平面与平面垂直高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

第八章立体几何初步8.6空间直线、平面的垂直8.6.3平面与平面垂直在平面几何中，我们先定义了角的概念，利用角刻画两条相交直线的位置关系，进而研究直线与直线互相垂直这种特殊情况.类似地，我们需要先引进二面角的概念，用以刻画两个相交平面的位置关系，进而研究两个平面互相垂直.平面几何中的角是从一点出发的两条射线组成的图形；一、二面角的概念(1)定义：(2)相关概念：(3)画法：(4)记法：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形.二面角的棱二面角的面二面角

α－AB－β或二面角

P－AB－Q或二面角

α－l－βαlβBAQ.P.如图，在日常生活中，我们常说“把门开大一些”，是指哪个角大一些？受此启发，你认为应该怎样刻画二面角的大小呢？二面角的平面角定义如图，在二面角

α－l－β

的棱

l

上任取一点

O，以点

O

为垂足，在半平面

α

和

β

内分别作垂直于棱

l

的射线

OA

和

OB，则射线

OA

和

OB

构成的∠AOB

叫作二面角的平面角.二面角的平面角的基本特征：(1)角的顶点在棱上；(2)角的两边分别在两个面内；(3)角的两边都垂直于棱.无关αlOβBA∠AOB的大小与点

O

在棱

l

上的位置有关吗？为什么？如果空间中两个角的两条边分别对应平行，并且方向相同，那么这两个角相等.思考：如图，过二面角

α－l－β

一个面内一点

A，作另一个面的垂线，垂足为

B，过点

B

作棱

l

的垂线，垂足为

O，连结

AO，则∠AOB

是二面角的平面角吗？为什么？αβl.ABO思考：如图，平面

γ

垂直于二面角

α－l－β

的棱

l，分别与平面

α，β

相交于

OA，OB，则∠AOB

是二面角的平面角吗？为什么？lαβl

γ

AOB二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说二面角是多少度.平面角是直角的二面角叫做直二面角.二面角的平面角

α

的范围是0°≤α≤180°.P164习题18.如图，在三棱锥

V-ABC

中，VA＝VB＝AB＝AC＝BC＝2，

VC＝1，作出二面角

V-AB-C

的平面角，并求出它的余弦值.VABC解：取

AB

的中点

M，连接

VM，CM.M∵

VA＝VB，AC＝BC，∴

VM⊥AB，CM⊥AB.∴

∠VMC

是二面角

V-AB-C

的平面角.由已知条件，可得

VM＝CM＝，又

VC＝1，∴

二面角

V-AB-C

的平面角的余弦值为.由余弦定理，得cos∠VMC＝＝，观察教室相邻的两个墙面与地面可以构成几个二面角？分别指出构成这些二面角的面、棱、平面角及其度数.教室里的墙面所在平面与地面所在平面相交，它们所成的二面角是直二面角，我们常说墙面直立于地面上.平面与平面垂直定义画法符号两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.平面

α

与平面

β

垂直，记作：α⊥β.如图，画两个互相垂直的平面时，通常把表示平面的两个平行四边形的一组边画成垂直.αβαβ观察如图，建筑工人在砌墙时，常用铅锤来检测所砌的墙面与地面是否垂直.如果系有铅锤的细线紧贴墙面，工人师傅就认为墙面垂直于地面，否则他就认为墙面不垂直于地面.这种方法说明了什么道理?这种方法告诉我们，如果墙面经过地面的垂线，那么墙面与地面垂直.类似的结论也可以在长方体中发现.如图，在长方体

ABCD-A′B′C′D′中，平面

ABB′A′经过平面

ABCD

的一条垂线

AA′，此时，平面

ABB′A′垂直于平面

ABCD.ABCDA′B′C′D′两平面垂直的判定定理如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直.a⊂α，a⊥β⇒α⊥β.线面垂直⇒面面垂直αβaαβa平面与平面垂直判定定理的应用，关键是在这两个平面中的某个平面内找到一条垂直于另一个平面的特殊直线.例7如图，在正方体

ABCD­A'B'C'D'

中，求证：平面

A'BD⊥平面

ACC'A'.分析：要证平面

A'BD⊥平面

ACC'A'，根据两个平面垂直的判定定理，只需证明平面

A'BD

经过平面

ACC'A'

的一条垂线即可，这需要利用

AC，BD

是正方形

ABCD

的对角线.ABDCA′B′C′D′证明：∵ABCD­A'B'C'D'

是正方体，∴AA'⊥平面ABCD，∴AA'⊥BD.又BD⊥AC，AA'∩AC＝A，∴BD⊥平面

ACC'A'，∴平面

A'BD⊥平面

ACC'A'.例8如图，AB

是⊙O

的直径，PA

垂直于⊙O

所在的平面，C

是圆周上不同于

A，B

的任意一点，求证：平面

PAC⊥平面

PBC.分析：要证明两个平面垂直，根据两个平面垂直的判定定理，只需证明其中一个平面内的一条直线垂直于另一个平面.而由直线和平面垂直的判定定理，还需证明这条直线和另一个平面内的两条相交直线垂直.在本题中，由题意可知

