高中数学圆与直线圆锥曲线方程典型题练习（共24题附参考答案）

高中数学圆与直线圆锥曲线方程典型题

班级考号姓名总分

一、单选期

1.对任意的实数A,直线v=h+l与圆/+./=2的位置关系一定是（）

A.相离B.相切C.相交D.不确定

2.已知a=而，c=2。，则该椭圆的标准方程为（）

D.'+y2=1SEx2+1

13313

3.已知椭圆方程£+[=1,那么它的焦距是（）

34

A.1B.2C.6D.2百

4.椭圆三+专1（«b<a）的右焦点到原点的距离和到右准线的距离相等，则该椭圆的离心

率为（

A考c

8T-iDT

5.过圆=1的圆心，作直线分别交x、y正半轴于点A、B,A/I08被圆分成

四部分（如图），若这四部分图形面积满足$+Su=S"+S…则直线人8有（）

A.0条

B.1条

C.2条

D.3条

1

6.椭圆16x2+25/=400的长轴和短轴的长、离心率分别是（

A.10,8,B.5.4,1

C.10.8,D.5,4,j

7.已知，”eZ?,则、>3"是"方程上7-上r1表示双曲线”的（）

m-1m-3

A.充分必要条件B.充分不必要条件

C.必要不充分条件D.财充必要和牛

8.若曲线C:x'+jJ-2x=0与曲线GM=0有四个不同的交点，则实数m的取

值范围是（）

A.（邛净B.（-f,0）U（0,日）

c.［理华D.r,邛）喈，+•）

9.已知双曲线;-<=1的左右焦点分别为小F：，点〃是双曲线上一点，且所用=0，则

45

1加1等于（）.

▲13「9♦7、3

A.—B.-C

2220'2

10.直线方;=1的倾斜角的大小为（）

A.30B.60C.120'D.150,

11.设双曲%-§=l（b>0）的渐近线方程为3x±2y=0,则其离心率为（）

A.零B.#C.咚D号

323

12.经过点H2,-2）且与双曲线U:与-/=1有相同渐近线的双曲线方程是（）

AW-JIB.J工=i

4224

x2v:

rD.E£I

2442

2

二解答题

13.求经过9个3-4.丫-5=04：2.1-3.丫+8=0的交点”，目满足下列条件的直线方程：

(1)与直线2a3产5=0平行；

(2)与直线2K+3y+5=O垂直.

14.已知IRC是抛物线/=2p*p>0)上三个不同的点，且1.4C.

(I)若伸.2),8(4T),求点(•的坐标；

(n)若抛物线上存在点。,使得线段//)总被直线灰.平分，求点，4的坐标.

15.已知抛物线一=2”(〃>。)的焦点为尸，抛物线上的点.4到K轴的距离为乂/I.

(1)求〃的值；

(2)已知点”(2.0),若直线"交抛物线于另T点8,且儿”1BM,求直线AF的方程.

3

16.设椭圆的对称中心为坐标原点，其中一个顶点为4(0,2),右焦点口与点8(△夜)的距离

为2.

(1)求椭圆的方程；

(2)是否存在经过点(0,-3)的直线/,使直线/与椭圆相交于不同的两点“，N满足

|宿卜丽:？若存在，求出直线/的方程；若不存在，请说明理由.

17.已知椭圆C：4+《=l(a>〃>0)的离心率为6,倾斜角为30的直线I经过椭圆C的右焦

a2b'2

点且与圆E:/+V=I相切.

(1)求椭圆c的方程；

⑵若直线了=履+，〃(〃工0)与圆£相切于点月,且交椭圆。于48两点，射线OP于椭圆。交于

点。，设A。”的面积于的面积分别为S修.

①求，的最大值；

②当¥取得最大值时，求?的值.

18.已知圆C的圆心与点P(-2,1)关于直线y=x+1对称，直线3x+4y-11=0与圆C相

交于人B两点，目|AB|=6,求圆C的方程.

