吉林省吉林市2024届九年级下学期中考一模数学试卷(含解析)

数学本试卷包括六道大题，共26道小题．共8页．全卷满分120分．考试时间为120分钟．考试结束后，上交答题卡．注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．答题时，考生务必按照考试要求在答题卡上的指定区域内作答，在草稿纸、试卷上答题无效．一、单项选择题（每小题2分，共12分）1.－3的绝对值是（）A.3 B.－3 C. D.答案：A解析：详解：解：|-3|=3．故选：A．2.我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化，如图为部分“卦”的符号，其中是中心对称图形的是（）A. B. C. D.答案：B解析：详解：解：选项A、C、D均不能找到这样的一个点，使图形绕该点旋转后与原来的图形完全重合，所以不是中心对称图形，选项B能找到这样的一个点，使图形绕该点旋转后与原来的图形完全重合，所以是中心对称图形．故选B．3.下列命题：①对顶角相等；②同旁内角互补；③同角的余角相等；④垂线段最短．其中真命题的个数是（）A.1个 B.2个 C.3个 D.4个答案：C解析：详解：解：①对顶角相等，正确；②被截线不平行则同旁内角不互补，故本小题错误；③同角的余角相等，正确；④垂线段最短，正确；故选：C．4.已知关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，若，则m与n的大小关系为（）A. B. C. D.无法确定答案：A解析：详解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根，，，∵，∴，故选：A．5.如图，，是的弦，，是的半径，点P为上任意一点（点P不与点B重合），连接，若，则的度数可能是（）A. B. C. D.答案：C解析：详解：解：如图，连接，，，，，点为上任意一点（点不与点重合），，，，∴的度数可能是．故选：C．6.某数学兴趣小组借助数学软件探究函数的图象，输入了一组a，b的值，得到了它的函数图象如图所示，借助学习函数的经验，可以推断输入的a，b的值满足（）A.， B.，C.， D.，答案：D解析：详解：解：令，解得，或，由图象可知，，当时，，，∴，故选：D．二、填空题（每小题3分，共24分）7.分解因式：__________．答案：解析：详解：解：．故答案为：．8.若在实数范围内有意义，则x的取值范围是______．答案：解析：详解：解：式子在实数范围内有意义，则，解得：．故答案为：．9.2023年12月31日晚，“新时代新江城”吉林市2024迎新年大型烟花秀精彩上演，约有41万人前往现场观看，在线观看更是达到了万人次．数据万用科学记数法表示为______．答案：解析：详解：解：万，故答案为：．10.若边长为正多边形的一个外角是，则该正多边形的周长为______．答案：25解析：详解：∵边长为的正多边形的一个外角是，则该正多边形的边数为：，∴其周长为．故答案为：25．11.如图，在矩形中，，按以下步骤作图：①以点A为圆心，长为半径画弧，交于点E；②分别以点D，E为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点F；③画射线，交于点G，则______．答案：135解析：详解：解：根据作图依据可得是的角平分线，在矩形中，，，，故答案为：135．12.小莹计划购买一台圆形自动扫地机，有以下6种不同的尺寸可供选择，直径（单位：cm）分别是：34，，37，，40，42．如图是小莹家衣帽间的平面示意图，扫地机放置在该房间的角落（鞋柜、衣柜与地面均无缝隙），在没有障碍物阻挡的前提下，扫地机能从底座脱离后打扫全屋地面，小莹可选择的扫地机尺寸最多有______种．答案：2解析：详解：解：如图过点A、B分别作墙的垂线，交于点C，则，，在中，，即∵扫地机能从角落自由进出，∴扫地机的直径不小于长，即最小时为，小莹可选择的扫地机尺寸最多有：34，，共2种，故答案为：2．13.如图是浩洋老师办公桌上的2024年台历，台历上显示的是2024年1月的月历，通过此月历，可以推算出2025年1月1日是星期______．答案：三解析：详解：解：依题意，2024年1月1日到2025年1月1日经过了天，2024年1月1日是星期一∴2025年1月1日是星期三故答案为：三．14.如图，平分，平分，平分，点O为射线上一点，以点O为圆心，长为半径画圆．若，，则图中阴影部分的面积是______（结果保留）．答案：解析：详解：如图，连接，根据题意可得：，，，，是等边三角形，过O作，，，．