人教版中考仿真模拟检测《数学试题》含答案解析

人教版数学中考综合模拟检测试题

学校班级姓名成绩________

一、选择题

1.在1,-2,3,-4这四个数中，绝对值最小的数为（）

A.1B.3C.-2D.-4

2.下列图形中，是中心对称图形的是（）

3.2018年10月23日，世界上最长的跨海大桥——港珠澳大桥正式开通，这座大桥集跨海大桥、人工岛、海

底隧道于一身，全长约55000米，其中55000用科学记数法可表示为（）

A.55xl03B.55X1O3C.5.5X104D.0.55x105

4.下列计算正确的是()

A.3x2+x2=4x4B.(x—l)2=x—1

C.(6x4y)X2x3j=3xD.(—x2y)2=x4y2

5.如图，a!lb,Zl=110°,Z3=48°,则/2的度数是()

A.48°B,52°C,62°D,72°

6.五名女生体重（单位：KG）分别为：37、40、38、42、42,这组数的众数和中位数分别是（）

A.42、40B.42、38

C.40、42D.42、42

7.一个圆锥高为4,母线长为5,则这个圆锥的侧面积为（）

A.15兀B.12nC.25兀D.20n

8.已知关于x的一元二次方程x2—2x—k—2=0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（）

A.k2一3B.kW3C.k>-3D.k<3

9.一次函数与的图象如图所示，则下列结论：①LVO；②。>0；③当％V3时，y\<yi；④

当yi>0且”>0时，-aVxV4.其中正确的个数是()

y

上

彳y=kx^b

A.1个B.2个C.3个D.4个

10.在。ABC。中，对角线4C,8。相交于点。，以点。为坐标原点建立平面直角坐标系，其中A(a,b),B

(a-1,6+2),C(3,1),则点。的坐标是()

A.(4,-1)B.(-3,-1)C.(2,3)D.(-4,1)

11.如图，矩形ABCD的对角线AC、BD交于点0OE_LBD交BC于E.若AB=6,BC=8,则ABOE的周

长为()

A____________D

区

BEC

2950

A.12B.—C.15D.—

23

12.如图是二次函数y=ox2+fer+c的图象的一部分，对称轴是直线x=l,以下结论：(T)abc>0；(2)3a+c>0；

③加为任意实数，则有〃(f??2+l)+Z;/%20；④若(-2,yi),(5,>,2)是抛物线上的两点，则yiV”，正确

的有()个.

\]|/,

A.1B.2C.3D.4

二、填空题

14.在不透明的盒子中装有6个黑色棋子和若干个白色棋子，每个棋子除颜色外都相同，任意摸出一个棋子,

摸到黑色棋子的概率是工，则白色棋子的个数是

15.如图，在四边形ABCD中，对角线AC垂直平分BD,NBAD=120。，AB=4,点E是AB的中点，点F

是AC上一动点，则EF+BF的最小值是.

16.。0的半径0A=4,以0A为直径作。Oi交。O的另一半径OB于点C,当C为0B的中点时，图中阴

影部分的面积S=.

18.化简分式,并从中选一个你认为合适的整数a代入求值.

19.如图，一般捕鱼船在A处发出求救信号，位于4处正西方向的8处有一艘救援艇决定前去数援，但两船

之间有大片暗礁，无法直线到达.救援艇决定马上调整方向，先向北偏东60。方以每小时30海里的速度航

行，同时捕鱼船向正北低速航行.30分钟后，捕鱼船到达距离A处1.5海里的。处，此时救援艇在C处测

得Q处在南偏东53°的方向上.

(1)求C、。两点的距离;

(2)捕鱼船继续低速向北航行，救援艇决定再次调整航向，沿CE方向前去救援，并且捕鱼船和救援艇同达

4

时到E处，若两船航速不变，求NEC。的正弦值.（参考数据：sin53°v（）.8,my53°®0.6,ton53°«-）

20.实施新课程改革后，学生的自主学习、合作交流能力有很大提高，张老师为了了解所教班级学生自主学

习、合作交流的具体情况，对本班部分学生进行了为期半个月的跟踪调查，并将调查结果分成四类，A：特

别好；B：好；C：一般；D：较差；并将调查结果绘制成以下两幅不完整的统计图，请你根据统计图解答

下列问题:

（1）本次调查中C类女生有名，D类男生有名；将上面的条形统计图补充完整;

（2）计算扇形统计图中D所占的圆心角是

（3）为了共同进步，张老师想从被调查A类和D类学生中分别选取一位同学进行“一帮一”互助学习，请

用列表法或画树形图的方法求出所选两位同学恰好是一位男同学和一位女同学的概率.

