高中数学：高二第2周周练卷

吴兴高级中学高二第2周周练卷班级姓名

一、单项选择题

1.若A,B,C,D为空间不同的四点，则下列各式为零向量的是（）

①海+2就+2国+反；②2醺+2瓦+3/+3砺+双；③丽+CX+丽；④Ag-函+而一而.

A.①②B.②③C.②④D.①④

2.已知A（l,2-1）关于面xOy对称点为6,而8关于x轴的对称点为C,则前=（）

A.（0,4,2）B.（0,-4,-2）C.（0,4,0）D.（2,0,-2）

3.若直线4：ar+2y+6=o与直线4：x+（a_l）y+5=O垂直，则实数。的值是（）

21

A.-B.1C.—D.2

32

4.已知四面体A-BCD的所有棱长都是2,点E,F分别是AD,DC的中点则丽・丽=（）p

A.lB.-lC.6D.一百

5.如图，M是三棱锥P-A3C的底面AABC的重心.若而'=xWP+y砺+Z而（x、/c[\

211

y、ZWR），则X+y+Z的值为（）A.-B.1C.-—D.一一.4L----------

332

6.已知三棱锥底面是边长为1的等边三角形，侧棱长均为2,则侧棱与底面所成角的余弦值为（）

AbR1c币D出

A•------t）.L/.U•

3236

7.在三棱锥P-ABC中，PC_L底面ABC,ZBAC=90'，AB=AC=4,ZPBC=60S则点。到平面PAB的距

离是（）A.-B.c.D,-

7777

TT

8.在直三棱柱A4G-43c中，NB4c=],AB=AC=A4,=1已知G和E分别为A4和CG的中点，D与F

分别为线段AC和AB上的动点（不包括端点），若8，EE,则线段DF的长度的取值范围为（）

二、多项选择题

9.在以卜命题中，不正确的命题有（）

A.ab=a+b是：^共线充要条件

B.若％则存在唯一的实数；i,使

C.对空间任意一点。和不共线的三点A,B,C,若协=2a_20%_况，则尸，A，B,。四点共面

（TT->）（->f->->->->）

D.若卜,41为空间的一个基底，则卜+b,b+c,c+a）构成空间的另一个基底

10.已知平面上一点M（5,0）,若直线上存在点P使则称该直线为“切割型直线”，下列直线中是“切割

4

型直线”的是（）A.ym+lB.y=lC.y=D.y=lx+l

11.我国古代数学名著《九章算术》中记载的“刍舞”（cE，〃e〃g）是底面为矩形，顶部只有一条棱的五面体.如下图五

面体A8CDEE是一个刍霓，其中四边形ABC。为矩形，其中AB=8,AD=26,与△BC尸都是等边三

7T

角形，且二面角E—AD-3与尸—BC—A相等且大于：，则EF长度可能为（）

A.1B.5C.9D.13

12.如图（1）是一副直角三角板.现将两三角板拼成直二面角，得到四面体A8CO,

如图（2）所示.下列叙述中正确是（）

A.BDAC=O

B.平面BCD的法向量与平面ACD的法向量垂直

C.异面直线8c与A£>所成的角小于60°

D.直线。C与平面A8C所成的角为30。

三、填空题

13.经过两条直线2x+y+2=0和3x+4y-2=0的交点，且垂直于直线3x—2y+4=0的直线的一般式方程为

14.如图，已知在大小为60°的二面角。一/一月中，入6久3€夕,4。，/于点。,&），/

于点。，且AC=1,3。=2,A3=5,则CD=.

15.已知点4（—3,4）,8（2,2）,直线〃?x+y+〃7+2=O与线段相交，则根的范围为

16.如图，已知平面四边形ABC。，AB=BC=3,CD=\,AD=B△4。。=90°.沿直线4。将八48翻

折成△AC。'，直线AC与3。所成角的余弦的最大值是.

