人教版高中数学必修二第4 章圆与方程4 1 圆的方程

人教版高中数学必修二第4章圆与方程

4.1圆的方程

4.1.1圆的标准方程学案

【学习目标】

1.会用定义推导圆的标准方程并掌握圆的标准方程的特征.(重点)

2.能根据所给条件求圆的标准方程.(重点、难点)

3.掌握点与圆的位置关系.(易错点)

【要点梳理夯实基础】

知识点1圆的标准方程

阅读教材P118〜P“9第1行的内容，完成下列问题.

1.以C(a,切为圆心，，0>0)为半径的圆的标准方程为(》一4)2+(丫一1)2=户.

2.以原点为圆心，r为半径的圆的标准方程为f+y2=户.

［思考辨析学练结合］

判断(正确的打“J”，错误的打“X”)

(1)圆心位置和圆的半径确定，圆就惟一确定.()

(2)方程(X—4)2+。―/?)2=m2一定表示圆.()

(3)圆。+2)2+(卜+3)2=9的圆心坐标是(2,3),半径是9.()

［解析］(1)正确.确定圆的几何要素就是圆心和半径.

(2)错误.当机=0时，不表示圆.

(3)错误.圆(X+2)2+0+3)2=9的圆心为(一2,-3),半径为3.

［答案］(1)V(2)X(3)X

知识点2点与圆的位置关系

阅读教材P“9”例1”及“探究”部分，完成下列问题.

设点尸到圆心的距离为d,圆的半径为r,则点与圆的位置关系对应如下：

位置关系点在圆外点在圆上点在圆内

d与r的大小关系d>rd=rd<r

［思考辨析学练结合］

已知圆的方程是(x—2>+(y—3)2=4,则点P(3,2)()

A.是圆心B.在圆上

C.在圆内D.在圆外

［解析］圆心M(2,3),半径r=2,.|PM7(3—2)2+(2—3J=正Vr,.•.点

P在圆内.

「答案］C

【合作探究析疑解难】

考点1直接法求圆的标准方程

［典例1］(1)圆心在y轴上，半径为1,且过点(1,2)的圆的方程为()

A./+。-2)2=1B._?+°'+2)2=1

C.(x-l)2+(y-3)2=lD.9+0—3)2=1

(2)已知一圆的圆心为点(2,-3),一条直径的两个端点分别在x轴和y轴上,

则此圆的方程是()

A.(x—2)2+(y+3)2=13

B.(x+2)2+(y—3/=13

C.(%—2)2+。+3)2=52

D.(x+2)2+(y—3)2=52

［点拨］(1)设出圆心坐标，利用两点间的距离公式求圆心坐标，再写出圆的

标准方程.

(2)根据中点坐标公式求出直径两端点坐标，进而求出圆的半径，再写出圆

的标准方程.

［解答］(1)设圆心坐标为(0,b),

则由题意知年(0—1)2+3—2)2=1,解得b=2.

故圆的方程为9+。-2)2=1.

(2)设此直径两端点分别为(a,0),(0,b),由于圆心坐标为(2,-3),所以a

=4,b=~6,所以圆的半径.=。(4—2)2+(0+3)2=，石,从而所求圆的方程是

(x—2)2+(y+3)2=13.

［答案］(1)A(2)A

方法总结］

确定圆的标准方程只需确定圆心坐标和半径，因此用直接法求圆

的标准方程时，一般先从确定圆的两个要素入手，即首先求出圆心坐

标和半径，然后直接写出圆的标准方程.

［跟踪练习］

1.以点4—5,4)为圆心，且与x轴相切的圆的方程是()

A.。+5)2+。-4)2=25

B.(x—5>+(y+4)2=16

C.(x+5y+(y—4户=16

D.。一5)2+。+4)2=25

［解析］因该圆与x轴相切，则圆的半径r等于圆心纵坐标的绝对值，所以

圆的方程为(x+5)2+(y—4)2=16.

［答案］C

考点2待定系数法求圆的标准方程

［典例2］求圆心在直线》一2y一3=0上，且过点A(2,-3),B(—2,—5)的

圆的标准方程.

［分析］解答本题可以先根据所给条件确定圆心和半径，再写方程，也可以

设出方程用待定系数法求解，也可以利用几何性质求出圆心和半径.

