专题6-3 方程思想解题技巧（考题猜想10种技巧）解析版-2023-2024学年8下数学期末考点大串讲（人教版）

专题6-3方程思想解题技巧（考题猜想，10种技巧）技巧1：方程思想在证三角形形状中的应用【例题1】（23-24八年级上·江苏泰州·阶段练习）的三边长分别为a，b，c，下列条件不能判断是直角三角形的为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】本题考查了勾股逆定理以及三角形内角和性质，据此逐项分析，即可作答．【详解】解：A、设，则解得，则，故该选项是符合题意的；B、因为，所以，解得，故该选项是不符合题意的；C、设，则，即，所以是直角三角形，故该选项是不符合题意的；D、因为，所以是直角三角形，该选项是不符合题意的；故选：A【变式1】（23-24八年级上·山东青岛·阶段练习）在中，给出以下4个条件：①；②；③；④．从中任取一个条件，可以判定出是直角三角形的有．（填序号）【答案】①②③【分析】由可直接得出是直角三角形，可判断①；由，结合三角形内角和定理可求出，得出是直角三角形，可判断②；由，可设，则，，根据勾股定理逆定理即可证明是直角三角形，可判断③；由，可设，则，，结合三角形内角和定理可求出，从而即可证明，可判断④．【详解】解：①可直接得出是直角三角形；②∵，，∴，∴，故是直角三角形；③∵，故可设，则，，又∵，即，∴是直角三角形；④∵，故可设，则，，∵，∴，解得：，∴，，，∴不是直角三角形．故答案为：①②③．【点睛】本题考查直角三角形的定义，三角形内角和定理，勾股定理逆定理．熟练掌握以上知识点是解题关键【变式2】（22-23八年级下·山东德州·阶段练习）如图，在中，，，是的垂直平分线，交于点D，交于点E，于点F．

(1)若，求的长；(2)若，求证：为直角三角形．【答案】(1)(2)见解析【分析】（1）连接，根据是的垂直平分线，求出，设，则，根据勾股定理得出，即，求出x的值；（2）设，则，，根据勾股定理得出，取出，得出，根据，得出为直角三角形．【详解】（1）解：连接，如图所示：

∵是的垂直平分线，∴，设，则，在中，即，解得：，∴．（2）证明：∵是的垂直平分线，∴设，则，，∵，∴，∴，，∴，解得：，∴，∵，∴为直角三角形．【点睛】本题考查了勾股定理的应用、相似三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质以及直角三角形的等面积法，熟知相关知识是解决本题的关键【变式3】（22-23八年级下·湖北襄阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别相交于两点，，，直线与直线交于点．

