高考数学二轮复习 第2部分 技法篇 必考补充学案 文-人教版高三全册数学学案

第2部分技法篇必考补充专题

必考补充专题中的5个突破点在高考考查中较为简单，题型为选择、填空题及选修“2

选1”，属送分题型，通过一轮复习，大多数考生已能熟练掌握，为节省宝贵的二轮

复习时间，迎合教师与考生的需求，本部分只简单提炼核心知识，构建知识体系，讲

解客观题解法，其余以练为主.

建知识网络明内在联系

列举法、描述法、复念T复数的有关概念I实部、虚部、共蛔

Venn图法数及

一

集

的运

合

概算复数的四则运算加法、减法、

与

和几何意义乘法、除法

常

I交集用

I并集pvgH^I—|逻辑联结词卜逻

辑

|补集¥或1

~If-用rEJS

语

原命题与逆否命题零点分区间法

四种命题口一

否命题与逆命题尸

d不等式选讲卜比较法、分析法、

一¥不等式的证明1综合法、反证法、

选放缩法

修

「

T程序框图系

植人语句，管出语|h列

苟和赋福证苟必

考L4

I条件语句与循环落砒基本算法语词J补

归纳推理充

叼推理方法专

类比推理

题

一

三段论-I演绎推理I-L推

理

综合法与

巾接回证明方法

证

分析法明

一直线定界，I

反证法―I间接证明特殊点定域

简

规

单

划

的

问仃几何意义法I

一

线

题

基求最优解的常用方法

“一正、二定、--I口解不等式法

性I

三相等”本

不

等

式

一

|若基本不等式失效，

I用函数单调性求最值

［高考点拨］必考补充专题涉及的知识点比较集中，多为新增内容，在高考中常以

“五小一大”的形式呈现，选考内容是解答题“2选1”.本专题的考查也是高考中

当仁不让的高频考点，考查考生应用新知识解决问题的能力和转化与化归能力等.综

合近年高考命题规律，本专题主要从“集合与常用逻辑用语”“不等式与线性规

划”“算法初步、复数、推理与证明”“选修系列4”四大角度进行精练，引领考生

明确考情，高效备考.

技法篇：5招巧解客观题，省时、省力得高分

［技法概述］选择题、填空题是高考必考的题型，共占有80分，因此，探讨选择题、

填空题的特点及解法是非常重要和必要的.选择题的特点是灵活多变、覆盖面广，突

出的特点是答案就在给出的选项中.而填空题是一种只要求写出结果，不要求写出解

答过程的客观性试题，不设中间分，所以要求所填的是最简最完整的结果.解答选择

题、填空题时，对正确性的要求比解答题更高、更严格.它们自身的特点决定选择题

及填空题会有一些独到的解法.

解法1直接法

直接法是直接从题设出发，抓住命题的特征，利用定义、性质、定理、公式等，

经过变形、推理、计算、判断得出结果.直接法是求解填空题的常用方法.在用直接

法求解选择题时，可利用选项的暗示性作出判断，同时应注意：在计算和论证时尽量

简化步骤，合理跳步，还要尽可能地利用一些常用的性质、典型的结论，以提高解题

速度.

【例1】(1)将函数y=sin(2x一图象上的点行，，向左平移s(s〉O)个单位长度得到点

尸’.若尸'位于函数y=sin2x的图象上，贝!J()

1JI

A.t=~,s的取小值为T7-

B.t苦,s的最小值为百

1,0,JI

C.t=~,s的取小值为耳~

D.晋，s的最小值为勺

⑵等比数列｛aj的各项均为实数，其前n项和为必已知&=号，贝Ua=

【导学号：04024144)

［解题指导］⑴先求点户坐标，再求点P'的坐标，最后将点P'的坐标代入尸sin2x

求s的最小值.

⑵先求出等比数列的首项和公比，再利用等比数列的通项公式求备即可.

(DA(2)32］⑴因为点彳了，，在函数y=sin(2x-的图象上，所以t=

(itnAit1

sin2X----1J=sinw=5.所以R—,51将点P向左平移s(s>0)个单位长度得

P，『s,I)

fJiAl1

因为户在函数p=sin2x的图象上，所以sin21了一sj=5，即cos2s=5,所以2s

ji5JI5兀

=20+了或2s=2C+胪'即s="+至或s="n+于（代幻,所以s的最小

JI

值为9.

rai\—g7

1-q4,

⑵设｛a｝的首项为团，公比为0贝叫6

a\~q63

、1—g4:

f1

41="7,

解得j4

、q=2,

所以a=；X2‘=25=32.]

［变式训练1］为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区5户家

庭，得到如下统计数据表:

收入x（万元）8.28.610.011.311.9

支出y（万元）6.27.58.08.59.8

根据上表可得回归直线方程p=6x+a,其中6=0.76,a=y—8x.据此估计，该社

区一户年收入为15万元家庭的年支出为（）

A.11.4万元B.11.8万元

C.12.0万元D.12.2万元

—8.2+8.6+10.0+11.3+11.9

B［由题意知,x=-----------------------------------------=10,

—6.2+7.5+8.0+8.5+9.8

a=8—0.76X10=0.4,

当x=15时，y=0.76X15+0.4=11.8（万元）.]

