高中数学第八章《立体几何初步》提高训练题 (59)(含答案解析)

第八章《立体几何初步》提高训练题（59）

一、单项选择题（本大题共9小题，共45.0分）

1.如图，设矩形ABCQ所在平面与梯形ACEF所在平面相交于4c.若4B=1,BC=W，4F=FE=

EC=1,则下列二面角的平面角的大小为定值的是（）

A.F-AB-CB.B-AF-DC.A-BF-CD.B-EF-D

2.已知棱长为1的正方体4BCD-&B1C1D1中，E,F,〃分别是AB、AD,441的中点，又P、Q

分别在线段A/i、-上，且力铲=&Q=x,0<x<1,设面MEFn面MPQ=，，则下列结论

中不成立的是（）

A.，〃面ABCB.11AC

C.面ME尸与面MPQ不垂直D.当x变化时，/不是定直线

3.在三棱锥P—ABC中，平面PBC1平面ABC,/.ACB=90°,BC=PC=2,若AC=PB,则三棱

锥P—48C体积的最大值为（）

A.延B.破C.166D326

3927•27

4.如图，在边长为2的菱形ABCD中，/.DAB=60°,现将△BCD沿BD折叠到△BPO的位置，若

三棱锥P-4B0的外接球的表面积为?兀，则三棱锥P-4B。的体积为

B・竽

5.在正方体ZBCD-&B1C1C1中，N为底面A8CZ）的中心，P为线段上的动点（不包括两个端

点），M为线段4P的中点，则下列判断错误的是（）

Di

A.CM>PN

B.CM与PN是异面直线

C.平面H4N1平面BD/Bi

D.过P,A,C三点的正方体的截面一定是等腰梯形

6.如图，设线段DA和平面ABC所成角为a(0<a<)，二面角D-AB-

c的平面角为S，贝久)

A.a<p<n

B.a<p<rt-a

C.a<p<n

D.-a<p<TT-a

7.如图所示，直三棱柱ABC-G中，44i=2,AB=BC=1,/.ABC=90°,外接球的球

心为O,点E是侧棱SB1上的一个动点.有下列判断：

①&E一定不垂直AC1；②直三棱柱内存在一个球，其球的体积最大值是gg

③三棱锥E-的体积为定值；④4E+EC］的最小值为2企.

其中正确的个数是

A.1B.2C.3D.4

8.已知Q41平面ABC,PC1平面ABC,AB1BC,PC=1,AB=AQ=3,BC=4,现有下述四

个结论：①四边形ACPQ为直角梯形；②四面体P48C的外接球的表面积为25兀；③平面PBC1

平面QAB；④四面体P4BC与四面体248c的公共部分的体积为|.其中所有正确结论的编号是

A.①③B.①③④C.②④D.①②③④

9.如图是一个几何体的三视图，则此几何体的体积是（）

正视图侧视图

脩视图

A.2?r+-B.2?r+-C.-7TD.；兀

3333

二、多项选择题（本大题共4小题，共16.0分）

10.如图，正方体48。。一力道他也棱长为1,线段BQ上有两个动点E、F,且EF=^,则下列

结论正确的是（）

A.AC_L平面BEFB.AE、8厂始终在同一个平面内

C.EF〃平面ABCDD.三棱锥4-BEF的体积为定值

11.如图，正方体4BC0-4出16。1的棱长为1,点MCAB],N€BC「且4M

BN丰立,则下列说法正确的是（）

A.AAi1MN；

B.41cJ/MN；

C.MN〃平面4当Ci%；

D.MN与&G是异面直线.

12.在正方体4BC。-4B1GD1中，点E,尸分别是CD】，BD的中点.则下

列结论正确的是（）

A.EF1CF

B.EF1B/

C.平面CEF，平面CFBi

D.BiE与平面CEF所成角的正弦值为夸

13.在正方体ABCD-AiBiGDi中，M在8传上，N在8。上，且瓦=3祝，前=3前，则

AB

A.CN〃平面441G

B.异面直线MN与AZ）所成角的正切值为加

C.MN平面BiCDi

D.过A、G、M三点的平面截正方体所得的截面为等腰梯形

三、填空题（本大题共6小题，共30.0分）

14.己知正三棱柱ABC-&B1G的侧棱长为4,底面边长为2,用一个平面截此棱柱，与侧棱

BBi，CCi分别交于点M,N,Q,若AMNQ为直角三角形，则/MNQ面积的最大值为.

