高中数学高考总复习等差数列习题及详解+函数的单调性与最值习题及详解+充分必要条件习题及详解

高中数学高考总复习等差数列习题及详解

+函数的单调性与最值习题及详解+充分必要条件习题及详解

高中数学高考总复习等差数列习题（附参考答案）

一、选择题

1.（2010.宁夏）一个等差数列的前4项是“，x,b,2x,贝哈等于（）

1

aA.4

D.|

C-3

［答案］c

2x=a+ba=/匕=表

［解析］'

2b=x+2x

.9=J.

•'b~y

2.（文）（2010•茂名市模考）数列｛斯｝的前〃项和为S”若斯=〃（〃；］），则S4等于（）

A.1B.|

C-2Ou6

［答案］A

［解析］

「・S4=41+。2+的+々4

-2）+（2-3）+（3-4）+（H）=5'故选A-

（理）已知等差列｛斯｝共有2008项，所有项的和为2010,所有偶数项的和为2,则“1004=（)

A.1B.2

C-L-L

J502»D256

［答案］B

［解析］依题意得出细产说=2010,

10051004（42+。20（）。___1_

a1十。2008—502，2-十。2。08—25］‘

故。2—。1=—4需=或1为公差），

又改+〃2008=2〃1005,

・__L__,__L,1PO3_

••a\oo5-502，皿4-〃ioo5a-502+502-，

3.(文)(2010・山东日照模拟)已知等差数列｛〃〃｝的公差为或dWO),且内+恁+。10+〃13=32,若加=8,

则m为()

A.12B.8

C.6D.4

［答案］B

［解析］由等差数列性质知，43+46+410+。13=(〃3+〃13)+(〃6+〃10)=2〃8+2。8=4〃8=32,

・・〃8=8.

.,.m=8.故选B.

（理）（2010•温州中学）设等差数列｛斯｝的前〃项和为S”，若$3=9,56=36,则。7+制+。9=（)

A.63B.45

C.43D.27

［答案］B

［解析］由等差数列的性质知，S3,56—53,S9—§6成等差数列，.•・2（S6—S3）=S3+（S9—S6）,；.aj+a«

+〃9=S9—§6=2(56—S3)—$3=45.

4.（2010.浙江省金华十校）等差数列｛斯｝中,S”是｛〃〃｝前〃项和，已知§6=2,S9=5,则$5=（)

A.15B.30

C.45D.60

［答案］A

§6—2

［解析］解法1:由等差数列的求和公式及「二知，

59=5

「.6X5,（1

6四十d=2«i=­27

<।9X8，j4，

9ai+~yd=5［仁力

.15X14

.•.515=15。］+-2~4=15.

5222

S63D---

解法2：由等差数列性质知，｛岸｝成等差数列，设其公差为力,59-=-96-9.D-

6-27

.,.得=号+6。=3+6><看=1,.".Sis-15.

5.（文）（2010•福建福州一中）设数列｛斯｝的通项公式为斯=20—4”,前〃项和为S”则S,中最大的是（）

A.S3B.S4或S5

（）

C.55D.S

［答案］B

［解析］由%=20-4〃N0得〃W5,故当〃>5时，a„<0,所以S4或S5最大，选B.

（理）（2010•山师大附中）已知｛〃"｝为等差数列，G+〃3+a5=105,42+。4+。6=99,以S”表不｛0｝的前"

项和，则使得S,达到最大值的“是（）

A.21B.20

C.19D.18

［答案］B

［解析］3d—（02+04+616）—（«1+A3+«5）—99—105——6,d——2,由ai+a3+a5=105得30+6d

=105,；.0=39,/.a,,=39-2（/1-1）=41~2n,

由%20,"GN得，"W20,：.a2o>O,a21c0,故选B.

6.（文）（2010.辽宁锦州）公差不为零的等差数列｛即｝中，2a3-a^+2au=0,数列｛d｝是等比数列，且

bi=aj,则bbb»=（）

A.2B.4

C.8D.16

［答案］D

［解析］：243—。72+20］=0,｛斯｝为等差数列，

2

.,.a7=2to+i7n）=4tZ7,

:｛儿｝为等比数列，格=如,：.ai^0,：.ai=4,

.•.岳=4,.，./76&8=^72=16.

