高中数学各章学法指导

课程简介

高中数学《新课程学习方法指导》完整、深入地介绍了同学们在高中阶段学习数学应该

掌握的学习方法。《新课程学习方法指导》采取通过具体实例解读学习方法，并从中提出相

应的学习能力要求。所举实例源自重点知识及难点知识，即围绕突出重点知识，突破难点知

识，探求学习方法，提高学习效率。

《新课程学习方法指导》是根据同学们在学习中容易出现的问题，介绍较为实用的学习

方法。所介绍的学习方法紧密结合思维方式的提高、创新意识的培养，并给出了专题归纳总

结、题组训练等方法，以启发同学们探索新的学习方法。

希望同学们在学完《新课程学习方法指导》后，能够总结出一套适合自己的学习方法,

不断提高数学学习水平，提高数学素质。

第一讲准确把握集合与逻辑用语中的概念

1.重视集合元素的互异性在解题中的作用

例1设集合A={1,3,a},B={1,a2-a+l},求AUB.

解：⑴如果a2-a+1=3,则a=-l或a=2.

由集合元素的互异性知

在集合A中a#1且存3.

在集合B中a2-a+l^I,即a声0且a#1.

AB={-1,1,3}或者是AUB={1,2,3}.

(2)如果a2-a+l=a,则a=l.但这不符合集合元素的互异性，应舍去.

(3)如果a»，a#3,aWO，a^-1,a>2,则AUB={1,3,a,a2-a+l}.

例2已知集合人={3,3+m,3+5m},B={3,3p,3P?},且A=B,求m,p的

值.

先看错解的过程

错解：由A=B,得

f3tlli=3p,r3+m=3p:,

I3+5%=3p、或(][)[3+5m=3p.

评注：事实上，当m=0,p=l时，集合A={3,3,3}和集合B={3,3,3}显然

不符合元素的互异性，应当舍去.

2.忽视空集是任何一个集合的子集，往往发生解题错误

空集是任何•个集合的子集，是任何一个非空集合的真子集.在解答某些关于集合A

是集合B的子集这类问题时，往往因为忽视空集的重要性而造成解题失误.

例3已知集合A={x|x2+(p+2)x+l=0,x£R}且ACIR+=<I>,则实数p的集合是().

A.{pIp>-2}B.{pIp>0)

C.{pI-4<p<0}D.{pIp>-4}

解：(l)A^①时，AAR?①表示方程x2+(p+2)x+l=0有实数解，且为非正实数.

根据判别式和韦达定理，得到

{△=(p+2)2-4>0,p+2>0.

p>0.

(2)A=©时，显然AnR-=0>，它表示方程没有实数解.

.*.△=(p+2)2-4<0.

-4<p<0.

综上得到{p>-4},应选D.

例4设集合A={x|X2-3X+2=O}.集合B={xIx2-ax+2=0},若AUB=A,求实数

的值所组成的集合.

解：易知A={1,2},

由AUB=A,有B±A.

（1）若B=A,显然a=3.

（2）若B£A,则分两种情况讨论.

①B中只含一个元素1或2.

由a=a2-8=0,得a=±2V?；

当a=±2事时，x=/或x=-/.

但B={a}或B={-嫄}都不符合BSA,应该舍去.

②B=①，此时方程x2-x+2=0没有实数根，

由^=a2-8<0,得-2嫄<a<2

综上知，若AUB=A,则山a值组成的集合是：

{aI-2-#<a<2口}U{aIa=3}

3.在研究两个集合的关系时，“集合相等”至关重要

例5集合P,Q,M满足pnQ=P,QnM=Q,则集合P,M的关系为（）.

A.PiMB.piMC.P匚MD.P

解：⑴当集合P,Q,M不相等时，

如图⑴所示：

M

SU)图(2)

有PsM.

（2）当集合P=Q=M时，如图（2）所示:

所以得到P=M.

综上所述，，P匚M.应当选C.

例6已知集合M,N及全集U,贝IJM$N是MnCuN=®的（）.

A.充分非必要条件B.必要非充分条件

C.充要条件D.既非充分又非必要条件

解：如图

EI3）

可知M=N是MDCuN=①的充分条件.

MnCuN=O＞时则有M£N或M=N两种可能.

M£N是MCCuN=①的充分非必要条件.应选A.

