高中数学人教版必修四学案：3. 2 倍角公式和半角公式

3.2倍角公式和半角公式

3.2.1倍角公式

I学习目标］1.会从两角和的正弦、余弦、正切公式导出二倍角的正弦、余弦、正切公式2

能熟练运用二倍角的公式进行简单的恒等变换，并能灵活地将公式变形运用.

声预习导学聋挑战自我，点点落实__________________________________________________________

［知识链接］

1.两角和公式与二倍角公式有联系吗？

答有联系.在S“+mCa+/I,Ta+#中，令夕=a即可得S2“，C2«,T2a.

2.什么情况下sin2a=2sina,tan2a=2tana?

TTTT

答一般情况下，sin2a#2sina,例如sing#2sin不，只有当a=E(〃£Z)时，sin2a=2sin

a才成立.只有当a=E(%eZ)时，tan2a=2tana成立.

［预习导引］

1•倍角公式

.c。..aa1.

；

(l)S2ft：sm2a=2smacosa,sin/cos]=]sina

(2)C2a：cos2a=cos%—sin2a=2cos」a-1=1—Zsi/a；

2lana

：tanla—

(3)T2a1—tan2a

2.倍角公式常用变形

一、sin2asin2a

(2)(sina±cosa)2=l±sjn2a；

.1—cos2a1+cos2a

(3)sin9-a_5,cos9-a=

(4)1-cosa=:2sin2^,l+cosQUZCOS2^.

尹课堂讲义金重点难点，个个击破__________________________________________________________

要点一给角求值问题

例1求下列各式的值:

/八・兀兀-•jlcc/.、2tan150

(l)sirrj5cos记：(2)1—2snr750°；(3)=7不;

141idn1DU

(4)^Tio^-^i(r:(5)cos20°cos40°cos800.

解(1)原式=，2-=4,

(2)原式=cos(2X75()o)=cos15000

=cos(4X360°+60°)=cos60°=；.

(3)原式=tan(2X150°)=tan300°

=tan(360°-60°)=一tan60。=一小.

cos10°-Ssin10°

(4)原式=sin10ocosio0

2(；cos10。一坐sin10。)

=sin10°cos10°

4(sin300cos"—cos300sin10。)

=2sin10°cos10°

4sin20°

一sin20。一生

…h上2sin20°cos20°-cos40°-cos80°

2sin40°・cos40°・cos80°

4sin20°

_2sin8008S800_sin160。」

=-8sin20°-=8sin20。，

规律方法此类题型(1)(2)⑶小题直接利用公式或逆用公式较为简单，而(4)小题分式一般先

通分，再考虑结合三角函数公式的逆用从而使问题得解.而(5)小题通过观察角度的关系，

发现其特征(二倍角形式)，逆用正弦二倍角公式，使得问题中可连用正弦二倍角公式，所以

在解题过程中要注意观察式子的结构特点及角之间是否存在特殊的倍数关系，灵活运用公式

及其变形，从而使问题迎刃而解.

跟踪演练1求下列各式的值.

7T37r

(l)sin(2)cos215°-cos275°；

oo

/i257ri-tan30°

(3)2cos方-1；(4)1_tan230o.

STL7T7ETT

解(l)Vsin-g-=sin^—g)=cosg,

..兀.3兀.兀711八.兀兀

..sinosin_&3--=s、i口noc呼os%^=一T2-z分sin皿oC产o冶s^

1.兀应

=2sin4=4.

(2)VCOS275°=COS2(90°-15°)=sin215°,

cos215°—COS275°=COS215°—sin2l50=cos30°=，.

⑶噌-5TC_且

2cos1=%=一2.

.Qno|x2tan30°,白

tan30°2___________1,„_^3

(4)[-tan230°-l-tan230°-60o-2'

要点二给值求值问题

例2已知sin(j-0<x<^.求-、的值.

cosk+jcj

/.sin^+x1-cos｛；+x12

O-

1224

，原式=2Xy^=yj.

TT

规律方法在解题过程中要注意抓住角的特点解题，同时要注意挖掘题目中的隐含条件:j+

7T

X与京一元存在互余关系.特别要注意利用这些条件来确定某些三角函数值的符号.

跟踪演练2已知cosla+mn1|，竽，求8§(2夕+g的值.

解:与。〈:，・••竽。+；<季于是可由cosG+^A1!得到sin(a+；)=一,.

即乎cos。一堂sina=|-,乎sina+乎cosa=-

两式相加得cosa=一噜，两式相减得sina=一节.

半(cos2a-sin2a),

而

cos2a=(一^^2一（一需2=卷,

（一啕x（一书=5.

sin2a=2X

31s

所以cos|

3+*啜湛W)50,

要点三给值求角问题

1tanp——",且。，夕£（0,兀），求2a一4的值.

例3已知tana=y

解tana=^>0,'a£(0匹

,2。£(0,7t),

2X；

2tana丁

tan2a—2

1—tan2aT

1-

.,.2a£(0,

兀

又•.3。夕=一,<0,££（0,兀），2'兀，

3

tan2a—tanB4

3

.".tan(2«-^)=1+tan2atan^—-

4

又：2ae（0,：,蚱e，4

3

-

.•.2a一夕£（一兀，0）,2a—p=一4

规律方法在给值求角时，一般选择一个适当的三角函数，根据题设确定所求角的范围，然

后再求出角.其中确定角的范围是关键的一步.

1遮

跟踪演练3已知tana=y,sinp=且a,£为锐角，求a+24的值.

10，

1JT

解tana=y<1,且a为锐角，0<。<不

又・・・si”=,且夕为锐角，・・・0〈夕今

0"+24〈学

由sin夕为锐角，得cos

tana+tan4

tanP-y/.tan(a+^)=

1—tanatanp

•,/,tan(a+/Q+tan夕

..tan(a+2为一］_tan(a+")tan夕一-i—T=i，

1-2X3

故a+2£寸

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1.COS275°+COS215°+COS75°COS150的值等于()

A.乎B.弓C.^D.1+坐

答案c

解析原式=sin215°+cos215°+；sin300=1+；=*

2.sin哈一cos%等于（）

I

A.

2

答案B

书）（in晋cos哈）

解析原式=(sin哈+cos

3」吟J

l-tan27.5°--------

答案1一坐

解析原式=3-镖除=%anl5。

11小-1A/3

=2tan(60°-45°)=2X^p==11一

4.设sin2a=-sina,ae,兀，则tan2a的值是.

答案小

兀），

解析因为sin2a=2sinacosa=-sina,

所以cos