4

19.已知抛物线J』=4x的焦点厂恰好是双曲线宏磊=1(。>04>0)的右顶点，且渐近线方程

为)，=±0x,求双曲线方程.

20.已知抛物线C的顶点在原点，焦点为尸］；，0).

(1)求抛物线C的方程；

(2)已知直线V“与抛物线C交于48两点，目|五川=21尸81,求左的值；

(3)设点P是抛物线C上的动点，点R、N在V轴上，圆。-1)2+/=1内切于AP/W，求APRN

的面积最小值.

21.尸是椭圆］+/=1上的一动点

(1)定点/Q，。)，求陷的最小值；

(2)求P到3》+4)=2>/石=0距离的取值范围.

5

22.在平行四边形468中.川・1卜回7.1),。(4对，点”是线段M的中点,

(2)求点，的坐标.

23.在平行四边形.Heo中,4I.1).8(7.3卜0(4.6),点，，是或段,8的中点线段(•“与8C交于

点〃.

(1)求直线C”的方程；

(2)求点，，的坐标.

-C：^1(a>b>0)的离心率喈，右焦点为(&,0).

(1)求株IBC的方程；

(2)若过原点。作两条互相垂直的射线,与椭圆交于A,B两点，求证：点。到直线AB的

距题为定值；

(3)在(2)的条件下，求二0AB面积的偎大值.

6

附：参考答案

1.C

【解析】

直线I=h+1恒过定点(0/),由0：+1：=I<2可知点(0.1)位于圆内，则直线V=h+1与圆

x：+/=2的位置关系一定是相交.

本题选择C选项.

点睛：判断直线与圆的位置关系时，若两方程已心到直线的距离易表达，则用几何法；

若方程中含有参数，或圆心到直线的距离的表达较繁琐，则用代数法.

2.D

【分析】

根据a?=b2+c2求出b2=13-12=1•分焦点在*轴和y轴上写标准方程.

【详解】

,.a2=b2+c2,..b2=13-12=1.

因为椭圆焦点位置不确定，所以椭圆的标准方程为；；+V=1或X?+；?=1.

故答案为D

【点睛】

(1)本题主要考查椭圆标准方程的求法，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力(2)

求椭圆的方程，常用待定系数法，先定位，后定•.

3.B

【分析】

根据已知条件求得c,由此求得焦距".

【详解】

依题患“：=4,〃'=3.c'=a'-/=l，所以c=l,所以间距及'=2.

7

娟：B

【点睛】

本小题主要考查椭圆焦距的求法，属于基础题.

4.D

【解析】

2

试题分析：椭圆々*京（0<b<a）的右焦点到原点的距离和到右准线的距离相等，

a

可得c=4-c，解得e=平.故选D.

c/

考点：椭圆的几何性质.

5.B

【解析】

定性分析法：由已知条件得S产5川-%第□、IV部分的面积是定值，所以及一勒为定值,

即与u-S为定值，当直线48绕着圆心C移动时，只可能有一个位置符合题意，即直线AB只

有一条，故选B.

定量分析法：过C做x轴和y轴的垂线，分别交于E和F点交设N84。=6(0<0<多厕

Z.FCB==tan0,AE=—^―,S.=——-(--0),5,,=l--,Sm=-tan0--6»,

tan。''2land22'"4'm22'

代入S|+S\1=S"+S川得，■一;（^一田+^=］一（+；tang一；e

化简为52。=-二彳］,设〃0=tan：!8,名⑻“育尸］,画出两个函数图象，观察可

（7H----1V4----1

22

知；两个函数图象在0<时只有一个交点，故直线AB只有一条.

8

6.A

【分析】

把椭圆的方程化为标准方程后，求出“与〃的值，然后根据，/=〃+/求出。的值，利用离心率

公式，把。与。的值代入即可求出值.

【详解】

把椭圆方程化为标准方程\+]=1,得到。=54=4,贝！jc=3,

23Io

3

所以长轴和短轴的长分别为10,8，椭圆的离心率。=£C=±.

a5

故选：A.

