苏教版2023-2024学年六年级数学下册第二单元：八种问题之圆柱与圆锥的等积变形问题“综合版”专项练习（解析版）

2023-2024学年六年级数学下册典型例题系列第二单元：八种问题之圆柱与圆锥的等积变形问题“综合版”一、填空题。1．小明把一个底面半径是5厘米，高是8厘米的圆柱形橡皮泥捏成一个圆锥形模型。这个模型的体积是()立方厘米；如果这个模型的底面半径也是5厘米，则它的高是()厘米。【答案】62824【分析】根据题意，把一个圆柱形橡皮泥捏成一个圆锥形模型，这个橡皮泥的体积不变，即圆锥的体积等于圆柱的体积，根据圆柱的体积公式V＝πr2h，求出这个模型的体积；已知圆柱和圆锥的底面半径都是5厘米，则它们的底面积相等；因为圆锥和圆柱等体积等底面积，那么圆锥的高等于圆柱高的3倍，据此解答。【详解】橡皮泥的体积：3.14×52×8＝3.14×25×8＝628（立方厘米）圆锥的高：8×3＝24（厘米）这个模型的体积是628（立方厘米），它的高是24厘米。2．一个圆柱形橡皮泥，从侧面观察是一个边长为2厘米的正方形，如果把它捏成圆锥，这个圆锥的体积是()立方厘米。【答案】6.28【分析】根据题意，一个圆柱形橡皮泥，从侧面观察是一个边长为2厘米的正方形，说明圆柱的底面直径和高都等于2厘米；如果把它捏成圆锥，形状变了，但橡皮泥的体积不变；根据圆柱的体积公式V＝πr2h，代入数据计算即可求解。【详解】3.14×（2÷2）2×2＝3.14×1×2＝6.28（立方厘米）这个圆锥的体积是6.28立方厘米。【点睛】本题考查圆柱的特征以及圆柱体积公式的运用，抓住立体图形等积变形中的“体积不变”是解题的关键。3．将一个底面积3.14平方厘米，高是2厘米的圆柱形容器装满水，倒入一个圆锥形容器中，刚好装满，已知圆锥形容器的底面半径是2厘米，这个圆锥形容器的高是()厘米。【答案】1.5【分析】圆柱的底面积3.14平方厘米，高是2厘米，根据圆柱的体积公式：V＝，代入数据即可求出圆柱的体积。倒入一个圆锥形容器中，刚好装满，说明体积不变，再根据圆锥的体积公式，即可求出这个圆锥形容器的高。【详解】3.14×2＝6.28（立方厘米）6.28÷（×3.14×22）＝6.28÷（×3.14×4）＝6.28÷÷3.14÷4＝6.28×3÷3.14÷4＝18.84÷3.14÷4＝1.5（厘米）即这个圆锥形容器的高是1.5厘米。【点睛】此题的解题关键是灵活运用圆柱和圆锥的体积公式求解。4．将一个棱长之和是48厘米的正方体铁块熔铸成一个底面积是16平方厘米的圆锥，这个圆锥的高是()厘米。【答案】12【分析】由题意可知，把正方体铁块熔铸成圆锥体后铁块的体积不变，先利用“棱长＝正方体的棱长之和÷12”求出正方体的棱长，再利用“正方体的体积＝棱长×棱长×棱长”求出铁块的体积，最后根据“高＝圆锥的体积×3÷底面积”求出圆锥的高，据此解答。【详解】48÷12＝4（厘米）4×4×4＝64（立方厘米）64×3÷16＝192÷16＝12（厘米）所以，这个圆锥的高是12厘米。【点睛】本题主要考查等体积变形，熟练掌握正方体的棱长之和与体积计算公式，以及圆锥的体积计算公式是解答题目的关键。5．图中，把一个半径是3厘米的圆柱平均分成若干份，切开拼成一个近似的长方体，这个长方体前面的面积是100平方厘米，圆柱的体积是()立方厘米。【答案】300【分析】把圆柱的底面平均分成若干个扇形，切开拼成一个近似的长方体，这个近似长方体的长等于圆柱的底面周长的一半，宽等于圆柱的底面半径，高等于圆柱的高，体积不变等于圆柱的体积。长方体的体积＝底面积×高，以100平方厘米为底面积，底面半径为高，代入数据计算即得圆柱的体积。【详解】100×3＝300（立方厘米），圆柱的体积是300立方厘米。【点睛】本题是考查立体图形的切拼问题。解答此题的关键是理解拼成的长方体的体积等于圆柱的体积，前面的面作为底面，高是圆柱的高，再根据长方体的体积公式即可解答。6．一个圆锥形碎石堆，底面周长是62.8米，高是0.9米，将这堆碎石铺在10米宽的公路上，厚度为6厘米，能铺()米。【答案】157【分析】先根据圆锥的底面周长求出圆锥的底面半径，再利用“”表示出这堆碎石的体积，最后根据“”求出这堆碎石可以铺路的长度，据此解答。