解法2特例法

在解决选择题和填空题时，可以取一个（或一些）特殊情况（包括特殊数值、特殊

位置、特殊函数、特殊点、特殊方程、特殊数列、特殊图形等）来确定其结果，这种

方法称为特值法.特值法由于只需对特殊数值、特殊情形进行检验，省去了推理论证、

繁琐演算的过程，提高了解题的速度.特值法是考试中解答选择题和填空题时经常用

到的一种方法，应用得当可以起到“四两拨千斤”的功效.

【例2】⑴设/1(x)=ln为0〈a<6,若°=『(^^),”]，r=1(f(a)+f(6)),则下

列关系式中正确的是()

A.q=KpB.q—f>p

C.p=KqD.p—f>q

(2)如图1,在棱柱的侧棱4/和6归上各有一动点R0满足4?=60,过rQ,C三

点的截面把棱柱分成两部分，则其体积之比为()

【导学号：04024145]

R

C.4：1D.小：1

[解题指导](1)从条件看这应是涉及利用基本不等式比较函数值大小的问题，若不等

式在常规条件下成立，则在特殊情况下更能成立，所以不妨对a,b取特殊值处理，

如a=1,b=e.

⑵点P,0在非特殊情况下体积较难计算.可将尺0置于特殊位置，令P与4重合,

。与8重合，再计算体积.

(l)C(2)B[⑴根据条件，不妨取a=l,6=e,则p=f(4)nn/号,<7=彳/^

>式#)=；,r=,(/1⑴+f(e))=[,在这种特例情况下满足p=r<q,

所以选C.

(2)令？与4重合，0与8重合，此时4々制=0,贝U&/46=%-加。="『三棱柱

ABGABC,故过RQ,。三点的截面把棱柱分成的两部分体积之比为2：1.]

[变式训练2](1)如果地，&,…，a为各项都大于零的等差数列，公差d手。,那么()

A.&备＞&&B,as8V也与

C.8+备〉&+aD.为为=aa

(2)在△板中，角4B,C所对的边分别为a,b,c,若a,b,c成等差数列，则

cos力+cosC

1+cosAcosC'

4

(DB(2)-[(1)取特殊数列1,2,3,4,5,6,7,8,显然只有1X8V4X5成立.

(2)令a=6=c,则/=C=60°,cosA—cos

cos4+cosC_4

从而1+cos/cosJ

解法3数形结合法

数形结合法是指在处理数学问题时，能够将抽象的数学语言与直观的几何图形有

机结合起来思考，促使抽象思维和形象思维有机结合，通过对规范图形或示意图形的

观察分析，化抽象为直观，化直观为精确，从而使问题得到简捷解决的方法.

x—y^O,

【例3】(1)(2016•合肥模拟)已知x,y满足约束条件|x+y—4W0,则z=—2x+y

、介1，

的最大值是()

【导学号：04024146]

A.-1B.-2

C.-5D.1

⑵(2017•武汉模拟)函数f(x)=2sinxsin(x+5J—V的零点个数为.

[解题指导](1)要确定目标函数的最大值，需知道相应的x,y的值，从约束条件中

不可能解出对应的x,y的值，所以只有通过图解法作出约束条件的可行域，据可行

域数形结合得出目标函数的最大值.

⑵函数的零点即对应方程的根，但求对应方程的根也比较困难，所以进一步转化为

求两函数的图象的交点，所以作出两函数的图象确定交点个数即可.

(DA(2)2[(1)二元一次不等式组表示的平面区域为如图所示的△26。内部及其边

界，当直线y=2x+z过4点时z最大，又/(I,1),因此z的最大值为-1.

(2)f{x)=2sinxcosx-x—sin2x-x,函数f(x)的零点个数可转化为函数yi=sin

2x与刃=x°图象的交点个数，在同一坐标系中画出yi=sin2x与刃=系的图象如图所

示：

由图可知两函数图象有2个交点，则f{x)的零点个数为2.]

[变式训练3](1)(2017-郑州模拟)方程xlg(x+2)=1的实数根的个数为()

A.1B.2

C.0D.不确定

(2)已知偶函数y=f(x)(xdR)在区间[0,2]上单调递增，在区间(2,+8)上单调递减,

且满足『(一3)=f(l)=0,则不等式M)<0的解集为.

(DB(2)(-3,-1)U(0,l)U(3,+~)[(1)方程只85+2)=10昆5+2)=:,

在同一坐标系中画出函数y=lg(x+2)与的图象，可得两函数图象有两个交点,

故所求方程有两个不同的实数根.

(2)由题意可画出y=f(x)的草图，如图.

