2024成都中考数学第一轮专题复习之第四章 第三节 全等与相似三角形的性质与判定(含位似) 知识精练(含答案)

2024成都中考数学第一轮专题复习之第四章第三节全等与相似三角形的性质与判定(含位似)知识精练基础题1.(2023长春)如图，工人师傅设计了一种测零件内径AB的卡钳，卡钳交叉点O为AA′、BB′的中点，只要量出A′B′的长度，就可以知道该零件内径AB的长度．依据的数学基本事实是()第1题图A.两边及其夹角分别相等的两个三角形全等B.两角及其夹边分别相等的两个三角形全等C.两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例D.两点之间线段最短2.已知图中的两个三角形全等，则∠1的度数是()第2题图A.76°B.60°C.54°D.50°3.(2022云南)如图，OB平分∠AOC，D，E，F分别是射线OA，射线OB，射线OC上的点，D，E，F与O点都不重合，连接ED，EF.若添加下列条件中的某一个，就能使△DOE≌△FOE.你认为要添加的那个条件是()A.OD＝OEB.OE＝OFC.∠ODE＝∠OEDD.∠ODE＝∠OFE第3题图4.如图，在菱形ABCD中，E是CD边上一点，连接AE，点F，G均在AE上，连接BF，DG，且∠BFE＝∠BAD，只添加一个条件，能判定△ABF≌△DAG的是()第4题图A.∠DGE＝∠BADB.BF＝EFC.AF＝DGD.∠EDG＝∠BAD5.(2023重庆A卷)若两个相似三角形周长的比为1∶4，则这两个三角形对应边的比是()A.1∶2B.1∶4C.1∶8D.1∶166.如图，已知△ABC∽△EDC，AC∶EC＝2∶3，若AB的长度为6，则DE的长度为()A.4B.9C.12D.13.5第6题图7.(2023恩施州)如图，在△ABC中，DE∥BC分别交AC，AB于点D，E，EF∥AC交BC于点F，若eq\f(AE,BE)＝eq\f(2,5)，BF＝8，则DE的长为()第7题图A.eq\f(16,5)B.eq\f(16,7)C.2D.38.(2023陕西)如图，DE是△ABC的中位线，点F在DB上，DF＝2BF，连接EF并延长，与CB的延长线相交于点M.若BC＝6，则线段CM的长为()A.eq\f(13,2)B.7C.eq\f(15,2)D.8第8题图9.如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，OA＝OC，添加一个条件使△AOB≌△COD，则这个条件可以是______________．(写出一个即可)第9题图10.(2023江西)《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺(即图中的ABC)．“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度．如图，点A，B，Q在同一水平线上，∠ABC和∠AQP均为直角，AP与BC相交于点D.测得AB＝40cm，BD＝20cm，AQ＝12m，则树高PQ＝________m.第10题图11.如图，△ABC≌△ADE，BC的延长线交AD于点F，交DE于点G.若∠D＝28°，∠E＝115°，∠DAC＝50°，则∠DGB的度数为________．第11题图12.(2023鄂州)如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△A1B1C1位似，原点O是位似中心，且eq\f(AB,A1B1)＝3.若A(9，3)，则点A1的坐标是________．第12题图13.(2023乐山)如图，在平行四边形ABCD中，E是线段AB上一点，连接AC，DE交于点F.若eq\f(AE,EB)＝eq\f(2,3)，则eq\f(S△ADF,S△AEF)＝________．第13题图14.(2023江西)如图，AB＝AD，AC平分∠BAD.求证：△ABC≌△ADC.第14题图15.(2023陕西)如图，在△ABC中，∠B＝50°，∠C＝20°.过点A作AE⊥BC，垂足为E，延长EA至点D，使AD＝AC，在边AC上截取AF＝AB，连接DF.求证：DF＝CB.第15题图16.