【点睛】

本题考查了将椭圆方程化成标准方程形式，根据椭圆性质求长轴和短轴的长，着重考查了椭圆

的基本概念和简单几何性质，属于基础题.

7.B

【分析】

求出二-二=1表示双曲线对应的〃，的范围，根据集合包含关系即可求出.

【详解】

..若工-二=1表示双曲线，

m-\m-5

则(〃L1)(〃7—3)>0,即，〃<一1或〃？>3,

>3|{,n|w<-1ng/w>3},

.•・"，">3"是"二-二=1表示双曲线"的充分不必要条件.

m-\m-3

故选：B.

8.B

【解析】

9

由题易知G：/+.--2x=0表示(x-】f+y2=1的圆,

圆心为(1,0),半径为,•=1;

c?：y(y_，NXT")=0表示「=0和y-"ix-m=0两条直线,

易知)，-蛆-〃，=0过定点(-1.0),

在平面直角坐标系中画出图像如图：

•.直线y=0与q相交于(0.0)和(2,0)两个点，

-"1=0与圆相交即可.

=°与圆相切时,圆心到直线的距离〃=上2/7/、1='=|

当y_nix-m

,I百

「・〃7=-,m=±—^-

而，”=0时，直线为y=。，不合题；

...〃”一率0卜(0用，

・•・选择B.

点睛：判断直线与圆的位置关系的常见方法

⑴几何法：利用d与「的关系.

(2)代数法：联立方程之后利用/判断.

(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交.

上述方法中最常用的是几何法，点与圆的位置关系法适用于动直线问题.

9.A

【解析】

10

由质琵=0,可得丽_L%,

4八X2V2L/-----

双曲线9=I的4=2、b=亚、c=Ja'+b?=3,

45

左、右焦点分别为6(-3,0),勺3,0),

令43,上2=1,解得了=±"

452

即有忸&=1,

S1彳

由双曲线的定义可得P用=2。+1P用=4+厂］.

雌A.

10.B

【解析】

【分析】

利用直线倾斜角与斜率的关系即可得出.

【详解】

解：设直线金一1=1的倾斜角为a,0-<a<180°.

1

则tana==百，二a=60".

3

故选：B.

【点睛】

本题考查了直线倾斜角与斜率的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.

11.A

【解析】

试题分析由于双曲线的焦点在y轴上所以由渐近线方程3x±2y=0可彳黑=：='所以b=

2,当==e2-1=^,所以e=半，A.

aa93

考点：双曲线的简单几何性质.

11

12.B

【分析】

设所求的双曲线方程是:V=k，由点P(2,-2)在双曲线方程上，求出k值，即得所求的

双曲线方程.

【详解】

由题意知，可设所求的双曲线方程是：-y2=k,

•.点P(2,-2)在双曲线方程上，

22

所以(-2)2=k,/.k=-2,

故所求的双曲线方程是[-1=1,

故选B.

【点睛】

本题考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，解题的关键是根据渐近线方程

相同设所求的双曲线方程是y-y2=k,属于基础题.

13.(1)2x+3y-4=0;(2)3x-2y+7=0.

【分析】

(1)先求出用，再设所求的直线为2x+3.y+c=0，代入M求出c后可得所求的直线方程.

(2)设所求的直线为3x-2j，+6=0，代入历求出后可得所求的直线方程.

【详解】

f.3x+4y-5=0

(1)由题意知：联立方程组，2，c，解得交点M(T，2),

[2x-3y+8=0

因为所求直线与直线2X+3J，+5=0平行，

故设所求直线的方程为2》+3y+c=0,

12

代入(T2),解得c=-4,即所求直线方程为2x+3y-4=0

(2)设与2x+3y+5=0垂直的直线方程为3x-2y+8=0

因为过点(T2),代入得〃=7,

故所求直线方程为3x-2y+7=0

【点睛】

本题考直直线方程的求法,注意根据平行或垂直关系合理假设直线方程，本题属于容易题.