(1)求直线的解析式；(2)判断的形状，并说明理由；(3)动点在直线上，动点在直线上，当以为顶点的四边形是平行四边形时，求两点的坐标．【答案】(1)(2)是直角三角形(3)【分析】（1）根据题意得到，代入直线，进行计算即可得到答案；（2）联立可求得，根据两点间的坐标公式可得，再根据勾股定理的逆定理进行判断即可得到答案；（3）设，而，分三种情况：当以为对角线时，则的中点重合；当以为对角线时，则的中点重合；当以为对角线时，则的中点重合，根据平行四边形的性质，分别进行计算即可得到答案．【详解】（1）解：，，，将代入直线，得，，解得：，直线的解析式为：；（2）解：联立得，，解得：，，，，为直角三角形；（3）解：设，而，当以为对角线时，则的中点重合，，解得：，，此时与重合，不符合题意，当以为对角线时，则的中点重合，，解得：，，此时与重合，不符合题意，当以为对角线时，则的中点重合，，解得：，，综上所述，当以为顶点的四边形是平行四边形时，．【点睛】本题考查一次函数综合应用，涉及待定系数法、平行四边形的性质、解二元一次方程组、勾股定理的逆定理、两点间的距离公式等知识，熟练掌握平行四边形的性质、解二元一次方程组、勾股定理的逆定理、两点间的距离公式等知识，是解题的关键技巧2：方程思想在求阴影部分的面积中的应用【例题2】（2024春•南宁期中）如图，长方形中，，，将该矩形沿对角线折叠．（1）求的长；（2）求阴影部分的面积．【分析】（1）首先证明△，进而得到为等腰三角形，设，则．勾股定理得，进一步解答即可；（2）直接利用三角形面积计算公式代入数据解答即可．【解答】解：（1）四边形为长方形，，．又，△．为等腰三角形；设，则．在中，由勾股定理得，解得，的长为15；（2）由（1）得，．【点评】本题主要考查了翻折变换（折叠问题），矩形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，解答本题的关键是熟练掌握折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．【变式1】（20-21八年级下·福建龙岩·阶段练习）如图，将矩形沿对角线翻折，点落在点处，交于．若，，求图中阴影部分的面积．【答案】10【分析】利用折叠的性质可得出，的值及，由，可得出，进而可得出，设，则，在中，利用勾股定理可求出的值，再利用三角形的面积公式即可求出答案．【详解】解：由折叠的性质，可知：，，，．，，，．设，则．在中，，，，，，，图中阴影部分的面积．【点睛】本题考查了翻折变换、矩形的性质、勾股定理以及三角形的面积，利用勾股定理求出的长是解题的关键．【变式2】（23-24八年级上·江苏苏州·期中）如图，长方形纸片的边长，．将矩形纸片沿折，A与点C重合，折叠后在其一面着色．(1)求的长；(2)求图中阴影部分的面积．【答案】(1)(2)【分析】本题考查的是翻折变换（折叠问题），勾股定理，三角形的面积，熟记各性质并利用勾股定理列出方程是解题的关键．（1）根据图形折叠的性质及矩形的性质可知，设，故，，在中，利用勾股定理即可求解；（2）利用（1）中的结论用矩形的面积减去的面积即可得出结论．．【详解】（1）解：由折叠的性质及矩形的性质可知，设，则，，在中，，即，解得，∴的长为；（2）解：由（1）知：，，，由翻折变换的性质可得：，∴图中阴影部分的面积．∴图中阴影部分的面积为．【变式3】（23-24八年级上·河南周口·阶段练习）如图，把一张长方形纸片折叠起来，使其对角顶点与重合，与重合，若长方形的长为8，宽为4，(1)求的长；(2)求阴影部分的面积．【答案】(1)(2)【分析】本题主要考查了折叠的性质、勾股定理以及三角形面积不变性，灵活运用折叠的性质、勾股定理等几何知识点来分析、判断、推理是解题的关键．