(2022盐城)如图，在△ABC与△A′B′C′中，点D，D′分别在边BC，B′C′上，且△ACD∽△A′C′D′，若________，则△ABD∽△A′B′D′.请从①eq\f(BD,CD)＝eq\f(B′D′,C′D′)；②eq\f(AB,CD)＝eq\f(A′B′,C′D′)；③∠BAD＝∠B′A′D′这3个选项中选择一个作为条件(写序号)，并加以证明．第16题图17.(2023舟山)如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，连接EF.(1)求证：AE＝AF；(2)若∠B＝60°，求∠AEF的度数．第17题图拔高题18.(2023绥化)如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△AB′C′的相似比为1∶2，点A是位似中心，已知点A(2，0)，点C(a，b)，∠C＝90°，则点C′的坐标为________．(结果用含a，b的式子表示)第18题图19.(2023杭州)如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A<90°，点D，E，F分别在边AB，BC，CA上，连接DE，EF，FD，已知点B和点F关于直线DE对称．设eq\f(BC,AB)＝k，若AD＝DF，则eq\f(CF,FA)＝________(结果用含k的代数式表示)．第19题图20.(2023温州)如图，已知矩形ABCD，点E在CB延长线上，点F在BC延长线上，过点F作FH⊥EF交ED的延长线于点H，连接AF交EH于点G，GE＝GH.(1)求证：BE＝CF；(2)当eq\f(AB,FH)＝eq\f(5,6)，AD＝4时，求EF的长．第20题图参考答案与解析1.A【解析】∵点O为AA′、BB′的中点，∴OA＝OA′，OB＝OB′，由对顶角相等得∠AOB＝∠A′OB′，在△AOB和△A′OB′中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(OA＝OA′，,∠AOB＝∠A′OB′，,OB＝OB′，))∴△AOB≌△A′OB′(SAS)，∴AB＝A′B′，即只要量出A′B′的长度，就可以知道该零件内径AB的长度．2.D【解析】第一个三角形中b，c之间的夹角为180°－76°－54°＝50°，∠1是b，c之间的夹角．∵两个三角形全等，∴∠1＝50°.3.D【解析】由题意得∠AOB＝∠BOC，OE＝OE，若要使△DOE≌△FOE，则需OD＝OF或除已知外的一组对应角相等即可．根据选项可知∠ODE＝∠OFE满足条件．4.A【解析】∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝DA.∵∠BFE＝∠BAD，∴∠ABF＋∠BAF＝∠DAG＋∠BAF，∴∠ABF＝∠DAG.当∠DGE＝∠BAD时，∠ADG＋∠DAG＝∠DAG＋∠BAF，∴∠BAF＝∠ADG，∴△ABF≌△DAG(ASA).5.B6.B【解析】∵△ABC∽△EDC，AC∶EC＝2∶3.∴eq\f(AB,ED)＝eq\f(AC,EC)＝eq\f(BC,DC)＝eq\f(2,3)，∴当AB＝6时，DE＝9.7.A【解析】∵DE∥BC，EF∥AC，∴∠B＝∠AED，∠BEF＝∠A，∴△BEF∽△EAD，∴eq\f(BF,ED)＝eq\f(BE,EA)＝eq\f(5,2).∵BF＝8，∴DE＝eq\f(16,5).8.C【解析】∵DE是△ABC的中位线，∴DE∥BC，DE＝eq\f(1,2)BC＝eq\f(1,2)×6＝3，∴△DEF∽△BMF，∴eq\f(DE,BM)＝eq\f(DF,BF)＝eq\f(2BF,BF)＝2，∴BM＝eq\f(3,2)，CM＝BC＋BM＝eq\f(15,2).9.OB＝OD(答案不唯一)【解析】∵OA＝OC，∠AOB＝∠COD，OB＝OD，∴△AOB≌△COD(SAS).10.6【解析】∵∠ABC和∠AQP均为直角，∴BC∥PQ，∴△ABD∽△AQP，∴eq\f(BD,AB)＝eq\f(PQ,AQ)，∴eq\f(20,40)＝eq\f(PQ,12)，∴PQ＝6m.11.87°【解析】∵△ABC≌△ADE，∴∠B＝∠D＝28°，∠ACB＝∠E＝115°，∴∠ACG＝65°.