排列与排列数学案

排列与排列数

第1课时排列与排列数

必备知识•自主学习

导思什么是排列？所有对象有没有顺序关系？

L排列：从n个不同对象中，任取m(mSn)个对象，按照一定的顺序

排成一列，称为从n个不同对象中取出m个对象的一个排列.

2.相同排列的两个条件

⑴对象相同.

(2)顺序相同.

⑴排列中"一定顺序〃的含义是什么？

提示：一定顺序就是指排列中的对象与位置有关，当位置不同时排列

也就不同.

⑵排列定义中的两个要素是什么？

提示：一是"取出不同的对象〃，二是"将对象按一定顺序排列〃.

3.排列中对象所满足的两个特性

⑴无重复性：从n个不同对象中取出m(m4n)个不同的对象，否那么

不是排列问题.

⑵有序性：安排这m个对象时是有III页序的，有序的就是排列，无序

的不是排列.检验它是否有顺序的依据是变换对象的位置,看结果是

否发生变化，有变化就是有顺序，无变化就是无顺序.

⑴每一个排列中对象的位置是确定的吗？

提示：是，对象在排列中的位置不同排列也就不同.

⑵同一个排列中，同一个对象能重复出现吗？

提示：由排列的定义知，在同一个排列中不能重复出现同一个对象.

4.排列数及排列数公式

排列数从n个不同对象中取出m个对象的所有排列的个

定义数,称为从n个不同对象中取出m个对象的排列数

排列数

表示法

n个不同对象全部取出的一个排列，叫做n个对象

全排列

的一个全排列，且A：=nx(n-l)x-x3x2xl

阶乘正整数1到n的连乘积，叫做n的阶乘，用n!表示

排歹乘积式A?=n(n-l)(n-2)•…

数公pm_n!

阶乘式''(n—m)!

式

A；=nl,O!=l

备注n,mGN*,m<n

⑴"得到从n个不同的对象中取出m个对象的一个排列”的含义是什

么？

提示："得到从n个不同对象中取出m个对象的一个排列〃，包含两

个方面：①从n个不同对象中取出m个对象；②按照一定顺序排列.

(2)排列与排列数有何不同？

提示：排列与排列数是两个不同的概念，"排列〃是指从n个不同对

象中取出m个对象按照一定顺序排成一列，是一种排法；"排列数〃

是指从n个不同对象中取出m个对象所得不同排列的个数，是一个

数，用A：表示.

1.辨析记忆(对的打，〃，错的打"x〃)

⑴由于排列数的阶乘式是一个分式，所以其化简的结果不一定是整

数.(x)

提示：排列数是从假设干个对象中取出假设干个对象的排列的个数,

所以排列数一定是整数.

⑵在排列的问题中，总体中的对象可以有重复.(X)

提示：在排列问题中总体内对象不能重复.

⑶用1,2,3这三个数字组成无重复数字的三位数.123与321是不

相同的排列.M

提示：根据排列的定义可以判断123与321是不同的排列.

⑷假设A,=10x9x8x7x6,那么n=10,m=6.(x)

提示：在A：中m表示连乘因数的个数，所以，n=10,m=5.

2.9xl0xllx・・・x20可表示为()

A.A20B.A20C.A20D.A20

【解析】选卷=20X19X18X-X(20-12+1)

=20xl9xl8x…x9.

3.如果An=15x14x13x12x11x10,那么n=,m=

【解析】15x14x13x12x11x10=A55，故n=15,m=6.

答案：156

关键能力•合作学习

类型一排列的有关概念（数学抽象）

1,判断以下问题是否是排列问题：

⑴从1到10十个自然数中任取两个数组成直角坐标平面内的点的坐

标，可得多少个不同的点的坐标？

⑵从10名同学中任抽两名同学去学校开座谈会，有多少种不同的抽

取方法？

⑶某商场有四个大门，假设从一个门进去，购置物品后再从另一个门

出来，不同的出入方式共有多少种？

【解析】⑴由于取出的两数组成点的坐标与哪一个数为横坐标，哪一

个数为纵坐标的顺序有关，所以这是一个排列问题.