（理）（2010.重庆市）己知等比数列｛斯｝的前〃项和为S,”若S3、$9、S6成等差数列，则（）

A.Sb=—2s3B.S（>=—2s3

C.$6=权3D.S6=2$3

I答案］C

|解析I：S3、S9、S6成等差数列，，2S9=S3+S6,

•.3,是等比数列｛为｝前n项的和，.匕疗二寸+/，

々WO,.26=1+43,"=1或一/k=1时，S3、S9、S6不成等差数列，应舍去，"=一；，

S6=（。1+。2+。3）+31+。2+。3）炉=S3（1+/）=^3.

7.（2010・重庆中学）数列｛斯｝中，0=3,42=7,当心21时，斯+2等于加斯+1的个位数字,则42010=（）

A.1B.3

C.7D.9

［答案ID

［解析］由条件知，6/1=3,<12=7,。3=1,。4=7,615=7,恁=9,617=3,...可见｛册｝是周期为6的

周期数列,故。2010=06=9.

8.（2010•广东五校、启东模拟）在等差数列｛如｝中，©=-2010,其前"项的和为S”.若输一黯=2

则$2010=()

A.-2010B.-2008

C.2009D.2010

［答案］A

［解析］..^009_52007

I用牛T"J,20092007=2

•,.(〃［+1004J)—(〃］+1003d)=2,J=2,

2010X2009

••82010=2010〃i•J=-2010.

2

9.（文）将正偶数按下表排成4歹lj：

第1列第2列第3列第4列

第1行2468

第2行16141210

第3行18202224

...2826

则2010在（）

A.第502行，第1列B.第502行，第2列

C.第252行，第4列D.第251行，第4列

［答案］C

|解析|2010是第1005个偶数，

又1005=8X125+5,故前面共排了125X2+1=251行，余下的一个数2010应排在第4列.

（理）已知数列｛〃〃｝满足0=0,斯+］=如+2〃，那么42011的值是（）

A.2008X2009B.2009X2010

C.2010X2011D.2011X2012

［答案］C

［解析］解法1：0=0,672=2,43=6,44=12,考虑到所给结论都是相邻两整数乘积的形式，可变形

为：

41=0X1〃2=1义26=2X344=3X4

猜想。2011=2010X2011,故选D.

—

解法2：an~cin-1=2(n1),

an-\—an-2—2(〃—2),

。3一。2=2义2,

〃2—=2X1.

••・斯=（。”-0LI）+（〃，L1一%-2）+…+（〃3一。2）+（〃2-+

=2[（/?—1）+（〃—2）+…+1].

（〃一1）（〃一1+1）

=22—1）.

Aa2oii=2OlOX2Oll.

10.在函数y=/（x）的图象上有点列（X”,%）,若数列｛&｝是等差数列，数列｛），“｝是等比数列，则函数y

=/&）的解析式可能为（）

A./（x）=2x+1B.XJC）=4-v2

C.,Ax）=logsrD.犬x）=G｝

［答案］D

I解析］对于函数yu）=O上的点列（斯，»■）>有）%=住）"，由于｛%｝是等差数列，所以x〃+i—斯=",

兔+1

因此第=¥F=G｝"+1—X"=G>,这是一个与w无关的常数，故｛%）是等比数列.故选D.

二、填空题

11.一个等差数列前4项之和为26,最末4项之和为110,所有项之和为187,则它的项数为.

［答案］11

［解析］•.,01+42+43+44=26,a,t+an-1++cin-3=110,，0+勾尸心］一~=34,

又・・・&=」^~~-=187,：.n=\\.

11212312391

12.已知数列｛”"｝：2>3+r4+4+4-…,而+而+而+…+而，…，设4产蔡二？那么数列｛d｝

的前n项和Sn—.

4〃

［答案］

〃+1

,nn

I解析I由条件知斯=e+市卜干=1

4

・〃

♦b=〃（〃+1）

4n

«+r

13.（09•上海）已知函数於）=sinx+tanx.项数为27的等差数列｛〃“｝满足斯e（一全?，且公差.若

X«l）4-/612）H---H/327）=0，则当％=时，|或）=0.

