河北省石家庄市第八十九中学2023-2024学年八年级上学期期末考试数学试卷+

2023-2024学年河北省石家庄八十九中八年级（上）期末数学试卷一、选择题：本题共16小题，共38分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.下列美丽的图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的个数有(

)

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个2.若最简二次根式可以与合并，则a的值可以是(

)A.5 B.4 C.2 D.13.x取下列各数时，使代数式有意义的是(

)A.0 B.1 C.2 D.34.下列分式中，最简分式是(

)A. B. C. D.5.用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于”时，首先应假设这个直角三角形中(

)A.两个锐角都大于 B.两个锐角都小于

C.两个锐角都不大于 D.两个锐角都等于6.已知，则m的平方根为(

)A. B. C. D.7.如图，已知，要使≌，添加的条件可以是(

)A.

B.

C.

D.8.如图所示，，，若数轴上点A所表示的数为a，则a的值为(

)

A. B. C. D.9.如图所示，在等边三角形ABC中，，E为AD上一点，，则等于(

)

A. B. C. D.10.如图，在中，，AC的垂直平分线交AC于点交BC于点E，且与的比为4：1，则的度数为(

)

A. B. C. D.11.已知实数m、n满足，且m、n恰好是等腰的两条边的边长，则的周长是(

)A.10 B.8 C.10或8 D.612.如图，已知，点P在边OA上，，点M，N在边OB上，，若，则(

)A.3

B.4

C.5

D.613.已知，，则a与b的关系是(

)A. B. C. D.14.对于，，有以下两个结论：

①当时，；

②当时，

对于这两个结论，说法正确的是(

)A.①对②不对 B.①不对②对 C.①②均对 D.①②均不对15.如图，点A、B在直线l的同侧，点C在直线l上，且是等腰三角形．符合条件的点C有(

)A.5个 B.4个 C.3个 D.2个16.如图，在锐角三角形ABC中，，的面积为8，BD平分若M、N分别是BD、BC上的动点，则的最小值是(

)

A.2 B.4 C.6 D.8二、填空题：本题共3小题，共10分。17.已知，，则______.18.如图，在四边形ABCD中，，，连接BD，，，若P为BC边上一个动点，则DP长的最小值为______，若点P为BC边中点，则DP长为______.

19.如图，在中，，点F为AB的中点，边AC的垂直平分线交AC、CF、CB于点D、O、E，连接OA、

若，则的度数为______；

若，，则线段OA的长为______.

三、解答题：本题共7小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。20.本小题9分

复习备考时，王老师在黑板上写了一道分式化简题的正确计算结果，随后用字母A代替了原题目的一部分：

求代数式A，并将其化简；

当时，求x的值.21.本小题9分

如图，在中，EF是AB的垂直平分线，，D为CE的中点．

求证：；

若，求的度数．22.本小题9分

琪琪在解题“计算：”时，发现“▲”处的数字印刷不清楚.

若“▲”处的数字是，请计算结果；

若该题标准答案的结果是，通过计算说明原题中“▲”是几？23.本小题10分

如图，中，，，AE是BC边上的中线，过C作，垂足为F，过B作交CF的延长线于

求证：；

若，求BD的长.24.本小题10分

如图，在中，，，，若点P从点B出发以的速度向点A运动，点Q从点A出发以的速度向点C运动，设P、Q分别从点B、A同时出发，运动的时间为

用含t的式子表示线段AP、AQ的长；

当t为何值时，是以PQ为底边的等腰三角形？

当t为何值时，为直角三角形？25.本小题12分

为了加快推进环境建设，构建生态宜居城市，实现“河畅、水清、岸绿、景美”的目标，九龙坡区计划安排甲、乙两个施工队对一条全长为4100米的河道进行清淤施工，经调查知：甲队每天清淤的河道长度是乙队每天清淤的河道长度的倍，甲队清淤1200米的河道比乙队清淤同样长的河道少用2天.

甲、乙两队每天清淤的河道长度分别是多少米？

若该条河道先由甲队单独清淤2天，余下的河道由甲乙两队合作清淤.已知甲队施工一天的费用为万元，乙队施工一天的费用为万元，求完成该条河道清淤施工的总费用.26.本小题13分

如图，在中，，点D在内，，，点E在外，，

求的度数；

判断的形状并加以证明；连接DE，若，，求AD的长．

答案和解析1.【答案】B

【解析】解：从左数第一、四个是轴对称图形，也是中心对称图形．第二是轴对称图形，不是中心对称图形，第三个图形是中心对称图形不是轴对称图形．

故选：

根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．

本题考查了轴对称与中心对称图形，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．2.【答案】C

【解析】解：，

最简二次根式可以与合并，

，

解得

故选：

先把化为，再根据同类二次根式的定义解答即可．

本题考查的是同类二次根式，熟知一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式是解题的关键．3.【答案】D

