新教材2021-2022学年高中数学人教B版必修第一册课时练：二十八 函数的应用（一）

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二十八函数的应用（一）

【基础全面练】（15分钟・35分）

1.（2021•成都高一检测）给容器甲注水，下面图像中哪一个图像可以大致

刻画容器中水的高度与时间的函数关系（）

选B.容器下端较窄，上端较宽，当均匀地注入水时，刚开始的一段时

间高度变化较大，随时间的推移，高度的变化速度开始减小，即高度

变化不太明显，四个图像中只有B项符合该特点.

2.小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间

后，为了赶时间加快速度行驶.与以上事件吻合得最好的图像是（）

选C.距学校的距离应逐渐减小，由于小明先是匀速运动，故前段是直

线段，途中停留时距离不变，后段加速，直线段比前段下降得快，故

应选C.

3.某工厂生产甲、乙两种成本不同的产品，原来按成本价出售，由于

市场销售发生变化，甲产品连续两次提价，每次提价都是20%；同时

乙产品连续两次降价，每次降价都是20%,结果都以92.16元出售，此

时厂家同时出售甲、乙产品各一件，盈亏的情况是（）

A.不亏不盈B.赚23.68元

C.赚47.32元D.亏23.68元

选D.设甲、乙产品原来每件分别为x元、y元，则X（1+20%）2=92.16,

y（l-20%）2=92.16,所以x=64,y=144,64+144-92.16x2=23.68.

4.根据统计，一名工人组装第x件产品所用的时间（单位：min）为f（x）

'c

~f=,x<a,

vx

（a,c为常数）.已知工人组装第4件产品用时30min,

C

下x>a

组装第a件产品用时-5min,那么c和a的值分别是（）

A.75,25B.75,16

C.60,144D.60,16

选C.由题意可得：5n

0=5

c=60,

故应选C.

a=144,

5.某工厂生产某种产品固定成本为20()0万元，并且每生产一单位产

品，成本增加10万元.又知总收入K是单位产品数Q的函数，K(Q)

=40Q—④Q2,则总利润L(Q)的最大值是万元.

L(Q)=40Q一击Q2-10Q-2000

=一点Q2+30Q-2000

=一击(Q-300/+2500,

当Q=300时，L(Q)的最大值为2500万元.

答案：2500

官园【补偿训练】

把总长为16m的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是

设一边长为xm,则另一边长可表示为(8—x)m,则面积S=x(8一

(x+R—2

x)<-;一=16,当且仅当x=4时取等号，故当矩形的长与宽相

等，都为4m时面积取到最大值16m2.

答案：16

6.(2021・徐州高一检测)随着科技的发展，智能手机已经开始逐步取代

传统PC,渗透进入了人们娱乐生活的各个方面，我们的生活已经步入

移动互联网的时代.2020年，某手机企业计划将某项新技术应用到手机

生产中去，为了研究市场的反应，计划用一年时间进行试产、试销.通

过市场分析，生产此款手机全年需投入固定成本280万，每生产x(千

部)手机，需另投入成本C(x)万元，且

C10x2+200x,0<x<50,

C(x)={“，।10000八“由市场调研知，每部手机售价0.8

I801x+——-9450,x>50.

万元，且全年内生产的手机当年能全部销售完.

⑴求出2020年的利润W(x)(万元)关于年产量x(干部)的函数关系式(利

润=销售额一成本)；

(2)2020年产量为多少千部时，企业所获利润最大？最大利润是多少？

⑴当0<x<50时，W(x)=800x-(1Ox2+200x)-280=-10x2+600x-

280;

当x>50时，

W(x)=800x-(801x+^^-9450)—280=—卜+^^)+9170,

r-10x2+600x-280,0<x<50,

所以W(x)={(JO000、，

[-[x+-*J+9170,x>50.

(2)^0<x<50,W(x)=-10(x-30)2+8720,当x=30时，W(x)max=8720

万元;

M,10000

右x>50,W(x)=—Ix+---+9170<-2x.™+9170=8

970,

„10000,

当且仅当时,

x=----X-.---

即X=100时，W(X)max=8970万元.

因为8970>8720,

所以2020年产量为100千部时，企业所获利润最大，最大利润是8970

万元.

【综合突破练】（30分钟・60分）

一、单选题（每小题5分，共20分）

1.某工厂2017年的产量为A,2018年的增长率为a,2019年的增长

率为b,这两年的平均增长率为x,则有（）

A.x=g（a+b）B.x<^（a+b）

C.x〉3（a+b）D.x>2（a+b）

（a+bl2i

选B.由（l+x）2=（l+a）（l+b）Sl+-y-J,所以xg]（a+b）.

2.某店从水果批发市场购得椰子两筐，连同运费总共花了300元，回

来后发现有12个是坏的，不能将它们出售，余下的椰子按高出成本价

1元/个售出，售完后共赚78元.则这两筐椰子原来的总个数为（）

A.180B.160C.140D.120

选D.设原来两筐椰子的总个数为x,成本价为a元/个，则

ax=300,

<

（a+1）（x-12）=378,

x=120,

解得故这两筐椰子原来共有120个.