［解答］法一：设点。为圆心，

•.•点C在直线：》一2>—3=0上，

可设点C的坐标为(2a+3,a).

又•.•该圆经过A,B两点、,：.\CA\=\CB\.

.••―(2a+3—2)2+(a+3)2=

•\J(2a+3+2)2+(a+5)2,

解得。=一2.

...圆心坐标为。(一1,-2),半径厂=也.

故所求圆的标准方程为

(x+1)2+3+2)2=10.

法二：设所求圆的标准方程为

(X—。)2+(厂6)2=,，

f(2—a)2+(—3—£»)2=r,

由条件知《(-2—a)2+(—5—b)2=t2,

[a-2h~3=Q,

|a=-l,

解得《。=-2,

lr=10.

故所求圆的标准方程为

(x+1)2+3+2)2=10.

—3—(-5)1

法三：线段的中点为(0,-4),kAB=1W

所以弦AB的垂直平分线的斜率k=—2,

所以线段A8的垂直平分线的方程为：

y+4=—2x,

即y=—2x~4.

［v=-2x~4,

故圆心是直线y=-2x—4与直线x—2y—3=0的交点，由J

x—2y—3=0,

x=~l,

得＜

J=-2.

即圆心为(一1,-2),圆的半径为

r=y/(~1-2)2+(-2+3)2=Vi0,

所以所求圆的标准方程为(x+l)2+(y+2)2=10.

方法总结］

1.待定系数法求圆的标准方程的一般步骤

设方程(。一。)2+。一力)2=产)一列方程组(由已知条件，建立关于

a、/?、r的方程组)一解方程组(解方程组，求出。、氏r)一得方程(将

久从，代人所设方程，得所求圆的标准方程).

2.注意利用圆的有关几何性质，可使问题计算简单.

［跟踪练习］

2.求圆心在x轴上，且过点A(5,2)和8(3,-2)的圆的标准方程.

［解］法一设圆的方程为

(x-a)2+(y—b)2=r2(r>0).

(b=0,Ia=4,

则《(5—。)2+(2—匕)2=/，解得，人=0,

1(3—a)2+(—2—/?)2=^,lr=V5.

所以所求圆的方程为(x—4)2+尸=5.

法二因为圆过A(5,2),8(3,一2)两点,

所以圆心一定在线段AB的中垂线上.

AB中垂线的方程为尸一g(x—4),

令y=0,得x=4.即圆心坐标为C(4,0),

所以r=1047(5—4)2+(2-0)2=小.

所以所求圆的方程为(x—4>+产=5.

考点3与圆有关的最值问题

探究1若如，_y)为圆ca+iy+vV上任意一点，请求出如，y)到原点

的距离的最大值和最小值.

［分析］原点到圆心q-i,o)的距离d=i,圆的半径为故圆上的点到坐

.13II

标原点的最大距离为1+］=1，最小距离为1—

探究2若P(x,y)是圆C(x—3)2+9=4上任意一点，请求出P(x,y)到直线

x-y+l=0的距离的最大值和最小值.

［分析］P(x,y)是圆。上的任意一点，而圆C的半径为2,圆心C(3,0),圆

13—0+II

心C到直线x~y+1=0的距离4=,,与=2啦,所以点P到直线x~y+1

^/l2+(—1)-

=0的距离的最大值为2陋+2,最小值为272-2.

［典例3］已知x,y满足f+(y+4)2=4,求叱%+l>+(y+Ip的最大值与最

小值.

［分析］X,y满足/+(y+4)2=4,即点P(x,y)是圆上的点.而

"(龙+1)2+0+1)2表示点Q,)，)与点(一1,—1)的距离.故此题可以转化为求圆“2

+。+4)2=4上的点与点(一1,—1)的距离的最值问题.

［解答］因为点P(x,y)是圆r2+(y+4)2=4上的任意一点，圆心C(0,-4),

半径r=2,

因此"+1)2+(y+Ip表示点4(-1,一1)与该圆上点的距离.

因为依。|2=(—1)2+(—1+4)2>4,所以点4一1,一1)在圆外.如图所示.

而HQ=^(0+1)2+(-4+1)2=V10,

所以"+1)2+(y+l)2的最大值为|AC|+r=V10+2,最小值为—r=V10

［思路总结］

1.本题将最值转化为线段长度问题，从而使问题得以顺利解决.充分

体现了数形结合思想在解题中的强大作用.

