新工科数学基础三 线性代数及Python实现 课件 4.4 向量空间

§4.4

向量空间数域的概念定义12：数集F如果满足条件：(1)0与1在F中；

(2)F中任意两个数的和、差、积、商仍在F中，则称数集F为数域.例如：全体实数的集合R是数域;

全体有理数的集合Q也是数域

向量空间的概念向量空间的概念定义：设V

是n

维向量的集合，如果①集合V

非空，②集合V

对于向量的加法和乘数两种运算封闭，具体地说，就是：若a

∈

V，b

∈

V，则a+b

∈

V．（对加法封闭）若a

∈

V，l

∈

R，则l

a

∈

V．（对乘数封闭）那么就称集合V为向量空间．例：下列哪些向量组构成向量空间？

n

维向量的全体Rn集合V1={(0,x2,…,xn)T|x2,…,xn∈R

}集合V2={(1,x2,…,xn)T|x2,…,xn∈R

}齐次线性方程组的解集S1={x|Ax=0}非齐次线性方程组的解集S2={x|Ax=b}解：集合Rn，V1，S1是向量空间，集合V2，S2不是向量空间．定义：齐次线性方程组的解集称为齐次线性方程组的解空间.例：设a,b为两个已知的n维向量，集合L={la+mb|l,m∈R}是一个向量空间吗？解：设x1,x2∈L，k∈R，因为x1+x2=(l1a+m1b)+(l2a+m2b) =(l1+l2)a+(m1

+m2)

b∈Lkx1=k(l1a+m1b)=(kl1)a+(km1)b∈L

所以，L

是一个向量空间．定义：把集合L={la+mb|l,m∈R}称为由向量a,b所生成的向量空间．一般地，把集合

L={l1a1+l2a2+…+lmam|l1,l2,...,lm∈R}称为由向量a1

,a2

,...,am所生成的向量空间．alaL={la|l∈R}L={la+mb|l,m∈R}abcL={la+mb+gc|l,m,g∈R}lambgcablambalaL={la|l∈R}L={la+mb|l,m∈R}abcL={la+mb+gc|l,m,g∈R}lambgcablamba1a2L1={l1a1+l2a2|l1,l2∈R}L2={m1b1+m2b2|m1,m2∈R}则

L1=L2L3={m1b1+m2b2+m3b3|m1,m2,m3∈R}问题：L1=L2=L3?b1b2b3返回向量空间的基的概念定义14：设V是一个向量空间，如果在V

中能选出r个向量a1,a2,…,ar，满足①a1,a2,…,ar线性无关；②V

中任意一个向量都能由a1,a2,…,ar线性表示；那么称向量组a1,a2,…,ar

是向量空间V

的一组基底，简称基．r

称为向量空间V

的维数，记为dimV.即dimV=r,并称V

为r

维向量空间

．

向量空间向量空间的基向量空间的维数向量组向量组的最大无关组向量组的秩

n

维向量的全体Rn解：En

的列向量组是Rn的一个基，故Rn

的维数等于n

.集合V1={(0,x2,…,xn)T|x2,…,xn∈R

}解：En

的后n－1个列向量是V1的一个基，故

V1的维数等于n－1

．

n

元齐次线性方程组的解集S1={x|Ax=0}解：齐次线性方程组的基础解系是S1的一个基，故

S1的维数等于n－R(A)．由a1

,a2

,...,am所生成的向量空间L={l1a1+l2a2+…+lmam|l1,l2,...,lm∈R}若a1

,a2

,...,am线性无关，则

a1

,a2

,...,am是向量空间L

的一个基．若a1

,a2

,...,am线性相关，则

向量组A：a1

,a2

,...,am等价于 向量组A的最大无关组A0：a1

,a2

,...,ar从而L=L1={l1a1+l2a2+…+lr

ar|l1,l2,...,lr∈R}故向量组A0就是L的一个基，A0中向量的个数就是L的维数.L={l1a1+l2a2+l3a3|l1,l2,l3∈R}

向量组a1,a2,a3

等价于 相应的最大无关组a1,a2所以L={m1a1+m2a2|m1,m2∈R}从而a1,a2就是

L的一个基，L的维数等于2．a3a1a2结论：等价的向量组所生成的空间相等．

例：的列向量组是R3

的一个基，那么b

在基e1,e2,e3中的坐标n

阶单位矩阵En

的列向量组称为Rn的基．上三角形矩阵的列向量组也是R3

的一个基，那么结论：同一个向量在不同基中的坐标是不同的．例：设验证a1,a2,a3是R3的一个基，并求b1,b2在这个基中的坐标.分析：a1,a2,a3是R3的一个基R(a1,a2,a3)=3b1,b2在这个基中的坐标用a1,a2,a3

表示b1,b2当时，A

的列向量组与B

的列向量组有相同的线性关系．为此，考虑把(A,B)=(a1,a2,a3,

b1,b2)化为行最简形矩阵．解：于是例：设验证a1,a2,a3是R3的一个基，并求b1,b2在这个基中的坐标.

基变换与坐标变换

基变换与坐标变换

基变换与坐标变换

例：在R3中取定一个基a1,a2,a3

，再取一个新基b1,b2,b3，设A=(a1,a2,a3)，B=(b1,b2,b3)．①求用a1,a2,a3

表示b1,b2,b3的表示式（基变换公式）；②求向量在两个基中的坐标之间的关系式（坐标变换公式）.

封闭的概念定义：所谓封闭，是指集合中任意两个元素作某一运算得到的结果仍属于该集合．例：试讨论下列数集对四则运算是否封闭？整数集Z有理数集Q实数集R子空间的概念定义17：如果向量空间V

的非空子集合V1对于V

中所定义的加法及乘数两种运算是封闭的，则称V1是V

的子空间．定义：所谓封闭，是指集合中任意两个元素作某一运算得到的结果仍属于该集合．例：试讨论下列数集对四则运算是否封闭？整数集Z有理数集Q实数集R子空间的概念例：

n

维向量的全体Rn集合V1={(0,x2,…,xn)T|x2,…,xn∈R

}集合V2={(1,x2,…,xn)T|x2,…,xn∈R

}解：V1是Rn

的子空间，V2不是Rn

的子空间．

n

维向量的全体Rn解：En

的列向量组是Rn的一个基，故Rn

的维数等于n

.集合V1={(0,x2,…,xn)T|x2,…,xn∈R

}解：En

的后n－1个列向量是V1的一个基，故

V1的维数等于n－1

．结论：若V1是V

的子空间，则V1的维数不超过V的维数．

n

元齐次线性方程组的解集S1={x|Ax=0}解：齐次线性方程组的基础解系是S1的一个基，故

S1的维数等于n－R(A)．由a1

,a2

,...,am所生成的向量空间L={l1a1+l2a2+…+lmam|l1,l2,...,lm∈R}解：

L={l1a1+l2a2+…+lmam|l1,l2,...,lm∈R}

向量组A：a1

,a2

,...,am等价于 向量组A的最大无关组A0：a1

,a2

,...,ar故向量组A0就是L的一个基，A0中向量的个数就是L的维数.一般来说，若a1

,a2

,...,am∈V，则L

是V

的子空间．若向量组a1

,a2

,...,am是向量空间V

的一个基，那么V={l1a1+l2a2+…+lmam|l1,l2,...,lm∈R}例：设向