故答案为：．三、解答题（每小题5分，共20分）15.先化简，再求值：，其中．答案：，解析：详解：解：原式当时，原式．16.舒兰大米种植区域处于北纬43度世界黄金水稻带．舒兰大米具有营养丰富、绵软柔糯等特点．某校食堂计划采购甲、乙两种舒兰大米，若购进甲种大米500千克和乙种大米300千克需花费11000元；若购进甲种大米200千克和乙种大米600千克需花费9200元．求每千克甲种大米和每千克乙种大米的价格．答案：每千克甲种大米价格是16元，每千克乙种大米价格是10元解析：详解：解：设每千克甲种大米价格是x元，每千克乙种大米价格是y元．，解得答：每千克甲种大米价格是16元，每千克乙种大米价格是10元．17.以下内容节选自人教版初中数学教材八年级上册．请说明内容中的尺规作图的原理，即求证．作法：（1）如图，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点，；（2）画一条射线，以点为圆心，长为半径画弧，交于点；（3）以点为圆心，长为半径画弧，与第步中所画的弧相交于点；（4）过点画射线，则．答案：证明见解析解析：详解：证明：由作图得，，在和中，∴，∴．18.如图，在左边托盘A（固定）中放置一个重物，在右边托盘B（可左右移动）中放置一定质量的砝码，可使得仪器左右平衡．托盘B中的砝码质量m随着托盘B与点O的距离d变化而变化，已知m与d是反比例函数关系，下面是它们的部分对应值：托盘B与点O的距离d/厘米510152025托盘B中的砝码质量m/克3015106（1）根据表格数据求出m关于d的函数解析式．（2）当砝码质量为12克时，求托盘B与点O的距离．答案：（1）（2）厘米解析：小问1详解：解：设m关于d的函数解析式为，当时，，所以，解得，∴m关于d的函数解析式为．小问2详解：把代入得，解得，答：托盘B与点O的距离为厘米．四、解答题（每小题7分，共28分）19.在2023年高考期间，吉林市委“爱在江城温馨高考”的暖心举措温暖着江城每一位考生和家长．其中吉林市第一中学校考点设置了家长休息区，共搭建了121个遮阳篷．图①是一个遮阳篷的实物图，图②是它的侧面示意图，长为m，太阳光线与地面的夹角为时，求的长（结果精确到m）．（参考数据：，，）答案：m解析：详解：解：在中，，，∵，∴答：的长约为m．20.游神民俗文化活动，主要在中国的闽台地区流行，是一项流传了数百年的习俗，在甲辰龙年春节爆火出圈，无数网友对游神前的掷筊杯仪式感到好奇．掷筊杯是民间一种问卜的方式，每次将两个筊杯掷向地面，根据筊杯落地后的状态来推测行事是否顺利．每个筊杯都有一个平面，一个凸面．筊杯落地的结果如图所示，如果是两个平面称之为笑杯，表示行事状况不明；如果是两个凸面称之为阴杯，表示不宜行事；如果是一个平面和一个凸面称之为圣杯，表示行事会顺利．假设每个筊杯形状大小相同，掷筊杯落地后平面朝上和凸面朝上的可能性也相同．（1）笑笑同学想要计算将两个筊杯连续掷两次都得到圣杯的概率，她采用面树状图的方法，请将她的求解过程补充完整．解：根据题意，可以画出如下的树状图：（2）在中国台湾电影《周处除三害》中有一段场景，主角陈桂林用签杯问卜，将两个筊杯连续掷九次．请问连续掷筊杯九次都出现圣杯的概率是______．答案：（1），过程见解析（2）解析：小问1详解：根据题意，可以画出如下的树状图：共有16种情况，其中两次都得到圣杯的有4种情况，故将两个筊杯连续掷两次都得到圣杯的概率；小问2详解：根据题意，可得掷筊杯一次，共有4种情况，其中得到圣杯的有2种情况，故掷筊杯一次都出现圣杯的概率；连续掷筊杯两次，共有16种情况，其中两次都得到圣杯的有4种情况，连续掷筊杯两次都出现圣杯的概率；连续掷筊杯三次，共有64种情况，其中三次都得到圣杯的有8种情况，连续掷筊杯三次都出现圣杯的概率是；故根据规律可得连续掷筊杯n次，共有种情况，其中n次都得到圣杯的有种情况，连续掷筊杯三次都出现圣杯的概率是；故连续掷筊杯九次都出现圣杯的概率．21.图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按要求画图，保留作图痕迹，不要求写面法．（1）在图①中画线段平分，且点E，F均在格点上．（2）在图②中画线段，线段平分的面积．（3）如图③，点P，Q均在格点上，连接交于点M，连接，则的面积是______．答案：（1）见详解（2）见详解（3）解析：小问1详解：连接交于点，即为所求；理由：，，，，即线段平分．小问2详解：如图，即为所求；理由：由（1）得，线段平分，，即是边上的中线，即线段平分的面积．小问3详解：，∴是直角三角形，根据题意可得：，，，，故的面积．