【详解】6厘米＝0.06米62.8÷3.14÷2＝20÷2＝10（米）×0.9×3.14×102÷10÷0.06＝0.3×3.14×100÷10÷0.06＝0.942×100÷10÷0.06＝9.42÷0.06＝157（米）所以，能铺157米。【点睛】熟练掌握圆锥和长方体的体积计算公式是解答题目的关键。7．一辆货车车厢是一个长方体，它的长是4米，宽是1.5米，高是4米，装满一车沙，卸后沙堆成一个高是3米的圆锥体，它的底面积是()平方米。【答案】24【分析】根据长方体的体积公式：V＝abh，代入数据求出长方体的体积，即这车沙的体积，再根据圆锥的体积公式：V＝，代入数据即可求出这堆沙的底面积。【详解】4×1.5×4÷3÷＝6×4÷3×3＝24（平方米）即它的底面积是24平方米。【点睛】此题主要考查等积变形，熟练运用长方形和圆锥的体积公式。8．如图，先将甲容器注满水，再将水倒入乙容器，这时乙容器中的水高()厘米。【答案】4【分析】根据圆锥的体积公式：体积＝底面积×高×，代入数据，求出甲容器的体积，甲容器的水倒入乙容器，体积不变，再根据圆柱的体积公式：体积＝底面积×高，高＝体积÷底面积，代入数据，即可解答。【详解】3.14×（10÷2）2×12×÷[3.14×（10÷2）2]＝3.14×25×12×÷[3.14×25]＝12×＝4（厘米）【点睛】利用圆柱的体积公式和圆锥的体积公式进行解答，关键是熟记公式，灵活运用。9．一个底面积为28平方厘米、高为10厘米的长方体玻璃容器中装有5厘米深的水，现将一个底面半径为1厘米、高为8厘米的圆柱形铁块竖直放入水中，水面将上升()厘米。（π取3）【答案】0.6【分析】容器中水的高度为5厘米，铁块的高度为8厘米，则铁块没有完全浸入水中，把铁块放入水中水的体积不变，放入铁块后容器中水的底面积＝容器的底面积－铁块的底面积，根据“高＝长方体的体积÷底面积”求出放入铁块后水和铁块对应的总高度，最后减去原来水的高度即可。【详解】28×5÷（28－3×12）－5＝28×5÷（28－3）－5＝28×5÷25－5＝140÷25－5＝5.6－5＝0.6（厘米）所以，水面将上升0.6厘米。【点睛】理解容器中水的体积不变以及放入铁块后容器中水的底面积的变化情况是解答题目的关键。10．用一个底面积为31.4平方厘米，高为30厘米的圆锥形容器盛满水，然后把水倒入底面积为62.8平方厘米的圆柱形容器，水的高度为()厘米。【答案】5【分析】先根据公式V锥＝Sh求出圆锥形容器里水的体积，把水倒入圆柱形容器里，水的体积不变，根据公式V柱＝Sh可知，圆柱的高h＝V÷S，代入数据计算即可求出圆柱形容器里水的高度。【详解】×31.4×30＝31.4×10＝314（立方厘米）314÷62.8＝5（厘米）【点睛】灵活运用圆锥、圆柱的体积计算公式是解题的关键。二、解答题。11．一个沙堆堆成底面周长是18.84米的圆锥形，这堆沙的高是4米。现在用这些沙子来铺路面，路面的宽是4米，沙子的厚度是0.1米，可以铺路多少米？【答案】94.2米【分析】已知圆锥形沙堆的底面周长和高，先根据圆的周长公式C＝2πr可知，r＝C÷π÷2，由此求出圆锥的底面半径；再根据圆锥的体积公式V＝πr2h，求出这堆沙子的体积；把这些沙子铺路面，沙子的体积不变，路面是一个宽4米、厚0.1米的长方体，根据长方体的长＝体积÷宽÷高，即可求出可以铺路的长度。【详解】圆锥的底面半径：18.84÷3.14÷2＝3（米）这堆沙子的体积：×3.14×32×4＝×3.14×9×4＝37.68（立方米）铺路的长度：37.68÷4÷0.1＝9.42÷0.1＝94.2（米）答：可以铺路94.2米。12．把一块长方体铁块熔铸成一个底面半径为4分米的圆柱形铁块。这个圆柱形铁块的高是多少？

【答案】18分米【分析】根据长方体体积＝长×宽×高，求出铁块体积，再根据圆柱的高＝体积÷底面积，列式解答即可。【详解】18.84×8×6＝904.32（立方分米）904.32÷（3.14×42）＝904.32÷（3.14×16）＝904.32÷50.24＝18（分米）答：这个圆柱形铁块的高是18分米。【点睛】关键是掌握并灵活运用长方体和圆柱体积公式。13．把一个长、宽、高分别是8厘米、4厘米、3厘米的长方体铁块和一个棱长为4厘米的正方体铁块熔铸成一个圆锥体。这个圆锥体的底面积是1.2平方分米，高是多少？【答案】4厘米【分析】由题意可知：圆锥的体积等于长方体铁块与正方体铁块的体积和。