四、解答题

17.求经过直线A：3x+4y-5=0,，2：2%-3y+8=0的交点且满足下列条件的直线的方程.

(1)经过点尸(1,3)；(2)与直线2x+y+5=0平行；(3)与直线2x+y+5=0垂直.

18.向量。=(1,-3,2),S=(-2,l,l),点A(-3,-1,4),8(—2,—2,2).

(1)求^^+目；(2)在直线A3上，是否存在一点E，使得瓦_1_坂，(O为原点)，若存在，求出点E坐标，若不

存在，说明理由.

19.如图，三棱柱43。-4月。]中，"，N分别是A3,gG上的点，且5A7=24",C、N=2B、N.设AB=a,

AC=b，A4,=c.

(1)试用〃，b,c表示向量MN；

(2)若NBAC=90。，ZBA4,=ZCAA]=60°,A3=AC=4Al=1,求MN的长.

7T

20.如图所示，在四棱锥O—ABC。中，底面A8CD是边长为1的菱形，ZABC=~,OAlffiABCD,

4

Q4=2,M，N分别为。4、BC的中点.

(1)证明：直线MN//平面08；

(2)求异面直线与MD所成角的大小；

(3)求点3到平面08的距离.

N

21.已知四棱锥P—A8CD,底面ABCO为菱形，如二必5为PC上的点，过AH的平面分别交尸员P。于点

M,N,且3。//平面AMUN.

(1)证明：MN工PC；

(2)当H为PC中点，PA=PC=GAB,丛与平面A3CD所成的

角为60°,求二面角P-AW-N的余弦值.

22.已知三棱柱A6C—A|gG中，ZACB=90°-A^B1ACt,AC=M=4,BC=2.

(I)求证：面4ACGJ•面ABC；

(2)若NAAC=60'，在线段AC上是否存在一点P,使二面角8-4P—C的平面角的余弦值为正？若存在，确

定点P的位置；若不存在，说明理由

4

答案

1.若A,B,C,D为空间不同的四点，则下列各式为零向量的是()

①有+2前+2画+反；②2醺+2前+3而+3丽+在；③通+口+丽；④融一函+函一

A.①②B.②③

C②④D.①④

【答案】C

【详解】@AB+2BC+2CD+DC=AB+2BD+DC=AB+BD+BD+DC=AD+BC；

@2AB+2BC+3CD+3DA+AC=2AC+3CA+AC=6；

®AB+CA+BD=AD+CA^

④通—函+①—砺=A月+86+。方+方表示Af3-C--4恰好形成一个回路，结果必为0；

综上可知答案选C.

2.已知A(l，2-1)关于面尤0y的对称点为5,而B关于x轴的对称点为C,则前=()

A.(0,4,2)B,(0,-4,-2)C.(0,4,0)D,(2,0,-2)

【答案】B

【详解】本题考查空间直角坐标系及向量的坐标

因为A(L2,-1)关于面的对称点为B,所以5(1,2,1)；又而B关于x轴的对称点为C,

则。(1,一2,—1),所以配=(1,—2,-1)—(1,2,1)=(0,-4,—2)

故正确答案为B

3.若直线4：ar+2y+6=0与直线/2：x+(a-l)y+5=0垂直，则实数”的值是()

,21

A.-B.1C.—D.2

32

【答案】A

2

【详解】由4与4垂直得：&1+2(。-1)=0,解得,故选A.

【点睛】本题考查直线的一般式方程与直线的垂直关系，属于基础题.

4.已知四面体A-BCD的所有棱长都是2,点E,F分别是AD,DC的中点，则访•丽=()

A.1B.-1C.yfiD.—

【答案】B

【详解】由题意可得而=,比，

2

______1________1

所以=—=—x2x2xcosl20°=—l.故选B.