（1）设，则，在中，根据构建方程即可解决问题；（2）过点作于，根据三角形面积不变性，，求出的长，根据三角形面积公式计算即可．【详解】（1）设，则，在中，，所以，解得：，即，（2）过点作于，则，，，，所以所以，所以．技巧3：方程思想在探究线段相等的条件中的应用【例题3】（22-23八年级下·广西南宁·阶段练习）如图，已知在中，，，，是上的一点，，点从点出发沿射线方向以每秒2个单位的速度向右运动．设点的运动时间为．过点作于点．在点的运动过程中，当为时，能使．【答案】5或11/11或5【分析】根据动点运动的不同位置根据角平分线的判定，以及全等三角形的判定和性质，勾股定理即可求解．【详解】解：①点在线段上时，过点作于，如图1所示：则，，∵，平分，，，又，，，，，，，在中，由勾股定理得：，解得：；②点在线段的延长线上时，过点作于，如图2所示：同①得：，，，，，，，，，在中，由勾股定理得：，解得：．综上所述，在点的运动过程中，当的值为5或11时，能使．故答案为：5或11．【点睛】本题主要考查了勾股定理，角平分线的判定，以及全等三角形的判定和性质，解决本题的关键是动点运动到不同位置形成不同的直角三角形【变式1】（22-23八年级上·浙江杭州·期中）如图，已知在中，，，，是上的一点，，点从点出发沿射线方向以每秒3个单位的速度向右运动.设点的运动时间为.过点作于点.在点的运动过程中，当为时，能使？【答案】或6/6或2【分析】根据动点运动的不同位置利用勾股定理即可求解．【详解】解：①点在线段上时，过点作于，如图1所示：则，，平分，，又，（AAS）,，，，，，，，在中，由勾股定理得：，解得：；②点在线段的延长线上时，过点作于，如图2所示：同①得：(AAS)，，，，，，，，，在中，由勾股定理得：，解得：．综上所述，在点的运动过程中，当的值为5或11时，能使．故答案为：或6．【点睛】本题主要考查了勾股定理，解决本题的关键是动点运动到不同位置形成不同的直角三角形【变式2】（20-21八年级下·湖北武汉·期中）如图，在▱ABCD，AB＝2cm，BC＝16cm，∠A＝45°、点E从点D出发沿DA边运动到点A，点F从点B出发沿BC边向点C运动，点E运动速度为2cm/s，点F运动速度为1cm/s，它们同时出发，同时这运动，经过s时，EF＝AB．【答案】4或【分析】分两种情况：①四边形ABFE是平行四边形；②四边形ABFE是等腰梯形；根据长度之间的等量关系列出方程求解即可．【详解】解：如图，过点B作BG⊥AD于G，∵AB＝2cm，∠A＝45°，BG⊥AD，∴BG＝AG＝2（cm），设经过ts时，EF＝AB，当四边形ABFE是平行四边形时，∴BF＝AE，∴t＝16﹣2t，∴t＝，当四边形ABFE是等腰梯形，∴t+2×2＝16﹣2t，∴t＝4，综上所述：经过4或s时，EF＝AB，故答案为4或．【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质以及等腰梯形两腰相等的性质，解决本题的关键是要熟练掌握平行四边形的性质【变式3】（23-24八年级上·江苏无锡·期中）如图，已知在中，，D是上的一点，，点P从B点出发沿射线方向以每秒2个单位的速度向右运动．设点P的运动时间为t．连接．(1)当时，则______；(2)当为以为腰的等腰三角形时，求t的值；(3)过点D作于点E．在点P的运动过程中，当t为何值时，能使？【答案】(1)20(2)t的值16或5(3)或11【分析】（1）利用勾股定理进行求解即可．（2）分，两种情况进行讨论求解即可；（3）分点P在C点的左侧和点在点的右侧，两种情况，进行求解即可．【详解】（1）当时，如图：由题意，得：，∴，在中，，在中，，在中，，∴，即：，解得：，∴；故答案为：20．（2）①当时，如图