4.弄懂集合语言的含义。是避免产生常见错误的关键

集合问题中的数学语言，其常见形式主要有三种：•是文字语言，二是符号语言，三是

图形语言.三种语言虽然形式不同，但它们对于同一个数学对象本质属性的描述是一致的，

因此它们之间可以互相转换.

下面主要介绍用已知集合的交、并、补集，表示文氏图中的指定集合.

例7设U为全集，P,Q是U的子集，试用P,Q的交、并、补集符号表示图（4）

和图（5）中阴影部分.

图传）图（5）

解：(1)在图(4)中，由给定的图形符号知，阴影部分在集合P外，则应与P补有关；

它又在集合Q内，则应与集合Q有关.

••・阴影部分应该用CuP与Q表示，

用符号语言应表示为(CuP)nQ

(2)在图(5)中，由给定的图形符号知：

右边部分可表示为(CuP)nQ左边部分可表示为PHCuQ.

,阴影部分应该用并集表示成

(CuP)AQU(PCICuQ).

例8设I是全集，P,M,N是它的子集，试用P,M,N的交、并、补集符号

表示图(6)和图(7)中的阴影部分的集合.

解：(1)在图(6)中，阴影部分在集合P,N之外，且在集合M之内，所以可用集合C,(P

UN)与集合M表示成：MnCj(PUN)

(2)在图(7)中，阴影部分在PCM之内，且在N之外，所以可用PCM与GN表示成:

(PCIM)nCiN

5.注意区分“命题的否定”与“否命题”这两个根本不同的概念

例9分别写出下列简单命题1p的复合命题：

⑴命题p：方程2x-l=3-2x的解是x=2

(2)命题p：不等式x-2<0的解集是x<0

(3)命题p：0-5是无理数

(4)命题p：三角形的外角大于它不相邻的任何一个内角

(5)命题p：菱形的对角线相等

解：(1)1P：方程2x-l=3-2x的解不是x=l；

(2)-|p：不等式的x・2〈O的解集是x>0；

(3万p：石-对不是无理数；

(4方p：三角形的外角不大于(小于等于)与它不相邻的任何一个内角；

(5)-]p:菱形的对角线不一定相等.

例10写出下列命题的否定及否命题：

(1)原命题：面积相等的三角形是全等三角形；

(2)原命题：方程2x2・3x+l=0的根是x=l或x=2

解：(1)命题的否定：面积相等的三角形不一定是全等三角形；

否命题：面积不相等的三角形不是全等三角形.

(2)命题的否定：方程2x2-3x+l=0的根，不是x=l,且不是x=弓；

否命题：若方程不是2X2-3X+I=0,则它的根不是x=l,且不是x=I.

评注：为求解方便应将原命题写成“若p则q”的形式

设：p表示原命题，贝hp就叫做命题的否定；如果原命题是“若p则q”,则命题的

否定为：

(l)p：集合中某些元素是s,则1p：集合中某些元素不是s；

(2)p：集合中所有元素是s,贝归p：集合中所有元素不一定是s.

如果原命题是“若p则q”,则“若1p贝打q”就叫做原命题的否命题.

6.真正认清命题中的条件与结论的逻辑关系

例11分别指出下列各组命题中，p是q的什么条件：

(l)p：a>0,b>O；q：a2+b2>O；

(2)p：a>b；q：IaI>b；

(3)p：0<x<4；q：Ix-2I<2；

(4)p：c=0；q：抛物线ax2+bx+c过原点；

(5)p：两三角形相似；q：两三角形全等.

解：(l)p：a>0,b>0=q:a2+b2>0,

p是q的充分不必要条件.

(2)p：a>b=q:IaI>b,

二p既不是q的充分条件，也不是必要条件.

(3)p：0<x<4=q:Ix-2I<2,

p是q的充要条件.

(4)p：c=0三q:抛物线y=ax2+bx+c过原点，

p是q的充要条件.

(5)p：两三角形相似三q：两三角形全等，

...p是q的必要不充分条件.

例12已知p,q是两个命题，且p是q的充分条件，则

(l)q是p的条件

(2)-1q是1p的条件

(3)-|p是-Jq的条件

解：(1)必要条件；

(2)充分条件;

(3)必要条件.

例13设甲、乙、丙是三个命题，如果甲是乙的必要条件，丙是乙的充分条件但不是

乙的必要条件，则().