14.(I)C(9,6);(D)

【分析】

(I)首先根据点/在抛物线上求得P的值，然后设出点C的坐标，从而根据存在斜率的两直

线垂直斜率乘积为-I,求得点C的坐标；

(n)首先设出点4反。的坐标，然后利用斜率公式求得直线8C恒过的定点E的坐标，由此

写出直线的方程，并代入抛物线方程求得点。的坐标，从而根据线段4。总被直线8c平分

求得点力的坐标.

【详解】

解：(1)-2)在抛物线上，二22=2plnp=2.

/2\—4-2-2_

设c［，，，则由"A,c=-1,得工^'仁二一,

I)4

解得，=6,即C(9,6);

(n)设/("。)(犷0),8(/必卜像,为｝

则直线8c的方程为(乂+%)y=2px+M外,

yyy2y

由k认kc一-区'~一6°yL~.yL°~-1，

2P2p2p2p

得.%(凹+%)+凶必+★=-4",

13

代入直线8C的方程，

得(乂+%)('+%)=2p(x-2p-Xo),

故直线8c恒过点£(x0+2p,f),所以篇=三守二=一与

七十2。一/P

因此直线小的方程为y=-2.f)+外,

p

代入抛物线的方程必=2Pxs>0),

,2P2

得P+--y-2p(x0+p)=0,yAyD=yoyD=-2p(x0+p),

打

-_-2p(.%+p)yj,_2p(x+p)2

所GfP以J3v外，时/-F0—

故点，的坐标为(空”，-型

因为线段4。被直线8C平分，

2(x°+2p)=x0+皿智■，

所以《、,7

2P(x0+p)

-2y=yo--------

Ioy»

解得％=壬%=±。，

即点/的坐标为(与，士P).

【点睛】

本题考查抛物线的性质、直线与抛物线的位置关系.求解直线与抛物线的位置关系通常利用设而

不求法.

15.(1)P=2(2)y=1x+l

o

【分析】

(1)根据抛物线定义，结合题意即可求得P的值；

14

（2）设出直线"方程仆,qx吟j,联立直线与抛物线方程，表示出国+々，x吊.

由平面向量数量积的坐标运算及AM1BM即可求得斜率A,进而求得直线AF的方程.

【详解】

（1）根据题意画出几何关系如下图所示，

抛物线上的点A到.V轴的距离为|工人-1,

由抛物线定义可得M日等于/到y=-i的距离，

所以y=-i为抛物线准线方程，-5=-1,

解得尸=2.

（2）由（1）知"（0,1）,可设北•方程为尸Ax+1,XX号），8卜,.），

直线力/交抛物线于另一个点8,即直线与抛物线有两个交点，因而A•存在；

fv=Ax+1

所以。=4r，化简可得/-4履-4=0.

贝！IM+々=4%,X]X2=-4.

又而=（2-3,-?）,两=12-X2，-§）,

由于ZA/_L8A/,

1O

代入±+±=4k，、'=一4化简可得

4一2（4左）-4+1=0,

15

解得《=

o

所以直线彳尸方程为歹=：x+l

O

【点睛】

本题考查了抛物线的定义及性质简单应用，直线与抛物线彳立置关系的应用，平面向量垂直时的

坐标关系及运算，属于基础题.

16.(1)-+^-=1；(2)y=±£-3

124-3

【分析】

(1)根据右焦点与8点的距离列方程，解方程求得。的值，结合方的值及求得”的

值，从而求得椭圆方程.(2)利用斜截式设出直线/的方程，联立直线的方程和椭圆的方程，化

简后写出韦达定理，并根据判别式求得直线/的斜率次的取值范围.根据而|=|而|可知/在线

段的垂直平分线上，求得中点坐标，利用斜率乘积等于-1建立方程，解方程求得％的

值，这个值在前面求出来的范围内，所以符合题意，并由此求得直线/的方程.

【详解】

(1)依题意，设椭圆方程为[+]

=1(46>0),

a-n

则其右焦点坐标为尸(c,0),c=EF，由/目=2,

得,卜_可+(0_厨=2,BP(c-V2)：+2=4,故<=2&.