BC⊥AC，BC⊥PA，AC∩PA＝A，从而

BC⊥平面

PAC，进而平面

PAC⊥平面

PBC.证明：∵PA⊥平面

ABC，BC⊂平面

ABC，∴PA⊥BC.∵C

是圆周上不同于

A，B

的任意一点，AB

是⊙O

的直径，∴∠BCA＝90°，即

BC⊥AC.又PA∩AC＝A，PA⊂平面

PAC，AC⊂平面

PAC，∴BC⊥平面

PAC.又BC⊂平面

PBC∴平面

PAC⊥平面

PBC.1.如图，检查工件的相邻两个(平)面是否垂直时，只要用曲尺的一边紧靠在工件的一个面上，另一边在工件的另一个面上转动，观察尺边和这个面是否密合就可以了.这是为什么?课堂练习教材P159练习解：转动时，如果尺边与这个面密合，则说明另一尺边垂直于这个面，于是工件的相邻两面互相垂直.课堂练习教材P159练习2.已知直线

a，b

与平面

α，β，γ，能使

α⊥β

的充分条件是()(A)

α⊥γ，β⊥γ(B)

α∩β＝a，b⊥a，b⊂β(C)

a//β，a//α(D)

a//α，α⊥βD3.如图，已知

AB⊥平面

BCD，BC⊥CD，你能发现哪些平面互相垂直,为什么？课堂练习教材P159练习ABCD平面

ABC⊥平面

ACD.平面

ABC⊥平面

BCD；平面

ABD⊥平面

BCD；4.如图，在正三棱柱

ABC­A'B'C'

中，D

为棱

AC

的中点.求证：平面

BDC'⊥平面

ACC'A'.课堂练习教材P159练习ABCDA'B'C'证明：∵ABC­A'B'C'

是正三棱柱，∴CC'⊥平面

ABC.又BD⊂平面

ABC，∵△ABC

是正三角形，D

为棱

AC

的中点，∴CC'⊥BD.∴BD⊥AC.又CC'∩AC＝C，CC'⊂平面

ACC'A'，AC⊂平面

ACC'A'，∴BD⊥平面

ACC'A'.∴平面

BDC'⊥平面

ACC'A'.又BD⊂平面

BDC'，课堂小结1.通过探究发现及应用平面与平面垂直的判定定理，重点培养数学抽象素养及提升逻辑推理素养和直观想象素养.2.求二面角大小的步骤3.平面与平面垂直的判定定理的应用思路(1)本质：通过直线与平面垂直来证明平面与平面垂直，即线面垂直⇒面面垂直.(2)证题思路：处理面面垂直问题转化为处理线面垂直问题，进一步转化为处理线线垂直问题来解决.课下作业教材P162

习题8.6第1,4,13,15题7.如图，在三棱锥

V­ABC

中，已知∠VAB＝∠VAC＝∠ABC＝90°，判断平面

VAB

与平面

VBC

的位置关系，并说明理由.教材P163习题8.6解：平面

VAB⊥平面

VBC.理由如下：∵VA⊥AB，VA⊥AC，AB∩AC＝A，

AB⊂平面

ABC，AC⊂平面

ABC，∴VA⊥平面

ABC.又BC⊂平面

ABC，∴VA⊥BC.又AB⊥BC，VA∩AB＝A，∴BC⊥平面

VAB

.∴平面

VAB⊥平面

VBC.又BC⊂平面

VBC，下面我们研究平面与平面垂直的性质，也就是在两个平面互相垂直的条件下，能推出哪些结论.如果两个平面互相垂直，根据已有的研究经验，我们可以先研究其中一个平面内的直线与另一个平面具有什么位置关系.探究如图，设

α⊥β，α∩β＝a.则

β

内任意一条直线

b

与

a

有什么位置关系？相应地，b

与

α

有什么位置关系?为什么？αβa显然，b

与

α

平行或相交.特别地，当

b⊥a

时，如图，设

b

与

a

的交点为

A，过点

A

在

α

内作直线

c⊥a，则直线

b，c

所成的角就是二面角

α-a-β

的平面角.由

α⊥β

知，b⊥c.又因为

b⊥a，a

和

c

是

α

内的两条相交直线，所以

b⊥α.当

b∥a

时，b∥α；当

b

与

a

相交时，b

与

α

也相交.bαβabAc平面与平面垂直的性质定理两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直.α⊥β，α∩β＝ab⊂β，b⊥a⇒b⊥α面面垂直⇒线面垂直αβab探究如图，设平面