21.王妈妈在莲花商场里购买单价总和是90元的商品甲、乙、丙共两次，其中甲的单价是20元，乙的单价

是40元，甲商品第一次购买的数量是第二次购买数量的两倍，乙商品第一次购买的数量与丙商品第二次购

买的数量相等，两次购买商品甲、乙、丙的数量和总费用如下表:

购买商品甲的购买商品乙的购买商品丙的购买总费用

数量（个）数量（个）数量（个）（元）

第一次购物4440

第二次购物7490

（1）求两次购买甲、乙、丙三种商品总数量分别是多少？

（2）由于莲花商场物美价廉，王妈妈打算第三次前往购买商品甲、乙、丙，设三种商品的数量总和为a个，

其中购买乙商品数量是甲商品数量的3倍，购买总费用为1280元，求a的最小值.

22.【问题探究】课堂上老师提出了这样的问题：“如图①，在DABC中，NB4C=108°,点。是6C边

上的一点，440=72。，BD=2CD,A£>=4,求AC的长”.某同学做了如下的思考：如图②，过点。作

CE//AB,交的延长线于点£，进而求解，请回答下列问题：

(1)ZACE=度；

(2)求4c的长.

【拓展应用】如图③，在四边形ABCD中，ZBAD=120°,ZADC=75°,对角线AC、BD相交于点E，

且EB=2ED,他=2,则8C的长为.

23.如图，AB是。0的直径，且AB=6.点C是。O上的一动点，连接AC,BC,在AC的延长线上取一点D,

使得NCBD=NDAB,点G为DB的中点，点E为BG的中点，连接AE交BC于点E

(1)试判断直线BD与。O的位置关系，并说明理由；

(2)当/CGB=60。时，求AC的长；

(3)当AE〃CG时，连接GF,若AF=4,求BD的长.

24.如图1,抛物线G：尤一2与直线/：y=交于x轴上一点A,和另一点B(3,〃)

(1)求抛物线G的解析式；

(2)点P是抛物线G上的一个动点(点p在A，B两点之间,但不包括A,B两点)PM工AB于息M,PN〃y

轴交AB于点M求MN的最大值；

(3)如图2,将抛物线C1绕顶点旋转18()。后，再作适当平移得到抛物线。2，已知抛物线G的顶点E在第

一象限的抛物线G上，且抛持线与抛物线C交于点过点。作叱//x轴交抛物线。2于点F，过点

E作EG//x轴交抛物线&于点G,是否存在这样的抛物线C2,使得四边形。FEG为菱形？若存在，请求

E点的横坐标；若不存在，请说明理由.

答案与解析

一、选择题

1.在1,-2,3,-4这四个数中，绝对值最小的数为（）

A.1B.3C.-2D.-4

【答案】A

【解析】

【分析】

根据绝对值的定义先求出这四个数的绝对值，再找出绝对值最小的数即可.

【详解】解：；|11=1,|-2|=2,|3|=3,|-4|=4,

这四个数中，绝对值最小的数是1,

故选：A.

【点睛】此题考查了有理数的大小比较和绝对值的性质，掌握绝对值的性质是解题的关键，是一道基础题.

)

【解析】

【分析】

根据中心对称图形的定义和图形的特点即可求解.

【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误;

B、是中心对称图形，故此选项正确;

C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误;

D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误;

故选：B.

【点睛】本题考查了中心对称图形的概念：如果一个图形绕某一点旋转180。后能够与自身重合，那么这个

图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心.掌握概念是解题关键.

3.2018年10月23日，世界上最长的跨海大桥——港珠澳大桥正式开通，这座大桥集跨海大桥、人工岛、海

底隧道于一身，全长约55000米，其中55000用科学记数法可表示为（）

A.5.5x103B.55x103C.5.5X104D.0.55x105

【答案】C

【解析】

【分析】

科学记数法的形式是：«xio",其中1引w为整数.所以。=5.5,〃取决于原数小数点的移动

位数与移动方向，〃是小数点的移动位数，往左移动，〃为正整数，往右移动，"为负整数.本题小数点往

左移动到5的后面，所以〃=4.