22

5.如图，M是三棱锥P-A3C的底面AABC的重心.若而'=xH+y丽+z而（x、y、zeR）,则

x+y+z的值为（）

211

A.—B.1C.—D.--

332

【答案】c

P

如图，连结PM,AM,是三棱锥P-/8C的底面△/BC的重心，

**.A.M=—AS4-AC）,:.PM=PA.+AM=—A.P+—AB+—AC,'：PM=xAP4-yAB+zAC（x、歹、

xGR）,.*.%=-1,y=z=;，.'.x+y+z=—.故选：C.

6.已知三棱锥底面是边长为1的等边三角形，侧棱长均为2,则侧棱与底面所成角的余弦值为（）

月R1cV3D出

.--t）.L/.--I）•

3236

【答案】D

【详解】由已知易得该三棱锥为正三棱锥，则顶点在底面上的射影正好落在底面的中心上，如图所示：

在三棱锥S-A3C中，0为底面中心，则易得S0J_40,A0=—,S4=2,

3

则ASAO即为侧棱与底面所成的角，则cosNSAO=也=且，故选：D.

SA6

7.在三棱锥P—ABC中，PC_L底面ZBAC=90,AB=4C=4,ZPBC=60°,则点。到平面总的距

离是（）

R4反C5D6

A.返D.----------------屈疝

77,7,7

【答案】B

以力为原点，4?为x轴，”■为y轴，过4作平面4%?的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出点。到

平面为6的距离.

【详解】••,在三棱锥P-ABC中，PC,底面ABC.ABAC=90,.AB=AC=4-,ZPBC=60°

二以/为原点，仍为x轴，4C为y轴，

过4作平面｛■的垂线为z轴，建立空间直角坐标系,

则C(0,4,0),P(0,4,4V6),A(0,0,0),5(4,0,0),XC=(0,4,0),AB=(4,0,0),/=(0,4,

l元"=4y+4"z=0

4V6）,设平面阴8的法向量为=（x,y,z）,贝叫_,

[n-AB=4x^0

取z=L得万=（0,-遥,1）,•••点。到平面用8的距离]=y二1=半=生反.故选8.

'）\n\V77

TT

8.在直三棱柱中，N84C=E，A8=AC=A4,=1已知G和E分别为A4和CG的中点，D与F

分别为线段AC和AB上的动点（不包括端点），若GO，所，则线段DF的长度的取值范围为（）

人•序4B」例C（竽/[D.[孚1]

【答案】A

建立如图所示的空间直角坐标系，则A（0,0,（））,中,6），F（X,O,O）,D（O,y,O）,由于3"

所以x+2y-1=0,DF=/2+y2=岛2_4丫+1=/1_5+/当）,=河线段小长度的最小值是q,

当V=1时，线段OF的最大值是1,由于不包括端点，故y=］不能取，故选A.

一、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要

求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.

9.在以下命题中，不正确的命题有（）

A."一口=2+了是〉W共线的充要条件

B.若7/。则存在唯一的实数之，使；=^1

C.对空间任意一点。和不共线的三点A,B,C,若d=2&-2朦A，则尸，A，B,C四点共面

D.若卜,b,c）为空间的一个基底，则k+b,/>+c,c+a）构成空间的另—个基底

【答案】ABC

【详解】解：对于A,当d=W+限则1%共线成立，但］］同向共线时，a-b^a+b,

所以卜卜0=4+1是：，W共线的充分不必要条件，故A不正确；

对于B,当W=3时，a//b'不存在唯一的实数2,使W=/l人故B不正确；

对于C，由于办=2&—2&—次，而2-2—1工1,

根据共面向量定理知，P,A,B,C四点不共面，故C不正确；

对于D,若«工,日为空间的一个基底，则二工二不共面，由基底的定义可知，W+H+H+)不共面，

(->->->TT—>)

则卜+b,/?+c,c+a|构成空间的另一个基底，故D正确.故选：ABC.

