2024成都中考数学第一轮专题复习之第四章 微专题 遇到中点如何添加辅助线 教学课件

第一轮专题复习之第四章微专题遇到中点如何添加辅助线

考情及趋势分析成都8年高频点考情及趋势分析考情分析年份题号题型分值考查知识点中点位置202326(1)解答题4构造直角三角形斜边中线斜边中点202127(3)解答题4构造中位线直角边中点202020(3)解答题4斜边中线斜边中点25B卷填空题4中位线性质矩形两边中点201827(2)解答题4直角三角形斜边中线斜边中点201727解答题10等腰三角形，三线合一等腰三角形底边中点【考情总结】1.考查题型：与中点有关问题一般不会单独考查，常在几何图形综合题、圆的综合题和几何动态综合题中涉及考查；2.考查特点：在题干中出现时，常直接利用三角形中位线性质或中线的性质求解.一阶

方法训练方法一构造中位线(8年2考：2021.27，2020.25)方法解读情形1当图形中出现两个中点时，考虑构造中位线条件：如图，点D，E分别为AB，AC边的中点．

辅助线作法：连接DE.结论：DE∥BC；DE＝

BC；△ADE∽△ABC.情形2遇到中线考虑中线中位法条件：如图，点D为AB边的中点．

辅助线作法：延长BC至点E，使得CE＝BC，连接AE.结论：CD∥AE；CD＝

AE；△BDC∽△BAE.例1

如图，在△ABC中，点D，E分别为AC，BC的中点，连接AE，BD交于点F，则

的值为________．例2如图，在正方形ABCD中，P是BC边上一点，Q是CD边上的中点，连接AP，PQ，若E，F分别是AP，PQ的中点，AB＝4，则EF的长为________．例1题图例2题图例3

如图，在△ABC中，点D是AB的中点，点E为BC边上一点，且∠BCA＝2∠BED，BE＝

AC，CE＝3，求AC的长．一题多解法例3题图解法一：如图，过点D作DG∥AC交BC于点G，G∴∠BGD＝∠BCA.∵∠BCA＝2∠BED，∴∠BGD＝2∠BED.∵∠BGD＝∠BED＋∠EDG，∴∠BED＝∠GDE，∴DG＝EG.∵D是AB中点，DG∥AC.∴DG是△ABC的中位线，∴DG＝

AC.一题多解∵BC＝BE＋CE＝

AC＋3，∴BG＝

BC＝

AC＋

.∵BG＝BE－GE＝

AC－

AC＝

AC，∴AC＋

＝

AC，∴AC＝9.G例3题图解法二：如图，延长BC至点G，使EG＝BE，连接AG.例3题图G∵点D是AB的中点，∴DE是△ABG的中位线，∴DE∥AG，∴∠BED＝∠G.∵∠BCA＝2∠BED，∴∠BCA＝2∠G＝∠G＋∠CAG，∴∠G＝∠CAG，∴CG＝AC.例3题图G∵BE＝

AC，∴设CG＝AC＝3x，则BE＝EG＝4x，∴CE＝EG－CG＝x＝3，∴AC＝3x＝9.方法二构造中线(8年4考：2023.26，2020.20，2018.27，2017.27)方法解读情形1遇等腰三角形底边中点时，考虑作底边上的中线，利用“三线合一”解题条件：如图，在等腰△ABC中，点D是底边BC的中点．

辅助线作法：连接AD.结论：AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD.情形2遇到直角三角形斜边上的中点时，考虑作斜边上的中线条件：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D为AB边的中点．

辅助线作法：连接CD.结论：CD＝

AB.例4如图，在△ABC中，D是BC上的点，AD＝AB，E，F分别是AC，BD的中点，AC＝6，则EF的长为________．例5如图，将两个含30°的直角三角形摆放在一起，点E为AB的中点，连接DE.若AC＝2，则DE的长为________．例4题图例5题图3方法三倍长中线法方法解读情形1倍长中线条件：如图，在△ABC中，AD是BC边的中线．

辅助线作法1：延长AD至点E，使DE＝AD，连接BE.辅助线作法2：过点B作AC的平行线，交AD的延长线于点E.结论：△ACD≌△EBD.情形2倍长类中线条件：如图，在△ABC中，点D是边BC的中点，E是边AB上一点，连接DE.

