高中数学试题：定值问题

定值问题

问题：(2011年四川，理21)如图，已知椭圆的两个顶点A(-1,0),B(1,0),过焦点/(0,1)

的直线/与椭圆交于C,。两点，并与x轴交于点P,直线AC与直线BD交于点。.

(I)当|CD|=平时，求直线/的方程;

(II)当点P异于A,3两点时，求证：OP-OQ为定值.

22

X

引申1:已知椭圆上r+=1(。>方>0)的两个顶点A(-b,0)，B{b,0)，过焦点F(0,c)

a记

的直线/与椭圆交于C,。两点，并与x轴交于点P(异于A,8两点)，直线4c与

直线8D交于点。，则。(为定值).

22

X

引申2：已知椭圆二+=1(a>b>0)的两个顶点A(-b,0)，B(b,0),过焦点F(0,c)

a齐

的直线/与椭圆交于C,。两点，并与x轴交于点P（异于A,B两点），直线AO与

直线交于点。，则。POQ=加（为定值）.

引申3：已知椭圆与+==1（。＞。＞0）的两个顶点A（—〃，0）,8（仇0）,过y轴上任意

a~b-

一点7（0"）«#0）的直线/与椭圆交于。，。两点，并与无轴交于点尸（异于4,8

两点），直线AC与直线3。交于点0,则OP-OQ=〃（为定值）.

22

引申4：己知椭圆与+==1（。＞方＞0）的两个顶点4（—。，0）,B（b,O）,过平面内任意一

a"b~

点T（s,f）（f70）的直线/与椭圆交于C,。两点，并与x轴交于点P（异于两

点），直线AO与直线BC交于点Q,则

OPOQ=b2（为定值）.

引申5：已知圆/+产=尸”＞0）,点A（_r，o）和8（乙0）,过平面内上任意一点

T（s"）«H0）的直线/与圆交于C,。两点，并与x轴交于点P（异于A,3两点）,

直线A£＞与直线交于点。，则OP-OQ=户

（为定值）.

2

YJ/

引申6：已知双曲线椭圆一1(。＞0,方＞0)的两个顶点A(—a,O),B(a,O),过y轴

a~

上任意一点T（S,f）（f工0）的直线I与双曲线交于C,。两点，并与x轴交于点P（异

于A,8两点），直线AD与直线交于点Q,则

OPOQ=b2（为定值）.

定值问题作业

1.(2012,徐州一模)在平面直角坐标系xOy中，直线x—y+l=0截以原点。为圆心的圆

所得的弦长为后.

(I)求圆。的方程；

(H)若直线/与圆。切于第一象限，且与坐标轴交于O,E,当长最小时，求直线/

的方程；

(IH)设M,P是圆。上任意两点，点M关于x轴的对称点为N,若直线分别

交x轴于(机，0),(〃，())，问：是否为定值？若是，请求出定值；若说明理由.

22

y

2.(2012安徽，理)如图，K(—c,O)、6(c,O)分别是椭圆C：，+g=l(a>b>0)的左,

右焦点，过点耳作x轴的垂线交椭圆的上半部分于点p,过点鸟作直线P鸟的垂线交直

线》=亍于点Q；

(I)若点。的坐标为(4,4)；求桶圆。的方程;

(II)证明：直线PQ与椭圆C只有一个交点.

22

3.已知椭圆。：=+4=1（。＞。＞0）,过直线/:x=4上一点〃引椭圆C的两条切线,

a'b

切点分别是A,8.

（I）若在椭圆上的点（不，为）处的椭圆的切线方程是学+绰=1.求证：直线A8恒

ab

过定点C；并求出定点C的坐标；

（H）是否存在实数/，使得gq+怛q=x|Aq•忸q恒成立？（点c为直线回恒过的

定点），若存在，求出4的值；若不存在，请说明理由.

r2v1

4.如图，椭圆E:亍+台=1(。>>>0)的左焦点为月，右焦点为尸2,离心率e=].过

K的直线交椭圆于AB两点，且/VIBE的周长为8.

(I)求椭圆E的方程；

(II)设动直线l-.y^