［答案］14

［解析］..•y(x)=sirL¥+tanx为奇函数，且在x=0处有定义，.\/(0)=0.

•・•｛«,｝为等差数列且dHO,

且共。1)+犬。2)H-----卜仙27)=0,

・♦・知(1W27,〃eN*)对称分布在原点及原点两侧

・\/(a】4)=0.

・・・左=14.

14.给定81个数排成如图所示的数表，若每行9个数与每列的9个数按表中顺序构成等差数列，且

表中正中间一个数。55=5,则表中所有数之和为.

anan…a\g

ai\〃22…。29

・・・・・・••••・•

。91〃92〃99

［答案］405

［解析］S=(a“+…+。19)+…+(。91+…+。99)=9(。15+。25+…+。95)=9X9X々55=405.

三、解答题

15.(09♦安徽)已知数列｛如｝的前〃项和S〃=2/+2小数列｛d｝的前〃项和Tn=2-hn.

(1)求数列｛斯｝与｛为｝的通项公式；

(2)设品=小2.瓦，证明：当且仅当时，c〃+i<c〃.

［解析］(l)〃i=Si=4,当时，。“=5“一*-1=2〃(〃+1)—2(〃-1)〃=4〃.

又。1=4适合上式，・・.a”=4〃(〃£N*).

将n=1代入Tn=2—b,n得bi=2—bi,

.\T\=b\=l.

当一22时,7^-1=2—/?«-1,Tn=2—bn,

==

:・b〃Tn—Tn-\hn-\-b”,bn—~^)n-1,

in

bn=2~.

(2)解法1：由Cn=a?・bn=*・25F,

得蜉4+》•

I4r~

当且仅当〃23时，1也，BPCn+\<Cn.

解法2：由Cn=(Xn,bn=«2-25”得，

C"+l—C“=24-”［(〃+1)2—2〃2］

=24~"［-(/7-1)2+2］.

当且仅当“，3时，c,i+|—c»<0,即C"+I<C".

16.(2010・山东)已知等差数列｛〃“｝满足：s=7,偌+。7=26,｛4｝的前"项和为S..

⑴求anRS„；

(2)令b“=W77(〃eN*),求数列｛仇｝的前n项和T„.

［分析］(1)由条件和等差数列的通项公式可列出关于0、d的方程组解出卬和乩代入通项公式及前

〃项和公式可求得如，sn.

(2)由许可得瓦,观察仇的结构特点可裂项求和.

［解析］(1)设等差数列｛〃〃｝的公差为d,因为的=7,的+。7=26,

a\+2J—7

所以有解得。i=3,d=2.

2〃i+10J—26

所以斯=3+2(〃-1)=2"+1；S”=3〃+“(〃2"2

=n2+2n.

⑵由⑴知斯=2〃+1,所以劣=£匕=而方=［4舄币=需一击)，

所以〃=扑一杆卜％”+卜击)

=乂1—春)=^15，

即数列｛儿｝的前〃项和刀，=而飞.

［点评］数列在高考中主要考查等差、等比数列的定义、性质以及数列求和，解决此类题目要注意合

理选择公式，对于数列求和应掌握经常使用的方法，如：裂项、叠加、累积.本题应用了裂项求和.

17.(文)已知数列｛斯｝的各项均为正数，前”项和为S,”且满足2S“=斯2+〃-4.

(1)求证｛为｝为等差数列；

(2)求｛小｝的通项公式.

［分析］利用斯与8的关系及条件式可消去S?(或许)，得到斯与斯-1(或S,与S〃_1)的关系式，考虑待

求问题，故应消去工.

［解析］(1)当〃=1时，有20=。/+1—4,即〃］2-20-3=0,解得0=33］=-1舍去).

当时,有2sLi=斯一5,又2s般=。/+〃—4,两式相减得2〃〃=。,『一如一J+1,

即2知+1=。〃-］2,也即(如-1)2=〃〃_］2,

因此an—1—dn-\或Cln~1=—。”一1.

若诙-1=一斯7,则斯+4-］=1,而。1=3,所以。2=—2这与数列｛&｝的各项均为正数相矛盾,所

以an—\=an-\,即an—an-\=l9因此｛斯｝为等差数列.