⑵因为从10名同学中抽取两人去学校开座谈会的方式不用考虑两人

的顺序，所以这不是排列问题.

⑶因为从一门进，从另一门出是有顺序的，所以是排列问题.

综上，⑴⑶是排列问题，⑵不是排列问题.

2.判断以下问题是否为排列问题：

⑴北京、上海、重庆三个民航站之间直达航线的飞机票价格(假设来

回的票价相同)；

(2)选2个小组分别去植树和种菜；

⑶选2个小组去种菜；

⑷选10人组成一个学习小组；

⑸选3个人分别担任班长、学习委员、生活委员；

⑹某班40名学生在假期相互写信.

【解析】⑴中票价只有三种，虽然机票是不同的，但票价是一样的，

不存在顺序问题，所以不是排列问题.

⑵植树和种菜是不同的,存在W页序问题，属于排列问题.

⑶⑷不存在顺序问题，不属于排列问题.

⑸中每个人的职务不同，例如甲当班长或当学习委员是不同的，存在

顺序问题，属于排列问题.

(6)A给B写信与B给A写信是不同的，所以存在着顺序问题，属于排

列问题.

所以在上述各题中⑵⑸⑹属于排列问题，⑴⑶⑷不是排列问题.

判断一个具体问题是否为排列问题的方法

类型二"树形图〃解决排列问题（逻辑推理）

【典例】四个人A,B,C,D坐成一排照相有多少种坐法？将它们列

举出来.

【思路导引】运用树形图一一列举出来.

【解析】先安排A有4种坐法，安排B有3种坐法，安排C有2种

坐法,安排D有1种坐法,由分步乘法计数原理，有4x3x2xl=24

种.

画出树形图：

由"树形图”可知，所有坐法为ABCD,ABDC,ACBD,ACDB,ADBC,

ADCB,BACD,BADC,BCAD,BCDA,BDAC,BDCA,CABD,CADB,

CBAD,CBDA,CDAB,CDBA,DACB,DABC,DBAC,DBCA,DCAB,

DCBA.

利用"树形图〃法解决简单排列问题的适用范围及策略

⑴适用范围："树形图〃在解决排列对象个数不多的问题时，是一种

比拟有效的表示方式.

⑵策略：在操作中先将对象按一定顺序排出，然后以先安排哪个对象

为分类标准进行分类，再安排第二个对象，并按此对象分类，依次进

行，直到完成一个排列，这样能做到不重不漏，然后再按树形图写出

排列.

1.假设直线Ax+By=0的系数A,B可以从2,3,5,7中取不同的

数值，可以构成的不同直线的条数是0

A.12条B.9条C.8条D.4条

【解析】选A.画树形图如下：

故共有12条.

2.写出以下问题的所有排列：

⑴从1,2,3,4四个数字中任取两个数字组成两位数，共有多少个

不同的两位数.

⑵由1,2,3,4四个数字能组成多少个没有重复数字的四位数，试

全部列出.

【解析】⑴所有两位数是12,21,13,31,14,41,23,32,24,

42,34,43,共有12个不同的两位数.

⑵画出树形图，如下图.

由上面的树形图可知，所有的四位数为：

1234,1243,1324,1342,1423,1432,2134,2143,2314,2341,

2413,2431,3124,3142,3214,3241,3412,3421,4123,4132,

4213,4231,4312,4321,共24个四位数.

类型三排列数公式及其简单应用(数学抽象逻辑推理)

—.角度.1.一排列数公式

【典例】l.(x-2)(x-3)(x-4)・…•(x-15)(x£N+,x>15)可表示为()

A-2B.Ax4.2

；

C.15D.A!15

【思路导引】

根据排列数公式求解.

【解析】选B.由题意x£N+,x>15.其中最大的数(x-2)为n,那么m

=(x-2)-(x-15)+1=14.

所以(x-2)(x-3)(x-4)・…•(x-15)=Af2-

2.⑴计算A%和A二

⑵用排列数表示(55-n)(56-n)-(69-n)(n£N*且n<55).