文：b=2,：.a2=\1,

从而可得椭圆方程为；;+[=1.

(2)由题意可设直线/的方程为了=去-3(%=0),由=知点/在线段的垂直平分

线上，

[y=kx-3

由X?/，消去V得/+3(h-3)2=12,即可得方程(1+3公卜2-18履+15=0…(*)

te+y=,

当方程(*)的△=(-18左J-4(1+3*卜15=144A-2-60>0

16

即时方程(*)有两个不相等的实数根.

设M(X，乂)，NgM,线段MN的中点尸仇,稣),

则罚，受是方程(*)的两个不等的实根，故有.

..H士X]+X、9k9--3（1+3犬）3

从而有％=y=kx-3=

001+3A-2-\+3k2

(9k-3、

于是，可得线段"N的中点/,的坐标为P_3亦,7T

\I十jKI।jK)

-3「2_2

又由于,因此直线/P的斜率为勺一=得押,

7八yK

1+3公

由/P_LMN，得芸”ix%=-|,即5+6分=9，解得公=|＞工，

9k312

4

二.综上可知诙期「…当一满足题意.

【点睛】

本小题主要考查椭圆标准方程的求解，考查直线和椭圆的位置关系，考查运算求解能力，属于

中档题.

17.(1)—+/=1;(2)1,4^+21.

4-11

【解析】

试题分析：(1)根据离心率为力、圆心到直线距离等于半径，结合性质/,列出

关于“、b、c的方程组，求出“、b、c,即可得椭圆C的方程；⑵直线＞=履+，”小=0)

与圆E相切得：急邛

=4"/=3犬+3,将直线.了=依+制％*0)代入椭圆。的方程得：

2

(l+4^).V+8AW.r+4/W-4=0,①根据点到直线距离公式、弦长公式结合韦达定理及三角形面

17

1i\/（3公+3）（13〃2+1）

积公式可得同归-司=的一r^--《，利用基本不等式可得结果；②当E

//Z.\3Kill

，1s.^OP\AB\OP\4>/42+21

取得最大值时，k'=~,针=-j-=雨=-r；-----

5S]j嘲的/。[11

试题解析：Q）依题直线/的斜率Ian30邛.设直线/的方程为y邛（…）,

«~T

22

a=4x2i

依题有：a2=A?+c2n,nC:—4-y=1

h2=l4-

C_y/3

标二T

⑵由直线.-=小工0）与圆E相切得：=曰=4m2=3二+3

设A«,必）.8（吃,必）,将直线y=h+,〃（左xO）代入椭圆C的方程得：

（1+4左°卜？+8kmx+4m2-4=0>=64二〃/-4（1+4k2）（4/H2-4）=4（16公-4〃尸+4）

;4/»2=3kz+3..-.A=4（13炉+1）>0,且

8km4"J-4

士+»-4/，3=用二.

644

|苍一X21=J（西+X21-452=J"；?6型-=2鲁J-\AB\=V17F>,-x2|

设点。到直线/的距离为“石，故.OAB的面积为：

J（3公+3）（13公+1）<（3公+3）+（13公+1）

$=；|4网4=；|同归一》』=

2（3二+1）-4（4公+1）

当弘2+3=13炉+1=公=：.等号成立.故S、的最大值为1.

设Q（X3，M）,由直线1=履+,〃（心0）与圆E相切于点P,可得。。_148,

I4k2

4+f\°Q\="；+必上2+12>/14

\2n2

4+k27

t4-

18

-.•|0P|=^r-.\PQ\=^Q-\pP\=651。叩tQ/>L4阮+21

=工二寸.加小两11

【方法点晴】本题主要考查待定系数法求椭圆方程及圆锥曲线求最值，属于难题.解决圆锥曲线

中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结

论来解决，非常巧妙；二是将圆锥曲线中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用

参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法，本题(2)就

是用的这种思路，利用均值不等式法求三角形面积最值的.

18.x2+(y+l)2=18.