先根据“长方体的体积＝长×宽×高”求出长方体铁块的体积；再根据“正方体的体积＝棱长×棱长×棱长”求出正方体铁块的体积；再用长方体铁块的体积加上正方体铁块的体积求出圆锥的体积；最后根据“圆锥的高＝圆锥的体积÷÷底面积”求出圆锥的高。【详解】1.2平方分米＝120平方厘米8×4×3＋4×4×4＝96＋64＝160（立方厘米）160÷÷120＝160×3÷120＝480÷120＝4（厘米）答：高是4厘米。【点睛】此题考查了长方体、正方体、圆锥的体积计算公式。解决此题关键是明确熔铸前后铁块的形状发生了变化，但体积不变。14．一个圆柱形容器的底面周长是31.4分米，高6分米，里面盛满水，把水倒在长6分米，宽5分米，高8分米的长方体容器内，水深是多少分米？【答案】15.7分米【分析】根据题意，把圆柱形容器的水倒入长方体容器内，水的体积不变。根据“圆的周长＝2πr”，用31.4除以2π即可求出圆柱的底面半径，再根据“圆柱的体积＝底面积×高＝πr2h”，代入数据求出水的体积。长方体的体积＝长×宽×高，据此用水的体积除以长和宽，即可求出水的深度。【详解】31.4÷3.14÷2＝5（分米）3.14×52×6＝3.14×150＝471（立方分米）471÷（6×5）＝471÷30＝15.7（分米）答：水深是15.7分米。【点睛】本题考查了体积的等积变形。明确水的体积不变，灵活运用圆柱和长方体的体积公式是解题的关键。15．把一块底面直径是10厘米，高8厘米的圆柱形铁块熔铸成一个底面周长是62.8厘米的圆锥形铁块。这个圆锥形铁块的高是多少厘米？【答案】6厘米【分析】根据题意，把一个圆柱形铁块熔铸成一个圆锥形铁块，形状变了，铁块的体积不变。先根据圆柱的体积公式V＝πr2h，求出铁块的体积；已知圆锥形铁块的底面周长，根据圆的周长公式C＝2πr可知，r＝C÷π÷2，由此求出圆锥的底面半径；然后根据圆的面积公式S＝πr2，求出圆锥的底面积；根据圆锥的体积公式V＝Sh可知，圆锥的高h＝3V÷S，代入数据计算，即可求出这个圆锥形铁块的高。【详解】铁块的体积：3.14×（10÷2）2×8＝3.14×25×8＝628（立方厘米）圆锥的底面半径：62.8÷3.14÷2＝10（厘米）圆锥的底面积：3.14×102＝3.14×100＝314（平方厘米）圆锥的高：628×3÷314＝1884÷314＝6（厘米）答：这个圆锥形铁块的高是6厘米。【点睛】本题考查圆柱、圆锥体积公式的灵活运用，抓住立体图形等积变形中的“体积不变”是解题的关键。16．一块圆柱形的橡皮泥，高15厘米，底面直径为4厘米，小芳将它捏成一个高10厘米的长方体。这个长方体的底面积是多少平方厘米？（结果保留π）【答案】6π平方厘米【分析】先根据圆柱的体积公式（V＝πr2h）先算出圆柱形橡皮泥的体积，再根据橡皮泥体积不变，利用长方体体积公式（V＝abh）即可求出长方体的底面积是多少平方厘米。【详解】（4÷2）2×15×π＝4×15×π＝60π（立方厘米）60π÷10＝6π（平方厘米）答：这个长方体的底面积是6π平方厘米。【点睛】此题主要考查长方体和圆柱体的体积计算方法，关键是明白橡皮泥的体积不变。17．张师傅要把一根底面半径是2分米、高是3分米的圆柱形零件熔铸成一个底面半径为3分米的圆锥形零件，圆锥形零件的高是多少分米？【答案】4【分析】根据圆柱体积，先求出圆柱的体积，已知熔铸前后总体积不变，因此圆柱的体积即为圆锥的体积，再根据圆锥的高＝体积×3÷底面积，列式解答即可。【详解】圆柱的体积：3.14××3＝3.14×4×3＝12.56×3＝37.68（立方分米）圆锥底面积：3.14×＝28.26（平方分米）圆锥的高：37.68×3÷28.26＝4（分米）答：圆锥形零件的高是4分米。【点睛】此题考查了圆柱与圆锥的体积等积变形，明确熔铸前后体积不变是本题解题的关键。18．将一块棱长是6厘米的正方体橡皮泥捏成一个底面直径是8厘米的圆柱，这个圆柱的高约是多少厘米？（得数保留一位小数）【答案】4.3厘米【分析】把一块正方体橡皮泥捏成一个圆柱，体积不变；可先求得正方体的体积，再求得圆柱的底面积是多少，逆用圆柱体体积公式，h圆柱＝V圆柱÷S圆，能够求得圆柱体的高。【详解】V正方体＝6×6×6＝216（立方厘米）S圆＝3.14×（8÷2）2＝3.14×16＝50.24（平方厘米）h圆柱＝216÷50.24≈4.3（