(2)由(1)知m=3,d=l,所以数列｛斯｝的通项公式斯=3+(〃-1)=〃+2,即%=〃+2.

(理)(2010•新课标全国)设数列｛斯｝满足〃］=2,即+］—斯=3・22〃一】.

(1)求数列｛斯｝的通项公式;

(2)令b„=nan,求数列也｝的前n项和S„.

|解析］(1)由已知得，当”21时，

a，-1=［(斯+1—a”)+(%—a”-1)H---F(。2—a1)］+a1=3(22"1+22w3H----|-2)+2=22<n+lr

而ai=2,所以数列｛为｝的通项公式为a„=^'.

(2)由bn~ncin=n-2.~"‘知

S„=l-2+2-23+3-25H----

从而22-S„=l-23+2-25+3-27H----bn-22n+1.@

①一②得

(1-22)5„=2+23+25H---l-22,,-|-n-22,,+1.

=1(4n-l)-n-22n+l

=|(22n+l-2-3n-22n+l)

=|［(l-3n)2n+l-2］

•■•5„=1［(3n-l)22n+l+2］.

高考总复习函数的单调性与最值习题(附参考答案)

一、选择题

1.已知兀v)=-x-/,xG［a,h］,且式“)皿与<0,则/x)=0在［a,加内()

A.至少有一实数根B.至多有一实数根

C.没有实数根D.有唯一实数根

［答案］D

I解析］•••函数凡*)在［a,切上是单调减函数，

又丸a),册)异号.二於)在［a,句内有且仅有一个零点,故选D.

2.(2010•北京文)给定函数①②y=log1(x+1),③>=仅-1|,@y=2x+x,其中在区间(0,1)上单

调递减的函数的序号是()

A.①②B.②③

C.③④D.①④

［答案］B

［解析］易知>=《在(0,1)递增，故排除A、D选项；又y=log1(x+l)的图象是由y=log|x的图象向

左平移一个单位得到的，其单调性与y=log|x相同为递减的，所以②符合题意，故选B.

3.(2010•济南市模拟)设)，1=0.4；,”=0.5；,乃=0.5：,则()

A.>'3<j2<yiB.丫|勺2勺3

C.j2<j3<yiD.»勺3勺2

［答案］B

11

［解析］,.•y=0.5*为减函数，...为5了0.59

•.•>=£在第一象限内是增函数，

二0.4；<0.5；,故选B.

\(a—2)x—1xW］

4.(2010•广州市)已知函数，若«r)在(-8,+8)上单调递增，则实数〃的取值

Ilog,/x>\

范围为()

A.(1,2)B.(2,3)

C.(2,3］D.(2,+8)

［答案］C

I解析］在R上单调增，

a>\

a-2>0,

.(a-2)Xl-l<logfll

.♦.2<aW3,故选C.

5.(文)(2010・山东济宁)若函数段)=9+2x+Hax在(0,1)上单调递减，则实数a的取值范围是()

A.B.aWO

C.a2一4D.aW—4

［答案］D

Gi.?IG］

［解析］:,函数火jOuV+Zx+alru在(0,1)上单调递减，，当xd(0,l)时,/'(x)=2x+2+f=--------------

<0,...g(x)=2f+2x+aW0在xG(0,l)时恒成立，

.•.g(O)WO,g(l)W0,即aW—4.

(理)已知函数尸tans在(甘，号内是减函数，则3的取值范围是()

A.0〈①B.-1WG<0

C.co2lD.coW—1

［答案］B

［解析］55在(一看号上是减函数，

/.①<0.当-时，有

兀一兀neo^Tt

5、兀

殍i—2

.'K兀?兀，.*.—1WCO<0.

一产q

<co<0

2

6.（2010•天津文）设a=log54,/?=（log53）,c=log45,则（）

A.a<c<hB.h<c<a

C.a<b<cD.b<a<c

I答案］D

［解析］VI>log54>log53>0,/.Iog53>（log53）2>0,而log45>l,c>a>b.