10.已知平面上一点M(5,0),若直线上存在点P使尸MN,则称该直线为“切割型直线”，下列直线中是“切割型

直线”的是()

4

A.yw+lB.y之C.y~~xD.y&+1

【答案】BC

【详解】A.点M⑸0)到直线尸+1的距离为：d=正6=3收>4,故错误；B.点M(5,0)到直线网的距离

-x5

4z/_3_______A

为："=3v4,故正确；C.点”(5,0)到直线y=的距离为“一|乙、2一一故正确；

3

,2x5+111V5.

D.点M(5,0)到直线产2%+1的距离为：d=/=工一>4,故错误；故选：BC

J1+R)5

11.我国古代数学名著《九章算术》中记载的“刍薨”(M〃加"g)是底面为矩形，顶部只有一条棱的五面体.如下图五

面体A8CDE/是一个刍薨，其中四边形A8C。为矩形，其中AB=8,AD=26△〃>石与△BC尸都是等边三

角形，且二面角石-A。-5与尸—5C—A相等且大于(，则所长度可能为()

A.1B.5C.9D.13

【答案】CD

【详解】等边三角形AOE边上的高为百tan600=3,同理等边三角形BCF边上的高为3.

二面角E—与户—8C—A相等，且为平角时，防=6+8=14,因此石尸<14,

二面角E—4D-3与/一3C—A相等，且为1时，E/最小，

如图所示，此时取8C,AO的中点QQ,连接OQ,FO,

由图形的对称性可得尸点在底面的投影必在OQ上，由于0FL8C,0H1BC,所以NFO”即为二面角

/一3C—A的平面角，即/FOH=工,故。"=二，此时族=8-2x==5由于二面角大于因此瓦1>5,

3223

即可得成长度可能为9,13.故选：CD.

12.如图（1）是一副直角三角板.现将两三角板拼成直二面角，得到四面体ABC。，如图（2）所示.下列叙述中正确

的是（）

A

A.BZ）AC=O

B.平面BCD的法向量与平面AC£）的法向量垂直

C.异面直线BC与所成角小于60°

D.直线。C与平面ABC所成的角为30°

【答案】ACD

【详解】对于选项A:将两三角板拼成直二面角，故平面ABCJ_平面BCD,

因为8O_L8C,平面A8CA平面8CD=6C,8Du平面BCD,

故_L平面ABC,所以3O_LAC,故而.恁=0,故选项A正确；

对于选项B:平面88与平面ACO不垂直，故两个平面的法向量不可能垂直，故选项B不正确；

对于选项c:过点。作ZM7和平行且相等，可得为异面直线8C与A。所成的角,

设AB=AC=2,则8。=2五，S£)=BCtan300=2>/2x—=

33

因为四边形BDMC为矩形，DM=BC=2g,

AD=dBD?+AB?

V2>/301

等腰三角形中,=>

ADMAD~2^5~10~2,故NADA/<60,故选项C正确；

3

对于选项D：8。_1平面46。，所以BC为。C在平面ABC内的射影，所以NOCB为直线0c与平面ABC所成

的角，因为NDC5=30°,故选项D正确，故选：ACD

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中横线上.

13.经过两条直线2x+y+2=0和3x+4y-2=0的交点，且垂直于直线3x-2y+4=0的直线的一般式方程为

【答案】2x+3y-2=0

..3x+4y—2=0/、

【详解】由方程组12x+；+2=o，得交点坐标为(一2,2),

因为所求直线垂直于直线3x—2y+4=0,故所求直线的斜率女=-士,

3

由点斜式得所求直线方程为y—2=-：(％+2),即2x+3y-2=0.

故答案为：2x+3y-2=0.

14.如图，已知在大小为60。的二面角4一/一〃中，4£。,8£44。_1/于点。,8。，/于点。，且

AC=1,BD=2,AB=5,则CD=.

【答案】岳

【详解】vACl/,B£>l/,二面角的大小为60。，:(场，丽)=60°,

......*2■■■*2一..2-----»2.，……，•-...♦---

vAB=AC+CD+DB，：.AB=AC+CD+DB+2ACCD+2AC-DB+2CD-DB

，5?=F+CD+4+2\AC\-\DB\-cos(^AC,DB)....CD2=20-2x1x2xcos1200=22--\CD|=722.