15.矩形ABCD中，AB=陋，BC=1,现将△ACD沿对角线4c向上翻折，得到四面体D-ABC,

则该四面体外接球的表面积为;若翻折过程中8。的长度在［9,乎］范围内变化，则点

。的运动轨迹的长度是

16.已知四边形48。是边长为5的菱形，对角线BD=8（如图①）,

现以AC为折痕将44BC折起，使点B到达点P的位置，棱AC,

P。的中点分别为E,F,且四面体PACO的外接球球心在四面

体内部（如图②），则线段EF长度的取值范围为

17.平面四边形ABCZ）中，BC=3,ABAC=30°,4"=VILADLAC,将它沿对角线AC翻折,

得到直二面角D'-AC-B（如图所示），此时四面体ABCD'的外接球的体积是.

18.在菱形ABC。中，4n48=60°,将这个菱形沿对角线BO折起，使得平面/MB1平面BOC,若

此时三棱锥A-BCD的外接球的表面积为5乃，则AB的长为.

19.已知点P是正方体ABC。—4B1GD1的底面ABCQ上一动点，旦满足|P*=2|PB|,设PD1与平

面48C。所成的角为。，则。的最大值为.

四、多空题(本大题共1小题，共4.0分)

20.已知四棱锥P-4BCD的底面ABC。是边长为3的正方形，PDABCD,PD=6,E为PD

中点，过EB作平面a分别与线段PA,PC交于点M,N,且4c//a,则翳四边形EMBN

的面积为_(2)_.

五、解答题(本大题共10小题，共120.0分)

21.如图，在四棱锥P-4BCD中，已知PB，底面1BC,AD//BC,AB=-AD=2,PD1CD,

异面直线PA与CO所成角等于60。.

(1)求直线PC与平面PA。所成角的正弦值的大小；

(2)在棱PA上是否存在一点E,使得二面角4-8E—D的余弦值为彳?若存在，指出点E在棱

PA上的位置;若不存在，说明理由.

22.如图，在四棱锥P-4BCD中，底面ABCD为矩形,P4，平面ABCD,

PA=AD,E为中点.

(I)证明：4B〃平面PCD.

(II)证明：AEl¥®iPCD.

23.如图，正方形ABC。和四边形ACEF所在的平面互相垂直.EF〃/IC,

AB=V2,CE=EF=1.

⑴求证：力"/平面BCE.

(2)求证：CFJ_平面8QE.D

(3)在直线CC上是否存在点M,使得4M，平面BDE?并说明理由.

24.如图，在四棱锥E-4BC0中，底面A5CD为正方形，4E_L平面CDE,已知力E=0E=3,F

为线段QE上的动点.

(/)若尸为OE的中点，求证：BE〃平面4CF;

(D)若二面角E-BC-尸与二面角D-BC-产的大小相等，求DF长.

25.已知四棱锥P-ABCD的三视图如图所示，其中正视图、侧视图是直角三角形，俯视图是有一条

对角线的正方形，E是侧棱PC上的动点.

(1)求证：平面24c1平面BDE；

(2)若E为PC的中点，求直线BE与平面PBC所成角的正弦值.

26.在如图所示的几何体中，四边形A8CQ为矩形，平面4BEFABCD,EF//AI3,ABAF=90°,

AD=2,AB=AF=2EF=1,点P在棱力尸上,

(1)若点P为。F的中点，求异面直线BE与CP所成的角的余弦值;

(2)若平面D4P与平面APC夹角的余弦值为华，求尸尸的长度.

3

27.如图，在三棱柱力BC-AiBiG中，乙4cB=4cleB=90°,乙414C=60°,D,E分别为和&G

的中点，且=AC=BC.

E.

(I)求证:&E〃平面Be”；

(n)求平面BC1。与平面A8C所成锐二面角的余弦值.

28.如图，AZBC的外接圆。。的半径为遮，CD_LO0所在的平面，BEHCD,CD=4,BC=2,

且BE=1,tan/AEB=2圾

(1)求证：平面40C_L平面8CCE.

(2)试问线段。E上是否存在点M,使得直线AM与平面4CZ)所成角的正弦值为多若存在，确

定点M的位置，若不存在，请说明理由.

29.已知正方形48CQ,E,尸分别为AB,C£＞的中点，将AADE沿。E折起，使△力CD为等边三角

形，如图所示，记二面角A-CE-C的大小为0(0＜。＜兀).

(1)证明：点A在平面BCDE内的射影G在直线E尸上:

(2)求角。的正弦值.

30.如图，长方体ABCD-4出6。1的底面ABCD是正方形，点E在棱上，BEVECr.

(1)证明：BE，平面EBiG；

(2)若4E=&E,AB=3,求四棱锥E-BaGC的体积.

(3)若4E=&E,求二面角B-EC-6的正弦值.