(3)化简n(n+l)(n+2)(n+3)—(n+m).

【思路导引】

根据题中所求排列数的特点，选择适宜的排列数公式求解.

【解析】(1)A；5=15X14X13=2730,

=6x5x4x3x2x1=720.

(2)因为55-n,56-n,-,69-n中的最大数为69-n,且共有(69

-n)-(55-n)+l=15(个)数,

所以

(55-n)(56-n)••…(69-n)=Ag.n.

⑶由排例」数公式可知n(n+l)(n+2)(n+3)・…•(n+m)=.

…角度2…排列数公式的应用

【典例】10个人走进只有6把不同椅子的屋子，假设每把椅子必须

且只能坐一人，共有多少种不同的坐法？

【思路导引】确定一共几个人，需要选出几个人参与排列，然后用排

列数公式求解.

【解析】坐在椅子上的6个人是走进屋子的10个人中的任意6个人,

假设把人抽象地看成元素，将6把不同的椅子当成不同的位置，那么

原问题抽象为从10个元素中取6个元素占据6个不同的位置.显然

是从个元素中任取个元素的排列问题.从而，共有

106A!o=151

200(种)坐法.

1,排列数的计算方法

⑴排列数的计算主要是利用排列数的乘积公式进行，应用时注意：连

续正整数的积可以写成某个排列数，其中最大的是排列对象的总个

数，而正整数(因式)的个数是选取对象的个数，这是排列数公式的逆

用.

⑵应用排列数公式的阶乘形式时，一般写出它们的式子后，再提取公

因式，然后计算，这样往往会减少运算量.

2.解简单排列应用题的思路

⑴认真分析题意，看能否把问题归结为排列问题，即是否有顺序.

⑵如果是的话，再进一步分析，这里n个不同的对象指的是什么，以

及从n个不同的对象中任取m(mWn)个对象的每一种排列对应的是什

么事件.

⑶运用排列数公式求解.

提醒：解答相关的应用题时不要无视n为正整数这一条件.

=4A12，那么n等于

3x8!4x9!________4x3

【解析】由^~~~—(11-n)!，BP(ll-n)(10-n)

[9-n]!

1,因为n<9,所以解得n=7.

答案：7

2.某景观湖内有四个人工小岛，为方便游客登岛欣赏美景，现方案

设计三座景观桥连通四个小岛，且每个小岛最多有两座桥连接，那么

设计方案的种数最多是________种.

【解析】设4个小岛分别为A,B,C,D,一个岛最多建两座桥，但

是下面这样的两个排列对应一种建桥方法，A-BCD,D-C-B-A,要去

1

掉重复的这样，因此有5xA；=12种方法.

答案：12

3.某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留

言，那么全班共写了条毕业留言.(用数字作答)

【解析】Ai0=40x39=1560.

答案：1560

2A1+7A之

4.⑴计算工—乂2)解方程3A：=2A：+i+6A"

△2-A2

2A5+7A4

882x8x7x6x5x4+7x8x7x6x5

【解析】A8

88x7x6x5x4x3x2xl-9x8x7x6x5

8x7x6x5x〔8+7〕

==1

8x7x6x5x〔24-9)

⑵由3A：=2A：+]+6A：,

得3x(x-l)(x-2)=2(x+l)x+6x(x-1).

因为x>3,且x£N*,

所以3(x-l)(x-2)=2(x+1)+6(x-1)即3x2-17x+10=0.解得x=5,

2

x=3倍去).所以x=5.

课堂检测•素养达标

1.以下问题：

⑴从甲、乙、丙三名同学中选出两名分别参加数学和物理学习小组.

⑵从甲、乙、丙三名同学中选出两名同学参加一项活动.

⑶从a,b,c,d四个字母中取出2个字母.

⑷从1,2,3,4四个数字中取出2个数字组成一个两位数.

其中是排列问题的有0

A.1个B.2个C.3个D.4个

【解析】选B.⑴是排列问题，因为两名同学参加的学习小组与顺序有

关.⑵不是排列问题，因为两名同学参加的活动与顺序无关.⑶不

是排列问题，因为取出的