22.书籍是人类进步的阶梯，中国图书出版已有十多年保持着持续、稳定、快速发展的良性态势．下面的统计图反映了2013年到2022年国家图书总印数和图书总印数年变化率的情况．说明：图书总印数年变化率．根据图中信息，解答下列问题：（1）计算2018年到2022年这五年国家图书总印数的平均数．（2）下列说法正确是______（下列选项中，有多项符合题目要求）．A．2013年到2022年国家图书总印数变化率最低的是2022年，所以2022年国家图书总印数最少．B．2013年到2022年国家图书总印数出现增长量最大的是2021年．C．2013年到2022年国家图书总印数变化率的中位数是．D．2013年到2017年国家图书总印数的方差记为，2018年到2022年国家图书总印数的方差记为，则．答案：（1）亿（2）B，C，D解析：小问1详解：解：2018年到2022年这五年国家图书总印数为：100.1亿，106亿，103.7亿，119.6亿，114亿，所以，2018年到2022年这五年国家图书总印数的平均数为：（亿），即2018年到2022年这五年国家图书总印数的平均数为108.68亿；小问2详解：解：A．2013年到2022年国家图书总印数变化率最低的是2022年，但是2022年国家图书总印数不是最少，位居第二．故选项A说法错误；B．2013年到2022年国家图书总印数出现增长量最大的是2021年，故选项B说法正确；C．2013年到2022年国家图书总印数变化率从小到大排列为：，2013年到2022年国家图书总印数变化率的中位数，故选项C说法正确；D．2013年到2017年国家图书总印数平均数为：（亿）方差为；由（1）知，2018年到2022年国家图书总印数的平均数为：108.68亿，2018年到2022年国家图书总印数的方差：，∴．所以，正确的选项是：B，C，D五、解答题（每小题8分，共16分）23.新能汽车中的油电混合动力汽车，兼具纯电动汽车和燃油汽车的优势．某油电混合动力汽车先采用锂电池工作，当锂电池电量耗完后自动转换为油路工作，汽车油路工作时不能为锂电池进行充电．该汽车一次充满电，可以行驶最大里程是120千米；油电混合行驶时，满电满油可以行驶最大里程是720千米．如图为该汽车仪表盘显示电量（单位：％），仪表盘显示油量（单位：％）与某次行驶里程x（单位：千米）之间的函数图象．（1）______，______．（2）求关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．答案：（1）120，270（2）解析：小问1详解：根据汽车一次充满电，可以行驶最大里程是120千米可得：，满电满油可以行驶最大里程是720千米，故满油可以行驶最大里程是千米，故油可以行驶最大里程是千米，故千米，故答案为：120，270．小问2详解：当时，设，将和代入得，解得，∴．24.实践操作：操作一：如图①，将正方形纸片对折，使点A与点D重合，点B与点C重合，再将正方形纸片展开，得到折痕．操作二：如图②，将正方形纸片的左上角沿折叠，得到点B的对应点为，交于点E．操作三：如图③，将正方形纸片的右上角沿折叠再展开，折痕交于点M．图①图②图③问题解决：（1）求证．（2）______·拓展应用：（3）在图③中延长交于点N，则______．答案：（1）证明见解析；（2）；（3）解析：详解：（1）如图，连接，根据翻折和正方形性质得：，，∴根据勾股定理，．；（2）延长交于点，设，设正方形的边长为，则，在中，，即．化简得．同理，依题意，根据勾股定理，，，设，则，在中，，即，化简得．，在中，．（3）根据（2）可知，．．六、解答题（每小题10分，共20分）25.如图，四边形是矩形，，，连接．点G从点D出发，以每秒2个单位长度的速度沿着边向终点C匀速运动，线段绕点D逆时针方向旋转得到线段，以线段为边作菱形．设菱形与重叠部分图形的面积为y（），点G运动的时间为x秒．（1）______．（2）当点F落在上时，______秒．（3）求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．答案：（1）30（2）1（3）解析：小问1详解：∵四边形是矩形，∴，在中，∵，，∴，是平行四边形，∴，∴．小问2详解：当点F落在上时，∵四边形是菱形，，∴，由（1）知，∴，在中，，即．，即检验是分式方程的解，．小问3详解：当时，无重叠部分；当时，，此时点F与点B重合；当时，，此时运动到矩形外部；①当时，由（1）知，，∴，，，∴；②当时，由（1）知，，∴，，，∴；③当时，由（1）知，，．∴，，，，，综上，．26.如图，在平面直角坐标系中，点O为