【解析】解：要使代数式有意义，

则，

即，

故只有选项D符合题意．

故选：

根据二次根式被开方数不小于零的条件进行解题即可．

本题考查二次根式有意义的条件，掌握二次根式被开方数不小于零的条件是解题的关键．4.【答案】B

【解析】解：A、，不是最简分式，不符合题意；

B、，是最简分式，符合题意；

C、，不是最简分式，不符合题意；

D、，不是最简分式，不符合题意；

故选：

根据最简分式的概念判断即可．

本题考查的是最简分式，一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式．5.【答案】A

【解析】【分析】

用反证法证明命题的真假，应先按符合题设的条件，假设题设成立，再判断得出的结论是否成立即可．

本题考查了反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．

【解答】

解：用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于”时，

应先假设两个锐角都大于

故选：6.【答案】D

【解析】解：，

，

，

，

即m的平方根为，

故选：

先合并同类项，得出，从而求出m的平方根．

本题考查了平方根，熟练掌握平方根的定义是解题的关键．7.【答案】C

【解析】解：应添加，理由如下：

，

，，即

在和中，

，

≌，

故选：

根据，可得，又因为，所以添加，根据SAS可证≌

本题重点考查了三角形全等的判定定理，普通两个三角形全等共有四个定理，即AAS、ASA、SAS、SSS，直角三角形可用HL定理，注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．8.【答案】C

【解析】解：由题意得，，

数轴上点A所表示的数为a为：，

故选：

先运用勾股定理求得线段BD的长度，再列式、计算求得此题结果即可．

此题考查了利用数轴上的点表示有理数的能力，关键是能准确理解题意并列式、计算．9.【答案】C

【解析】解：在等边三角形ABC中，，

是BC的线段垂直平分线，

是AD上一点，

，

，

，

又，

故选：

先根据等边三角形的性质可知AD是BC的垂直平分线，得出，，可求出的度数．

本题考查的是等边三角形的性质，线段垂直平分线的性质及三角形内角的关系；熟练掌握并灵活运用这些知识是解决问题的关键．10.【答案】B

【解析】解：是AC的垂直平分线，

，

，

，

，

与的比为4：1，

，

，

故选：

根据线段垂直平分线得出，推出，根据三角形内角和定理得出即可求出答案．

本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线性质，三角形内角和定理的应用，注意：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．11.【答案】A

【解析】解：，

，，

解得：，，

分两种情况：

当等腰三角形的腰长为4，底边长为2时，

的周长；

当等腰三角形的腰长为2，底边长为4时，

，

不能组成三角形；

综上所述：的周长是10，

故选：

根据偶次方，算术平方根的非负性可得：，，从而可得：，，然后分两种情况：当等腰三角形的腰长为4，底边长为2时；当等腰三角形的腰长为2，底边长为4时；从而进行计算即可解答．

本题考查了等腰三角形的性质，偶次方，算术平方根的非负性，三角形的三边关系，分两种情况讨论是解题的关键．12.【答案】C

【解析】【分析】此题考查了含30度直角三角形的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握两种三角形的性质是解答本题的关键．

过P作，交OB于点D，在直角三角形POD中，利用锐角三角函数定义求出OD的长，再由，利用三线合一得到D为MN中点，根据MN求出MD的长，由即可求出OM的长．

【解答】解：过P作，交OB于点D，

在中，，，

，

，，，

，

故选：13.【答案】D

【解析】解：，

A.，故本选项不符合题意；

B.ab

，故本选项不符合题意；

C.，故本选项不符合题意；

D.，故本选项符合题意．

故选：

先分母有理化求出，再根据二次根式的乘法法则，二次根式的加法法则进行计算，最后找出选项即可．

本题考查了二次根式的混合运算，能正确根据二次根式的运算法则进行计算是解此题的关键．14.【答案】C

【解析】解：，

当时，，则，即①正确；

当，即时，，则，即②正确．

综上，结论①②均对.