7.若於）=d-6奴的单调递减区间是（一2,2）,则a的取值范围是（）

A.（一8,0］B.［-2,2］

C.{2}D.［2,+8）

［答案］C

［解析］/（幻=3/—6〃，

若aWO,则/a）NO,・,•危）单调增，排除A；

若4>0,则由/'（x）=0得X=±V^,当九V—4五和五时，/'（x）>0,/（X）单调增，当一，五

时,X%）单调减,

.7/U）的单调减区间为（一，五，4五），从而，五=2,

••4=2.

［点评］/U）的单调递减区间是（一2,2）和犬X）在（-2,2）上单调递减是不同的，应加以区分.

8.（文淀义在R上的偶函数©在［0,+8）上是增函数，若,）=0,则适合不等式小。号x）>0的x

的取值范围是（）

A.（3,+°°）B.（0,1）

C.（0,+8）D.（0,1）U（3,+8）

［答案］D

［解析］...定义在R上的偶函数段）在［0,+8）上是增函数，且舄=0,则由穴log1）>0,得|log4|>4,

D2727,

即log，x>w或log，x<一选D.

27J27J

（理）（2010・南充市）已知函数段）图象的两条对称轴元=0和％=1,且在x£［—l⑼上7U）单调递增，设a

=A3）,6=/卜准），c=/（2）,则a、b、c•的大小关系是（）

A.a>h>cB.a>c>h

C.b>c>aD.c>b>a

［答案］D

［解析］:/u)在［-1,0］上单调增，兀0的图象关于直线x=o对称，

在［0,1］上单调减；又贝x)的图象关于直线x=l对称，

..../(X)在［1,2］上单调增，在［2,3］上单调减.

由对称性大3)=穴-1)=式1)寸也)勺(2),

即a<b<c.

f+4x,xNO,

；"I若负2—〃)>火/，则实数〃的取值范围是()

{4x~x~,x<0.

A.(-8,-1)U(2,+8)

B.(-1,2)

C.(-2,1)

D.(-8,-2)U(1,4-00)

［答案］C

［解析］时，氏r)=『+4x=(x+2)2-4单调递增，且大x)'O；当x<0时，贝的=4*一*=一(》一

2)2+4单调递增，且式x)<0,在R上单调递增，由.穴2一层)次〃)得2—/>a,

10.(2010・泉州模拟)定义在R上的函数/(x)满足/(x+y)=/(x)+/b，)，当x<0时，犬x)>0,则函数火x)在

［a,切上有()

A.最小值4a)

B.最大值1A力

C.最小值人力

D.最大值产要)

［答案］C

［解析］令x=y=O得，式0)=0,

令、=一%得，式0)=/(尤)+I/(一笛，

・\/(—x)=1/U)・

对任意X1,X2GR且X1<X2,,

yui)一/2)=/ai)+y(—、2)

=%］一短)>0,・\AX1)/M)，

.\/U)在R上是减函数，

・・・兀0在［a,加上最小值为贝加.

二、填空题

11.(2010・重庆中学)已知函数段)=ax+§—4(”，匕为常数)，4g2)=0,贝"/)=.

［答案］一8

I解析］令9(x)=ox+与，则1(x)为奇函数，兀r)=9(x)—4,

V/(lg2)=^(lg2)-4=0,?.p(lg2)=4,

.•*J)=/(Tg2)=9(-lg2)-4

=-p(lg2)—4=—8.

12.偶函数/(x)在(一8,0］上单调递减，且式X)在［-2,网上的最大值点与最小值点横坐标之差为3,

则k=.

［答案］3

［解析］；偶函数怨)在(-8,0］上单调递减，.\/U)在［0,+8)上单调递增.

因此，若ZW0,则4一(-2)=%+2<3,若Q0,:/)在［-2,0］上单调减在［0,一幻上单调增，,最小

值为火0),又在［-2,内上最大值点与最小值点横坐标之差为3,.0=3,即无=3.

13.函数_AX)=M不在(-8,—3)上是减函数，则。的取值范围是.

［答案］(—8,一§

［解析］,・7U)=a一女士1在(-8,—3)上是减函数，.・・3〃+1<0,...〃<一；.