【详解】解:55000=5.5x104.

故选C.

【点睛】本题考查的知识点是用科学记数法表示绝对值较大的数，关键是在理解科学记数法的基础上确定

好。，〃的值，同时掌握小数点移动对一个数的影响.

4.下列计算正确的是()

A.3x2+x2=4x4B.(x—l)2=x—1

C.(6x，y)+(2x3)=3xD.(—x2y)2z=x4y2

【答案】D

【解析】

【分析】

按合并同类项的法则判断A,

按完全平方公式的计算判断B,

按单项式除以单项式判断C,

按积的乘方判断D.

【详解】解：3X2+X2=4X2.所以A错误，

(x—l)2=f_2x+l,所以B错误，

(6*与)+(2/)=3孙，所以C错误,

(_》2))2=》4>2,所以D正确.

故选D.

【点睛】本题考查的是合并同类项，整式的乘法，单项式除以单项式，积的乘方等知识，掌握以上知识点

是解题关键.

5.如图，a!lb,Nl=110°,Z3=48°,则N2的度数是()

b

【答案】C

【解析】

【分析】

利用平行线的性质，平角的定义解决问题即可.

【详解】解：如图，VZ^llO0,

.,.Z4=180°-110o=70°,

：a〃b,

Z2+Z4+Z3=18O°,

VZ3=48°,

Z2=62°,

故选：C.

【点睛】本题考查平行线的性质，解题的关键是熟练掌握基本知识.

6.五名女生的体重（单位：KG）分别为：37、40、38、42、42,这组数的众数和中位数分别是（）

A.42、40B.42、38

C.40、42D.42、42

【答案】A

【解析】

【分析】

先将数据从大到小重新排列，然后根据众数及中位数的定义求解即可.

【详解】解：五个数据从小到大排列为：37、38、40、42、42,所以众数是42,中位数是40.

故选A-

【点睛】本题考查了众数及中位数的知识，中位数是将一组数据从小到大(或从大到小)重新排列后，最

中间的那个数(最中间两个数的平均数)，叫做这组数据的中位数，如果中位数的概念掌握得不好，不把数

据按要求重新排列，就可能会出错.

7.一个圆锥高为4,母线长为5,则这个圆锥的侧面积为()

A.15兀B.127tC.257tD.20兀

【答案】A

【解析】

【分析】

先利用勾股定理计算出这个圆锥的底面圆的半径，然后根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长

等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式计算即可.

【详解】这个圆锥的底面圆的半径=庐下=3,

所以这个圆锥的侧面积=—X2TTX3X5=15兀.

2

故选A.

【点睛】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇

形的半径等于圆锥的母线长.

8.已知关于x的一元二次方程x2-2x-k—2=0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是()

A.k》一3B.k<3C.k>-3D.k<3

【答案】C

【解析】

【分析】

利用判别式意义得到4=(-2)2-4(-k-2)>0,然后解不等式即可.

【详解】根据题意得A=(-2)2-4(-k-2)>0,

解得k>-3.

故选C.

【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0(arO)的根与△=b?-4ac有如下关系：当△>()

时，方程有两个不相等的实数根；当△=()时，方程有两个相等的实数根；当AV0时，方程无实数根.

9.一次函数yi=Ax+人与y2=x+”的图象如图所示，则下列结论：①&<0；②a>0；③当尤<3时，)1<”；④

当yi>0且”>0时，-aVx<4.其中正确的个数是()

y个

be

oy3K为

Ay=kx^b

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】B

【解析】

【分析】

仔细观察图象，①k的正负看函数图象从左向右成何趋势即可；②a看y2=x+a与y轴的交点坐标；③以两

条直线的交点为分界，哪个函数图象在上面，则哪个函数值大；④看两直线都在x轴上方的自变量的取值

范围.

【详解】①••$=丘+6的图象从左向右呈下降趋势，

.,.^<0正确；

②'.j2=x+a,与y轴的交点在负半轴上，

故②错误；

③当xV3时，yi>>'2,故③错误；

④y2=x+〃与x轴交点的横坐标为x=-a,

当yi>0且丫2>0时，-a<x<4正确；

故正确的判断是①④，正确的个数是2个.