【答案与解析】

1.答案：D

解析：

本题考查面面垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，训练了二面角

的平面角的求法，考查运算求解能力，是中档题.

在等腰梯形ACEF中，过F作FGJ.AC于G,作EH1AC于H,连接BG,DH,可得NBFG为二面角

B-EF-4的平面角，NOEH为二面角。一EF—C的平面角，由4CJL平面BG凡ACI5?®DHE,可

得二面角B-EF-。的平面角为ZBFG+乙DEH,进一步求得NBFG+乙DEH=90。得答案.

解：如图，

在等腰梯形ACEF中，过F作FG_L4C于G,作EH工4C于”，

连接BG,DH,

由矩形ABCO得，AC=2,

在梯形ACEF中，由ZF=CE=EF,可得4G=工，FG=EH=―，

22

由三角形ABC为直角三角形，且4B=1,BC=®可得ZBAC=6O。，

则BG=J12+(1)2-2xlx|xi=y.

•••^LAGB=90°,即BG14C,FGQBG=G,则ACJ■平面GFB,

•••4BFG为二面角B-EF-4的平面角，

同理可得NDEH为二面角。-EF-C的平面角，

vACBGF,ACDHE,则二面角B—EF-D的平面角为NBFG+NDEH.

•••△BGF与ADHE均为等腰三角形，

180°-4BGF1800-zDWE

•••乙BFGZ.DEH=

22

VFG//EH,GB//HDf

NBGF+NDHE=180°,

・•・4BFG+乙DEH=360y+血£)=2^2：=90°.

22

••・二面角B-EF-D为定值.

故选D.

2.答案：D

解析:

本题考查空间想象能力，直线与平面，直线与直线的位置关系，考查逻辑推理能力.

画出直线/,然后判断选项即可.

解：如图作出过M的中截面，

•••棱长为1的正方体SBCD-41B1C1D1中，

E,F,M分别是4B、AD,44的中点，又P、。分别在线段AB1、上,

且&P=AQ=x,0<x<1,QP//EF,EF〃中截面，

QPcTffiMPQ,EFC平面MPQ,

E/7/平面MPQ,面MEFn面MPQ=I,

EFu面MEF,EF//1,

又EFu面ABCD,IC面ABCD,

.•"〃面ABC。，故选项A正确；

•••几何体是正方体，•••4CJ.EF,EF//1

.-.ILAC,故选项B正确；

设&Gn=。「连则。iM〃/1Q,

而ACJAIB.ACJBD.BD〃EF.AIB//ME,

所以O|N_LEF.O|M_LAIE,MEnMF=M,ME,MFu平面MEF,

所以OiM1平面MEF,过直线/与平面MEF垂直的平面只能有一个,

所以面与面MPQ不垂直，所以选项C是正确的；

因为EF〃1,M是定点，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，所以直线/是唯一的，故

选项。不正确.

故选O.

3.答案：D

解析：

本题考查三棱锥的体积的最大值的求法，考查空间向量坐标运算、向量垂直的性质等基础知识，考

查运算求解能力，是中档题.

取P8中点M,连结CM,推导出4c1平面PBC,设点A到平面PBC的距离为八=AC=2x,贝DCM1PB,

CM=V4—X2y从而

2222

SGPBC=jx2xxV4-x=xV4-x,VA_PBC=|x(x<4-%)x2x=,设t=<4-x.

(0<t<2),则Y=4-t2,从

而以-PBC=若处="券，(0<t<2)，关于，求导，得『«)=亨，利用导数性质能求出三棱

锥P—4BC体积的最大值.

解：如图，取PB的中点M,连接CM,因为平面PBC_L平面A8C,平面PBCC平面ABC=BC,ACu

平面ABC,AC1BC,所以AC1平面尸8c.

设点A到平面PBC的距离为/i=4C=2x；由于PC=8C=2,PB=2x(0<x<2),M为PB的中

点，所以CM_LPB,CM=<4-x2r可得SgipBc=|-2%-V4-%2=xV4-%2,

力-PBC=|x(x<4-x2)X2%=尹2；士设《=V4-X2(0<t<2)，WJx2=4-t2,所以%_PBC

££^2=三(0<”2),

关于f求导得V'(t)=亨，令/(t)=0解得t=等或t=一学(舍)，

由U(t)单调性可知，当《=雷时，(匕_PBC)表大=辞・

故选D.

4.答案：A

解析：

本题考查空间中的翻折问题、空间几何体的结构特征和三棱锥的外接球的性质，属较难题.

要求出三棱锥P-的体积，需要求点P到平面4BD的距离，及△ABD的面积，需要认清三棱锥

P-4B。的结构特征，先依据已知条件可求出球的半径，进一步探究球心位置，认识三棱锥的特征，

可求出ZPE4可得点P到直线AE的距离，即三棱锥P-ABO的高，从而问题得解.