∵∴，∴；

②若，则，在直角三角形中，，∴解得：；综上所述：t的值16或5；（3）∵，∴，

①若P在C点的左侧，则，∴．又，，且，∴，∴，∴，则，解得：；

②若P在C点的右侧，则，∴，同法可得：，∴，∴，解得，综上所述：或11．【点睛】本题考查等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理．熟练掌握相关知识点，利用数形结合和分类讨论的思想，进行求解技巧4：方程思想在求线段长中的应用【例题4】（23-24八年级下·河南商丘·期中）如图，矩形中，，点E是上一点，且，的垂直平分线交的延长线于点F，交于点H，连接交于点G．若G是的中点，则的长是（

）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】A【分析】过点E作于点P，证明四边形和四边形为矩形，得出，，根据证明，得出，又垂直平分，得出，令，则，进而，，，在中，，进行求解即可．【详解】解：过点E作于点P，在矩形中，，∴四边形和四边形为矩形，又，，∴，，∵G是的中点，∴，又∵，∴，又，∴，∴，∵垂直平分，∴，令，则，又∵，∴，∴，，在中，，∴解得．故选：A．【点睛】本题考查矩形的判定和性质，垂直平分线的性质，勾股定理以及全等三角形的判定和性质，解决本题的关键是作辅助线构造直角三角形求边长【变式1】（22-23八年级下·云南昆明·期中）已知等腰的底边，是腰上一点，且，，则的长为．【答案】/【分析】本题考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理，等腰三角形的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键．根据勾股定理的逆定理得出，设，在中，由勾股定理建立方程，解方程即可求解．【详解】设，，，，∴，，即，在中，由勾股定理得：，即，解得：，即．故答案为：【变式2】（23-24八年级下·山东德州·阶段练习）如图，在四边形中，，边的垂直平分线分别交，于点，．若，，，求的长．【答案】．【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，勾股定理．由是的垂直平分线得到．设，分别在和中，利用勾股定理表示出和，从而列出方程，求出的值．【详解】解：连接，，垂直平分，．设，在和中，，，解得，【变式3】（22-23八年级下·浙江杭州·期中）已知，矩形中，，，的垂直平分线分别交、于点、，垂足为．(1)如图，连接，求证四边形的菱形；(2)求的长．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）根据全等推出，得出平行四边形，根据菱形判定推出即可；（2）根据菱形性质得出，根据勾股定理得出方程，求出方程的解即可．本题考查了全等三角形的性质和判定，平行四边形的判定，菱形的判定和性质，勾股定理，矩形的性质的应用，主要考查学生综合运用定理进行推理的能力，用了方程思想．【详解】（1）证明：四边形是矩形，，，的垂直平分线，，在和中，，，，，四边形是平行四边形，，四边形是菱形．（2）解：四边形是菱形，，设，则，，四边形是矩形，，在中，由勾股定理得：，解得，即．技巧5：方程思想在求几何中函数解析式的应用【例题5】（22-23八年级下·山东滨州·期末）如图，利用一面墙（墙的长度不超过），用长的篱笆围成一个矩形场地，并且与墙平行的边留有宽建造一扇门方便出入（用其他材料）．设，矩形的面积为．