XIJJ

14.(2010・江苏无锡市调研)设是给定的常数，/)是R上的奇函数，且在(0,+8)上是增函

数，若■/(；)=。，./Uog〃)>。，则f的取值范围是.

［答案I(1,+)u(o,也)

|解析IXlog„0>0,即Alog")习(J),

,.求尤)在(0,+8)上为增函数，.Fog.斗

*.*0<a<1,0<t<y［a.

又人劝为奇函数，.=-/(J)=o,

:奇函数火X)在(0,+8)上是增函数,

二段)在(一8,0)上为增函数，二0>lOgQ一5,

'."0<0<1,\<t<q=,

综上知，0</<也或l<r寸^

三、解答题

15.(2010.北京市东城区)已知函数兀r)=log“(x+l)-log“(l-x),a>0且aWl.

(1)求/(x)的定义域；

(2)判断7(x)的奇偶性并予以证明；

(3)当a>\时，求使於)>0的x的取值集合.

［解析］(1)要使火x)=log"(x+l)—log„(l—x)有意义，则

x+l>0

,解得一

1-x>0

故所求定义域为｛x|—14V1｝.

(2)由(1)知於)的定义域为闵一14<1｝,

且犬—X)=1O阈(一x+1)—log，1+x)=一［log“a+1)—log«(l—x)］=—fix),故/(x)为奇函数.

⑶因为当。>1时，7U)在定义域｛x|—1<X<1｝内是增函数，

x+1

所以兀v)>0o=>l.

解得0<v<l.

所以使/(x)>0的x的取值集合是｛x|0<x<l｝.

1——mx

16.(2010,北京东城区)己知函数/U)=1ogwp丁是奇函数(tf>0,。云1).

(1)求相的值；

(2)求函数犬X)的单调区间；

(3)若当xW(l,2)时，火x)的值域为(1,+8),求实数〃的值.

］—nix1+iTix

I解析］(1)依题意，,八一X)=一/(x),即共x)+K—x)=0,即log嗫二丁+log,=7=0,

1—tnx1+〃优.r°14、

7=1，(1~m2)x~=0怛成立，

1—m2=0,・・.m=-1或相=1(不合题意，舍去)

］+尤

当,"=一1时，由不了>0得，xG(—8,-1)U(1,+8),此即函数人元)的定义域，

又有人一x)=-Ax),

•••加=-1是符合题意的解.

・・1+x

(2)・/u)=iog«n，

-l1(x-1)—(x+1),2log(?e

=7TTa-ip*=1

①若a>l,则log〃e>0

当xG(l,+8)时，1T<O,.(x)<0,危)在(1,+8)上单调递减，

即(1,+8)是大》)的单调递减区间；

由奇函数的性质知，(-8,—1)是犬X)的单调递减区间.

②若0<4Z<1,则lOg</<0

当Xd(l,+8)时，1一*<0,：.f'(X)>0,

/.(I,+8)是y(x)的单调递增区间；由奇函数的性质知，(一8,一1)是4x)的单调递增区间.

(3)令z=』1+x=l+言2，则，为龙的减函数

VxG(l,t7—2),

•••/£(1+黄^，+8)且。>3,要使火X)的值域为(1,+8),需log”。+总')=1,解得〃=2+小.

1-a

17.(2010•山东文)已知函数«r)=lnx—ar+-^-l(“GR).

(1)当〃=一1时，求曲线y=/U)在点(2,犬2))处的切线方程；

(2)当时，讨论兀r)的单调性.

2

[解析](l)a=—1时，J(x)=\nx+x+-—l9xG(0,+°°).

x—2

/a)=-p—,20,+°°),

因此f'(2)=1,

即曲线)，=<x)在点(2,42))处的切线斜率为1.

又J2)=ln2+2,

所以尸危)在(2,42))处的切线方程为>—(ln2+2)=x-2,

即x—y+ln2=0.

(2)因为j[x}=\nx-ax-\-—^—1,

“，，1a—1ax2—x+1-a

所以/，(x)=--«+^2-=------p-----xS(0,+8).