A.丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件.

B.丙是甲的必要条件，但不是甲的充分条件.

C.丙是甲的充要条件.

D.丙不是甲的充分条件，也不是甲的必要条件.

解：由已知条件可得：

甲二乙三丙

丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件.

二应选A.

第二讲具体函数与抽象函数相结合是学好“函数”的有效手段

1.以指数函数为背景

x

我们把学习过的函数，如指数函数y=a(a>0,且曲1),对数函数y=logax(a>0,且a/

1,x>0),用抽象的函数符号和语言进行表述，并在此基础上对函数的图象、性质进行证明

和研究，是掌握函数方法、函数思想极其有效的方法.

1.以指数函数为背景

例1设函数产f(x)定义在实数集R上，当x>0时，f(x)>l,且对任意实数m,n都

有fl(m+n)=f(m)-f(n).

(1)证明f(x)在R上，恒有f(x)>0.

(2)证明f(x)在R上是增函数.

证明⑴f(x)在R上，恒有f(x)>0.

设n>0,m=0,则f(x)>l.

二f(O+n)=f(O)-f(n),

即f(n)=f(O)-f(n).

又f(n)>l,

f(O)=l,设x<0,

则-x>0,从而f(-x)>0.

,:f(O)=f(x-x)

=f(x)-(X)

=1,

f(x)=1f(-x)>0.

不论X为任意实数，都有f(x)>0.

证明(2)f(x)在R上是增函数

设X|<x2,可表示成x2=Xi+t(t>0).

由t>0,有f(t)>l,

/.f(x2)=f(X|+t)

:.f(x)在R上是增函数.

例2(1)下列函数中，具有性质f(x+y)=f(x)-f(y)(x,y£R)的是().

A.f(x)=x2B.f(x)=2x

C.1x尸2xD.f(x)=-x+l

(2)设函数y=fi[x)定义在实数集上，则函数y=Rx-l)与y=fi；l-x)的图象关于().

A.直线y=0对称B直线x=0对称

C.直线y=l对称D.直线x=l对称

解(1)：由f(x+y尸f(x>f(y)(x,yeR)知,取f(x尸2乂满足题设要求.

而f(x尸X?,f(x)=2x,f(x)=-x+l不符合要求.

/.应选B.

解(2)：可选取f(x)=2x(xeR),符合题设要求.

工

y=f(x-l)=2x-',y=f(l-x)=2'-x=(2产，

而曲线产2日是由曲线产2*向右平移1个单位得到的，曲线y=(亍是由曲线

£

y=(3)*向右平移1个单位得到的.

它们应关于直线x=l对称，

二应选D.

例3设函数y=f(x淀义在R上，且对任意实数m,n恒有f(m+n)=f(m)-f(n),且当

x>0时,Ovf(x)vl.

(1)求证f(0尸1,且当x〈0时，f(x)>1；

(2)求证f(x)在R上递减；

(3)设集合A={(x,y)If(x2)-f(y2)>f(l)},B={(x,y)If(ax-y+2)=l,aGR},若API

B=①，求a的取值范围.

证明⑴求证f(O)=l,且当xVO时,f(x)>l,

令m=l,n=0,

得fu)=f(i)RO).

V0<f(l)<l,

/.RO)=L

设x<0,则-x>0,则f(x-x)=f(x)-f(-x),

Vf(O)=l,

I

f(x)-f(-x)=l,f(x)=

,:-x>0,0<f(-x)<l,

I

f(x)=-功>1.

(2)求证f(x)在R上递减

证明1：设X]<X2,则X2-X1>O,

:.0<f(X2-Xi)<l.

令m=Xpm+n=x2,贝Un=x2-xi,

.・・f(x2)=f(xi)-f(X2-X])：

0<即f(x2)<f(xi).

/.f(x)在R上递减.

证明2：设X1<X2»则X2-X|>0,

O<f(x2-xi)<l；

Af(x2)-f(xI)=f[(x2-x1)+X1]-f<X!)

=f(X2-Xi)-f(X))-f(X|)

=f(Xi)[f(X2-X|)-l].

而fi(X2-Xi)-l<0,f(Xi)>0,

:.f(X2)-f(Xi)<0,

即

f(x2)<f(X|),

・•・f(x)在R上递减.