(1)请写出与之间的函数关系式，并写出的取值范围：(2)怎样围才能使矩形场地的面积为？(3)能否使所围矩形场地的面积为，若能，请算出此时矩形的长与宽，若不能，请说明理由．【答案】(1)(2)长为，宽为(3)不能，理由见解析【分析】（1）利用矩形的面积等于长乘宽，列出解析式即可；（2）令，解一元二次方程求解即可；（3）令，计算一元二次方程的判别式判断求解即可．【详解】（1）根据题意可得，；（2）∵令，即，解得：，．墙的长度不超过，不合题意，应舍去．当时，．所以，当所围矩形的长为宽为时，能使矩形的面积为．（3）不能．理由如下：∵令，即．，．上述方程没有实数根．因此，不能使所围矩形场地的面积为．【点睛】本题考查二次函数的实际应用，解一元二次方程以及判别式的应用，根据题意，正确的求出二次函数的解析式，是解题的关键【变式1】（22-23八年级下·福建厦门·期中）如图1，在正方形（正方形四边相等，四个角均为直角）中，，P为线段上一点，连接，过B作，交于点Q，将沿所在的直线对折得到，延长交于点N．

(1)求证：；(2)若，求的长；(3)如图2，延长交的延长线于点M，若，的面积为s，求s与x之间的函数关系式．【答案】(1)见解析(2)(3)【分析】（1）根据证明，可得出结论；（2）连接，证明，可得，设，则，可得，则，答案求出；（3）过Q点作于G，得，．设，则，得出．根据可求出答案．【详解】（1）证明：∵，∴，∵，∴，∴，在于△BCQ中，，∴，∴；（2）解：由翻折可知，，连接，在和中，，

∴，∴，∵，，，∴，，设，则，根据勾股定理得，，∴，即．（3）解：过Q点作于G，由（1）知，．

设，则，∴在中，，∴，∴，∴．【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、轴对称的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题【变式2】（2023八年级下·上海·专题练习）已知：如图1，梯形中，，，，，E是直线上一点，联结，过点E作交直线于点F，联结，(1)若点E是线段上一点（与点A、D不重合），（如图1所示）①求证：；②设，的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出此函数的定义域；(2)直线上是否存在一点E，使是面积的3倍，若存在，直接写出的长，若不存在，请说明理由．【答案】(1)①证明见解析；②（）；(2)D或、或．【分析】（1）①在上截取，联结，易得，，，从而得到，即可得到证明；②根据，得到，根据勾股定理得到，即可得到答案；（2）分点E在线段上，点E在线段延长线上，点E在线段延长线上三类讨论根据面积等量关系式列方程求解即可得到答案；【详解】（1）①在上截取，联结，∵，，∴，∴，∵，，∴，∴，∵，，∴，∵，，∴，∵，，，∴，∴；②∵，∴，∵，∴，∵，∴；（2）①当点E在线段上时，∵，是面积的3倍，∴，解得：（负值舍去），∴；②当点E在线段延长线上时，延长到G，使得，联结，则是等腰直角三角形．由（1）可得，∴，，∵，又，∴，解得：，∴；③当点E在线段延长线上时，延长到G，使得，联结，则是等腰直角三角形．由（1）可得，∴，，∵，又，∴，解得：（负值舍去），∴；综上所述，当是面积的3倍时，的长为或或；【点睛】本题综合性较强，主要考察全等三角形的构造方法和梯形的性质运用，注意对点在直线上的准确理解，要分多种情况进行讨论【变式3】（2023八年级下·上海·专题练习）已知：如图1，在线段的同侧作正方形和正方形，连接并延长交于点M，作，垂足为N，交于P．设正方形的边长为1．(1)证明：；(2)设，四边形的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出定义域；(3)如果按照题设方法作出的四边形是菱形，求的长．【答案】(1)证明见解析；(2)；(3)【分析】（1）根据四边形是正方形，可得，同理再求证四边形是矩形，然后即可判定；（2）根据正方形，从而可得，然后根据即可求解；（3）由已知易得四边形是平行四边形，要使四边形是菱形则，可得．【详解】（1）证明：∵正方形，∴，，同理，∵，∴，∵，垂足为N，∴，∴四边形是矩形，∴，又∵，，∴；（2）解：∵正方形，∴，∴，从而，∴；（3）解：由已知易得，，∴四边形是平行四边形，要使四边形是菱形，则，∴，解得，∴时四边形是菱形．【点睛】此题主要考查正方形的性质，根据实际问题列二次函数关系式，全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质、菱形的性质等知识点的理解和掌握，综合性较强技巧6：方程思想在解工程问题中的应用【例题6】（23-24八年级上·河北保定·阶段练习）现有一段长为5000米的马路需要整修，由甲、乙两个工程小组先后接力完成，甲工程小组每天整修200米，乙工程小组每天整修250米，共用时22天．设甲工程小组整修马路米，乙工程小组整修马路米，依题意可列方程组（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解答本题的关键．根据题意，找到两个等量关系：甲工程小组整修马路的长度乙工程小组整修马路的长度米，甲工程小组整修马路的天数乙工程小组整修马路的天数天，由此列出方程组，得到答案．【详解】解：根据题意，设甲工程小组整修马路米，乙工程小组整修马路米，依题意可列方程组：，故选：【变式1】（23-24八年级上·四川成都·阶段练习）为打造三墩五里塘河河道风光带，现有一段长为180米的河道整治任务，由、两个工程小组先后接力完成，工程小组每天整治12米，工程小组每天整治8米，共用时20天，设工程小组整治河道米，工程小组整治河道米，依题意可列方程组．【答案】【分析】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组．根据河道总长为180米和、两个工程队共用时20天这两个等量关系列出方程，组成方程组即可求解．【详解】解：设工程小组整治河道米，工程小组整治河道米，依题意可得：．故答案为：【变式2】（22-23八年级下·吉林·期末）为了推进乡村振兴发展，某地决定对A，B两村之间的公路进行改造，并由甲工程队从A村向B村方向修筑，乙工程队从B村向A村方向修筑．已知甲工程队先施工2天，乙工程队再开始施工．乙工程队施工几天后，因另有任务提前离开，余下的任务由甲工程队单独完成，直到公路修通．甲、乙两个工程队修筑公路的长度y（米）与甲工程队施工时间x（天）之间的函数关系如图所示，请根据图象提供的信息，解答下列问题：