故选B.

【点睛】本题考查一次函数与一元一次不等式、一次函数的图象与性质，利用数形结合是解题的关键.

10.在。ABC。中，对角线AC,8。相交于点O,以点。为坐标原点建立平面直角坐标系，其中A(a,b),B

(«-1,b+2),C(3,1),则点。的坐标是()

A(4,-1)B.(-3,-1)C.(2,3)D.(-4,1)

【答案】A

【解析】

【分析】

画出图形，利用平行四边形的性质解答即可.

【详解】如图：

.♦.A(-3,-1),

：.B(-4,1),

：.D(4,-1)；

故选A.

【点睛】本题考查平行四边形的性质，解题的关键是利用平行四边形的性质解答.

11.如图，矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O,0E_LBD交BC于E.若AB=6,BC=8,则aBOE的周

长为()

A.12B.—C.15D.—

23

【答案】C

【解析】

【分析】

由勾股定理得出BD=NCD°+BC2=10,得出OB=5,证明△BOES/\BCD,利用相似三角形的性质，即

可得出aBOE的周长.

【详解】解：•.•矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O,

AOB=OD,ZBCD=90°,CD=AB=6,

・・・BD=yJCD2+BC2=10,

AOB=OD=5,

VOE1BD,

.,.ZBOE=90°=ZBCD,

\"ZOBE=ZCBD,

AABOE^ABCD,

.OEBEOB

…^D~~BD~~BC

口nOEBE5

即——

6To8

is25

解得：OE==BE=J

44

2515

ABOE的周长=OB+BE+OE=5+—+—=15；

44

故选：C.

【点睛】本题主要考查了矩形的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质；熟练掌握矩形的性质，证明

三角形相似是解题的关键.

12.如图是二次函数y="N+-+c的图象的一部分，对称轴是直线x=l,以下结论：®abc>0；②3a+c>0；

③，"为任意实数，则有〃（机2+i）+加?20；④若（-2,V）,（5,y2）是抛物线上的两点，则？<y2,正确

的有（）个.

A.1B.2C.3D.4

【答案】D

【解析】

【分析】

观察图像，可得出a,b和c的符号，就可判断①是否正确；根据x=3时，y的正负就可对②作出判断；根

据对称轴是直线x=l,就可对③④作出判断.

【详解】①由图象可知：a>0,c<0,

b

由对称轴可知：——>0,

AZ?<0,

.•・abc>0,故①正确；

b

②由对称轴可知：——=1，

2a

:.b=-2a,

，・•当x=3时，y>0,

/.9i+3Z?+c>0,

/.9a-6〃+c>0,

/.3«+c>0,故②正确；

③・・,抛物线的对称轴为直线x=l,

・••当x=l时，y有最小值，

am2+bm+cNa+/?+c（"2为任意实数），

：・am?+bm》a+b（m为任意实数），

/.am2^a+bm22a+b（m为任意实数），

•:b=-2a,

•9•a（m2+1）+/?机20,故③正确；

④，•,点（-2,y\）离对称轴要比点（5,”）离对称轴要近，

.•.yiV”，故④正确.

故选D

【点睛】考查二次函数与系数的关系.二次项系数。决定抛物线的开口方向，共同决定了对称轴的位置,

常数项。决定了抛物线与V轴的交点位置.

二、填空题

13.计算a-更的结果是

V2

【答案】26

【解析】

【分析】

先根据二次根式的除法法则运算，然后化简后合并即可.

【详解】解：原式=36-6

=3\/3—s/3

=2百.

故答案为2百.

【点睛】本题考查了二次根式混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运

算，再合并即可.在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的

解题途径，往往能事半功倍.

14.在不透明的盒子中装有6个黑色棋子和若干个白色棋子，每个棋子除颜色外都相同，任意摸出一个棋子,

摸到黑色棋子的概率是,，则白色棋子的个数是一.

【答案】24

【解析】

【分析】

设盒子中白色棋子有x个，根据概率公式列出关于x的方程，解之可得.

【详解】解：设盒子中白色棋子有x个，

根据题意，得：-

6+x5

解得：x=24,

经检验：x=24是原分式方程的解，

所以白色棋子有24个，

故答案为24.

