新教材高中数学必修第一册5 .5 .2 简单的三角恒等变换

5.5.2简单的三角恒等变换

课标要求素养要求

1.能用二倍角公式导出半角公式，体会

在对公式的推导和应用过程中，发展学

其中的三角恒等变换的基本思想.

生的数学抽象、逻辑推理、数学运算素

2.能利用三角恒等变换对三角函数式化

养.

简、求值和证明.

课前预习知识探究

教材知识探究

A情境引入

同学们知道电脑输入法中的“半角”和“全角”的区别吗？半角、全角主要是针

对标点符号来说的，全角标点占两个字节，半角占一个字节，但不管是半角还是

全角，汉字都要占两个字节.事实上，汉字字符规定了全角的英文字符、图形符

号和特殊字符都是全角字符，而通常的英文字母、数字键、符号键都非半角字符.

问题1.任意角中是否也有“全角”与“半角”之分，二者有何数量关系？

2.半角公式是如何推导出来的？

3.半角公式的符号是怎样确定的？

提示是a的半角，a是2a的半角.

2.半角公式的推导是利用公式cos2a=2cos2a-1=1—2sin2a.

3.半角公式的符号是由半角所在的象限确定的.

A新知梳理

1.半角公式在利用公式时，注意符号的选取

1—cosa

sin^=±"

-2~

a1+cosa

COS]=±'-2~

a1—cosabEf

tan2=不嬴(无理形式).

asina1—cosa

tan.（有理形式）.

21+cosasina

2.辅助角公式

______b

asinx+bcos尤.其中tan9=79所在象限由a和。的符号确定,

ba

或者sin（p=6福’39=莉福・

教材拓展补遗

［微判断］

1-cos30°

l.sin150=土'—2一.(X)

1—cos30°

提示sin150=

2

2.对于aWR,sin^=；sina都不成立.(X)

提示，.飞足a=2sin*:os5,只有当cos看=1时sin3=gsina才能成立.

nn1~\~a

3.若5兀〈夕〈6兀，co^=a9贝ijcos4=—(X)

3兀

提示为第三象限角,

2

［微训练］

1•化简急春.噫的结果为

2sin2acos2a

解析原式=

2cos2a'cos2a=tan2a.

答案tan2a

2.函数y(x)=5cosx+12sinx的最小值为.

解析7U)=13后cosx+1|sinx

=13sin(x+e)(其中tan°=卷),

•«y（X）min=-13.

答案一13

/,心.yj~52y［5,a

3.已矢口sma=亨，cosa=^~^WJ匕丐=.

解析因为sin仪=坐＞0,cos。=邛2＞0,所以a的终边落在第一象限，与的终边

落在第一、三象限，所以ta琮＞0,=小一

2.

答案小一2

［微思考］

1.半角公式中的符号是如何确定的？

提示（1）当给出角a的具体范围时，先求郛范围，然后根据郛范围确定符号.

（2）如果没有给出决定符号的条件，那么在根号前要保留正负号.

2.sin6+sin8=2而今405宁除了课本上的证明方法，还有什么其它的证明方

法吗？

。

-26z。^

-夕£/2

十+•7

2C-s吁COS-Sn

提示右边=2sin222OSIk22^

cosfcosf+sinfsinf

=2卜磔4c喈+sh4

0.(P(p..也.9ff

sin5cos亍十cos?]sin5cos$十sin;sin]cos]

=sin^-cos^+sin^sin力+cosgsin9+sin学in0

=sin8+sin9=左边.

，故等式成立.

课堂互动题型剖析

题型一利用半角公式求值

注意角的范围【例1】已知cosa=g,a为第四象限角,求sin会cos垓,

a

tan

解•.七为第四象限角,.•成为第二、四象限角.

当为为第二象限角时,

a/I-cosa小a/l+cosaA/6a11-cosa

s吗3,cos]=—3,tan]=_y7T

.亚

2，

当今为第四象限角时,

a/I-cosa也

tan2-1+cosa~2,

规律方法利用半角公式求值的思路

(1)观察角：若已知三角函数式中的角是待求三角函数式中角的两倍，则求解时

常常借助半角公式求解.

(2)明范围：由于半角公式求值常涉及符号问题，因此求解时务必依据角的范围,

求出相应半角的范围.

⑶选公式：涉及半角公式的正切值时，常用匕谈=京=号詈，其优点

是计算时可避免因开方带来的求角的范围问题；涉及半角公式的正、余弦值时,

小士qim.必1—cosaM1+cosa

常先利用sin»=----2----，cos2=-----2----计算.

(4)下结论：结合(2)求值.

37，

【训练1】已知sin。=—3兀＜。＜］兀，则tan/的值为()

A.3B.-3

40

一一7兀3-nsin1

解析：3兀＜8＜爹，sin0=一予cos0=52

la1+cosf)

答案B

题型二三角函数式的化简注意'是。的半角，a是2a的半角

【例2】化简:

(1-sina~cosa)fsin^+cos^

■(-7t<a<0).

y]2—2cosa

[2sin2?—2sin^cosyVsiny+cosz

解原式二^----------1——…△,---------------'一

2X2sin2^

「a.aa}.a.a

2sin吹sin/-cos现sin/+cos/

2

因为一7i＜a＜0,所以甘多。所以sin^＜0,

.a

-sin^cosa

所以原式=■=cosa.