故答案为：夜

15.已知点工(一3,4),8(2,2),直线力x+y+"?+2=0与线段月8相交，则加的范围为.

【答案】3,+8U(_8,一挑

【解答】解：直线加x+y+m+2=0,即加(x+1)+y+2=0,它经过定点尸(-1,—2),斜率为一加，

4+22+24

PA的斜率为二49T=—3,PB的斜率为届，=*

—3十12十1J

;直线mx+y+m+2=0与线段48相交，

・•.一〃?<—3或一加2g,求得加23或加〈一事,故答案为：3,+8ij(—8,—g)].

16.如图，已知平面四边形ABC。，AB=BC=3,CD=1,AD=6NADC=900.沿直线AC将△AC。翻

折成△ACD',直线AC与BD所成角的余弦的最大值是.

【详解】如图所示，取AC的中点。，并连接8。，・・・AB=3C,・・.3OJ_AC,

D

D

在R/V4C。'中，AC=jF+(府=遥,

作。'E_LAC,垂足为瓦由等面积法可得。上=上£=且°

匹6

又c。邛，

.-.EO=CO-CE=—--=—

263

过点8作环//AC,作FE//BO交8尸于点凡则所_LAC,连接，则NFB。'为直线AC与由7所成的角.

V30

由DE,AC,EF1AC,可知N。’所为二面角。'—C4—8的平面角，设为。，

由余弦定理可得：

„,„2,V30,2,A/30x2c>/30\^0c25u„10,a

DF=(----)-+(----)-2x----x----cos6=----5cos0>一(cos。=1时等节成人)

626233

由。'E_LAC,EF±AC,EF\D'E=E,则AC_L平面£/£F,

又。'Eu平面。所，则O'RLAC,所以DE_L班

在直角A£)'EB中，利用勾股定理尸=。右2，可知

.•.。8的最小值=

二直线AC与80所成角的余弦的最大值为迈故答案为：《5.

66

四、解答题：本题共6小题，共70分.(其中17题10分，18-22题每题12分)解答时应写出必要的文

字说明、证明过程或演算步骤.

17.解：⑴由［；：；；；；二；，求得能丁，可得直线外3x+4厂5=0/：2xf+8=0的交点M(-l,2).

•••直线还经过点P(l,3),故它的方程为口=再，即x—2y+5=0.

3—21十1

(2)根据所求直线与直线2x+y+5=0平行，可设它的方程为2x+y+m=0,

再把点M(—1，2)代入，可得-2+2+机=0,求得〃?=0,故所求的直线的方程为2x+y=0.

(3)根据所求直线与直线2x+y+5=0垂直，可设它的方程为x-2y+〃=0,

再把点M(—1,2)代入，可得一1—4+〃=0,求得〃=5,故所求的直线的方程为x—2y+5=0.

18.已知向量2=(1,-3,2),刃=(一2,1,1),点A(-3,-1,4),B(-2,-2,2).

(1)求悔+可;

(2)在直线AB上，是否存在一点E,使得砺_LB，(。为原点)，若存在，求出点E的坐标，若不存在，说明理由.

【答案】⑴5A/2；(2)存在，,一*一?|1

【详解】(1)根据题意,得2:+，=(2,-6,4)+(-2,1,1)=(0,—5,5)，故21+力=府+(-51+5、=5日

(2)由于点E在直线A3上,则oZ=QZ+A%=O：4+rA%,

即。E=(―3,—l,4)+r(l,—1,—2)=(-3+f,—l—r,4—2f)‘由OE_LZJ,则。田人二。,

9

所以—2(—3+，)+(—1—f)+(4—2。=。，解得，=g,

因此在直线AB上存在点E,使得诙J_B，此时点E的坐标为£■(一■!，-£，1•).