(1)乙工程队每天修路___米，甲工程队每天修路___米，a的值为___，b的值为___；(2)直接写出：甲工程队修公路的长度y（米）与甲施工队施工时间x（天）之间的函数关系式；(3)求乙工程队修公路的长度y（米）与甲工程队施工时间x（天）之间的函数关系式；(4)若该项工程由甲、乙两工程队从开始就合作施工，直到任务完成，直接写出：完成任务所需的时间．【答案】(1)180，90，360，900(2)(3)(4)6（天）【分析】（1）根据函数图象即可求解；（2）根据函数图象中的数据运用待定系数法即可求解；（3）根据函数图象中的数据运用待定系数法即可求解；（4）根据前三问求出公路总长即可解答．【详解】（1）解：根据函数图象可得乙工程队每天修路（米），∵当修了a（米）时，乙工程队用了2天，甲工程队用了4天，∴甲工程队每天修路（米），∴，，故答案为：180，90，360，900；（2）解：设甲工程队修公路的长度y（米）与甲施工队施工时间x（天）之间的函数关系式为，将点代入得，∴甲工程队修公路的长度y（米）与甲施工队施工时间x（天）之间的函数关系式为；（3）解：设乙工程队修公路的长度y（米）与甲施工队施工时间x（天）之间的函数关系式为，将点，代入得：，解得：，∴乙工程队修公路的长度y（米）与甲施工队施工时间x（天）之间的函数关系式为；（4）解：公路总长为（米），甲、乙两工程队从开始就合作施工，每天修路（米），∴需要（天）．【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数的应用等知识点，解题的关键是熟练掌握以上知识点并灵活运用【变式3】（22-23八年级下·陕西西安·阶段练习）某地计划修建一条长48千米的乡村公路，已知甲工程队修路的速度是乙工程队修路速度的倍，乙工程队单独完成本次修路任务比甲工程队单独完成多20天．(1)求甲、乙两个工程队每天各修路多少千米?(2)已知甲工程队修路费用为20万元/千米，乙工程队修路费用为15万元/千米．甲工程队先单独修路若干天后，接到其它任务需要离开，剩下的工程由乙工程队单独完成．若要使修路总时间不超过55天，总费用低于820万元，且甲工程队所修路程需为整数，请问共有几种修路方案?哪种方案最省钱?【答案】(1)甲工程队每天修路千米，乙工程队每天修路千米(2)共有8种修路方案，甲工程队修路12千米，乙工程队修路36千米最省钱【分析】（1）设乙工程队每天修路千米，则甲工程队每天修路千米，利用工作时间工作总量工作效率，结合乙工程队单独完成本次修路任务比甲工程队单独完成多20天，可得出关于的分式方程，解之经检验后可得出乙工程队每天修路的长度，再将其代入中，即可求出甲工程队每天修路的长度；（2）设甲工程队修路千米，则乙工程队修路千米，根据“要使修路总时间不超过55天，且总费用低于820万元”，可得出关于的一元一次不等式组，解之即可得出的取值范围，结合为整数，可得出共有8种修路方案，设修路的总费用为万元，利用修路的总费用甲工程队修每千米路的费用甲工程队修路的长度乙工程队修每千米路的费用乙工程队修路的长度，可得出关于的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可找出最省钱的修路方案．【详解】（1）解：设乙工程队每天修路千米，则甲工程队每天修路千米，根据题意得：，解得：，经检验，是所列方程的解，且符合题意，．答：甲工程队每天修路千米，乙工程队每天修路千米；（2）设甲工程队修路千米，则乙工程队修路千米，根据题意得：，解得：，为整数，共有（种）修路方案．设修路的总费用为万元，则，即，，随的增大而增大，又，且为整数，当时，取得最小值，此时．答：共有8种修路方案，最省钱的修路方案为：甲工程队修路12千米，乙工程队修路36千米．【点睛】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式组的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，找出关于的函数关系式技巧7：方程思想在解实际等距问题中的应用【例题7】（21-22八年级下·河南安阳·阶段练习）如图铁路上A，B两点相距40千米，C，D为两村庄，DA⊥AB，CB⊥AB，垂足分别为A和B，DA＝24千米，CB＝16千米．现在要在铁路旁修建一个煤栈E，使得C，D两村到煤栈的距离相等，那么煤栈E应距A点（）A．20千米 B．16千米 C．12千米 D．无法确定【答案】B【分析】设AE＝xkm，则BE＝（40﹣x）km，利用勾股定理得到，则，解方程即可．【详解】解：设AE＝xkm，则BE＝（40﹣x）km，∵DA⊥AB，CB⊥AB，C，D两村到煤栈的距离相等，∴，∴，∴，解得：x＝16，则煤栈E应距A点16km．故选：B．【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，正确理解题意得到是解题的关键【变式1】（22-23八年级下·河南郑州·期中）如图，在笔直的铁路上A，B两点相距，C、D为两村庄，，，于点A，于B，现要在AB上建一个中转站E，使得C、D两村到E站的距离相等，求km．【答案】//【分析】设，即可得到，结合于点A，于B根据勾股定理列式求解即可得到答案；【详解】解：设，则，∵，，，，∴，，∵C、D两村到E站的距离相等，∴，解得：，故答案为：；【点睛】本题考查勾股定理的应用，解题的关键是根据相等列等式求解【变式2】（22-23八年级下·陕西咸阳·阶段练习）如图，公路上A、B两站相距25km，在公路附近有C、D两所学校，于点A，于点B．已知，现要在公路上建设一个青少年活动中心E，要使得C、D两所学校到E的距离相等，则E应建在距点A多远处？【答案】【分析】本题考查了勾股定理的应用，利用勾股定理正确建立方程是解题关键．先根据垂直的定义可得，再根据勾股定理可得，，从而可得，设，则，据此建立方程，解方程即可得．【详解】解：∵使得两村到站的距离相等，∴，∵，，∴，∴，，∴，设，则，∵，，∴，解得：，∴，答：站应建在离站处【变式3】（23-24八年级上·陕西西安·期末）如图，直线为一条公路，，处有两个村庄，于点，于点，千米，千米，千米．现需要在上建立一个物资调运站，使得到，两个村庄距离相等，请求出此时到的距离．