【点睛】本题考查了概率公式，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比.

15.如图，在四边形ABCD中，对角线AC垂直平分BD,ZBAD=120°,AB=4,点E是AB的中点，点F

是AC上一动点，贝IJEF+BF的最小值是.….

A

\---

【答案】2币

【解析】

【分析】

连接DF,过E作EGLBD于G,当E,F,D三点共线时，EF+BF的最小值等于DE的长，利用勾股定理

求得DE的长，即可得出EF+BF的最小值.

【详解】解：如图所示，连接DF,过E作EG_LBD于G,

：AC垂直平分BD,

；.FB=FD,AB=AD,

，EF+BF=EF+FD,

当E,F,D三点共线时，EF+BF的最小值等于DE的长，

VZBAD=120°,

NABD=30。，

又•••AB=4,点E是AB的中点，

EG=—BE=LAH=—AB=2,

22

.•.BG=5BH=2g,GH=G，

，DH=26，DG=35

.•.RSDEG中，DE=7EG2+DG2=正+萩丫=2币,

故答案为2近.

【点睛】本题主要考查了最短路线问题，以及勾股定理，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性

质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点.

16.00的半径OA=4,以0A为直径作。0i交。O的另一半径0B于点C,当C为0B的中点时，图中阴

影部分的面积S=

【答案】空一布

3

【解析】

【分析】

连接0C，先证明公。℃是等边三角形，根据S|^=S招OAB—SAGCO-SSWOICA进行解答.

C是OB的中点，OA=OB=4,

AOC=2,

V。1是OA的中点，

/.OtA=OXO=2,

/.oc=go=o6=2,

/.A。。。是等边三角形，

...NAOB=/OO|C=60°,

ZAO,C^120°,

_604x42G

・・5阴影=

3604xm

故答案为：—Vs.

3

【点睛】本题考查的是扇形面积的计算及圆周角定理，根据题意作出辅助线，构造出圆心角及等边三角形

是解答此题的关键.

三、解答题

-1\/3—21+2cos30—^―

17.计算:

3>

【答案】7+±叵

3

【解析】

【分析】

按负整数指数累，绝对值的含义，锐角三角函数，二次根式的性质分别计算，再合并即可.

【详解】解：原式=9—(2—6)+2义旦一旦

23

=9-2+6+百一如

3

7+挈

【点睛】本题考查的是负整数指数幕，绝对值的含义，锐角三角函数，二次根式的性质及实数的运算，掌

握以上知识是解题的关键.

18.化简分式(2-4-1+4^-,并从-2WaW2中选一个你认为合适的整数a代入求直

(a-2a*--4ja，+4a+4

【答案】—12

a-2

【解析】

【分析】

首先化简分式，再把a的值代入求出答案.

【详解】解:

a(a+2)a,(a+2了_a(a+1)(a+2)2_a+1

原式=

(a+2)(a-2)(a+2)(a-2)a(a+2)(a+2)(a-2)a(a+2)a-2

由己知可得2户2,0,-2,又因为-2刍及,且a为整数，所以a=-l或1.

不妨取a=l,原式=84=2(答案不唯一)

1-2

【点睛】本题考查的是分式的化简求值与整式的混合运算，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键.

19.如图，一般捕鱼船在月处发出求救信号，位于A处正西方向的B处有一艘救援艇决定前去数援，但两船

之间有大片暗礁，无法直线到达.救援艇决定马上调整方向，先向北偏东60°方以每小时30海里的速度航

行，同时捕鱼船向正北低速航行.30分钟后，捕鱼船到达距离A处1.5海里的。处，此时救援艇在C处测

得。处在南偏东53°的方向上.

