小学奥数-时钟问题

解时钟问题的方法

研究时钟的长针（分针）与短针（时针）成直线、成直角与重合的问题，叫做时钟问题。

钟表的分针每小时走60个小格，而时针每小时只走5个小格；分针每分钟走1个小格，而时针每

分钟只走三个小格，既」个小格，每分钟分针比时针多走（1-上）=2个小格，时钟问题的每一个

公式都与工有关，U个小格是两针在I分钟内所走的路程差，根据两针不同的间隔要求，用除法

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就可以求出题中所要求的时间。

解题规律：

（1）求两针成直线所需要的时间，有：

两针成直线所需要的分钟数=（原来两针间隔的格数±30）4-（1-—）

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（2）求两针成直角所需要的时间，有：

两针成直角所需要的分钟数=（原来两针间隔的格数±15）^（1-—）

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两针成直角所需要的分钟数=（原来两针间隔的格数±45）^（1-—）

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（3）求两针重合所需要的时间，有：

两针重合所需要的分钟数=原来两针间隔的格数小（1-工）

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求出所需要的时间后，再加上原来的时刻，就得出两针形成各种不同位置的时刻。

（-）求两针成直线所需要的时间

1、在7点钟到8点钟之间，分针与时针什么时候成直线?

解：在7点钟的时候，分针在时针后面（图1）：

5X7=35（格）

当分针与时针成直线时，两针的间隔是30格。因此，只需要分针追上时针：

35-30=5（格）

因为每分钟分针比时针多走（1-二）格，所以看5个格之中包含多少个（1-上）格，既可得到两针成

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直线所需要的时间。

（5X7-30）4-（1--）=54-—=5—（分）

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答：在7点5,（分），分钟与时针成直线。

2、在4点与5点之间，分针与时针什么时候成直线？

解：4点钟时，分针在时针的后面（图2）：

5X4=20（格）

当分针与时针成直线时，分针不仅要追上已落后的20格，还要超过时针30格，所以一共要追上:

20+30=50（格）

因为分针每分钟比时针多走（1一口）格，所以，看50格之中包含多少个（1-4）格，就可以得到需要

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多长时间两针成直线。

（5X4+30）4-（1--）=504-H=54—（分）

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答：两针在4点544（分）成直线。

（-）求两针成直角所需要的时间

1、在6点到7点之间，时针与分针什么时候成直角？

解：分针与时针成直角时，分针在时针前面15格或时针后面15格，因此，本题有两个答案。

（1）6点钟时，分针在时针后面（图3）：

图3

5x6=30（格）

因为两针成直角时，分针在时针后面15格，所以分针追上时针的格数是:

30-15=15（格）

因为分针比时针每分钟多走（1二）格，所以，看15格之中含有多少个（1二）格，既可得到两

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针成直角所需要的时间。

I1|4

154-（1--）=15+1=162（分）

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（2）以上是两针第一次成直角的时刻。当两针第二次成直角时，分针在时针前面15格，所以分针

不仅追上时针，而且要超过时针：

5x6+15=45（格）

45格中含有多少个（1-4）格，两针就需要多长时间成直角。

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454-（1--）=454--=49—（分）

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综合算式

（5X6+15）+（1--）=454-—=49—（分）

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答：时针与分针分别在6点16、（分）和6点49：（分）

2、在1点到2点之间，时针与分针在什么时候成直角？

解：1点钟时，分针在时针后面：

5x1=5（格）

当分针与时针成直角时，两针间隔是15格，因此，分针不仅要追上时针5格，而且要超过时针15

格，分针实际追上时针的格数是：

5+15=20（格）

（1）因为分针每分钟比时针多走（1-,）格，也就是每分钟能追上（1-2）格，所以20格之中包含

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多少个（1-‘）格，分针与时针就经过多少分钟成直角。

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11|g

（5X1+15）4-（1--）=204--=21—（分）

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（2）当分针走到时针前面45格（也就是走到时针后面15格）时，两针也成直角。因此，所需时