【答案】【分析】本题考查了勾股定理的应用，设，则，由根据勾股定理可得关于的方程，解方程即得结果．【详解】设，则，在中，，在中，，∵，∴，∴，

解得：，∴到的距离为千米技巧8：方程思想在求平面直角坐标系中函数解析式的应用【例题8】（2024春•越秀区校级期中）星期六小明外出爬山，他从山脚爬到山顶的过程中，中途休息了一段时间，小明所走的路程（米与所用时间（分之间的关系如图所示．（1）小明休息前爬山的平均速度和休息后爬山的平均速度各是多少？（2）求小明休息后爬山中与之间的函数关系式，并计算经过80分钟小明爬山所走的路程．【分析】（1）根据函数图象可知，小明40分钟爬山2800米，分钟休息，分钟爬山米，爬山的总路程为3800米，（2）设小明休息后爬山中与之间的函数关系式为，把，代入，求出和的值，得出与的函数解析式，将代入进行计算即可．【解答】解：（1）小明休息前爬山的平均速度是（米分），小明休息后爬山的平均速度是（米分），（2）设小明休息后爬山中与之间的函数关系式为，把，代入得：，解得：，，当时，，即经过80分钟小明爬山所走的路程是3300米．【点评】本题考查了函数图象，求一次函数解析式，读懂函数图象，从图象中获取必要的信息是解决本题的关键．【变式1】（22-23八年级下·北京海淀·阶段练习）“白银号”种子的价格是元，如果一次性购买以上的种子，则超过部分的种子价格打折购买种子所需的付款金额单位：元与购买量单位：之间的函数关系如图所示：

(1)根据图象，写出当购买种子超过时，付款金额单位：元关于购买量单位：的函数解析式；(2)若购买的种子，求付款金额；(3)当顾客付款金额为元时，求此顾客购买了多少种子．【答案】(1)(2)购买的种子，付款金额为元(3)当顾客付款金额为元时，此顾客购买了种子【分析】（1）根据图像可知：和坐标，设解析式为，运用待定系数法求解即可；（2）根据（1）中解析式当时代入求解即可；（3）根据图像可知当顾客付款金额为元时，购买数量大于，根据（1）中解析式，令，代入求解即可．【详解】（1）解：当时，由图象可知是的一次函数，且过点和，设，则，解得：，；（2）根据，当时，，，购买的种子，付款金额为元；（3）根据图像可知当顾客付款金额为元时，购买数量大于，由，令时，则，解得：，当顾客付款金额为元时，此顾客购买了种子．【点睛】本题考查一次函数的实际应用，理解题意，找到数量关系是解决问题的关键【变式2】（22-23八年级下·吉林长春·期中）某人需要经常去复印资料．甲复印社直接按每次印的张数计费，乙复印社可以加入会员，但需按月付一定的会员费、两复印社每月的收费情况如图所示，根据图中提供的信息解答下列问题；