(3)设集合A={(x,y)I而)4)>出1)},B={(x,y)If(ax-y+2)=l,aSR},若ACl

B=①，求a的取值范围.

解:由的2>/2)项1),有解+办瑁).

Vf(x)在R上是减函数,

二x2+y2<l.

由f(ax-y+2)=l,得Rax-y-2)=f(0),

:.ax-y+2=0.

fx:+y:<l,

解l。-k2=0消去y,得(a2+l)x2+4ax+3<0,

・・•ACB=①，

・•・△=(4a)2-12(a2+l)<0,即a2<3.

:.-3<A<3.

例4指数函数Y=(而),的图象与直线y=x的交点横坐标X。满足().

A.O<xo<-B.x0=-

C.2<x0<lD.x()>l

1_J.

解:先确定对比函数y=(三)*与直线厂x的交点横坐标为x=1，即交点坐标为(I,

根据指数函数y=(而)*与y=(三),的图象位置关系，可知0<x0<]，应选A.

2.以对数函数为背景

例1已知f(x)在(0,+oo)上是增函数，且f(l)=0,f(x)+f(y)=f(xy).

求证0〈xVy〈l时，有If(x)I>If(y)I.

证明：V0<x<y<l,f(x)是增函数，

/.f(x)<f(y),即f(x)<f(y)<0.

0<x<y<l,

/.0<xy<l;

Af(x)+f(y)=f(xy)<f(l)

=0.

由f(x)-f{y)<0,f(x)+f(t)<0,

得[f(x)]2-[f(y)]2>0,

即If(x)I>If(y)I.

例2设函数f(x)的定义域为(0,+oo),f(x)的值随x的增大而增大，且

V

f('")=f(x)-f(y),

⑴求证f(l)=O,

(2)求证f(xy)=f(x)+f(y),

1

(3)若f(2)=l,解不等式f(x)-f(X-1)<2.

证明：(l)f(l)=O

T

V()=f(x)-f(y),令x=y=l,

f(l)=fi(l)-f(l)=O,即f(l)=O.

证明：(2)f(xy)=f(x)+f(y)

V

f(x)=f(7)

=f(xy)-f(y),

f(xy)=f(x)+f(y)

I

解：(3)若f(2)=l,解不等式，f(x)-f(x-3)<2

f(2)=l,

，f(2)+12尸1+1=2,即f(4)=2.

I2

f(x)-f(2W2,f(-r)=f(x)-f(y),

f(x2-3x)<f(4)；

/.X2-3<4；

即X2-3X-4<0.

rxFxYWO,

由(x-3)>o.得3vxW4,

:,不等式的解集为{xI3<x<4}.

例3设函数y=f(x)(xGR,且x#0),对任意实数X,,X2满足f(xl)+f(x2)=f(x1x2).

(1)求证f(l)=f(-l)=O；

(2)求证y=f(x)是偶函数；

(3)已知产f(x)在(0,+oo)上是增函数，解不等式，f(x)+/x-2)<o.

证明:(l)f(l)=f(-l)=O

令X1=X2=1,则f(l)+f(l)=f(lx1),

・・・瑁尸0.

令X|=X2=-1,则f(-l)+f(-l)=f(l)=O,

:.f(l)=O.

证明：(2)kf(x)是偶函数

令X|=X2=X,

则2f(X尸f"),2f(-x)=fi(x2),

f(x)=f(-x)；

・・・Rx)是偶函数.

1

解：(3)已知产f(x)在(0,+8)上是增函数，解不等式f(x)+f(x-^)<0.

工_1_

2

由f(x)+f(x-2)v0,得f(x-2x)<f(i),

f(x)在(0,+oo)上是增函数，

J_工

/.0<x2-2xvl或-l<x2-2x0.

解之，得不等式的解集为

I-而而]_1_1+后

{xI1-4<x<04或0<x<2或2<X<1+4}.

3.同时以指数函数和对数函数为背景

例1已知函数y=f(x),则它的反函数的图象关于y轴对称的函数为.

解：取y=f(x尸2*,它存在反函数J(x)=log2X,它关于y轴对称的函数为f'(-x)=log2(-x)

如图所示:

所求函数为：y=f'(-x).

例2已知函数y=f(x)存在反函数y=g(x),若f(3)=l,则函数y=g(x-l)的图象在下列各

点中必经过().