19.如图，三棱柱ABC—A4G中，M,N分别是4以&G上的点，且5M=24",C、N=2B、N.设

AB=a<AC=b,AA]=c-

B

(i)试用£,坂，之表示向量面V;

(2)若Z^4C=90°,ZBA4,=ZC4A=60°,A8=AC=A4,=1,求MN的长.

【答案】(1)砺；(2)|丽卜当.

【解析】

_________11-1o

［详解］(1)MN=MA^+A^+QN=-&\+AC+-CB=——AB+-A^+AC+-(JB-AC)=

1A3+大AAj+AC又入百=Q,XC=btAAj=c,•'-MN=—a+—b-^--c.

(2)AB=AC=AAj=1,.*.|^|=M=卜|=1.丁N8AC=90°,•e*a,b=0

*/ZBA4,=ZGMj=60°,:，a-c=h-c=^t二

—2—2—2——————\

a+b+c+2。•人+2a・c+2b・c=阿=卓

T[

20.如图所示，在四棱锥0—ABCD中，底面ABCD是边长为1的菱形，AABC=~.OAl^ABCD.

4

。4=2,M、N分别为。4、BC的中点.

(1)证明：直线肱V//平面0CD；

(2)求异面直线AB与所成角的大小；

(3)求点3到平面08的距离.

n2

【答案】(1)证明见解析(2)g(3)-

JD

【详解】(1)取QD的中点E,连接ME、CE.则四边形MNCE为平行四边形,

••.MN//CE,又：W平面OCD,C£u平面08,

•1.MN//平面0CD.

(2)VCDHAB,

，NMDC为异面直线A3与M£＞所成的角（或其补角）

作APLCZ）于点P,连接

乃正

.Q_L平面ABC。，CDIMP,vZADP=-,DP=—

42

MD=yjMA2+AD2=V2，

•••cosZMZ）P=-=NMDC=NMDP=J

MD23

所以异面直线AB与MD所成的角为5.

O

(3):⑷?//平面OCD,点3和点A到平面08的距离相等.

连接0P,过点A作AQ_LOP于点Q,

■.AP1CD.OAA.CD...CD_L平面OAP,AQ±CD.

又.AQLOP,「AQ_L平面OCO,

线段AQ的长就是点A到平面OCD的距离，与点B到平面OCD的距离相等

OP=Jm一DP?=y/oA2+-DP?=迪,AP=AD=g

22

2乂显

山二江=2

0P303

F

2

所以点B到平面OCD的距离为y.

o

21.已知四棱锥P—ABC。，底面ABC。为菱形,PD=必，H为PC上的点，过AH的平面分别交PB,PD于点

M,N,且3。//平面.

⑴证明：MN上PC；

（2）当“为PC的中点，PA=PC=6AB,必与平面ABC。所成的角为60°,求二面角P-4〃-N的余弦

值.

【答案】（1）见解析；（2）叵.

13

【详解】（1）证明：连结AC交BD于点。，连结PO.因为ABCD为菱形，所以BDJ.AC,且。为AC、BD

的中点，因为PD=PB,所以POLBD,因为ACcPO=O且AC、POu平面PAC,所以BD_L平面P4C，

因为PCu平面PAC,所以8D_LPC.因为B。//平面4WHN,BDu平面且平面AAffiNc平面

PBD=MN,所以8D//MN,所以MN_LPC.

（2）由（1）知且POL8D,因为Q4=PC,且。为AC的中点，

所以PO_LAC,所以尸O_L平面A8CO,所以Q4与平面ABCD所成的角为NPA。，

所以，所以AO=」PA,PO=Y^PA,因为=所以80=立PA.

226

分别以。底，。月，。户为MV"轴，建立如图所示空间直角坐标系，设Q4=2,则

X洌,P\

0(0,0,0),A(1,0,0),B,0,C(-l,0,0),£>0,-

JI7

所以加=jo,子,o]而(30后、[1,加,

,AB==(-1,0,73),

I22

7