解：取BO的中点E,连接AC,PE,菱形ABC。中，/.DAB=60°,

则408。和44BD是全等的正三角形，

・・,三棱锥P—/BD的外接球的表面积为一',

«>

••・外接球的半径R=叵.

3

设球心为O,APB。秘AABD的外心分别为例、N,

则依据球的性质有

OM±平面PBDON±平面4BD,ME=NE=：PE=^-,OB=R=华•

JJ45

又BM=竽,二OM=0N=l,OE=手/MEN=2/OEM=120°,于是“EC=60°.

点尸到直线AE的距离等于PEsin"EC=A/3xsin60°=|,

即三棱锥P-ABC的高为条

则三棱锥P—力BC的体积为三X?X%X^X4=3.

32222

故选A.

解析：

本题考查共面，面面垂直，正方体的截面等问题，需根据各个知识点进行推理证明判断，难度较大.

由CN,PM交于点A得共面，可判断B,利用余弦定理把CM,P/V都用4cMp表示后可比较大小，证明

AN与平面8DD1B］后可得面面垂直，可判断C,作出过尸，A,C三点的截面后可判断£>.

解：连接PC,由正方体性质可得C,N,4共线，

而PA,AC在APaC所在的平面内，且点M在直线PA上，点N在直线AC上，

因此CM,PN均在平面PAC上，故B错误；

i己4P4C=9,则PN2=AP2+AN2-2AP-ANcosO=AP2+-AC2-AP-ACcos9,

4

CM2=AC2+AM2-2AC■AMcosd=AC2+-AP2-AP-ACcosd,又AP<AC,

4

CM2-PN2=^AC2-AP2)>0,CM2>PN2,即CM>PN,故A正确;

由于正方体中，AN1BD,8当1平面ABCQ,ANc5]2®ABCD,

则BB1J_4N,BB]CBD=B,BB、、BO在平面BBiA。内

可得ANJL平面BBiDiD,

4Nu平面尸AN,从而可得平面P4NJ■平面BDDiBi，故C正确;

取G"中点K,连接KP,KC，4G，易知PK〃&G，

又正方体中，A\C、〃AC,PK//AC,PK,AC共面，PKCA就是过P,A,C三点的正方体的截面,

PKCA是等腰梯形.。正确.

故选8.

6.答案：B

解析：

本题考查了空间位置关系、空间角、直角三角形的边角关系，考查了推理能力与计算能力，属于较

难题.

如图所示，图一：过点。作D。J■平面ABC,垂足为。点，连接0A,过点。作0EL4B,垂足为E

点，连接DE.则N040是线段D4和平面ABC所成角a(0<a<今,

NOE。是二面角。一4B—C的平面角/?,利用直角三角形边角关系即可得出.a<0<乃一a.同理图

二中：可得a<7T—/?,a

解：如图所示，

图一：过点。作DO_L平面A8C,垂足为。点，

连接04,过点。作0E1AB,垂足为E点，连接DE.

则4040是线段D4和平面ABC所成角a(0<a<§,

NOED是二面角。-AB-C的平面角/?,

则tana=—,tanp=—,OA>OE,

tana<tan^,可得a<£,a+<TT,因此a<0<7T—a.

同理图二中：tana=詈，tan（兀一口）=器，

可得a<?r-0,a<f3,因此a<0<7r-a.

综上可得：a<p<n-a.

故选：B.

7.答案：B

解析：

本题考查异面直线、线线垂直的判定、空间几何体的体积等，属于较难题.

逐个判断各选项即可.

解：①选项：当&E14B1时，4速平面

所以AiELACi，①错误；

②选项：由题易知其球的体积最大时，半径r=等，

所以体积V=［兀（学）3=宁!兀，②错误；

③选项：球心。是直线4G，41c的交点，底面0A4的面积不变，

直线SB1〃平面440,所以点E到底面的距离不变，

三棱锥E-4公。的体积为定值，③正确；

④选项：将矩形441&B和矩形BBiGC展开到一个面内,

当点E为AG与SB1的交点时，4E+EG取得最小值2a,④正确.

故选：B.

8.答案：B

解析：

本题考查空间中的垂直关系与四面体的外接球等问题，考查直观想象与逻辑推理的核心素养.

根据题意依次判断各个结论的正误即可.

解：因为。4_L平面ABC,PCJL平面ABC,所以Q4〃PC,且PC1AC.又。4=3PC,所以四边形ACPQ

为直角梯形.

