高中数学竞赛训练-整除性问题无答案

高中数学竞赛专题训练一一整除性问题

第一部分：基本理论

（一）、整除的概念

1、若a=bc（b/0）,则称b整除a,记作b|a

2、最大公约数（a,b）与最小公约数[a,b]

3、约数，素数，合数的概念

（二）、定理

4、带余除法：设a,6eZ,6Ko，则=+，且满足上式

的q,r唯一，q-----商，r--余数

5、辗转相除法（最大公约数求法）

a=bq1+rt,0<<b

b=rtq2+r2,0<r2〈八

rn-i=70+*。</

rn-\=r“q“+i+rn+l,rn+l=0

6、裴蜀定理：a,。eZ,刎+网片0）,d=（a,8）,贝归x,ywZ,3ox+切=d

7、算术基本定理：任一大于1的整数a可唯一表示为素因子的乘积，即

a=PlPz…Pr（Pi为素数，Pl4P24…4〃）

推论1、a=pjp2‘2…p/（Pi为素数,Pt<p2<■■■<Pr）

一一称为a的标准分解式

推论2、设4=外”02今…pj为a的标准分解式，a的任一正因子b必形

2

如6=pjp2'pj（0<tj<.

推论3、若,1=pjP2,2…p；,b=pjp/…pj,则

2

(a,b)=p^"''p2'"=min(fj,Sj)

[a,b]=p4p/…P,'/=max(t^s,)

8、整除的基本性质

(l).a|fe,/?|c=>tz|c

(2).a|b,qa=>a=±b

(3).t>a,(i=1,2,…〃)=>

i=l

(4).acl/?c=a|/?(c丰0),小n|a|<|Z?|

(5).(a,b)=(a+kb,b),(ac,be)=c(a,b)(c丰0)

(6).(a,>c)=((a,b),c),[a,b,c]=\[a,b],c]

(l).(a,b)=I,abe=>dc;(a,6)=1,«|C,/J|CNab\c

9、十进制数的整除特点

(1)被2,5整除的数：最后一位能被2(或5)整除

(2)被4整除的数：最后两位被4整除

(3)被8整除的数：最后三位被8整除

(4)被3,9整除的数：各位数码之和能被3(或9)整除

(5)被6整除的数：既能被2,又能被3整除

(6)被7整除的数：7,臼…凡07卜得2一七,1一2%

(7)被11整除的数：奇数位数字和与偶数位数字之差能被11整除

第二部分：实训练习题

1、设32・3"=芯•，求数码a,bo

2、证明：存在能被于00。整除且在其中不包含数字0的数。

3、设m,n&N,且一=1----1-----------1■…-------------1-----------，试证d9931/z

m234132613271

4、试证：在形如2"+/的数中，有无穷多个自然数n,使得1慎)卜2"+"2)

5、所谓整数的非空集合，满足条件：若则x-yeS,求证:S中存在一个

整数d,使得S由d的所有倍数组成。

6、试求出所有的正整数a,b,c,其中l<a<b<c,且使得(a-l)(b-l)(c-l)是abc-1的

约数。

已知正整数a与b使得abl整除aW,求证：匕詈是某一正整数的平

7、+

方。

8、已知：N=13"45z能被792整除，试求数码x,y,z。

9、证明：1+…+5任Z(weZ)

10、证明:当n为偶数时，323|(20"+16"-3"-1)。

11、求出使曰是非零可约分式的最小正整数n。