故选：

先运用作差法得到，然后再根据x的取值分类讨论即可解答．

本题主要考查了分式的加减、分式的大小比较等知识点，灵活运用分式的加减运算法则是解答本题的关键．15.【答案】A

【解析】解：如图，点、、、、为所作，

故答案为：

先以A点为圆心，AB为半径作弧交直线l于点、，再以B点为圆心，BA为半径作弧交直线l于点，，最后作AB的垂直平分线交直线l于点

本题考查了等腰三角形的判定和性质，熟练掌握等腰三角形的判定和性质定理是解题的关键．16.【答案】B

【解析】【分析】

本题考查的是轴对称-最短路线问题，根据题意作出辅助线，利用三角形面积公式可求出最小值.过点C作于点E，交BD于点，过点作于，则CE即为的最小值，再根据三角形的面积公式求出CE的长即可．

【解答】

解：过点C作于点E，交BD于点，过点作于，

平分，于点E，于，

，

，

当点M与重合，点N与重合时，的最小值为

三角形ABC的面积为8，，

，

即的最小值为

故选17.【答案】

【解析】解：，，

故答案为：

将a与b代入所求式子中，利用完全平方公式化简，合并即可得到结果．

此题考查了二次根式的化简求值，涉及的知识有：完全平方公式，合并同类二次根式，熟练公式及法则是解本题的关键．18.【答案】

【解析】解：，，

，，

，

由垂线段最短得，时DP最小，

此时，

，

，

，

点P为BC边中点，

故答案为：3，

根据等角的余角相等求出，再根据垂线段最短可知时DP最小，然后根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得；再根据含30度角的直角三角形的性质依次求得BD，BC，再根据直角三角形斜边上的中线的性质求得DP长．

本题考查了30度角的直角三角形的性，直角三角形斜边上的中线的性质，角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，垂线段最短的性质，熟记性质并判断出DP最小时的位置是解题的关键．19.【答案】

【解析】解：，点F为AB的中点，

，CF是AB的垂直平分线，

，

是AC的垂直平分线，

，

，

，

，

，

，

是的一个外角，

，

故答案为：；

是AB的垂直平分线，

，，

设，

，

，

在中，，

，

解得：，

，

故答案为：

利用等腰三角形的三线合一性质可得，CF是AB的垂直平分线，从而可得，再利用线段垂直平分线的性质可得，从而可得，然后利用等腰三角形的性质可得，再根据垂直定义可得，从而可得，最后利用三角形的外角性质，进行计算即可解答；

利用线段垂直平分线的性质可得，，然后设，则，最后在中，利用勾股定理进行计算，即可解答．

本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，熟练掌握勾股定理，以及等腰三角形的性质是解题的关键．20.【答案】解：由题意得：

；

当时，，

去分母，得，

解这个整式方程，得，

经检验，是原分式方程的解，

故当时，

【解析】根据被除式=商除式，被减式=差+减式，然后根据分式的乘法和加法运算法则进行计算，即可解答；

利用的结论可得，然后按照解分式方程的步骤进行计算即可解答．

本题考查了解分式方程，分式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．21.【答案】证明：连接AE，

于点D，且D为线段CE的中点，

垂直平分CE，

，

垂直平分AB，

，

；

解：，，

，

，

，

，

，

，，

，

【解析】连接AE，由题意可判定AD垂直平分CE，由线段垂直平分线的性质可得，即可证明结论；

由等腰三角形的性质可求，由直角三角形的性质可得的度数，即可求得，的度数，进而可求解．

本题主要考查线段的垂直平分线，等腰三角形的性质与判定，直角三角形的性质，灵活运用垂直平分线的性质是解题的关键．22.【答案】解：由题意得：

；

由题意得：▲

【解析】把▲代入已知条件中的算式，然后按照二次根式混合运算的计算方法进行计算即可；

根据减数=被减数-差和乘数=积另一个乘数，列出算式，进行计算即可．

本题主要考查了二次根式的混合运算，解题关键是熟练掌握把二次根式化成最简二次根式．23.【答案】证明：，

，

，

在和中，

，，，

≌

解：≌，

是BC边上的中线，

在中，且，

，

解得，

【解析】证两条线段相等，通常用全等，本题中的AE和CD分别在三角形AEC和三角形CDB中，在这两个三角形中，已经有一组边相等，一组角相等了，因此只需再找一组角即可利用角角边进行解答．

根据全等三角形的判定与性质、勾股定理即可求出BD的长．

此题考查的是全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，掌握其性质定理是解决此题的关键．24.【答案】解：中，，，

又，

，，，；

是以PQ为底的等腰三角形，

，即，

当时，是以PQ为底边的等腰三角形；

分两种情况：

①当时，

，，

，

，

解得：；

②当时，则，

，

，

，即，

解得：；

综上所述，t为3或时，为直角三角形．

【解析】由题意，可知，，，

若是以PQ为底的等腰三角形，则有，即，求出t即可．

分两种情况，分别由直角三角形的性质得出方程，解方程即可．

本题是三角形综合题目，考查的是等腰三角形的判定与性质、含角的直角三角形的性质、平行线的判定与性质等知识，本题综合性强，熟知等腰三角形的性质和含角的直角三角形的性质是解答此题的关键．25.【答案】解：设乙队每天清