【解析】

b-1

------"1/

0+2解得

b+1a-2

-----------#1/

(22'

Z

Q=0,I-4>111

故C(0,-1倒直线3x+4y-ll=0的距离d=L^二3.

b=・1.

<

2222

1.AB=6,/.r=d+中>=18,,圆C的方程为x+(y+1)=18.

19.x2-^-=l

3

【解析】

抛物线的焦点坐标为(LO)，即a=1.双曲线的渐近线方程为y=±，x=±百x,即b=有，所

以双曲线的方程为

20.(1)/=2x(2)土半(3)8

【分析】

(1)根据焦点坐标求得P=1(2)根据焦半径公式得X,-2七=；,再联立直线方程与抛物线方

程，结合韦达定理解得再=1应=；,A=±手(3)设尸(与,治)》(0向,阳0©,根据直线与圆相

19

2

切得(x「2)〃+2%b-x0=0,(X„-2)c+2y0c-xo=0,再根据韦达定理得人+c=9孑,

机•=《、,代入面积面积公式化简得S,3R、=a[=(x「2)+:+4，最后根据基本不等式

2-%x0-2x0-2

求最值

【详解】

解：(1)设抛物线C的方程为/=2Px(p＞0),

由弓=；,即〃=1,

所以抛物线C的方程为必=2x

(2)设/区，必),8区,月)，^\FA\=2\FB\

得故』+；=2(七+'

gpx,-2x2=^(i)

又由：」="'+?得二丫2+耐-2口+仁=o

y2=2x4

2

故玉+巧=m一1②

K

W=；③

解①②③构成的方程组得N=Lx?=；，人=土平

又由△=(公一2尸-%"=4-4公＞0,即,所求得的A适合，

因此所求得的A的值为士手

(3)设尸[,/),/?(0,6)川(0,。)，且6＞。

・.・直线PR的方程为(乂-g-3+，"=0

二圆(x-1)。+厂=1内切于APRN,

由则圆心(1,0)到直线PR的距离为1,

必一b+x阖

・•・二份口二=1化简得(%-2)/+2y.h一/=。

20

同理可得(％-2)/+2yoc-xo=0

由于%>2,所以4c为方程*(,-2*+2%、-%=0的两根，

b+c=^-6c•=--()_靖=4汇+4%*.=4X-

2

2-xJ2-x0'(x0-2)U-2)-

1Y24

s…产中广吉-2)+三铝8

当且仅当％=4时取等号，

所以APRN的面积最小值为8.

【点睛】

本题考查抛物线方程、直线与抛物线位置关系、直线与圆相切以及利用基本不等式求最值，考

查综合分析求解能力，属较难题.

734

21.(1)V2-1；(2)

丁'

【分析】

(1)直接利用直角坐标式和参数式之间的转换，利用两点间的距离公式的应用求出结果.

(2)利用点到直线的距离公式的应用和三角函数关系式的恒等变换求出距离的取值范围.

【详解】

解：(1)P是椭圆：+丁=1上的一动点.把椭圆的方程转换为参数方程为卜(。为

参数).

故：P(0cos〃,sin。)则：|尸小={(x/IcosO-lF+sin?。=|cosO-@\，当COS。=l时，I尸川的最小值为

(2)把点P(J5cos6,sin。)代入直线3工+4尸一2j^=0，得至!j

|3&cos6+4sin"2呵_|衣sin(8+a)-2底\

,当sin(6+a)=l时

V32+425

当sin矽+a)=T时，%一殍,则：点尸到直线的距离的范围为［”,宰］.

【点睛】

21

本题考查的知识要点：直线的直角坐标式和参数式之间的转换，点到直线的距离公式的应用，

三角函数关系式的恒等变换，主要考查学生的运算能力和转换能力，属于基础题型.

22.(1)5x-6y-14=0(2)6.1!

【解析】

向量是数形结合的典型例子，向量的加减运算是用向量解决问题的基础，要学好运算，才能用

向量解决立体几何问题，三角函数问题，好多问题都是以向量为载体的.

(1)根据平行四边形中