令^(X)=6?JV2—x+1—a,

①当a=0时，g(x)=\~x,x£(0,+~),

当xW(0,l)时,g(x)>0,f(x)<0,1/(x)单调递减;

当xG(l,+8)时，g(x)<0,此时f'(x)+,丸功单调递增;

②当nWO时，/(幻=〃/-1)比一(5-1)],

（1）当〃=2时，g（x）》O恒成立，f（x）^0,共x）在（0,+8）上单调递减；

（ii）当0<吃时，1>1>0,

—（0,1）时,g（x）>0,此时石（x）〈0,4x）单调递减；

XG（1,1―1）时，g（x）<0,此时/'（x）>0,y（x）单调递增；

xe（^-l,+8）时，g（x）>0,此时,（x）<0,穴x）单调递减；

③当“<0时，!-1<0,

xG（0,l）时,g（x）>0,有/（x）<0,兀v）单调递减

x£（l,+8）时，g（x）<0,有了'（x）>0,<x）单调递增.

综上所述：

当时，函数段）在（0,1）上单调递减，（1,+8）上单调递增；

当“=£时，y（x）在（0,+8）上单调递减；

当0<“<1时，式外在（0,1）上单调递减，在（1,5一1）上单调递增，在（!一1，+8）上单调递减.

注：分类讨论时要做到不重不漏，层次清楚.

高中数学高考总复习充分必要条件习题（附参考答案）

一、选择题

1.（文）已知4、匕都是实数，那么“於炉”是“〃>少，的（）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

［答案］D

［解析］♦>"不能推出a泌,例：（-2）2>12,但一2<1；a9不能推出。2乂九例：>—2,但收（一2）2,

故。2>〃是4的既不充分也不必要条件.

（理）“|无一1|<2成立”是“尤（无-3）<0成立”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

I答案］B

［解析］由任一1］<2得一2<%—1<2,—l<r<3；

由x（x—3）<0得0<v<3.

因此“仅一1|<2成立”是“x（x—3）v0成立”的必要不充分条件.

2.（2010•福建文）若向量a=a,3）（xWR）,则“尸4”是“闷=5”的（）

A.充分而不必要条件

B.必要而不充分条件

C.充要条件

D.既不充分又不必要条件

［答案］A

［解析］当x=4时，|a|=A/42+32=5

当⑷="\/小+9=5时,解得x=±4.

所以“x=4”是“⑷=5”的充分而不必要条件.

3.（文）已知数列｛m｝,“对任意的“GN*,点P”（〃,a“）都在直线y=3x+2上”是“｛斯｝为等差数列”

的（）

A.充分而不必要条件

B.必要而不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

［答案］A

［解析］点HG，斯）在直线y=3x+2上,即有斯=3〃+2,则能推出｛斯｝是等差数列；但反过来，｛斯｝

是等差数列，如=3〃+2未必成立，所以是充分不必要条件，故选A.

（理）（2理0•南充市）等比数列｛为｝中,“0<的”是“。5<。7”的（）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分与不必要条件

［答案］C

I解析］在等比数列中，qWO,

4.（09•陕西）“心〃>0”是“方程版+町2=1表示焦点在y轴上的椭圆”的（）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

［答案］C

［解析］由，〃>〃>0可以得方程如2+〃）2=1表示焦点在），轴上的椭圆，反之亦成立.故选C.

5.（文）设集合A=｛.*£Y<0｝,5=｛x|0a<3｝,那么“〃?GA”是“mEB”的（）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

［答案］A

［解析］,.,A={A-|0<A-<1},/.AB,故“mWA"是"WB”的充分不必要条件,选A.

（理）（2010•杭州学军中学）已知〃?，"GR,则"m#0或〃#0”是“如?#0”的（）

A.必要不充分条件

B.充分不必要条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

［答案］A

I解析］六0=，"工0且”W0,故选A.

TT

6.（文）（2010.北京东城区）“尸是"函数产sin2x取得最大值”的（）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

［答案］A

■JTjrjr

［解析］x=W时，y=sin2x取最大值，但y=sin2%取最大值时，2x=2E+］,k《Z,不一定有x=［

（理）"。=争是"tan6=2cos《+。）”的（）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

［答案］A

［解析］解法―中为方程tane=2cos（S+。）的解，

...。=华是tan0=2cosg+0）成立的充分条件；

又・・・。=号也是方程tane=2cos（S+。）的解，

。=用不是lanO=2cos（j+，）的必要条件，故选A.