北

(1)求C、O两点的距离；

(2)捕鱼船继续低速向北航行，救援艇决定再次调整航向，沿CE方向前去救援，并且捕鱼船和救援艇同达

时到E处，若两船航速不变，求NEC。的正弦值.(参考数据：s加53。之().8,cos53°*0.6,柩〃53°n3)

3

【答案】(1)C。两点的距离是10海里；(2)0.08

【解析】

【分析】

(1)过点C、。分别作CG_LA3,DF1.CG,垂足分别为G,F,根据直角三角形的性质得出CG,再根

据三角函数的定义即可得出C£＞的长；

(2)如图，设渔政船调整方向后■小时能与捕渔船相会合，由题意知CE=30/，OE=1.5x2xr=3r，

NEDC=53°,过点E作于点H,根据三角函数表示出EH,在比HEZ/C中，根据正弦的定义

求值即可；

【详解】解：(1)过点C、。分别作CGLAB,DF1CG，垂足分别为G,F,

•••在MCGB中，ZCBG=90°-60°=30°,

.♦.CG=，BC=，x(30x，1=7.5海里,

22\2

\-ZDAG=90°,

四边形AOFG是矩形,

；.6尸=4。=1.5海里,

:.CF=CG-GF=7.5—1.5=6海里,

在心口中，NCED=9()°,

vZZ）CF=53°,

CF

.­.cosZ£）CF=—

CD

CF

CD==9=10（海里）

cos53°0.6

答：co两点的距离是10海里;

（2）如图，设渔船调整方向后1小时能与捕渔船相会合，

由题意知C£=30f，DE=1.5x2xt=3f,NEDC=53°,

过点E作EH_LCD于点H,则NEHD=ZCHE=90°,

EH

：.sin/EDH=——,

ED

：.EH=EDsin530=3fx0.8=24,

FH24/

・•・在MEHC中，sinZECD=—=—=0.08.

CE30f

答：sin/EC。的正弦值是0.08.

【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用一方向角问题，掌握解直角三角形的应用一方向角问题是解题

的关键.

20.实施新课程改革后，学生的自主学习、合作交流能力有很大提高，张老师为了了解所教班级学生自主学

习、合作交流的具体情况，对本班部分学生进行了为期半个月的跟踪调查，并将调查结果分成四类，A：特

别好；B：好；C：一般；D：较差；并将调查结果绘制成以下两幅不完整的统计图，请你根据统计图解答

下列问题:

AS?

介........A....................■男生

(1)本次调查中C类女生有名，D类男生有名；将上面的条形统计图补充完整；

(2)计算扇形统计图中D所占的圆心角是；

(3)为了共同进步，张老师想从被调查的A类和D类学生中分别选取一位同学进行“一帮一”互助学习，请

用列表法或画树形图的方法求出所选两位同学恰好是一位男同学和一位女同学的概率.

【答案】(1)2,1,图详见解析；(2)36°；(3)-

2

【解析】

【分析】

（1）先根据题意求得调查的学生总人数，进而求出c类女生和D类男生人数，然后即可补全统计图；

（2）用360。乘以对应的百分比即得；

（3）首先根据题意画出树状图，进而由树状图求得所有等可能的结果与所选两位同学恰好是一位男同学和

一位女同学的情况，再利用概率公式即得.

【详解】解：（1）本次调查的总人数为（6+4）+50%=20（人），

本次调查中C类女生有20x25%-3=2（人），

D类男生有20-（1+2+6+4+3+1+2）=1（人），

补全图形如下：

故答案为：2,1；

2

（2）扇形统计图中D所占圆心角是360万——=36。,

20

故答案为：36°；

（3）画树状图得：

开始

强男女女

/\/\/\

D类男女男女男女

•••共有6种等可能的结果，所选两位同学恰好是一位男同学和一位女同学的有3种情况，

二所选两位同学恰好是一位男同学和一位女同学的概率是=3=—1.

62

【点睛】本题考查了列表法或树状图法求概率、条形统计图与扇形统计图的知识，熟练掌握树状图分析求

解概率，结合条形统计图与扇形统计图均已知的量求出总人数是解题关键.

21.王妈妈在莲花商场里购买单价总和是90元的商品甲、乙、丙共两次，其中甲的单价是20元，乙的单价

是40元，甲商品第一次购买的数量是第二次购买数量的两倍，乙商品第一次购买的数量与丙商品第二次购

买的数量相等，两次购买商品甲、乙、丙的数量和总费用如下表:

购买商品甲的购买商品乙的购买商品丙的购买总费用

数量(个)数量(个)数量(个)(元)

第一次购物4440

第二次购物7490

(1)求两次购买甲、乙、丙三种商品的总数量分别是多少？

(2)由于莲花商场物美价廉，王妈妈打算第三次前往购买商品甲、乙、丙，设三种商品的数量总和为a个，

其中购买乙商品数量是甲商品数量的3倍，购买总费用为1280元，求a的最小值.