依题意可得，四面体PA8C的外接球的球心0为线段PA的中点，因为4。=回节=5/。=1,

/cVs2+12x/26

AAO=-----=——

22

二四面体PABC的外接球的表面积为267r.

易证BCJ_平面QAB,而8Cu平面尸8C,所以平面PBC1平面QAB.设24CQC=D,

则四面体PABC与四面体QABC的公共部分为四面体4BCD.过。作0E14C于E.则器=言=%

所以DE=：PC=：，所以四面体ABCD的体积为:x；x3x4x：=|.

443242

故所有正确结论的①③④，

故选B.

9洛案：D

解析：

本题考查几何体的三视图.

根据几何体的三视图可知该几何体为半个圆柱和四分之一个圆锥的组合体，求体积即可.

解：根据几何体的三视图可知该几何体为半个圆柱和四分之一个圆锥的组合体，

圆柱的底面半径为2,高为1,圆锥的底面半径为2,高为2,

所以该几何体的体积是位&+Ixix7rx22x2=-.

2433

故选。.

10.答案：ACD

解析：

本题考查直线与平面垂直、平行的判定，棱锥的体积，线线位置关系，考查空间想象能力，逻辑思

维能力，是中档题.

通过直线AC垂直平面平面8%。山，判断A是正确的；只需找出两个特殊位置，即可判断8是不正

确的；通过平面2BCD〃平面为B1GD1，可得EF〃平面ABCD,说明C是正确的；计算三角形8EF

的面积和A到平面BE尸的距离是定值，说明。是正确的；综合可得答案.

解：•••在正方体中，4C_LBD,_L平面B15DB,所以AC_L平面BEF,故A正确；

•.•当点F在当处，E为劣81的中点时，显然AE,8P是异面直线，3不正确；

••・平面4BCD〃平面EFu平面4出(?1。1，EF〃平面ABS,故C正确；

••・由于点B到直线当劣的距离不变，故^BEF的面积为定值.又点A到平面BE尸的距离为曰，故匕_BEF

为定值.。正确；

故选ACD

11.答案：AC

解析：

本题考查了正方体的结构特征，涉及直线与直线，直线与平面间的位置关系判定，考查了空间想象

能力，属于中档题.

分别过点M,N作4出，BQ的垂线，垂足分别为Ni得到MM】_L平面公&(:也，NN11平面

力道传1。1，且即可得到四边形M/N】N为矩形，然后结合选项分析判断即可求解.

解：分别过点M,N作BiG的垂线，垂足分别为Mi，M，

因为平面力力//J_平面&B1GD],

且平面44//n平面4/iCiDi=

所以MM1，平面48传1。1，

乂MiMu平面为B1GD1，

所以MMi1MM

同理可得NN]，平面4道16。1，

所以MMJ/NNi，

又AM=BN丰五,则=C】N

而]MM】__81MlNN】_JN_。必

^-BrA-8遇/BB]-QB-QB】'

即MM】=笺=BiMi，NNi=*=GM，

所以MM】=NN],

所以MM】=NNj

所以四边形MM/IN为矩形,

所以MN〃/Ni，

又1MM，

所以/L4i_LMN,故A正确:

由登=当场,黯=为名,

又BiMi=GN】=1-BN，即々Mi与BiM不一定相等,

所以4cl与MiM不一定平行，即4cl与MN不一定平行,

故B错误;

因为MN〃MiM，且MiMu平面公&前。uMNC平面

所以MN〃平面4声传1。1，故C正确;

当M,N分别为AB】，BG的中点时，满足&G〃MiNi，此时4G〃MN,故。错误.

故选AC.

12.答案：ABC

解析：

本题考查了空间线面位置关系的判断与性质，考查线面角的计算，属于中档题.

证明CF_L平面BB15。，利用勾股定理证明EFJ.8/,从而可得出各结论.

解：(1)•:CB=CD,尸是B力的中点，CF_LBD,

乂BBi1平面ABCD,CFu平面ABCD,CF1BB「

又BDCBBi=B,CFJ■平面BB/i。，

又EFu平面:CFJLEF,故A正确；

(2)设正方体棱长为2,则Bi。1=BD=2V2,DE=1,DF=BF=五,

2222

EF=y/DE+DF=a，BrF=^BF+BBy=&，BrE=+DrE=3,

222

EF+BXF=BrE,EF1BrF,故8正确；

(3)由⑴(2)可知CF_LEf,EF_LBi尸，二EF1平面BiCf,

又EFu平面CEF,.•.平面CEF1平面CFBi，故C正确；

(4)由(3)知平面CEF_L平面CF/,由(2)知EF1BrF,

又平面CEFn平面CFBi=EF,：.B^F1平面CEF,

/FEBI为BiE与平面CEF所成角，

又sin4FEBi=虹=渔，故。错误.