间是：

（5X1+45）+5--b=50+U=54色（分）

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答：1点21最（分）和1点54^（分），两针都成直角。

3、在11点与12点之间，时针与分针在什么时候成直角？

解：在11点钟时，分针在时针后面：

5x11=55（格）

第一次两针成直角时，分针是在时针后面45格，因此，分针需要追上时针的格数是：

55-45=10（格）

因为每分钟分针能追上时针（1-,）格，所以10个格中包含多少个（1-工）格，两针就需要多长时间

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成直角。

（5X11-45）4-（1--）=104--=10—（分）

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第二次成直角时，分针在时针的后面15格，根据公式，两针成直角所需时间数=原来两针间隔数

±15）4-（1--）,得：

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I]|7

（5X11-15）4-（1--）=40+—=43—（分）

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答：时针与分针在1点10方（分）和11点43、（分）成直角。

（三）求两针重合所需要的时间

时钟问题就是研究钟面上时针和分针关系的问题。大家都知道，钟面的一周分为60格，分针每走

60格，时针正好走5格，所以时针的速度是分针速度的5・60=，。时钟问题经常围绕着两针（指

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时针与分针）重合，两针垂直、两针成直线、两针成多少度角提出问题。因为时针与分针的速度不

同，并且都沿顺时针方向转动，所以经常将时钟问题转化为追及问题来解。

1、3点钟到4点钟之间，分针与时针在什么时候重合?

解：在3点钟时，分针在时针后面：5x3=15（格）

分针只要追上这15格，两针就重合了，每分钟分针比时针多走（1-2）格，因此15格之中包含多

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少个（1-工），分针与时针就需要多长时间重合。

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11I4

5X34-C1--）=154--=16—（分）

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答：在3点16A分两针重合。

2、在4点与5点之间，两针什么时候重合？（适于高年级程度）

解：在4点钟时，分针在时针后面5x4格，分针只要追上时针4x5格，两针就重。

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5X44-C1--）=204-—=21—（分）

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答：两针在4点21A分重合。

3、现在是2点，什么时候时针与分针第一次重合？

分析：如右图所示，2点分针指向12,时针指向2,分针在时针后面：5义2=10（格）。因为时针速

度是分针的上，所以分钟走1格，时针走乙格，分针比时针多走（12）=［（格）。分针要比时

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针多走10格，需走10・口=103（格），即1（）3（分钟）

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解：5X24-（1-—）=10—（分）

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答：2点109分时针与分针第一次重合。

4、在7点与8点之间，时针与分针在什么时刻相互垂直？

分析与解：7点时分针指向12,时针指向7（见右图），分针在时针后面5x7=35（格）。时针与

分针垂直，即时针与分针相差15格，在7点与8点之间，有下图所示的两种情况：

（1）顺时针方向看，分针在时针后面15格。从7点开始，分针要比时针多走35-15=20（格），需:

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204-（1-—）=21—（分）。此时是7点21又（分）。

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（2）顺时针方向看，分针在时针前面15格。从7点开始，分针要比时针多走35+15=50（格），

需:504-（1--）=54—（分）。此时是7点549（分）。

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答:所求时刻是7点21A（分）或7点54A（分）。

5、在3点与4点之间，时针和分针在什么时刻位于一条直线上？

分析与解：3点时分针指向12,时针指向3（见右图），分针在时针后面5x3=15（格）。时针与

分针在一条直线上，可分为时针与分针重合、时针与分针成180。角两种情况（见下图）：

（1）时针与分针重合。从3点开始，分针要比时针多走15格，需15+（1-'）=16«（分）。此时

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4

是3点16打（分）。

（2）时针与分针成180。角。从3点开始，分针要比时针多走15+30=45（格），

需：454-（1--）=49—（分）。此时是3点49，（分）。

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答：所求时刻是3点呜（分）或3点4哈（分

6、晚上7点到8点之间电视里播出一部动画片，开始时分针与时针正好成一条直线，结束时两针

正好重合。这部动画片播出了多长时间？

分析与解：这道题可以利用例3的方法，先求出开始的时刻和结束的时刻，再求出播出时间。但在

这里，我们可以简化一下。因为开始时两针成180。，结束时两针重合，分针比时针多转半圈，即

多走30格。

1Q

所以播出时间为：304-（1-—）=32—（分）

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以上各题都是利用追及问题的解法，先找出时针与分针所行的路程差是多少格，再除以它们的速度

差求出准确时间。但是，有些时钟问题不太容易求出路程差，因此不能用追及问题的方法求解。如