①x>0,f（x）VO时,xG（O,l）U（3,+°0）；

②x<0,f（x）>0时，xG（—3,11）.

故不等式x5（x）<0的解集为（-3,-l）U（O,l）U（3,+-）.]

解法4排除法

排除法就是充分运用选择题中单选题的特征，即有且只有一个正确选项这一信

息，从选项入手，根据题设条件与各选项的关系，通过分析、推理、计算、判断，对

选项进行筛选，将其中与题设相矛盾的干扰项逐一排除，从而获得正确结论的方法.使

用该法的前提是“答案唯一”，即四个选项中有且只有一个答案正确.排除法适用于

定性型或不宜直接求解的选择题，当题目中的条件多于一个时，先根据某些条件，在

选项中找到明显与之矛盾的予以否定，再根据另一些条件，在剩余的选项内找出矛盾,

这样逐步筛选，直至得出正确的答案.

res6:的图象大致为（）

[例4]⑴（2016•北师大附中模拟）函数9-

【导学号：04024147]

y

AB

yy

J_AI

/r、i2x

CD

，，£>0,

(2)设x£R,定义符号函数sgnx=0,x=0,则()

「1,x<0,

A.x\=x\sgnx3.x=xsgnx

C.x=xsgnx).x=xsgnx

[解题指导]（1）根据函数的奇偶性和x-+8时函数值的正负，以及x-0且x>0时

函数值的正负，排除可得答案.

(2)可验证当x<0时，等式成立的情况.

(DD(2)D[(1)函数y=cos6x为偶函数，函数y=2'—2r为奇函数，故原函数为

奇函数，排除A.

又函数尸2,—2一，为增函数，当x-+8时,2,—2一，一+8且|cos6x|Wl,

fO(Xf+8),排除C.

REVY2”•resY

:尸:’为奇函数,不妨考虑X>0时函数值的情况，当X-0时，

4"-*1,4*-1-0,2。1,cos6x-*l,

y~^+00?故排除B,综上知选D.

(2)当x<0时，|x|=—x,x\sgnx|=x,xsgn\x\=x,\x\sgnx=(—A)•(—1)=x,

排除A,B,C,故选D.]

[变式训练4](1)函数F(x)=(x—5cosx(—兀WxW兀且xWO)的图象可能为()

⑵设｛a｝是等差数列，下列结论中正确的是()

A.若4+色>0,贝！J色+a〉。

B.若&+&<0,则司1+为<0

C.若0<&<&,贝U

D.若ai<0,则(及一2)(/一&)〉0

(1)D(2)C[(1)函数F(x)=(x—^cosx(一兀W后兀且春0)为奇函数，排除选

项A,B；当x=兀时，f(x)=("—十)cos兀=十一兀〈0,排除选项C,故选D.

(2)设等差数列｛4｝的公差为&若乃+及>0,/+&=a+d+/+4=(2+/)+24,由

于d正负不确定，因而&+a符号不确定，故选项A错；若4+为<0,@+念=&+&

—d=(功+&)—a由于d正负不确定，因而a+&符号不确定,故选项B错;若0<ai<a2,

可知a，。，流0,a2〉。，a3>0,♦.a?aias=(ai+d)—&(ai+2(^)=d>0,•*a^as,

故选项C正确；若aKO,贝lj(a2—a)•(ai-a。=d•(—#=——WO,故选项D错.]

解法5构造法

用构造法解客观题的关键是利用已知条件和结论的特殊性构造出新的数学模型，

从而简化推理与计算过程，使较复杂的数学问题得到解决，它需要对基础知识和基本

方法进行积累，需要从一般的方法原理中进行提炼概括，积极联想，横向类比，从曾

经遇到的类似问题中寻找灵感，构造出相应的具体的数学模型，使问题简化.

【例51(1)(2017•福州一模)已知f⑸为定义在(0,+8)上的可导函数，且f(x)>xF(x)

恒成立，则不等式■旧•]—『(x)>0的解集为()

A.(0,1)B.(1,2)

C.(1,+°°)D.(2,+8)

⑵如图2,已知球。的面上有四点4B,C,D,如，平面被7,ABLBC,DA=AB=BC

=y[2,则球。的体积等于.

CB

图2

fV

[解题指导](1)构造函数g(x)=—―,可证明函数g(x)在(0,+8)上是减函数,

\x.

再利用/—f(x)>00—―>g(x)求解.

⑵以如，AB,6c为棱长构造正方体，则球。是此正方体的外接球，从而球。的直径

是正方体的体对角线长.

.—fxxFx—fX

(DC(2)^6n[⑴设g(x)=^^,则g'(x)=------------p------------，又因为『(x)

xf'Y--fY

(x),所以g'(x)=:--------————<0在(0,+8)上恒成立，所以函数

g(x)=二^为(O'+8)上的减函数,又因为]彳1)—f(x)>°—>一■Ui)

X

>g(x),则有:<x,解得x>l,故选C.

(2)如图，以物