2.涉及与圆有关的最值，可借助图形性质，利用数形结合求解.一般

地：①女=曰的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题；②形如t

x-a

=以+⑥的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题；③形如m=(X—

。)2+。一切2的最值问题，可转化为两点间的距离的平方的最值问题等.

［跟踪练习］

3.已知圆C：(x-3)2+(y-4)2=l,点A(0,一1),5(0,1),设尸是圆C上

的动点，令d=|巩F+IP3F，求d的最大值及最小值.

图4-1-1

［解］设P{x,y),

则d=|%|2+|PBF=2(f+y2)+2.

V|CO|2=32+42=25,(5—1yWf+VW(5+1产

即16勺^+9至36.."的最小值为2x16+2=34,最大值为2x36+2=74.

【学习检测巩固提高】

1.圆心是(4,-1),且过点(5,2)的圆的标准方程是()

A.(x—4)2+0+1)2=10

B.(尤+4)2+0—1)2=10

C.(x—4)2+(y+l)2=100

D.(x-4)2+(y+l)2=V10

［解析］设圆的标准方程为(》-4)2+。+1)2=凡把点(5,2)代入可得户=10.

［答案］A

2.圆f+y2—Zr—8y+13=0的圆心到直线or+y—1=0的距离为1,则a=

()

43

A.—B.—aC.y/r3D.2

［解析］配方得(x—ly+Q—4>=4,

...圆心为C(l,4).

由条件知会目=1.解之得a=—玄

7"+13

［答案］A

3.经过圆C：(x+l)2+(y—2)2=4的圆心且斜率为1的直线方程为.

［解析］圆。的圆心为(一1,2),又所求直线的斜率为1,故由点斜式得y—2=x

+1,即x-y+3=0.

［答案］x—y+3=0

4.以点(2,—1)为圆心且与直线x+y=6相切的圆的方程是.

［解析］将直线x+y=6化为x+y-6=0,圆的半径/■"一「『」=下,所以圆

-W+142

的方程为(x—2)2+3+1)2=号25.

［答案］(x-2)2+(y+l)2=y

5.圆过点A(l,—2)、8(—1,4),求

(1)周长最小的圆的方程；

(2)圆心在直线2x-y—4=0上的圆的方程.

[解析](1)当为直径时，过A、B的圆的半径最小，从而周长最小.即A3中

点(0,1)为圆心，半径「=3依5|=^/而.则圆的方程为：/+。-1)2=10.

(2)解法一：AB的斜率为k=-3,则AB的垂直平分线的方程是＞一1=%.

即x-3y+3=0

\x_3y+3=O[x=3

⑵一y—4=0ly=2

即圆心坐标是C(3,2).

r=h4C|=^/(3-l)2+(2+2)2=2小.

，圆的方程是(x—3y+(y—2)2=20.

解法二：待定系数法

设圆的方程为：(x—a)2+(y—/?)2=户.

f(l—«)2+(—2—^)2=^(a=3

贝，1—a＞+(4—。＞=户，16=2.

[2a-b-4=0口=20

二圆的方程为：(x—3)2+(y—2)2=20.

人教版高中数学必修二第4章圆与方程

4.1圆的方程

4.1.1圆的标准方程课时检测

一、选择题

1.点P(〃?,5)与圆^+/=24的位置关系是()

A.在圆外B.在圆内

C.在圆上D.不确定

［解析］•.加2+25>24,

.•.点P在圆外.

「答案］A

2.已知圆的方程是(x—2)2+(y—3)2=4,则点P(3,2)满足()

A.是圆心B.在圆上C.在圆内D.在圆外

［解析］因为(3—2>+(2—3)2=2<4,

故点P(3,2)在圆内.

「答案］C

3.以点—1)为圆心，半径为(的圆的方程为()

?+3+l)2=f18.1+02+3+1)2=(

C.^+1j2+(y-l)2=1D.W)+&_1)2=器

［解析］由圆的几何要素知A正确.

「答案］A

4.圆(x+l)2+(y—2)2=4的圆心坐标和半径分别为()

A.(-1,2),2B.(1,-2),2

C.(-1,2),4D.(1,-2),4

［解析］圆(x+l)2+(y—2)2=4的圆心坐标为(-1,2),半径r=2.