1

BrE3

故选：ABC.

13.答案：BC

解析：

本题考查了线面平行，异面直线所成角，线面垂直，空间向量加减运算，正方体中的截面问题，考

查了空间想象能力，属于中档题.

结合已知条件，对每个选项进行分析判断即可得到答案.

解：由题意，平面44传1与平面441cle是同一个平面，而CN与平面44传也交于点C,则A错误；

-----.__>—.1——>―.1->1---.—>—.1―.—.

MN=MC+CB+BN-BC+-BD=-(^^+BC)-BC+-(BX+BQ

=i(-CQ+BC)-eC+1(-^4fi+5C)=~^(AB+BC+CCi)=一［何，贝皿/7〃46，

于是4口力。就是异面直线MN与A力所成角，在直角三角形AC1。中，C%=五AD,经计算得

tan^AD=V2,则B正确；

由于4cll_平面81co1，又MN〃AC1,所以MN_L平面口述为，则C正确；

延长4V交BC于点G,由AADN〜ABNG,得G为BC的中点，延长GM交BC于点G1，同理可得

Gi为BC的中点，

所以G与Gi重合，取久名的中点”，连接AH和"G，即得截面4GC1H,从而截面4GG”为菱形，

则。错误.

故选BC.

解析:

本题考查了空间线面位置关系，几何体的截面问题，利用导数研究函数的最值，考查了转化思想,

属于较难题.

不妨取点M为点A,设CQ=x,BN=y,x,yG[0,4],则y=子=x+：,4S2=(4+x2)-[4+

(y-%)2]=204-4(x2+^)>设/'(x)=x2+^,xe[2-V2,2+词,利用导数求出函数的最大值,

即可求解.

解：如图，不妨取点M为点A,设CQ=x,BN=y,x,ye[0,4].

不妨设NMQN=90°,则MN?=MQ2+NQ2,

即4+y2=4+/+4+(y—幻2,整理得：%2一Xy+2=o,

y='+?=%+->又丁y<4,所以久4--<4,

7x%yx

解得2-&工x工2+设4MNQ的面积为S,

则4s2=(44-x2),[4+(y—%)2]=(4+/).(4+9)=20+4%2+,=20+4评+制,

设/(x)=x2+W，XG[2-V2,2+V2],则((x)=2x-2=卑2

可知函数在[2-VIVI)上单调递减，在(VX2+码上单调递增，

又/(2-鱼)=12,f(2+&)=12,所以/(x)max=12,

二(4S2)max=20+4x12=68,Smax=V17.

故答案为g.

15.答案：钮；京

解析：

本题考查了四面体的外接球的表面积和空间距离的计算，建立坐标系用0表示出8。的长是解题的关

键,属于难题.连接4C交BD于点0,。是四面体。-4BC外接球的球心,过。作。E1AC,垂足为E,

则。点的轨迹为以E为圆心，以立为半径的圆弧，以E为原点建立坐标系，设二面角。-AC-D'的

2

大小为仇用。表示出B和。的坐标，利用距离公式计算。的范围，从而确定圆弧对应圆心角的大小，

进而计算出圆弧长.

解：连接AC交BO于点0,在翻转过程中，0A=0B=0C=。。，

故。是四面体。一ABC外接球的球心，半径是=5B2+BCZ=里=-

22

则该四面体外接球的表面积为ITTXOA217T.

过。作DE1AC,垂足为E,连接BE,D'E.

•.•矩形ABC£>中，AB=V3，AD=1,

•••DE=--BE2=AB2+AE2-2AB-4Ecos30。=3+--2xV3xix—贝UBE=—.

242242

・•・。点的轨迹为以E为圆心，以立为半径的圆弧.

2

ZD'EC为二面角。-AC-。'的平面角.

以E为原点，以E4,ED,ED'为坐标轴建立空间直角坐标系E—xyz,

设乙D'ED=6,则0(0,/cos。,[sin。),F(-l,-y,0)

BD=Jl+|(cos6+l)2+Jsin29=J5+3^sS,

y/75+3cos6VTO

2"J2"2

解得一[<cosd<0,

三W。W三,

。点轨迹的圆心角为全

。点轨迹的长度为三x3=立兀.

326

16.答案：（亨,4）

解析：

本题考查空间中点、线、面间的距离计算，考查空间想象能力与思维能力，考查运算求解能力，属

难题.