辅助线作法1：延长ED至点F，使DF＝ED，连接CF.辅助线作法2：过点C作AB的平行线，交ED的延长线于点F.结论：△BDE≌△CDF.例6

如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE＝AC，延长BE交AC于点F，求证：AF＝EF.一题多解法例6题图证法一：如图，延长AD至点G，使得AD＝DG，连接BG.G∵AD是BC边上的中线，∴DC＝DB.在△ADC和△GDB中，∴△ADC≌△GDB(SAS)，一题多解例6题图G∴∠CAD＝∠G，BG＝CA.又∵BE＝AC，∴BE＝BG，∴∠BED＝∠G.∵∠BED＝∠AEF，∴∠AEF＝∠CAD，∴AF＝EF.证法二：如图，延长ED至点H，使得DH＝DE，连接CH.例6题图H∵AD是BC边上的中线，∴BD＝CD.在△BDE和△CDH中，∴△BDE≌△CDH(SAS)，∴BE＝CH，∠BED＝∠H.∵AC＝BE，∴AC＝CH，∴∠H＝∠FAE.∵∠BED＝∠AEF，∴∠AEF＝∠FAE，∴AF＝EF.例7如图，在正方形ABCD中，E是AB的中点，点F在BC上，且∠EFD＝∠ADF，求tan∠CDF的值．例7题图解：如图，延长FE至点G，使得EG＝EF，连接AG.G设正方形ABCD的边长为1，设CF＝x，则BF＝1－x，∵点E是AB的中点，∴AE＝BE.在△AEG和△BEF中，例7题图G∴△AEG≌△BEF(SAS)，∴AG＝BF＝1－x，∠EAG＝∠EBF＝∠BAD＝90°，∴D，A，G三点共线．∵∠EFD＝∠ADF，∴GF＝GD＝1－x＋1＝2－x，EF＝

GF＝1－

.在Rt△BEF中，由勾股定理得，BF2＋BE2＝EF2，即(1－x)2＋()2＝(1－

)2，解得x＝

或x＝1(舍去)，∴tan∠CDF＝

＝

.二阶

综合训练1.如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠C＝30°，D，E分别为边AC，BC的中点，连接AE，过点D作DF⊥AC交BC于点F，若EF＝2，求BF的长．第1题图解：如图，连接DE，BD.∵点D，E分别为边AC，BC的中点，∴DE∥AB，BD＝CD，∴∠DEC＝∠ABC＝90°，∠DBC＝∠C＝30°，∴∠DEF＝90°.第1题图∵DF⊥AC，∴∠CDF＝90°，∴∠DFE＝90°－∠C＝60°，∴∠DBF＝∠BDF＝30°，∴BF＝DF.∵EF＝2，cos∠DFE＝

＝

，∴DF＝4，∴BF＝4.2.如图，在△ABC中，D是边AC的中点，E为BC边上一点，且CD＝CE，∠ACB＝30°，∠BAC＝45°，若DE＝2，求AB的长．第2题图解：如图，过点A作AF∥DE交CE的延长线于点F.F∵CD＝CE，∠ACB＝30°，∴∠CED＝∠CDE＝

(180°－∠ACB)＝75°.∵AF∥DE，点D是边AC的中点，∴DE为△ACF的中位线，∴∠CFA＝∠CAF＝∠CED＝∠CDE＝75°，∴∠BAF＝∠CAF－∠BAC＝30°，AF＝2DE＝4，第2题图F∴∠ABF＝180°－∠AFB－∠BAF＝75°.∵∠ABF＝∠AFB＝75°，∴AB＝AF＝4.3.如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，∠BAD＝45°，E，F分别是AC，BD的中点．若AC＝2，求EF的长．第3题图

解：如图，连接BE，DE.∵∠ABC＝∠ADC＝90°，点E是AC的中点，∴BE＝

AC，DE＝

AC，∴BE＝DE＝1.∵∠BEC是△ABE的外角，BE＝AE，∴∠BEC＝2∠BAE，同理可得∠DEC＝2∠DAC，∴∠BED＝∠BEC＋∠DEC＝2∠BAD＝90°，第3题图∴在Rt△BDE中，BD＝

BE＝

.∵点F是BD的中点，∴EF＝

BD＝

.

解题关键点连接BE，DE，通过线段关系推导出角度关系，从而得到△BED为等腰直角三角形．4.如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，E是边BC的中点，F是边AB上一点，连接EF并延长交CA的延长线于点G，若∠G＝45°，GF＝

，AC＝4，求BF的长．第4题图解：如图，延长FE至点Q，使得EQ＝EF，连接CQ.Q∵点E是边BC的