新工科数学基础三 线性代数及Python实现 课件 5.3.2 对称矩阵的对角化

§5.3.2

实对称矩阵的特征值与特征向量性质1

实对称矩阵的特征值为实数，其特征向量一定是实向量。证明略定理1的意义性质：设l1,l2,…,lm

是方阵A

的特征值，p1,p2,…,pm依次是与之对应的特征向量，如果l1,l2,…,lm

各不相同，则p1,p2,…,pm

线性无关．（P.134性质3）性质2

设l1和l2

是实对称阵A

的特征值，p1,p2

是对应的特征向量，如果l1≠

l2

，则

p1,p2

正交．（P.148性质2）证明：A

p1=l1p1，

A

p2=l2

p2

，l1≠

l2

l1p1T

=(l1p1)T=(A

p1)T=p1TAT

=

p1TA（A是对称阵）l1p1T

p2=

p1TA

p2=p1T

(l2

p2

)=l2p1T

p2(l1−l2)p1T

p2=0因为l1≠

l2

，则p1T

p2=0，即

p1,p2

正交．性质3

设

A为n阶实对称阵，l是A的特征方程的k重根，则矩阵A

−lE

的秩等于

n−k，恰有k个线性无关的特征向量与特征值l对应．§5.3.3

实对称矩阵的对角化定理5：设

A为n阶实对称阵，则必有正交阵P，使得P

−1AP=PTAP=L，其中L

是以A

的n

个特征值为对角元素的对角矩阵（P不唯一）.（P.149定理5）定理1：n阶矩阵A

和对角阵相似（即A能对角化）的充分必要条件是A

有n个线性无关的特征向量．（P.138定理1）性质3

设

A为n阶实对称阵，l

是A的特征方程的k重根，则矩阵

A

−lE

的秩等于n−k，恰有k个线性无关的特征向量与特征值l

对应．（P148）

例：设，求正交阵P，使P−1AP=L对角阵.解：因为

A是对称阵，所以A

可以对角化．求得A

的特征值l1=−2，l2=l3=1．当l1=−2

时，解方程组(A+2E)x=0．

，得基础解系．当l2=l3=1时，解方程组(A−E)x=0．

，得．令，则.问题：这样的解法对吗？当l1=−2时，对应的特征向量为；当l2=l3=1时，对应的特征向量为.显然，必有x1⊥x2

，x1⊥x3

，但x2⊥x3

未必成立．于是把x2,x3正交化：此时x1⊥h2

，x1⊥h3

，h2⊥h3

．单位化：当l1=−2时，对应的特征向量为；当l2=l3=1时，对应的特征向量为.当l1=−2时，对应的特征向量为；当l2=l3=1时，对应的特征向量为于是

p1,p2,p3

构成正交阵从而．把对称阵A

对角化的步骤为：求出A

的所有各不相同的特征值l1,l2,…,ls

，它们的重数依次为k1,k2,…,ks

（k1+k2+…+ks=n）．对每个ki

重特征值li

，求方程组|A−li

E|=0的基础解系，得ki

个线性无关的特征向量． 把这ki

个线性无关的特征向量正交化、单位化，得到ki

个两两正交的单位特征向量． 因为k1+k2+…+ks=n

，总共可得n个两两正交的单位特征向量．L中对角元的排列次序应于中列向量的排列次序相对应.1.实对称矩阵的性质：小结

(1)特征值为实数；

(2)属于不同特征值的特征向量正交；

(3)特征值的重数和与之对应的线性无关的特征向量的个数相等；

(4)必存在正交矩阵，将其化为对角矩阵，且对角矩阵对角元素即为特征值．2.利用正交矩阵将对称阵化为对角阵的步骤：

(1)求特征值；(2)找特征向量；(3)将特