A.(-2,3)B.(0,3)

C.(2,-1)D.(4,-1)

=11

解：取y=f(x)=log,满足长3)=-1,且存在反函数y=g(x)=(3广，则g(x.])=(3产

经检验知，只有点(0,3)在它的图象上.

Z.应选B.

例3设函数f(x)与g(x)互为反函数，且对任意实数x,y有f(x)+f(y)=f(xy),求证

g(x+y尸g(x)・g(y)

证明：；f(x),g(x)互为反函数，

...g[f(x)]=f[g(x)]=x.

...对x,yGR,有xy=g[f(xy)]=g[f(x)+f(y)].

设x=g(t)),y=g(t2)>则

g(tl)-g(t2)=g{f[g(tl)]+f[g(t2)])=g(ti+t2),

因此g(x+y)=g(x)-g(y).

评注：学习具体函数时，应把它们升华成抽象函数.研究抽象函数时，还应该找到它们

的背景函数，把二者有机地结合起来，就可以更好地掌握和运用函数的有关知识.这是我们

学习函数时，应该掌握的一个学习方法.

第三讲“数列”基本内容浅析

1.以特殊数列为背景快速求解客观题

例1已知等差数列｛a。｝的公差d#0,a“a,,ag成等比数列，贝I」%的值是

解：只要满足a1,a3-a9成等比数列，则｛a。｝取哪个具体的公差存0的等差数列，

与所求的代数式的值无关.

•••可选取最简单的等差数列an=n(neN+),显然它满足a”a3，a9成等比数列.

q+6+A14-34-9

...■+.=2-1-44-10

13

=16

例2设｛a»｝是递增等差数列，前三项的和为12,前三项的积为48,则它的首项是().

A.lB.2C.4D.6

解：从选择项看，等差数列的首项是整数，从条件看，前三项都是整数.

由于等差数列是递增的，显然4,6不能作为首项.

在确定首项是1还是2时:可选取背景函数an=2n其前三项为2,4,6,它们的和

是12,它们的积是48.

:.a.2,应选B

评注：本题是选取正整数数列arn来求解客观题.

例3在等差数列｛aj中，am=n,an=m,且m#n,求a„)+£).

A.mnB.m+nC.Im-mID.O

解法1：利用通项公式的推广形式an=am+(n-m)d变形求解.

•:am=n,an=m,且n#n,

；・an=am+(n-m)d这就是通项公式的推广形式.

an=m,am=n换进去之后容易求出来.

・•・公差d=-l.

再利用推广形式am+n=am+(m+n-rn)d,有

am+n=n+(m+n-m)x(-1).

—

,,am+n0.

/.选D.

解法2：取ai=2,a2=1,那就是m=l,n=2所以就有ai=2,a2=1符合已知条件,

就是符合am=n,@产01且m/n,求出公差d=-l.

a3=a2+d

=1+(-1)

=0.

・・・选D.

评注：解法2选取形成此题的一个背景数列，从而把问题特殊化，使求解过程筒化.

例4等差数列｛a。｝的前m项和为20,前2m项和为72,则它的前3m项和为().

A.94B.92C.156D.188

JSm=2O,

解法1：VlSz-72.可以表示成

.+竺展2d=20,

[.+如彳-。d=72.

化筒之后得到：

2ma]+m(m-1)d=40>

_

[2ma1+m(2ml)d=72.

32

两式相减，得d=X,

一七16

把d代到方程组中，可求出a,=W.

S3m=3ma]+1

121M-48144*48

=JM+JM

=156.

・•・应该选C.

解法2：利用等差数列的性质求解

vSm,S2m・Sm,S3ms2m成等差数列，

Sm+S3m$2m=2(S2m6m)，把已知数值换进去，得20+S3m-72=2(72-20).

/.S3m=156.

应该选C.

解法3：令m=l

则S|=ai=20,

前2m项就是S2=ai+a2

=20+a2

=72

a?=52

・・・d=52-20=32

・・・S3=72+84=156

，应该选c.

例5在各项均为正数的等比数列同｝若a4-as=25,则logsai+Ioggz+log5a3+…

+log5a8=().

A.5B.25C.4D.8

解:选取等比数列an=5,符合a/0,且a4-a5=25

,log5ai+log5a2+Iog5a3+...+log5as

=log55+log55+log55+...+log55(^8项)

=1+1+14-1+1+1+1+1

=8

，应选D.