—si谈

规律方法探究三角函数式化简的要求、思路和方法

(1)化简的要求：①能求出值的应求出值；②尽量使三角函数种数最少；③尽量

使项数最少；④尽量使分母不含三角函数；⑤尽量使被开方数不含三角函数.

(2)化简的思路：对于和式，基本思路是降次、消项和逆用公式；对于三角分式,

基本思路是分子与分母约分或逆用公式；对于二次根式，注意二倍角公式的逆用.

另外，还可以用切化弦、变量代换、角度归一等方法.

1

【训练】设(当,兀)，化简:-+

2aS222a

题型三三角恒等式的证明原则：由繁到简

【例3】证明：

2sinxcosx______________1+cosx

(sinx+cosx—1)(sinx-cosx+1)sinx,

证明左边=

2sinxcosx

(2sin^cos^+1-Zsin2^-1)(2sinycos^-1+2sin2^+1)

2sinxcosx

(cosz-sin^)・2s诗(cosz+sinT)

.XXX

c.2sin^cos^cos^

_2smxcosx______22____2

xx'

4sin^cosx2si9n^sing

l+2cos2^-1x

cos2

右边=

.xx

zsin^cos^sin受

所以左边=右边，即等式成立.

规律方法探究证明三角恒等式的原则与步骤

(1)观察恒等式的两端的结构形式，处理原则是从复杂到简单，高次降低次，复

角化单角，如果两端都比较复杂，就将两端都化简，即采用“两头凑”的思想.

(2)证明恒等式的一般步骤：

①先观察，找出角、函数名称、式子结构等方面的差异；

②本着“复角化单角”“异名化同名”“变换式子结构”“变量集中”等原则，

设法消除差异，达到证明的目的.

【训练3】求证：一tan0-tan26/=1.

cos

f口口]/1c八1sin8sin2。

1月cos20tan•tan-os2。cos^cos20

_cos夕——2sin2ecos9_cos夕(1—Zsiir2。)_1—Zsin)一

cosOcos29cosOcos20cos29

cos2"

-cos20~,

题型四利用辅助角公式研究函数性质

[例4]已知函数/（x）=d5sin（2x—W+Zsiir2'—专

|(x£R).

⑴求函数«x）的最小正周期；

（2）求使函数式尢）取得最大值的x的集合.

解（l）,・7U）=/sin（2xY）+2sin2（x-田

=2sin（2x—号+1,

2兀

的最小正周期为T=-^=n.

（2）当/U）取得最大值时，sin（2x—胃）=1,

兀兀

有2x—w=2E+1(Aez),

即x=E+含Z6Z),

•••所求x的集合为

(,।5兀，J

jxr=E+五，左GZj.

规律方法(1)为了研究函数的性质，往往要充分利用三角变换公式转化为正弦

型(余弦型)函数，这是解决问题的前提.

(2)解此类题时要充分运用两角和(差)、二倍角公式、辅助角转换公式消除差异，

减少角的种类和函数式的项数，为讨论函数性质提供保障.

【训练4】已知函数式x)=cos停+，cos停一x),g(x)=1sin2x-^.

⑴求函数/U)的最小正周期；

(2)求函数%(x)=/(x)—g(x)的最大值，并求使/?(x)取得最大值时x的集合.

解(l)Xx)=^cosx+坐isnx

2sl

11+cos2x3(1—cos2x)

=4C0Sx-88

=/cos2x—a，

2兀

x)的最小正周期为T=—=n.

(2)/z(x)=fix)—g(x)=^cos2x-gsin2x

=^cos(2x+S

TT

当2x+a=2E伙GZ),

jr、历

即x="-g(&£Z)时，〃(x)有最大值

此时x的集合为卜x=E一去ZSZj.

核心素养全面提升

一'素养落地

1.在推导公式和应用公式的过程中，熟悉角的转化方法和换元法的应用，不断提

升学生的逻辑推理、数学运算素养，并通过本节的asinx+Aos_x=W^sin(x

+8)的转化过程，进一步提升学生的数学抽象素养、逻辑推理素养和数学运算素

养.

2.学习三角恒等变换，千万不要只顾死记硬背公式，而忽视对思想方法的理解，

要学会借助前面几个有限的公式来推导后继公式，立足于在公式推导过程中记忆

公式和运用公式.

3.asinx+/?cosx=q^TPsin(x+gXaOWO),其中tan夕=',夕所在象限由a,b

确定，掌握实质并能熟练应用.