【答案】(1)两次购买甲、乙、丙三种商品的总数量均为15个；(2)38.

【解析】

【分析】

(1)设第二次购进甲商品x个，购进丙商品y个，则第一次购进甲商品2x个，乙商品y个，根据总价=单

价X数量及前两次购物的总费用，即可得出关于x,y的二元一次方程组，解之即可得出x,y的值，再分别

将两次购物购进的三种商品数量相加即可得出结论；

(2)设第三次购进甲商品m个，则购进乙商品3m个，丙商品(a-4m)个，根据总价=单价X数量结合购

买总费用为1280元，即可的关于a,m的二元一次方程，结合a,m,a-4m均为非负整数，即可求出a,m

的值，取其最小值即可得出结论.

【详解】解：(1)设第二次购进甲商品x个，购进丙商品y个，则第一次购进甲商品2x个，乙商品y个，

[20x2x+40y+4(90-20-40)=440

依题意，得：＜,

[20x+40x7+(90-20-40)y=490

解得：\'尤=3.

[y=5

；.2x+y+4=15,x+7+y=15

答：两次购买甲、乙、丙三种商品的总数量均为15个.

(2)设第三次购进甲商品m个，则购进乙商品3m个，丙商品(a—4in)个，

依题意，得：20m+40x3m+(90-20-40)(a-4m)=1280,

128-2m

；.a=-------------,

3

'.'a,m,a—4m均为非负整数,

m=1fm=4=7

《，或《，或《,

a=42[a=40[a=38

，a的最小值为38.

【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系,

正确列出二元一次方程组；(2)找准等量关系，正确列出二元一次方程.

22.【问题探究】课堂上老师提出了这样的问题：“如图①，在n49C中，N84C=108。，点。是3c边

上的一点，/班0=72。，BD=2CD,AD=4,求AC的长某同学做了如下的思考：如图②，过点C作

CE//AB,交AZ)的延长线于点E，进而求解，请回答下列问题：

(1)ZACE=度；

(2)求AC的长.

【拓展应用】如图③，在四边形ABCD中，ZBAD=nO°,ZADC=75°,对角线AC、相交于点E，

且ACLAB,EB=2ED,AE=2,则8C的长为.

【答案】【问题探究】(1)72°；(2)AC=6.【拓展应用】2n.

【解析】

【分析】

问题探究：

(1)由平行线的性质得出NACE+NBAC=180。，即可得出结果；

(2)由平行线的性质得出NE=NBAD=72。，证出AC=AE,由平行线证明AABDS/^ECD,求出AD=2；

ED=4,ED=2,得出AC=AE=AD+ED=6；

ARAFRF

拓展应用：过点D作DF〃AB交AC于点F.证明ABAES^DFE,得出======2,得出AB=2DF,

EF=^AE=1,AF=AE+EF=3,证出AC=AD,在RsADF中，求出DF=AFxtan/CAD=百，得出

AC=AD=2DF=26，AB=2DF=26,得出AC=AB,在RsABC中，求出BC=0AB=2n即可.

【详解】解：⑴：CE〃AB,

.".ZACE+ZBAC=180°,

.,.ZACE=180o-108°=72°；

故答案为：72；

(2)VCE/7AB,

.\ZE=ZBAD=72O,

・・・NE=NACE,

AAC=AE,

VCE/7AB,

AAABD^AECD,

.ADBD

・・—，

EDCD

VBD=2CD,

.AJ

ED

AAD=2ED=4,

AED=2,

・・・AC=AE=AD+ED=4+2=6；

拓展应用：

解：如图3中，过点D作DF〃AB交AC于点F.

VAC±AB,.,.ZBAC=90°,VDF/7AB,

.\ZDFA=ZBAC=90°,

ZAEB=ZDEF,

.,.△BAE^ADFE,

.ABAEBEr

••=——2,

DFEFDE

AAB=2DF,EF」AE=1,AF=AE+EF=3,

2

VZBAD=120°,

/.ZCAD=30°,

.\ZACD=750=ZADC,

，AC=AD,

在RSADF中，VZCAD=30°,

n

：.DF=AFxtanZCAD=3x—=y/3,

3

Z.AC=AD=2DF=26,AB=2DF=2百，

；.AC=AB,

在RtAABC中，VZBAC=90°,

.\BC=V2AB=2V6;

故答案为：2底.