[a=2.5,

3.（2021・武汉高一检测）疫情暴发期间某种防护用品在近30天内每件

的销售价格P（元）和时间t（天）的函数关系为：

ft+20,0<t<25,

P=।..”二a、，设该商品的日销售量Q（件）与时间

（-t+100,25<t<30.（teN）y

t（天）的函数关系为Q=40—1（0〈乜30,t£N*），则这种商品的日销售金

额最大时是第一天.（）

A.10B.20C.25D.30

选C.由题意得：

(t+20)(40-t)(0<t<25,teN*)

y=〈

[(-t+100)(40-t)(25<t<30,t6N*)'

当0VtV25,t£N*时，y=(t+20)(40-t)

=-t2+20t+800=-(t-10)2+900.

所以t=10天时，ymax=900元，

当25SK30,t£N*时，y=(-t+100)(40-t)=t2-140t+4000=(t-70)2

-900,

而y=(t-70)2-900,

在t£[25,30]Bt,函数递减，

所以t=25天时，ymax=1125元.

因为1125>900,

所以第25天日销售额最大为1125元.

4.(2021•福州高一检测)用一段长为36米的篱笆围成一个一边靠墙的

矩形菜园.已知墙长20米，则菜园面积的最大值是()

A.144B.160C.162D.180

(36一X、

选C.设菜园靠墙一边的长为x米，则矩形菜园的宽为一5—米，且

0<x<20,

c-e七136—x1、1fx+36-x),"

则菜园面积y=x・~■2-=2.xz,(36—x)<-x[-----------j-=162.

当且仅当x=36—x,

即x=18时等号成立.

二、多选题(每小题5分，共10分，全部选对得5分，选对但不全的得

3分，有选错的得。分)

5.如图是本地区一种产品30天的销售图像，图①是产品日销售量y（单

位：件）与时间t（单位：天）之间的函数关系，图②是一件产品的销售利

润z（单位：元）与时间t（单位：天）之间的函数关系，已知日销售利润=

日销售量x一件产品的销售利润，下列结论正确的是（）

A.第24天的销售量为200件

B.第10天销售一件产品的利润是15元

C.第12天与第30天这两天的日销售利润相等

D.第30天的日销售利润是750元

选ABD.对于A选项，在图①中，t=24时，y=200,故A选项结论正

确.对于B选项，根据图②，（0,25）,（20,5）的中点坐标为

（10,15）,故B选项结论正确.对于D选项，由图①知第30天销售

150件，由图②知第30天一件产品利润为5元，故日销售利润为150x5

=750元，故D选项结论正确.由①知（0,100）,（24,200）的中点为（12,

150）,即第12天和第30天的销售量相同，根据图②，第12天的一件

产品利润高于第30天一件产品利润，故第12天与第30天这两天的日

销售利泄不相等，故C选项结论错误.故选ABD.

6.一个人以6m/s的速度去追停在交通灯前的汽车，当他离汽车25m

时，交通灯由红变绿，汽车以lm/s2的加速度匀加速开走，那么下列选

项不正确的是（）

A.人可在7s内追上汽车

B.人可在10s内追上汽车

C.人追不上汽车，其间距最少为5m

D.人追不上汽车，其间距最少为7m

选ABC.设汽车经过ts行驶的路程为sm,则s=；t2,车与人的间距d

=(s+25)—6t=；t2—6t+25=1(t—6)2+7,

当t=6时，d取得最小值7,

D项正确.故选ABC.

擎概【补偿训练】

某沙漠地区的某时段气温与时间的函数关系式是f(t)=-t2+24t-

101(4<t<18),则该沙漠地区在该时段的最高气温与最低气温分别是

()

A.43B.-21C.21D.58

选AB.f(t)=-t2+24t—101的对称轴为t=12,所以f(t)在［4,12］上

递增，在［12,18］上递减；所以f(t)max=f(12)=43,f(t)min=f(4)=

—21.

三、填空题(每小题5分，共10分)

7.甲同学家到乙同学家的途中有一公园，甲同学家到公园的距离与乙

同学家到公园的距离都是2km.如图表示甲从家出发到乙同学家经过

的路程y(km)与时间x(min)的关系，其中甲在公园休息的时间是10min,

那么y=f(x)的解+析式为.

由题图知所求函数是一个分段函数，且各段均是直线，可用待定系数

法求得

r1、

正x(0<x<30),

y=f(x)=<2(30<x<40),

击x—2(40<x<60).

r1

(0<x<30),

答案：y=f(x)=<2(30<x<40),

击x—2(40<x<60)

8.长为4、宽为3的矩形，当长增加x,且宽减少方时面积最大，此

时*=,最大面积5=.

S=（4+x）（3—m=—y+x+12

-；（X-IN

当X=1时，Smax=5~.