由题意可知AAPC的外心01在中线PE上，设过点01的直线，1_L平面4PC,△力DC的外心。2在中线

DE上,设过点。2的直线6，平面AQC,由对称性知直线k，。的交点。在直线EF上，则点。为四

面体4PC。的外接球的球心.由题意得E4=3,PE=4,由勾股定理及。遇+。速=PE=4求得

。送=L.令乙PEF=3,得EF=PEcosQ=4cos0<4.再由cos。=竺=绊，得0E-EF=0E-PE=-,

8PEOEx2

结合。E<EF,求得EF>正，从而得到线段EF长度的取值范围.

2

解：如图，由题意可知△力PC的外心。1在中线PE上，

设过点。1的直线，11平面APC,可知，1u平面PED,

同理△40c的外心。2在中线上，设过点。2的直线&平面ADC,

则％u平面PED,由对称性知直线％的交点。在直线或7上.

根据外接球的性质，点。为四面体4PC。的外接球的球心.

由题意得E/4=3,PE=4,而。涕2=0送2+E42,。14+。花=PE=4,

°[E=

令乙PEF=9,显然0<8（三：.EF=PEcosG=4cos9<4.

cosd

'-'=S=^■--OEEF=O1EPE=\,

又OE<EF,：.EF?>Z，即EF>包.

综上所述，更<EF<4.

••・线段E/长度的取值范围为（当,4）.

故答案为：（年,4）.

17.答案：477r

解析:

本题考查了几何体外接球的表面积，解题关键是求出球的半径，考查了转化思想，属于中档题.

设M是AaBC的外心，。是四面体ABCD'的外接球的球心，在矩形。中，OM=4E=豆,

22

在AABC中，3="缶*嬴=3.

可得四面体ABCD，的外接球的半径R=VOM2+4M2=浮即可得相

解：如图,

设M是A/IBC的外心，。是四面体4BCD'的外接球的球心，E是AD'的中点，则0M，面ABC,

因为4014C,由直二面角。'一4（?一8,即平面40'C_1_面48。，

又平面AD'Cn面ABC=4C,AD'u平面可得力D'l面ABC,

则由线面垂直的性质可得4EJ.AM,OM1.AM,且0E14D',

则四边形OEAM是矩形，

在矩形OEAM中，。M=4E=W=亨，

在△砺;中，出="缶E_2_.

sin3Q0=3,

四面体4BCD’的外接球的半径R=幅E/=亨，

此时四面体力BCD'的外接球的体积是S=4兀/?2=47TT.

故答案为：477r.

18.答案:V3

解析：

本题考查了棱锥的外球的半径，属于中档题.

取8。的中点连接AM,CM,由题意知△48。，△BCD都是等边三角形，确定棱锥外接球半径,

利用外接球的表面积求

解：

①②

如图①所示，取8。的中点M,连接AM,CM,由题意知AaBD,△BCD都是等边三角形，设边长

为a.

如图②，由题意知△4MC为等腰直角三角形，在RtAAMC中，P,Q分别是CM,AM上靠近〃的

三等分点，

0C即为三棱锥A-BCD外接球的半径.在Rt△OPC中,(faxx'=瑞=5,解得。=同

故答案为百

19.答案：；

解析：

本题考查求直线与平面所成角的最大值问题，考查空间想象能力，属于较难题.

以点A为原点，AB为x轴，A。为y轴，建立直角坐标系，利用|P4|=2|PB|,得到P点的轨迹方程,

即可得到答案.

解：不妨记正方体ABCD-的棱长为2,

在平面ABCD内，以点A为原点，AB为x轴，AD为)，轴，建立直角坐标系，

设P(%,y),由|P4|=2|PB|,4(0,0),5(2,0),

所以+y2=2,(%—2)2+y2,

即1号丫+必二半

延长AB到Q使得BQ=I，

即点P在平面ABC。内的轨迹是以Q为圆心，：为半径的圆在正方形ABCQ内的圆弧,

若要PD1与平面A8CD所成角最大，

当点P为。。与圆弧的交点时，。尸最小，即PDi与平面A8C。所成的角。最大，

|PD|min=］令+22-；2,

所以在Rt^DiOP中，tan。=耨，

所以。的最大值为。=今

故答案为今

20.答案：|

3V6

解析：

本题考查了平面的基本性质及应用，线面平行的性质，线面垂直的判定和线面垂直的性质，属于中

档题.

连接AC、BD,交于。，连接尸。，交BE于H,利用平面几何知识得霁=|,再利用线面平行的性

质得AC〃MN,再利用平面的基本性质得MN,再利用利用平面几何知识得詈=|,利用线面垂

直的性质得P。1BD,PD1AC,再利用线面垂直的判定得力C_L平面PBD,从而得MN，平面PBD,

最后利用平面几何知识，计算得结论.

解：如图：

连接AC、BD,交于。，则。既是AC的中点，也是8。的中点.

