新工科数学基础三 线性代数及Python实现 课件 第2章3 矩阵的初等变换

第二章矩阵的初等变换引例：求解线性方程组①②③④问题：怎样求解呢？

在解线性方程组的过程中

可以把一个方程组变为另一个同解的方程组

这种变换过程称为同解变换

同解变换有

（1）交换两个方程的位置；（2）把某个方程两端乘以一个非零数；

(3)

某个方程的非零倍加到另一个方程上

增广矩阵结论：对原线性方程组施行的变换可以转化为对增广矩阵的变换.①②③÷2①②③④①②③④这里能写等号吗？②－③③－2×①④－3×①①②③④①②③④②

÷2③＋5×②④－3×②①②③④①②③④④－2×③③④①②③④①②③④①②③④①②③④②

－③①－②B5

对应方程组为令x3=c

，则方程组无解逆变换是：结论：由于对原线性方程组施行的变换是可逆变换，因此变换前后的方程组同解.在上述变换过程中，实际上只对方程组的系数和常数进行运算，未知数并未参与运算．iji×kj+kiiji÷kj－ki三种变换：交换方程的次序，记作；以非零常数k乘某个方程，

记作；一个方程加上另一个方程的k倍，

记作.

iji×kj＋ki定义：矩阵的三种初等行变换：对调两行，记作；以非零常数k乘某一行的所有元素，记作；某一行加上另一行的k倍，记作.其逆变换是：把定义中的“行”换成“列”，就得到矩阵的初等列变换的定义．初等变换初等行变换初等列变换初等变换的逆变换依然是初等变换行阶梯形矩阵：1、可画出一条阶梯线，线的下方全为零；2、每个台阶只有一行；3、阶梯线的竖线后面是非零行的第一个非零元素.行最简形矩阵：1、非零行的第一个非零元为1;2、这些非零元所在的列的其它元素都为零.定理：任何矩阵都可经过有限次初等行变换化为行阶梯型矩阵和行最简形矩阵标准形矩阵：左上角是一个单位矩阵,其它元素全为零.行阶梯形矩阵标准形矩阵由m、n、r三个参数完全确定，其中r就是行阶梯形矩阵中非零行的行数.行最简形矩阵标准形矩阵三者之间的包含关系定理：任意矩阵A经过有限次初等变换，可化为标准型.当A可逆时，其标准型为单位阵。任何矩阵行最简形矩阵行阶梯形矩阵标准形矩阵有限次初等行变换有限次初等列变换有限次初等变换结论有限次初等行变换定义：由单位矩阵E经过一次初等变换得

到的矩阵称为初等矩阵.三种初等变换对应着三种初等矩阵.对调单位阵的两行（列）；(2)以常数

k≠0乘单位阵的某一

行（列）；(3)以

k乘单位阵的某一

行（列）加到另一

行（列）．二、初等变换与矩阵乘法的关系

性质1

设A是一个m×n矩阵，对A施行一次初等行变换，相当于在A的左边乘以相应的m阶初等矩阵；对A施行一次初等列变换，相当于在A的右边乘以相应的n阶初等矩阵.变行相当于左乘变列相当于右乘口诀：左乘变行，右乘变列初等变换初等变换的逆变换初等矩阵初等矩阵的逆矩阵初等矩阵的逆矩阵是：?三、初等变换的应用

解例１即初等行变换

当A为可逆矩阵时

方程AX

B的解为X

A

1B

求AX

B的解可以对(A

B)进行初等行变换

使之成为(E

A

1B)

此时即得X

A

1B

例２解练习：求解矩阵方程AX

A

X

其中解：把所给方程变形为(A

E)X

A有限次初等行变换有限次初等列变换行等价，记作列等价，记作四、矩阵之间的等价关系有限次初等变换矩阵A与矩阵B等价，记作矩阵之间的等价关系具有下列性质：自反性；对称性若，则；传递性若，则．

可逆矩阵的标准形矩阵是单位阵.可逆矩