评注：本题是选取常数列a式5(g=l)来解客观题.

例6已知a”a2，a3,…，a8为各项都大于零的等比数列，并且公比q#l,则().

A.ai+a8>a4+a5

B.ai+as<a4+a5

C.a,+a8=a4+a5

D.ai+ag与a4+a5的大小关系不能由己知条件确定

解：由题设条件知a/0,q>0且/I，

选取等比数列1,2,4,8,16,32,64,128(q/1,g>l),

满足题设条件ai=l,a4=8,a5=16,a8=128,

则ai+a8=1+128=129,a4+a5=8+16=24

••a]+a8>a4+a5.

由于题设条件只要求q/1,从而还应选取一个0<q<l的等比数列进行验证.

选取等比数列1,3,三，■,南，五，祠，而

1I1

满足题设条件a[=1,a4=二，a5=I6,a8=，

I1J_

因此ai+a8=1+1费>1,a4+a5=-+I®<1,

ai+a8>a4+a5

J应选A.

n

评注：本题是选取等比数列an=2-'

2.以等差数列和等比数列的性质为依据，求解某些数列问题

例1已知等差数列｛an｝中,a5+a6+a14+a15=600,则a8+a12=().

A.300B.200C.100D.80

解：利用等差数列的性质，由a5+a6+a14+a15=600,

得2(a6+a]4)=600,

/.a6+a14=300.

又由等差数列的性质，得ag+ai2=a6+a14=300，

J应选A.

评注：若m+n=p+q(m,n,p,q是正整数)，则在等差数列中，有ain-i-an=ap+aq,

利用这个性质可以快速求解客观题.

例2在等差数列%｝中,a12+a17+a19+a24=80,求S35.

解法1：•:an=ai+(n-l)d,a葭+a17+a19+a24=80,

・・・(ai+lld)+(a]+16d)+(a1+18d)+(a)+23d)=80,

即2ai+34d=40,

光⑸+%)35(1al+3U)35x40

S35=2=2=2=700.

解法2：・a口+a17+a19+a24=80,

：•(a12+a24)+(a17+a19)=80.

因此a12+a24=a17+ai9=a]+a35,

2(ai+a35)=80,ai+a35=40.

第S35x40

/.S35=2=2=700.

例3在等差数列｛a1中,Sio=6O,S60=10,求S70.

解法1：利用等差数列前n项和公式，列出a1和d的方程组

10x9

10ai+d=60,

c2

L60ai+处纥=10.

2

C2al+9d=12,

即t6ax+177d=l.

IM2

解方程组ai=20,d=-3®.

11470x697

・・.S70=70Xa+2x(-30)=-70.

解法2：由等差数列性质知

s10,S20-S10，s30-S20»S40-S30，S50-S40»S60-S50，

S7O-S6O,…也成等差数列，并将它们记为

m”m2，m3,m4，m5,m6,m7,其中m]=60,

m2+m3+m4+m5+m6=10-60=-50,

5m4=-50,即m4=-10.

又m],m4,m7也成等差数列,

Am]+m7=2m4,

即m7+60=-20,

m7=-80,

•>-S7o=S6o+(S70-S60尸10-80=-70.

评注：在等差数列｛an｝中，sm,S2m,S3m分别表示前m项、前2m项、前3m

项的和，则Sm，S2m-Sm,S3m・S2m也成等差数列.这个性质具有广泛的应用.

例4已知｛a>是等比数列,且an>0,a2a4+2a3a4a6=25,那么a3+a5=().

A.5B.10C.15D.20

2

解：山等比数列的性质，有a2a4=a?3，a4a6=a5,

*.*a2a4+2a3a5+a4a6=25,

22

aj+2a3a5+a5=25,

即(a3+a5)2=25.

an>0,

a3+a5=5.

应选A.

例5设等比数列｛a。｝的前n项和为Sn,若SS+S6=2S9求数列的公比牛

解：由等比数列的性质知S3，S6-S3,S9-S6,成等比数列，

・・・S3(S9-S6)=(S6-S3)2.

由S3(S9-S6)=(S6-S3)2

S3+S6=2S9

消去S9，得s3=2S6.

若q=l,则S3=3a],S6=6a1,S9=9a1,但a#0

从而S3+S6#2a9,/.qrl,

AT

q3=易

3.整体变形是解决数列问题的有效手段

例1等比数列—｝中，公比q/il,S2o=lOO,求而”的值.