解法2：Vtan^=2cos^y+,

sin0=O或cosO=—

方程tane=2cos（^+0的解集为

8=Z兀或夕=2%社,兀，kGZj,

显然｛争｝A,故选A.

7."根=3"是"直线（，”+2）x+3/ny+1=0与直线（血-2）x+（〃?+2）y—3=0相互垂直”的（）

A.充要条件B.充分不必要条件

C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件

［答案］B

［解析］两直线垂直的充要条件是（m+2）（5-2）+3制，“+2）=0即机=；或m=—2,...〃?=；是两直线

相互垂直的充分而不必要条件.

8.（2010•浙江宁波统考）设川，"是平面a内的两条不同直线，l\,A是平面夕内两条相交直线，则a

邛的一个充分不必要条件是（）

A.l\LnB.ZH±/I，m-Lh

C.nA-hD.mHR、/i_Ln

［答案］B

［解析］当mJJi,mJ_/2时，・・1与/2是4内两条相交直线，，加，人・・・〃?Ua,・・.aLg,但a_L£时,

未必有机_L/］,mL12.

9.（2010•黑龙江哈三中）命题甲：弓）?…；浮成等比数列；命题乙：Igx,lg（x+l）,lg（x+3）成等差数

列，则甲是乙的（）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

I答案］B

［解析］由条件知甲：

2（1—x）=—x+x2,解得x=l或一2；

命题乙：21g（x+l）=lgx+lg（x+3）,

7X+1)2=X(X+3)

x+l>0

x>0

<x+3>0

・•・甲是乙的必要不充分条件.

10.（2010•辽宁文，4）已知。＞0,函数人工）=加+法+。若的满足关于x的方程2ar+Z?=0,则下列

选项的命题中为假命题的是（）

A.BxeR,式x）W_/（xo）

B.SxSR,y（x）》Hxo）

C.VxCR,./（x）W_/Uo）

D.VxCR,y（x）电xo）

［答案］c

［解析］,:f'3=2ax+b,

又2a须）+方=0,二有/'（M））=0

故;（x）在点项处切线斜率为0

'.'a>0J（x）=ajr+bx+c

二力>0）为式x）的图象顶点的函数值

为（冽）恒成立

故C选项为假命题，选C.

［点评J可以用作差法比较.

二、填空题

11.给出以下四个命题：

①若pVg为真命题，则pAg为真命题.

②命题“若AC3=A,则AU8=B”的逆命题.

③设a、b、c分别是△ABC三个内角A、B、C所对的边，若〃=1,b=小,则4=30。是8=60。的必

要不充分条件.

④命题”若式x）是奇函数，则火一x）是奇函数”的否命题，

其中真命题的序号是.

［答案］②③④

［解析］①...pVq为真，二。真或q真，故p/\q不一定为真命题，故①假.

②逆命题：若AUB=8,则4nB=A,：AUB=B,：.AP\B=A,故②真.

③由条件得，£=黑9=小，当8=60。时，有sin/l=g,注意b>a,故A=30。；但当A=30。时，有sinB

=勺，B=60°,或B=120。.故③真；

④否命题：若/（X）不是奇函数，则五一X）不是奇函数，这是一个真命题，假若八一X）为奇函数，则咒一（一

x）］=—X）,即正一x）=—/（尤），二/U）为奇函数，与条件矛盾.

12.（文）设P是一个数集，且至少含有两个数，若对任意〃、6GP,都有。十氏a—b、ab、狂P（除数

br0）,则称P是一个数域.例如有理数集Q是数域.有下列命题：

①数域必含有0,1两个数；

②整数集是数域；

③若有理数集QUM,则数集M必为数域；

④数域必为无限集；

其中正确命题的序号是.（把你认为正确命题的序号都填上）

［答案］①④

I解析］结合题设的定义，逐一判断，可知①④正确.

（理）设P是一个数集，且至少含有两个数，若对任意a、AGP,都有。+尻（除数匕¥0）,

则称P是一个数域.例如有理数集Q是数域；数集尸