α⊥平面

β，点

P

在平面

α

内，过点

P

作平面

β

的垂线

a，直线

a

与平面

α

具有什么位置关系?αβP.a⊂αa我们知道，过一点只能作一条直线与已知平面垂直.因此，如果过一点有两条直线与平面垂直，那么这两条直线重合.如图，设

α∩β＝c，过点

P

在平面

α

内作直线

b⊥c，根据平面与平面垂直的性质定理，b⊥β.因为过一点有且只有一条直线与平面

β

垂直，所以直线

a

与直线

b

重合，因此

a⊂α.αβPc.ba例9如图，已知平面

α⊥平面

β，直线

a⊥β，a⊄α，判断

a

与

α

的位置关系.解：在

α

内作垂直于

α

与

β

交线的直线

b，∵α⊥β，∴b⊥β.又a⊥β，∴a∥b.又a⊄α，∴a∥α.即直线

a

与平面

α

平行.bαβa例10如图，已知

PA⊥平面

ABC，平面

PAB⊥平面

PBC，求证：BC⊥平面

PAB.∵PA⊥平面

ABC，BC⊂平面

ABC，∴PA⊥BC.又PA∩AE＝A，∴BC⊥平面

PAB.∵平面

PAB⊥平面

PBC，平面

PAB∩平面

PBC＝PB，∴AE⊥平面

PBC.证明：过点

A

作

AE⊥PB，垂足为

E，E∵BC⊂平面

PBC，∴AE⊥BC.垂直关系之间的相互转化课堂练习1.判断下列命题是否正确，正确的在括号内画“√”,错误的画“×”.(1)若平面

α⊥平面

β，则平面

α

内所有直线都垂直于平面

β.()(2)若平面

α⊥平面

β，则平面

α

内一定存在直线平行于平面

β.()(3)若平面

α

不垂直于平面

β，则平面

α

内一定不存在直线垂直于平面

β.()×√√教材P162练习课堂练习教材P162练习2.若平面

α⊥平面

β，且

α∩β＝l，则下列命题中正确的个数是()(1)平面

α

内的直线必垂直于平面

β

内的任意一条直线.(2)平面

α

内的已知直线必垂直于平面

β

内的无数条直线.(3)平面

α

内的任一条直线必垂直于平面

β.(4)过平面

α

内任意一点作交线

l

的垂线，则此垂线必垂直于平面

β.(A)3(B)2(C)1(D)0Cαβl课堂练习教材P162练习3.已知

α，β

是两个不同的平面，m

为平面

α

内的一条直线，则“α⊥β”是“m⊥β”的().(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件B课堂练习教材P162练习4.已知平面

α，β，直线

a，且

α⊥β，α∩β＝AB，a∥α，a⊥AB，判断直线

a

与平面

β

的位置关系，并说明理由.αβaAB解：

a⊥β.理由如下：过直线

a

作平面

γ，使

α∩γ＝b.γb∵a∥α，a⊂γ，α∩γ＝b，∴a∥b．又a⊥AB，∴b⊥AB．又α⊥β，b⊂α，∴b⊥β．∴a⊥β．1.平面与平面垂直的性质定理：两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直.2.证明线面垂直的方法：线线垂直→线面垂直；面面垂直→线面垂直.3.线线、线面、面面之间的关系的转化是解决空间图形问题的重要思想方法.课堂小结课下作业教材P162

习题8.6第9,10,17,20,21题习题8.69.已知平面

α，β，γ，且

α⊥γ，β∥α，求证：β⊥γ.教材P163αβγ证明：如图，设

α∩γ＝l，在平面

α

内作直线

a，

使

a⊥l.∵α⊥γ，∴a⊥γ.过直线

a

作平面

δ，且

δ∩β＝b，∵β∥α，δ∩α＝a，δ∩β＝b，∴a∥b，∴b⊥γ.又b⊂β，∴β⊥γ.alb习题8.610.已知平面

α，β，γ，且

α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝l，求证：l⊥γ.教材P163αβlγ证明：如图，设

α∩γ＝a，β∩γ＝b，ab在平面

γ

内任取一点

P，在平面

γ

内过点

P

作两条直线

m，n，使

m⊥a，n⊥b.mnP.∵α⊥γ，m⊂γ，m⊥a，∴m⊥α.又l⊂α，∴m⊥l.同理n⊥l.又m∩n＝P，m⊂γ，n⊂γ，∴l⊥γ.习题8.6已知：平面

α，β，γ，且

α⊥β，α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝a，α∩γ＝b，β∩γ＝c.求证：a⊥b，a⊥c，b⊥c.教材P16417.求证：三个两两垂直的平面的交线也两两垂直.αβγabc20.如图，AB

是⊙O

的直径，点

C

是⊙O

上的动点，过动点

C

的直线