甘肃省环县第一中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题

环县一中2023~2024学年度第二学期期中考试高二数学全卷满分150分，考试时间120分钟.注意事项：1.答题前，先将自己的姓名､准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚.4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交.5.本卷主要考查内容：湘教版选择性必修第一册第一章，第四章，选择性必修第二册第一章~第二章.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知函数在处的导数为3，则（）A.3B.C.6D.2.已知等比数列的公比为4，则的值为（）A.4B.C.D.163.设，若，则（）A.1B.-2C.3D.-14.已知向量分别是直线的一个方向向量，若，则（）A.-3B.-4C.3D.45.已知等差数列的前项和为，且，则（）A.16B.18C.24D.266.对任意实数，有，则的值为（）A.-20B.-16C.22D.307.设点是函数图象上的任意一点，点处切线的倾斜角为，则角的取值范围是（）A.B.C.D.8.在棱长为2的正方体中，是正方体外接球的直径，点是正方体表面上的一点，则的取值范围是（）A.B.C.D.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.若，则的值可以是（）A.3B.4C.5D.610.已知为等差数列，满足为等比数列，满足，则下列说法正确的是（）A.数列的首项为1B.C.D.数列的公比为11.下列说法正确的是（）A.若，则B.若，则C.若，则D.若，则三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知函数，则__________.13.在数列中，.若为等差数列，则__________.14.如图，已知正方体的棱长为分别是棱的中点，设是该正方体表面上的一点，若，则点的轨迹围成图形的面积是__________的最大值为__________.（本题第一空2分，第二空3分）四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程及演算步骤.15.（本小题满分13分）某班级举行元旦文艺晚会，晚会有3个唱歌节目和3个小品节目.（1）若第一个节目是小品节目，有多少种排法？（2）若3个唱歌节目要排在一起，有多少种排法？16.（本小题满分15分）已知函数在点处的切线斜率为-1，且在处取得极值.（1）求函数的解析式；（2）当时，求函数的最值.17.（本小题满分15分）已知等差数列的其前项和为.（1）求的通项公式；（2）若，求数列的前项和.18.（本小题满分17分）如图，在直三棱柱中，为的中点，为的中点.（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值.19.（本小题满分17分）已知函数.（1）若恰有两个极值点，求实数的取值范围；（2）若的两个极值点分别为，证明：.环县一中2023~2024学年度第二学期期中考试·高二数学参考答案､提示及评分细则1.B函数在处的导数为.故选B.2.A因为等比数列的公比为4，所以.故选A.3.A，解得.故选A.4.C因为，所以，解得，所以.故选C.5.B因为是等差数列，所以也是等差数列，所以，即，解得.故选B.6.B因为，所以，故选B.7.B点是曲线上的任意一点，点处切线的倾斜角为..故选B.8.A记正方体的外接球的球心为，易得，且，所以，故选A.9.BC因为，所以或，解得或5.故选BC.10.BCD设的公差为，由，得不确定，错误，B正确；C正确，D正确.故选BCD.11.AD令，则在上恒成立，所以在上单调递增，所以，即，故A正确，错误；令，所以在上恒成立，所以在上单调递减，所以当时，，即，故C错误，D正确.故选AD.12.18-4ln2由题意知，令，得，解得，所以，所以.13.-30设的公差为，所以，所以，所以，所以.14.；点在平面上，分别取的中点，则点的轨迹是正六边形，因为正方体的棱长为4，所以正六边形的边长为，所以点的轨迹围成图形的面积是.由投影分析的最大值为12.15.解：（1）第一个节目是小品节目的排法有（种）；（2）将3个唱歌节目进行捆绑，与其他3个节目形成4个元素，然后进行全排，则排法种数为.16.解：（1）由，根据题意可得解得，所以；（2）由（1）知，令，解得，当时，为增函数，当时，为减函数，当时，为增函数，又，所以.17.解：（1）设等差数列的公差为，因为，所以.解得所以；（2）由（1）知，所以.18.（1）证明：不妨设，则，所以，所以，即，在直三棱柱中，平面，又平面，所以，以点为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示，所以，，所以，所以，易得平面的一个法向量为，又，又平面，所以平面；（2）解：因为，所以，设平面的一个法向量为，所以令，解得，所以平面的一个法向量为，设直线与平面所成角的大小为，所以，即