∵∠DAC＝50°，∴∠AFC＝∠GFD＝65°，∴∠DGF＝180°－∠D－∠DFG＝87°.12.(3，1)【解析】∵△ABC与△A1B1C1位似，且原点O为位似中心，eq\f(AB,A1B1)＝3，点A(9，3)，∴eq\f(1,3)×9＝3，eq\f(1,3)×3＝1，即点A1的坐标是(3，1).13.eq\f(5,2)【解析】如题图，∵eq\f(AE,EB)＝eq\f(2,3)，∴eq\f(AE,AB)＝eq\f(2,5).∵四边形ABCD为平行四边形，∴DC＝AB，DC∥AB，∴eq\f(DF,EF)＝eq\f(DC,AE).∵eq\f(AE,AB)＝eq\f(2,5)，DC＝AB，∴eq\f(AE,DC)＝eq\f(2,5)，∴eq\f(DC,AE)＝eq\f(5,2)，∴eq\f(DF,EF)＝eq\f(5,2)，∴eq\f(S△ADF,S△AEF)＝eq\f(DF,EF)＝eq\f(5,2).14.证明：∵AC平分∠BAD，∴∠BAC＝∠DAC.在△ABC和△ADC中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AB＝AD，,∠BAC＝∠DAC，,AC＝AC，))∴△ABC≌△ADC(SAS).15.证明：∵在△ABC中，∠B＝50°，∠C＝20°，∴∠CAB＝180°－∠B－∠C＝110°.∵AE⊥BC，∴∠AEC＝90°，∴∠DAF＝∠AEC＋∠C＝110°，∴∠DAF＝∠CAB.又∵AD＝AC，AF＝AB，∴△DAF≌△CAB，∴DF＝CB.16.解：选择①eq\f(BD,CD)＝eq\f(B′D′,C′D′)，证明：∵△ACD∽△A′C′D′，∴∠ADC＝∠A′D′C′，eq\f(AD,A′D′)＝eq\f(CD,C′D′)，∴∠ADB＝∠A′D′B′.又∵eq\f(BD,CD)＝eq\f(B′D′,C′D′)，∴eq\f(BD,B′D′)＝eq\f(CD,C′D′)，∴eq\f(BD,B′D′)＝eq\f(CD,C′D′)＝eq\f(AD,A′D′)，∴△ABD∽△A′B′D′.选择③∠BAD＝∠B′A′D′.证明：∵△ACD∽△A′C′D′，∴∠ADC＝∠A′D′C′，∴∠ADB＝∠A′D′B′.∵∠BAD＝∠B′A′D′，∴△ABD∽△A′B′D′.17.(1)证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD，∠B＝∠D.又∵AE⊥BC，AF⊥CD，∴∠AEB＝∠AFD＝90°.在△ABE和△AFD中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠AEB＝∠AFD，,∠B＝∠D，,AB＝AD，))∴△ABE≌△ADF(AAS)，∴AE＝AF；(2)∵四边形ABCD是菱形，∴∠B＋∠BAD＝180°.∵∠B＝60°，∴∠BAD＝120°.又∵∠AEB＝90°，∠B＝60°，∴∠BAE＝180°－∠AEB－∠B＝30°.由(1)知△ABE≌△ADF，∴∠DAF＝∠BAE＝30°，∴∠EAF＝120°－∠DAF－∠BAE＝60°.∵AE＝AF，∴△AEF是等边三角形，∴∠AEF＝60°.18.(6－2a，－2b)【解析】如解图，过点C作CM⊥AB于点M，过C′作C′N⊥AB′于点N，则∠ANC′＝∠AMC＝90°，∵△ABC与△AB′C′的相似比为1∶2，∴eq\f(AC,AC′)＝eq\f(1,2).∵∠NAC′＝∠MAC，∴△ACM∽△AC′N，∴eq\f(AM,AN)＝eq\f(CM,C′N)＝eq\f(AC,AC′).∵点A(2，0)，点C(a，b)，∴OA＝2，OM＝a，CM＝b，∴AM＝a－2，∴eq\f(a－2,AN)＝eq\f(b,C′N)＝eq\f(1,2)，∴AN＝2a－4，C′N＝2b，∴ON＝AN－OA＝2a－6，∴点C′的坐标为(6－2a，－2b).第18题解图19.eq\f(k2,2－k2)【解析】设∠B＝α，BE＝x，∵AB＝AC，∴∠C＝α，∠A＝180°－2α.∵点B和点F关于直线DE对称，∴△DBE≌△DFE，∴∠DFE＝∠B＝α，EF＝BE＝x.∵AD＝DF，∴∠DFA＝∠A＝180°－2α，∴∠CFE＝180°－∠AFD－∠DFE＝180°－(180°－2α)－α＝α，∴∠