解：由q,1,有S20=「a=100,

J吗

又#i1,有S2O=l-Q=I-',

S40=l-b

q

=1-0-(1-q40)

［吗

=IY(1-q40)

=100(l+q20).

=100.

评注：由题设条件S20=100,(q#t1),不可能求出ai和q,因此必须借助整体变形

小

例2设Sn表示等差数列｛aj的前n项和，S7=42,Sn=510,若an.3=45(n>7),

求n的值.

不6+泉

解：由s7=42,得1+Q=42,

••3]+a7=12.

■:ai+a7=2a4=12,则a4=6.

;ai+an=a4+an-3

=6+45

=51,

心+4)zx5l

:.-I-=

=510,

.,.n=20.

例3数列｛aj为正数的等比数列，它的前n项和为80,其中数值最大的项为54,

又前2n项和为6560,试确定此数列.

解：由S2n=6560,Sn=80知S2n>2sn，从而q=/1.

用（1+如）=80,

..J1-q

.I药（1+产）=3560.

两式相除，得1+q=82,即qn=81.

,:q>l.

，在前n项中an最大,

n-1n

an=aiq=54,即a)q=54q

/.51aj-54q,3a।=2q

---OU

1l-g---------------rai=2

解：1-3ai=2q得、q=3

•rcn-1

・・an=2・3

例4设｛a。｝是由正数组成的等比数列，Sn是其前n项和，求证2<lgS

n+1,

证明：设｛an｝的公比为q，

则Sn+i=a]+qSn，Sn+2=ai+qSn+i，

2

••SnSn+2~Sn+l

=Sn(ai+qSn+i)-(ai+qSJSn+i

=a|Sn+qSnSn+『a]Sn+l-qSnSn+1

=a1(Sn-Sn+l)

=-aian+i〈0・

***SnSn+2Vs2n+].

两边取对数，得

2VlgSn+l.

评注：本题使用了下述整体变形：

2n

Sn+i=ai+aiq+aiq+...+a]q

=ai+q(ai+a[q+…+a[qn-1)

=ai+qSn+i

sn+2=a1+qSn+l

4.合理设数是简化数列计算的重要措施

1l_1

例1设Sn是等差数列历｝的前n项和，已知3s3与5S4的等比中项为亍S”

1I

3s3与1s4的等差中项是1,求等差数列3｝的通项an.

解法1：设等差数列｛a。｝的首项a尸a,公差为d,则

an=a+(n-l)d,S,,=na+?d.

由已知条件，得

|Ss'尸

ls3+ls,=2(s5^o)

34

把它换成a和d的关系

(-(3a+—d)xl(4a+—d)=—(5a+—d)：

J3242252

[1(3a+^^d)+-(4a+l^d)=2.

(3242

「3ad+5d°=0,

l2a+-d=2.

整理得：2解这个方程组，得

12

an=l或an=4-5(n-1)

335

"5"彳

=*--n.

325

经检验知时，S5=5,0,an?・2n时、

S5=-4彳0,均适合题意.

325

'・an=l或2--n.

解法2：设等差数列｛a0｝的前5项为

a-2d,a-d,a,a+d,a+2d(d是公差).

11

JS3=J(a-2d+a+a-d)=a-d,

11

AS4=4(a・2d+a-d+a+a+d)

£

=a--d,

S5=二'(a-2d+a-d+a+a+d+a+2d)

fIs„■Is.=(-Sc)2,

334455

<

1V+1S=9

依题意的3344,

(a_d)(a-Ld)=a2,

<2

a-d+a-ld=2.

I1

(2a-3d=2,

即\2

[d2-3ad=O.

/.d=0时，a=l；

412

d=3a时,a=-：l,d=-5,a-2d=4.

卫£

/.an=l或2n=2--n.

VS5=5a,上述两种情况都有5aK0,

325

a产1或af2--n.

解法3：S3=a14-a2+a3=3a2,S4=ai+a2+a3+a4=2(a2+a3),

S5=a]+32+33+34+35=5a3.

1j_q+明i_

*,*3S3=a2,1S4=2,-S5=a3

r.・%-22

%______-2.

L乙2

整理，得悔,

2

消去a3.得5a2-13a2+8=0.

8

.s

・•22=1/2=).