(1)乙复印社要求客户每月支付的会员费是______元．(2)求出乙复印社收费y（元）关于复印量x（页）的函数解析式．(3)当每月复印多少页时，两复印社实际收费相同？(4)如果每月复印210页，应选择哪家复印社？【答案】(1)18；(2)乙复印社收费情况关于复印页数的函数解析式为；(3)当每月复印150页时，两复印社实际收费相同；(4)当时，选择乙复印社．【分析】（1）根据函数图象中的数据，可以直接写出乙复印社要求客户每月支付的承包费是多少元；（2）先设出乙复印社一次函数解析式，用待定系数法可以求得，再说明一次项系数的实际意义；（3）先求得甲复印社对应的函数关系式，然后令两个解析式的函数值相等，即可求得当复印多少页时，两复印社实际收费相同；（4）将代入（2）（3）中的函数解析式，然后比较它们的大小，即可解答本题．【详解】（1）由图可知，乙复印社要求客户每月支付的承包费是18元；故答案为：18；（2）设乙复印社收费情况关于复印页数的函数解析式为，把和代入解析式，得：，解得：，乙复印社收费情况关于复印页数的函数解析式为；（3）由（1）知，甲复印社收费情况关于复印页数的函数解析式为，令，解得，，答：当每月复印150页时，两复印社实际收费相同；（4）当时，甲复印社的费用为：（元，乙复印社的费用为：（元，，当时，选择乙复印社．【点睛】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答【变式3】（22-23八年级下·山东德州·阶段练习）某市为提倡居民节约用水，自今年1月1日起调整居民用水价格，图中，分别表示去年、今年水费（元）与用水量之间的关系．(1)分别写出，的函数解析式．(2)小雨家去年用水量为140立方米，若今年用水量与去年相同，水费将比去年多多少元？【答案】(1)，(2)水费比去年多180元【分析】（1）根据函数图象，分别利用待定系数法求解即可；（2）将分别代入和，求出对应的y的值，然后计算即可．【详解】（1）解：设直线的解析式为，代入得：，解得：，∴；当时，设直线对应的解析式为，代入得：，解得：，∴此时解析式为，当时，设直线对应的解析式为，代入，得：，解得：，∴此时解析式为，∴；（2）将代入得：，将代入得：，（元），答：水费比去年多180元．【点睛】本题考查了一次函数的应用，熟练掌握待定系数法是解题的关键技巧9：方程思想在求实际问题中最值的应用【例题9】（23-24八年级上·内蒙古包头·期中）某单位准备和甲乙两个出租公司中的一家签订租车合同，设汽车每月行驶x千米，每月应付给甲公司的费用为元，付给乙公司的费用为元，、与x的关系如图，若该单位每月行驶的路程为，为了使费用最少，则应选择（）A．甲公司 B．乙公司 C．甲乙都一样 D．无法确定【答案】B【分析】本题主要考查的是一次函数的应用，根据图中信息用待定系数法求出函数解析式，再把代入解析式求值即可．用待定系数法正确求出函数解析式是解题的关键．【详解】解：设与x的函数解析式为，把代入解析式得：，解得：，与x的函数解析式为；设与x的函数解析式为，把和代入解析式得：，解得：，与x的函数解析式为，当时，，，，，应选乙公司，故选：B．【变式1】．（2024春•锦江区校级期中）随着“低碳生活、绿色出行”理念的普及，新能源汽车逐渐成为人们喜爱的交通工具．某汽车销售中心决定采购型和型两款新能源汽车，已知每辆型汽车进价是每辆型汽车进价的1.5倍，若用300万元购进型汽车的数量比用240万元购进型汽车的数量少2辆．（1）每辆型和型汽车的进价分别为多少万元？（2）该汽车销售中心购进型和型汽车共20辆，且型汽车的数量不超过型汽车的数量的2倍．已知型汽车的售价为35万元，型汽车的售价为23万元．如何制定进货方案，可以使得销售中心利润最大，请求出最大利润和此时的购进方案．【分析】（1）设每辆型汽车的进价为万元，则每辆型汽车的进价为万元，根据“用300万元购进型汽车的数量比用240万元购进型汽车的数量少2辆”列分式方程，解分式方程即可求解；（2）设购进型汽车辆，则型汽车辆，由型汽车的数量不超过型汽车数量的2倍可得的取值范围；求得总利润的表达式再结合一次函数的增减性计算求值即可．【解答】解：（1）设每辆型汽车的进价为万元，则每辆型汽车的进价为万元，依题意得，解得，经检验，是方程的解，且符合题意，，答：每辆型汽车的进价为20万元，则每辆型汽车的进价为30万元；（2）设购进型汽车辆，售完这20辆汽车的总利润为万元，根据题意得购进型汽车辆，型汽车的数量不超过型汽车数量的2倍，，解得，总利润，比例系数，随的增大而增大，又为正整数，当时，有最大值，最大值为，此时型汽车的数量为辆，答：该销售中心购进型汽车13辆，型汽车7辆，才能使售完这20辆汽车的总利润最大，最大利润是86万元．【点评】本题考查了分式方程、一元一次不等式和一次函数的实际应用，解答本题的关键是找准等量关系，列出方程．【变式2】（23-24八年级下·福建·期中）为全面贯彻党的教育方针，保障学生每天在校1小时体育活动时间，某校讦划采购部分篮球和足球，已知1个篮球和2个足球共140元，2个篮球和1个足球共130元．(1)求篮球，足球的单价分别是多少元；(2)该校需购买篮球和足球一共100个，且足球的数量不少于篮球数量的，那么购买篮球和足球各多少个时花费最少？【答案】(1)每个篮球的价格为40元，每个足球的价格为50元(2)足球购买20个，篮球购买80个时，总费用最少【分析】本题考查二元一次方程组和一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程组和函数关系式．（1）设篮球的单价为元，足球的单价为元，可得，即可解得答案；（2）设购买个足球，根据足球的数量不少于篮球数量的得：，求出，而总费用，根据一次函数性质可得答案．【详解】（1）解：设篮球的单价为元，足球的单价为元，根据题意得：，解得，每个篮球的价格为40元，每个足球的价格为50元；（2）解：设购买个足球，则购买个篮球，购买足球和篮球总花费为元，根据题意得：，解得，，，随的增大而增大，当时，取最小值，∴，足球购买20个，篮球购买80个时，总费用最少【变式3】（23-24八年级上·山东烟台·期中）2023年9月21日，“天宫课堂”第四课