「答案］A

5.若圆。与圆(x+2)2+(y—1>=1关于原点对称，则圆C的方程是()

A.(%—2)2+0+1)2=1B.(x-2)2+(y-l)2=l

C.(x-l)2+(y+2)2=lD.(x+l)2+(y+2)2=l

［解析］\.点P(x,y)关于原点的对称点为尸'(-x,-y),

...将一工，—y代入。C的方程得(一尤+2)2+(—y—l)2=l.

即(x—2)2+(y+l)2=l.

［答案］A

6.若尸(2,—1)为圆1)2+尸=25的弦A8的中点，则直线AB的方程是()

A.x—y—3=0B.2x+y—3=0

C.x+y-l=0D.2%一y—5=0

［解析］,点P(2,—1)为弦AB的中点，又弦A8的垂直平分线过圆心(1,0),

二弦的垂直平分线的斜率左=窄芸=-1,

二直线AB的斜率/=1,

故直线A8的方程为y—(—l)=x—2,即x—y—3=0.

［答案］A

7•点%由与圆/+产3的位置关系是()

A.在圆上B.在圆内C.在圆外D.不能确定

［解析］将点(3,书的坐标代入圆的方程可知g)2+(坐)2=1＞；.

二点在圆外.

［答案］c

8.若点(2a,a—1)在圆/+(y+l)2=5的内部，则a的取值范围是()

A.(—8,1］B.(-1,1)C.(2,5)D.(1,+8)

［解析］点(2a,a—1)在圆f+&+l)2=5的内部，则Qap+Hvs,

解得一1＜a＜1.

［答案］B

9.若点P(l,l)为圆(了一3)2十尸=9的弦MN的中点，则弦MN所在直线方程为

(D)

A.2x+y—3=0B.x—2y+1=0

C.x+2y—3=0D.2x—y—1=0

［解析］圆心C(3,0),kPC=又点P是弦MN的中点，.,.PCLMN,

，kMNkpc=~1,

.♦MMN=2,...弦MN所在直线方程为＞一1=2(%—1),即2》一＞一1=0.

「答案］D

10.点M在圆(x—5)2+。一3)2=9上，则点M到直线3x+4y—2=0的最短距离

为()

A.9B.8C.5D.2

［解析］圆心(5,3)到直线3x+4厂2=0的距离为d=BX靠得二^=5.又r=3,

则M到直线的最短距离为5-3=2.

［答案］D

二'填空题

11.若圆C的半径为1,其圆心与点(1,0)关于直线y=x对称，则圆C的标准方

程为.

［解析］由题意知圆。的圆心为(0,1),半径为1,所以圆C的标准方程为

—1)2=1.

［答案］1)2=1

12.圆心既在直线x—y=o上，又在直线x+y—4=0上，且经过原点的圆的方

程是.

x—y=0x=2

［解析］由x+y-4=0，得

J=2

二圆心坐标为(2,2),半径r=^22+22=272,

故所求圆的方程为(无一2)2+。-2)2=8.

［答案］(x—2)2+。-2)2=8

13.已知圆C经过A(5,l)、5(1,3)两点,圆心在x轴上,则C的方程为

［解析］设所求圆。的方程为。一。)2+尸=户，

把所给两点坐标代入方程得

(5—〃)2+12=3

(一)2+33，解得|〃=2

r=10'

所以所求圆C的方程为(x—2)2+尸=10.

［答案］(X—2)2+y2=10

14.以直线2x+y—4=0与两坐标轴的一个交点为圆心，过另一个交点的圆的方

程为.

［解析］令x=0得y=4,令y=0得x=2,

.•.直线与两轴交点坐标为A(0,4)和8(2,0),以A为圆心过B的圆方程为九2

+0-4)2=20,

以8为圆心过A的圆方程为(%—2)2+寸=20.

［答案］f+(y-4)2=20或(x—2)2+尸=20

三'解答题

15.已知圆C的半径为，万，圆心在直线x-y—2=0上，且过点(一2,1),求圆C

的标准方程.

［解］,圆心在直线》一＞一2=0上，r=/万，...设圆心为『一2)(/为参数).

.•.圆C的标准方程为。一杼+