当a2=1时，a3=1，d=0,an=l；

8412

当a2=$时，a3=-$,d=5,

3212

ai=4,%=2-5n.

3212

当an=l或a『°-$时，S5^0,

3212

，a『l或a『2-$n.

评注：本题全面揭示了设数方法，比较各种设数方法可以发现思维的重要作用，想的深

刻，想的巧妙，就会简化求解过程.

例2有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第

四个数之和是55,第二个数与第三个数之和为50,求这四个数.

解：设第三个数为X,第四个数为y,则第一个数为55-y,第二数为50-x,

于是有如-»・户

gnk50-*”.通

lr

x-775

I

v

r■445

解之，得LF或

.，.所求的这四个数为：10,20,30,45,

175125W45

或丁，丁，彳，彳。

第四讲提高三角变形能力的基本途径

1.抓住基本运算，狠练基本功

在三角函数恒等变形中，经常要计算“已知a角的一个三角函数值，求a角的其他三角

函数值如果到了复习阶段，仍然使用同角公式进行计算，就会使三角解答题的计算过程变

得冗长，带来诸多不便.如果条件允许，可利用下述方法快速简捷求解.

3

例1已知sina=二'，90°<a<180°,求cosa.

解：第一步：“一画”

3

用已知条件所给的比彳画出相应的直角三角形，即a角的对边长3k(k>0),斜边长为

5k,如图⑴所示

B

第二步：“二用”

用勾股定理求出直角三角形的第三条边的长AC=4k.

也可利用我们能够记住的勾股数：

3,4,5；5,12,13；7,24,25；9,40,41；8,15,17直接求出第

三边的长.

第三步：“三求”

用锐角三角函数定义，求cosa的绝对值，即

空Z

Icosa|=5k=5.

第四步：“四定”

根据90。<a<180。决定cosa的符号.,:90。<a<180。时，cosa<0

-T

cosa=-

2

例2已知tana=-3,a是第四象限的角，求sina.

图⑵

解：一画：用已知条件所给的比的绝对值画出相应的直角三角形，如图所示.为

方便起见，令BC=2,AC=3(k=l)

二用：用勾股定理求出斜边AB=厉

三求：求出sina的绝对值IsinaI=4=13

四定：・・・a是第四象限的角，

2713

Asina=-13

34

例3已知cosa=-若,a是第三象限的角，求tana.

解：cosa=-王，a是第三象限的角，

7

.•.t,ana=2c4.

练一练：

请用下的题目，练习这个方法.

(1)已知cosa=3,180°<a<270°,求sina；

(2)已知sina=-彳1，270°<a<360°,求cosa；

j

(3)已知cosa=-：l,II,求sina,tana；

7

(4)已知tana=-X,a£III,求sina,cosa.

2.把握公式来源及结构特征。准确地记忆公式

三角函数公式众多，结构复杂，为灵活运用提供了前提条件，但也给记忆这些公式带来

了一定困难.掌握这些公式关键在于：

(1)弄清这些公式的来龙去脉，掌握它们的推导过程，深刻认识公式的结构特征，明确

每一组公式在整个公式系统中的地位及作用.如下表，就是以sin(a+p)和cos(a+p)为母公

式，推导出一系列公式.

对于两角和的正弦

sin(a+P)=sinacosp+cosasinp.

它的结构特征是均衡分布，即展开式中的每项都有正弦及余弦，从整体上看它是“互

余积的和”.第一项的互余积是从正弦开始，与等号左边的三角函数名称相同，而角的顺序是

不改变的.

对于两角和的余弦

cos(a+p)=cosacosp-sinasinp.

它的结构特征是不均衡分布，即展开式中余弦集中在第一项，正弦集中在第二项，两项

之间的符号也和我们正常思维不一致，从整体上看它是“同名积的差”.余弦集中在第一项，

与等号左边的三角函数名称相同，而角的顺序是不改变的.

令-。代替B，则得到两角差的正弦和余弦公式：

sin(a-p)=sinacos。-cosasirp(互余积的差)；

cos(a-P)=cosacosp+sinasin。(同名积的和).

由于两角和与差余弦的符号的特殊性，所以容易发生错误，这一点应十分注意.

由两角和与差的正余弦公式可以得到两角和与差的正切公式：

★a+闵Wa+0.

tan(a+p)=蜀Itanab”