJvR4cos36sm3d3

n

兀4A21

W=pg^rR4[2cos30sin0d0=pg兀R&-C°S=_pg兀R,

Jo44

=4xl07g^»1.2315xl09(焦耳)

13.某加油站把汽油寄存在地下一容器中，容器为水平放置的圆柱体.若是圆柱的底面半径

为1.5m,长度为4m,而且最高点位于地面下方3m处，设容器装满了汽油，试求把容器

中的汽油从容器中全数抽出所做的功(汽油的密度为6.73的//).

解：如图选取坐标系，图中圆为圆柱体

的截面，圆的方程为X2+J2=1.52

将容器位于区间［招x+dx］上的汽油

抽出所作的功的微元

dW=(4.5+x)(pg2y-4dx)

=8pg(4.5+x)vL52-x2dx

W=8夕gj：；：(4.5+X)A/1.52-x2dx=8x4.5x夕gj：：Vl-52-x1dx

由定积分的乃2万2〜

====8x4.5xpg.-xl.52»8x4.5x6.73x9.8x-x1.52«8387.37(焦耳)

几何意义22

14./r(2+cosx)=tan2x+sin2x，求/(x)的表达式

解法1:/F(2+cosx)rf(2+cosx)=[tan2x+sin2x]rf(cosx)

故J/'(2+cosx)d(2+cosx)=J[tan2x+sin2x]rf(cosx)

Jff(2+cosx)d(2+cosx)=f(2+cosx)+Q

f1(<2iiz、1cosx

J[tan2x+sin2x]d(cosx)=I[----------14-1-cosx]d(cosx)=----------------------+

cosXcosx3

…、1cos3X-

f(2+cosx)=----------------------FC

cosx3

令〃=2+cos*，9B么/(〃)=-------——^―+C，即/(x)=——^―+C

u-232-x3

解法2(换元法):令〃=2+cosx,那么cosx=u-2,因此

/，(〃)=/r(2+cosx)=tan2x+sin2x=sec2x-1+1-cos2x=----------cos2x

cos2x

1

-(u-2)2

(u-2)2

两边对〃积分，一，一(〃一2尸4〃

(〃一2)2

则/(")=一一三_("12)3+C,即/⑴―一(:2)3+C

u—232—x3

2

15.设了'(X)在区间［0,。］上持续，/(«)=0，证明4怨口

川2

解法1：由于r(x)在区间［0,©上持续，由闭区间上持续函数的最值定理，必存在M,

使得在区间［0,0上，M,因此

j：f(x)dx=xf(x)\^~^xf'(x)dx

=|j；4(x)dx<J；x|r(x)［dx<M^xdx=g-

解法2：由于r(x)在区间io,©上持续，由闭区间上持续函数的最值定理，必存在权,

使得在区间［0,a］上,\fr(x)\VV。由于f'(x)在区间［0,a］上持续，利用中值定理或泰

勒公式,黯e(a,b)，使得/(x)=/(«)+，C)(x-a)=尸C)(x-a),

因此J；f(x)dx=J；/'C)(x-a)dx<AfJ；|x-a\dx=—a2

2

16.曲线y=(%-1)(%-2)和x轴围成一平面图形，求此图形绕j轴旋转一周所成旋转体

23

Vy=J；-2%x(x-l)(x-2)dx=J：2^,(3x-x-2x)dx=—

2

17.求由曲线y=3-卜2一与*轴所围成的平面图形绕直线y=3旋转一周所得的旋转

体的体积V.

解：曲线y=3-卜2一』关于）轴对

称（只画出第一象限的图形），与x轴的

交点坐标为（一2,0）、（2,0）,设以

x=0,j=3,x=2,y=0围

成的平面图