【点睛】此题考查四边形综合题，相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质，等腰三角形的判定，勾

股定理，本题综合性强，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题.

23.如图，AB是。O的直径，且AB=6.点C是。O上的一动点，连接AC,BC,在AC的延长线上取一点D,

使得/CBD=/DAB,点G为DB的中点，点E为BG的中点，连接AE交BC于点F.

(1)试判断直线BD与。0的位置关系，并说明理由；

(2)当/CGB=60。时，求AC的长；

(3)当AE〃CG时，连接GF,若AF=4,求BD的长.

【答案】(1)直线BD与。O相切，详见解析；(2)兀；(3)8

【解析】

【分析】

(1)根据圆周角定理，由AB是。0的直径，可得NDCB=NACB=90。，故有ND+NCBD=90。；再由

ZCBD=ZDAB,可得ND+/DAB=90°,即NABD=90。，可得结论.

(2)因为点G是Rt/SBCD斜边BD的中点，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边一半得

CG=BG=—BD.又有NCGB=60。，故4BCG是等边三角形，求得/DBC=60。，进而得NABC=30。.根据

2

圆周角定理有/AOC=2/ABC=60。，再由半径r=yAB=3代入弧长公式即求得AC的长.

(3)由AE〃CG和E为BG中点可证得点F为BC中点，又因为CG=BG=^BD,故FGLBC,进而得AC〃FG,

2

所以四边形AFGC是平行四边形，所以有BG=CG=AF=4,BD=2BG=8.

【详解】解：(1)直线BD与。0相切，理由如下：

：AB是。O的直径

ZBCD=ZACB=90°,

.".ZD+ZCBD=90°,

VZCBD=ZDAB,

ZD+ZDAB=90°,

ZABD=90°,

即BD±AB,

直线BD与。。相切

(2)如图1,连接OC

：/BCD=90。，点G为DB的中点

.,.BG=CG=DG=—BD

2

ZCGB=60°

AABCG是等边三角形

；./DBC=60°

，/ABC=/ABD-/DBC=30°

ZAOC=2ZABC=60°

•.•直径AB=6

，半径r=3

60^x3

，AC的长为

180

D

(3)如图2,连接FG,；点E是BG中点

.\BE=EG

：AE〃CG

.BFBE,

••-----=------=1,

CFEG

・・・BF=CF,即点F是BC中点

VBG=CG

・・・FG_LBC

・・・NCFG=NACB=90。

・・・FG〃AC

・・・四边形AFGC是平行四边形

・・・CG=AF=4

JBG=CG=4

.•・BD=2BG=8

【点睛】本题考查了圆的切线判定，圆周角定理，中点定义，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，

等边三角形的判定和性质，弧长的计算公式，平行线分线段定理，等腰三角形三线合一的性质，平行四边

形的判定和性质.整题证明和计算过程涉及很多几何知识点，需综合灵活运用几何定理和公式解题.

24.如图1,抛物线G：丁=依2+反一2与直线/：y=——!交于X轴上的一点4,和另一点B(3,〃)

（1）求抛物线G的解析式；

（2）点P是抛物线a上的一个动点（点P在A,B两点之间，但不包括A,B两点）PM_LA6于点M,PN//y

轴交AB于点N,求例N的最大值；

（3）如图2,将抛物线G绕顶点旋转180。后，再作适当平移得到抛物线。2,已知抛物线。2的顶点E在第

一象限的抛物线G上，且抛持线。2与抛物线G交于点。，过点。作）V/x轴交抛物线G于点忙过点

E作EG//X轴交抛物线G于点G,是否存在这样的抛物线。2,使得四边形。FEG为菱形？若存在，请求

E点的横坐标；若不存在，请说明理由.

【答案】（1）y=-x2--x-2；（2）区5；（3）E点的横坐标为+g）时，四边形DFEG为菱形

225I

【解析】

【分析】

（1）求直线/与x轴交点A坐标、B坐标，用待定系数法求抛物线G的解析式・

（2）延长PN交x轴于点H,设点尸横坐标为〃?，由PN//y轴可得点N、H横坐标也为〃?，即能用，"表示

PN、N