二'素养训练

4兀

1.若cos2a=一5,且a6兀，则sina=()

A巡R近

A。10B-10

D.普

7T1-cos2。

解析因为7i,所以sina>0,由半角公式可得sin~~2

3Vio

io,

答案A

2.下列各式与tana相，)

1—cos2asina

A，'1+cos2a1+cosa

sina1-cos2a

C，l-cos2aDsin2a

解析1—cos2a」_sina

，sin2a2sinacosacosa

答案D

3.设5兀＜。＜6兀,cos]=。,

A.年

1~\~a-a

2

c.-~17

吼e

一

,4

角翠析,**5K＜。＜6兀,<4

1-a

~17-

4.已知2cos2x+sin2x=Asin（（ux+^）+b（A＞0,bGR）,则A=,b=

解析2cos2x+sin2x=cos2x+sin2x+1

=V^sin（2x+：）+l,:.A=巾,b=\.

答案小1

“1+cos6+sicg1-cos6+sicH

同’1-cos^+sin31+cosO+sin夕

c41c•夕e

2cos/十2smicosg

解原式=-----Z------7）―

2sin弓+2sin2cos]

2sm»十2sin5cos/

2cos弓+2sin^cos^

e（0..ff

2cos21cos^+sin^

身

e。

n一

2Cs2si2

夕

。

应

一s

•-m•

2SI2si22

)s

。

夕

・

0-夕

。n

Lsi2sl

sln22n2

课后作业巩固提高

基础达标

一、选择题

1.函数y=3sin4x+小cos4x的最大值是（）

A.小B.2小

C.3D.6

角星析y=3sin4x+小cos4x

=2小（当sin4x+gcos4x）

=2小sin（4x+5）,

，ymax=2S，故选B.

答案B

2.已知sin2a=；,则cos?］。一£）=（）

A--3BLI

c4D.f

缶期/研l+cos（2a—2）i+sm2a1+32

斛析cos2"-.=--------2--------=~~2~~=T-=3-

答案D

3.在AABC中，若sinAsinB=cos（，则△48。是（）

A.等边三角形B.等腰三角形

C.不等边三角形D.直角三角形

解析sinAsinB=^(l+cosQ,

即2sinAsinB=1+cosC,

/.2sinAsinB=1—cosAcosB+sinAsinB,

故得cos（4—8）=1,

又因为A—86(一兀，兀)，

.,.A-B=O,即A=8,则△ABC是等腰三角形.

答案B

4.函数y(x)=g(l+cos2%).5皿2》(》61i)是()

A.最小正周期为兀的奇函数

B.最小正周期为方的奇函数

C.最小正周期为兀的偶函数

D.最小正周期为微的偶函数

解析由题意，得./(x)="(l+cos2x)(1—cos2x)=^(1—COS22^)=^sin22x=1(1-

jr

cos4x).X/(—x)=J(x),所以函数_/(x)是最小正周期为]的偶函数，选D.

答案D

,,a

41+tan2

5•若cosa=—亍a是第二象限角，则----^等于()

l-tan]

A-2B-2

C.2D.-2

4

解析•・•。是第三象限角，cosa=一亍

_3

..3.asina5

..sina=~7,..tan7：=~.=7=—3,

521+cosa14

r

1Ia

1+tan^[[

._____21—3o1

a=T+3=-2-

1—tan,

答案A

二'填空题

6.化简«l+sin2的结果是.

解析^/1+sin2=^/sin2l+cos2l+2sinIcos1

(sin1+cos1)2=|sin1+cos1|,

TT

因为l£(0,]),所以sinl>0,cosl>0,

则W+sin2=sin1+cos1.

答案sin1+cos1

]B+C

7.在△ABC中，若cosA=1,则sin2-—+cos2A=.

.B+C,1-cos(B+C)

解析sin-2-+cos2A=--------------------j-2cos2A—1

1+cosA।1

92

----2+2cosA—1=­Q.

答案

8.函数,*x)=sin2x+sinxcosx+1的最小正周期为.

j-cos2x113

角星析/(x)=sin2x+sinxcosx+l=-----------+/sin2x+l=](sin2x—cos2x)+5

=^sin(2x-^+|,

・・T=兀.

答案兀

三、解答题

.A.js…八rr、，一,心6F-COSB-b

9.在△ABC中，角4B,C的对边分别为a,b,c,已知C°SA=F^,求

tan^4y

证—

R=a—b'

tan2

4cosB—b

证明因为cosA=

a-b'cosB'

Ca+b)•(1—cosB)

所以1—cosA=

a—b-cosB

(a-b)•(1+cosB)

1+cosA=

a—b-cosB

l-cos/l(a+Z?)•(1—cosB)

所以

1+cosA(a-b)•(1+cosB)

1—cosAsin24

而7Vl=「二小吁

2cos2

1-cosB2sin2f,B

l+cos『2c°sk昨

所以tan^=------tan27r,

2a—b2

4

a+b

即-

.R=­a—bA.

tan1

10.已知a为钝角，口为锐角，且sina=,,sin夕=将求cos。?”与tan"之'的

值.

,,412

解因为a为钝角，尸为锐角，sina=§,si”=行，

jrjr

因为2<a<7i,且0<^<2»

所以Q<a—[i<n,即

__________.a-§

Sin

、土上ca—§7t/B.a.8l~.a.fi2

法一由0<-yJ<],传sin—/1—cos255»所以tan-y=—

cos2

4

7,

33

法