因为E为尸。中点，连接尸。，交BE于H,则”是△PDB的重心，

匚匚i、1PH2

所以而一

因为AC〃a,&。面24。="/7,ACPAC,所以4C//MN.

又因为HeBE,BEua,所以Hea.

又因为H6P0,POc®PAC,所以H6面PAC,

因此Hean面P4C=MN.

在APAC中，因为4C〃MN,所以詈=翳=|.

又因为底面A8CQ是边长为3的正方形，所以AC=BD=3或，S.AC1BD.

又因为在△P4C中，AC//MN,翳=|，所以MN=|4C=2或.

又因为PDJ_平面ABC。，AC、BCu平面ABC。，所以PD1BD,PD1.AC.

在Rt/SPDB中，因为PDJ.BD,PD=6,BO=3或，E为PD中煎,

所以BE=>JBD2+DE2="18+9=3VI

又因为ACJL8。，PD1AC,BD、POu平面PDCiBD=D,

所以4。_1_平面。3。，而4C〃MN,因此MN_L平面P8D.

又因为BEu平面PB。，所以MNJ.BE,

因此四边形EMBN的面积为*MNxBE=ix2^2x373=376.

故答案为I；3>/6.

21.答案：解：⑴•••在四棱锥P-4BC。中，己知PB_L底面A8CZ),AB1BC,

・•・以B为原点，BA为x轴，BC为y轴，8P为z轴，建立空间直角坐标系，

vAD//BC,AB=AD=2,CD1PD,异面直线PA和C£>所成角等于60。.

二设BC=a,BP-b,

则8(0,0,0),4(2,0,0),C(0,a,0),D(2,2,0),P(0,0,b).

•.•PD=(2,2,-b),CD=(2,2-a,0).CD1PD,

.•.而•丽=4+4-2a=0，解得a=BC=4,

又刀=(2,0，-b),CD=(2,-2,0).

••・异面直线PA和CD所成角等于60。，

CO。=翳除=后去'解得°=BP=2,

PC=(0,4,-2),AD=(0,2,0),PA=(2,0，-2).

设平面PAD的一个法向量为五=(Xi.ypZi),

则£"=2%=0,取i,得元=(i,o,1),

设直线PC和平面尸AO所成角为0,

则直线PC和平面PAO所成角的正弦值的大小为：

sind=配宿=2=叵

-\PC\-\n\~x/20xV2—10,

(2)假设在棱PA上存在一点E,使得二面角A-BE-D的余弦值为

设丽=4瓦?，0<A<1,且E(x,y,z),

则(x,y,z-2)=A(2,0,-2),解得E(2；l,0,2-2A),

JD=(2,2,0),'BE=(2A,0,2-2A),

设平面DEB的一个法向量为而=(x2,y2.Z2)，

嘉UMM)j取…T得…-…,

则

又平面ABE的法向量万=(0,1,0),

.•二面角4-BE-。的余弦值为引

.i<rnv>\=国初=,=逅

*cos，PI।曲.向”(l-RZ+M6

解得4=]或4=2(舍去).

・•・存在这样的E点，E为棱PA上的靠近A的三等分点.

解析：本题考查线面角的正弦值的求法，考查满足二面角的点是否存在的判断与求法，考查运算求

解能力与空间想象能力.

(1)以B为原点，BA为x轴，BC为y轴，8尸为z轴，建立空间直角坐标系，设BC=a,BP=b,

由CD，PZ),求出a=BC=4,由异面直线PA和CD所成角等于60。，求出b=BP=2,由此利用

向量法能求出直线PC和平面口力所成角的正弦值.

(2)假设在棱PA上存在一点E,使得二面角A-BE-D的余弦值为邛，求出平面DEB的一个法向量

和平面A8E的法向量，利用向量法能求出存在这样的E点，E为棱PA上的靠近A的三等分点.

22.答案：证明：(/)在矩形ABCO中，AB//CD,

AB6平面PCD,CDu平面PCD,

4B〃平面PCD.

(〃)在等腰△PAD中，E为P。中点，

AELPD,：.PA，平面ABCD,

PA1.CD,

•••在矩形ABC。中，CDA.AD,力DnP4=A点,

•••CD，平面PAD,■■■CDLAE.

综上，AE1PD,AE1CD,CP、P。u平面PCD,CPCPD=P袅,

AE1平面PCD.

解析：(/)推导出4B〃CD,由此能证明4B〃平面PCD

(〃)推导出4E1P。，PAI5]2®ABCD,PA1CD,从而COJ■平面PA。，进而C0J.4E,由此能证明

AE1平面PCD.

本题考查线面平行的证明，考查线面垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基

础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、函数与