比例线段及相似知识点讲解

【知识点讲解】一、比例线段1.线段的比：如果选用同一长度单位量得两条线段a，b的长度分别是m，n，那么就说这两条线段的比是a:b=m:n，或写成,其中a叫做比的前项;b叫做比的后项。2.成比例线段：在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段．3.比例的项：四条线段ａ，ｂ，ｃ，ｄ，如果，那么ａ，ｂ，ｃ，ｄ，叫做组成比例的项，线段ａ，d叫做比例外项，线段ｂ，ｃ叫做比例内项，线段ｄ还叫做ａ，ｂ，ｃ的第四比例项．4.比例中项：如果作为比例线段的内项是两条相同的线段，即a:b=b:c或，那么线段ｂ叫做线段ａ和ｃ的比例中项．二、比例的性质：(1)比例的根本性质：(2)反比性质：(3)更比性质:或(4)合比性质:(5)等比性质:且１、判断以下四条线段是否成比例a=2，b=,c=，d=；a=，b=3,c=2，d=；a=4，b=6,c=5，d=10；a=12，b=8,c=15，d=102、：ad=bc将其改写成比例式；写出所有以a，d为内项的比例式；写出使b作为第四项比例项的比例式；〔4〕假设；写出以c作第四比例项的比例式；3、计算.(1)：x∶y=5∶4，y∶z=3∶7.求x∶y∶z.(2)：a，b，c为三角形三边长，(a-c)∶(c+b)∶(c-b)=2∶7∶(-1)，周长为24.求三边长.4、在相同时刻的物高与影长成比例，如果一古塔在地面上影长为50m，同时，高为1.5m的测竿的影长为2.5m，那么，古塔的高是多么米?5、，AB=10cm，AD=2cm，BC=7.2cm，E为BC中点.求EF，BF的长.6.(1)：x：(x+1)=(1—x)：3，求x。(2)假设EQ\F(2x-3y,x+y)=EQ\F(1,2)，求EQ\F(y,x)。(3)假设EQ\F(a＋b,b)＝EQ\F(6,5)，求EQ\F(a,b)，EQ\F(a－b,b)(4)假设x2-3xy+2y2=0,求EQ\F(y,x)7．将比例式中的移到第四比例项，使比例式仍成立。〔1〕〔2〕〔3〕8：假设，求，练习：:,求的值.9：假设三边，三边上的高分别为，求的值。10：两地的实际距离是250米，画在地图上的距离〔图距〕是5厘米，在这样的地图上,图距a=8厘米的两地A,B的实际距离是多少呢?比例尺是多少？12：操场上有一群学生在玩游戏，其中男生与女生的人数比例是3:2,后来又有6名女同学参加进来，此时女生与女生人数的比为5:4,求原来各有多少男生和女生？比例线段拓展1、比例线段在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。设、、、为线段，如果，、叫比例内项，、叫比例外项，叫做、、的第四比例项；如果，或，那么叫、的比例中项。2、黄金分割如图，把线段AB分成两条线段AC和BC〔AC>BC)，且使AC是AB和BC的比例中项，叫做把线段AB黄金分割,点C叫做线段AB的黄金分割点，叫作黄金分割数〔简称黄金数或黄金比〕注意：〔1〕；〔2〕一条线段有两个黄金分割点。3、三角形一边的平行线〔1〕三角形一边的平行线性质定理：平行于三角形一边的直线截其他两边〔或两边的延长线〕，截得的对应线段成比例。推论：平行于三角形一边，并且和其他两边〔或两边的延长线〕相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例。如图，那么有，，【思考】画图说明平行于三角形一边的其他情况。〔2〕三角形的重心定义：三角形的重心是三角形三条中线的交点与重心有关的比例线段：三角形的重心到一个顶点的距离，等于它到这个顶点对边中点的距离的两倍。〔3〕三角形一边平行线的判定定理：如果一条直线截三角形的两边〔或两边的延长线〕所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。〔三角形一边平行线的判定定理〕〔4〕平行线分线段成比例定理：两条直线被三条平行的直线所截，截得的对应线段成比例。平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等.根据被截的两条直线的位置关系，可以分五种图形情况〔如图1-图5〕：推论1：经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰.在梯形ACFD中，，AB=BC，那么DE=EF推论2：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边.在△ACF中，，AB=BC，那么AE=EF〔5〕三角形和梯形的中位线定理三角形的中位线：连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。如图，D、E分别为AB、AC的中点，那么，梯形的中位线：连结梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线。梯形的中位线定理：梯形的中位线平行于底边，并且等于两底和的一半。梯形ABCD中，，E、F分别是AB、CD的中点，那么，练习1、如图，△ABC中，DE∥BC，那么以下等式中不成立的是〔〕〔A〕AD：AB＝AE：AC〔B〕AD：DB＝AE：EC〔C〕AD：DB＝DE：BC〔D〕AD：AB＝DE：BC2、如图，DF∥AC,DE∥BC,以下各式中正确的选项是〔〕(A)EQ\F(AD,BD)=EQ\F(BF,CF)(B)EQ\F(AE,DE)=EQ\F(CE,BC)(C)EQ\F(AE,CE)=EQ\F(BD,CD)(D)EQ\F(AD,DE)=EQ\F(AB,BC)3、如图，ΔABC中，DE∥BC,AD2=AB•AF，求证∠1=∠24、ΔABC中,AD为∠BAC的外角∠EAC的平分线，D为平分线与BC延长线交点，求证:EQ\F(AB,AC)=EQ\F(BD,DC)5、设点F在平行四边形ABCD的边CB的延长线上，DF交AB于点E，求证AE:AD=AB:CF【课后练习】1、:a:b:c=3:5:7且2a+3b-c=28,求3a-2b+c的值。2、