25

答案：1y

四、解答题（每小题10分，共20分）

9.（2021.太原高一检测）某企业加工生产一批珠宝，要求每件珠宝都按

统一规格加工，每件珠宝的原材料成本为0.5万元，每件珠宝售价（万

元）与加工时间t（单位：天）之间的关系满足图1,珠宝的预计销量（件）

与加工时间t（天）之间的关系满足图2.原则上，单件珠宝的加工时间不

能超过55天，企业支付的工人报酬为这批珠宝销售毛利润的三分之一,

其他成本忽略不计算.

⑴如果每件珠宝加工天数分别为5,13,预计销量分别会有多少件？

(2)设工厂生产这批珠宝产生的纯利润为S(万元),请写出纯利润S(万元)

关于加工时间t(天)之间的函数关系式，并求纯利润S(万元)最大时的预

计销量.

注：毛利润=总销售额一原材料成本，纯利润=毛利润一工人报

酬.

4t+5,0<t<10

⑴预计订单函数f(t)(t£N)为f(t)=[八—，

—t十53,10<t<55

f(5)=20+5=25,f(13)=—13+55=42,

所以每件珠宝加工天数分别为5,13,预计销量分别为25件，42件.

(2)售价函数为g(t)=1.5t+5,

所以利润函数为S(t)

C2

3(1.5t+5-0.5)(4t+5),0<t<10,

=<

2

g(1.5t+5-0.5)(-t+55),10<t<55,

(t+3)(4t+5),0<t<10,

=<

[-(t+3)(t-55),10<t<55

4t2+17t+15,0<t<10,

--V

—(t2—52t—165),10<t<55.

当0<t<10时，S(t)=4t2+17t+15的最大值为S(10)=585;

当10<乜55时，S(t)=-(t2-52t-165)的最大值为S(26)=841>585,

故利润最大时，t=26,此时预计的销量为26件.

10.已知某企业原有员工2000人,每人每年可为企业创利3.5万元.为

应对新型冠状病毒肺炎疫情给企业带来的不利影响，该企业实施“优化

重组，分流增效”的策略，分流出一部分员工待岗.为维护生产稳定，

该企业决定待岗人数不超过原有员工的5%,并且每年给每位待岗员工

发放生活补贴0.5万元.据评估，当待岗员工人数x不超过原有员工1%

时，留岗员工每人每年可为企业多创利(1一悬)万元；当待岗员工人

数x超过原有员工1%时，留岗员工每人每年可为企业多创利0.9万

元.为使企业年利润最大，应安排多少员工待岗？

设重组后，该企业年利润为y万元.

当待岗人员不超过1%时，

由1一黑>0,x<2000xl%=20,

NDX

得票<x<20(xeN),

则y=(2000—x)(3.5+l—芸)-0.5x

=-5lx+—I+9000.64;

当待岗人员超过1%且不超过5%时，

由20<x<2000x5%,

得20<xS100(x£N),

则y=(2000-x)(3.5+0.9)-0.5x=-4.9x4-8800.

故丫=r9000.64—5(卜,+2丁561［^16<x<20,x£N,

l-4.9x+8800,20<x<100,x£N.

当堪<x<20且x£N时，

七1256c/256℃

有x+丁汐讣丁=32,

则y=—5[x+q-J+9000.64

<-5x32+9000.64=8840.64,

当且仅当*=冬，即x=16时取等号，此时y取得最大值8840.64;

X

当20<xS100且x£N时，函数y=-4.9x+8800为减函数.

所以y<-4.9x20+8800=8702.

又8840.64>8702,

故当x=16时，y有最大值8840.64.

即要使企业年利润最大，应安排16名员工待岗.

【应用创新练】

某特许专营店销售福州市成功举办第一届全国青年运动会的纪念

章，每枚进价5元，同时每销售一枚这种纪念章还需向组委会交特许

经营管理费2元，预计这种纪念章以每枚20元的价格销售时该店一个

月内可销售2000枚，经过市场调研发现每枚纪念章的价格在20元的

基础上每减少一元则增加销售400枚，而每增加一元则减少销售100

枚.现设每枚纪念章的销售价格为x(x£N)元.

⑴写出该特许专营店一个月内销售这种纪念章所获得的利润y(元)与

每枚纪念章的销售价格x(元)的函数关系式,并写出这个函数的定义域.

⑵当每枚纪念章的销售价格x为多少元时，该特许专营店一个月内利

润y(元)最大？并求利润的最大值.

(1)由题意可得：

(x-7)[2000+400(20-x)](x<20),

y=-(x£N)

(x-7)[2000-100(x-20)](x>20)

且由题意有：x—7>0,所以x>7,

同时，2000—100a一20巨0,

所以x<40.

所以，函数的定义域为：｛x|7Sx*0,xGN).

⑵由⑴有：

(x-7)[2000+400(20-x)](7<x<20),

y=<

(x-7)[2000-100(x-20)](20