人教版高中数学必修一《对数与对数运算》之《对数》导学案

笫二章及本初等函数(I)

§2.2对数函数

2.2.1对数与对数运算

第1课时对数

［学习目标］1.理解对数的概念，掌握对数的基本性质2掌握指数式与对数式的互化，能应

用对数的定义和性质解方程.

芝知识梳理自主学习

知识点一对数的概念

一般地，如果地=Ma>0,且”>1),那么数x叫做以。为底N的对数，记作x=logqN,其

中“叫做对数的底数,N叫做真数.

知识点二常用对数和自然对数

(1)常用对数：通常我们将以坨为底的对数叫做常用对数，并把log“W记为lgN.

(2)自然对数：在科学技术中常使用以无理数e=2.71828…为底数的对数，以至为底的对数

称为自然对数，并把logeN记为InM

知识点三对数与指数的关系

当a>0,且aWl时，a*=NCx=lo%N.

知识点四对数的基本性质

(1)负数和零没有对数.

(2)logal=Q(a>0,且aW1).

(3)log«=l(a>0,且aWl).

思考(l)lg10,lg100,lg0.01,In1,Ine分别等于多少？

(2)为什么对数式x=lo&,N中规定底数a>0且aWl?

(3)为什么负数和零没有对数？

答(l)lg10=1,1g100=2,lg0.01=-2,In1=0,lne=l.

(2)由于对数式x=log,,N中的“来自于指数式/=N中的a,所以当规定了a"=N中的a>0,

且aWl时，对数式x=log“N中的a也受到相同的限制.

(3)由于"=N>0,所以x=log“N中的N>0,或者说负数和零没有对数.

守题型探究重点突破

题型一指数式与对数式的互化

例1将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式.

-2

(1)54=625；(2)log216=4；(3)10=0.01；

(4)log#125=6.

解(1)由54=625,得log5625=4.

(2)由log216=4,得24=16.

(3)由10-2=0.01,得坨0.01=-2.

(4)由log<5125=6,得(小叶=125.

反思与感悟1.对数式与指数式关系图：

*=N<〉&=lo&N

对数式log“N=i"是由指数式/=N变换而来的，两式底数相同，对数式中的真数N就是指

数式中的薪的值N,而对数值6是指数式中的寐指数.

2.并非所有指数式都可以直接化为对数式.如(一39=9就不能直接写成108(-3)9=2,只有a

>0且N>0时，才有/=Nax=log“N.

跟踪训练1下列指数式与对数式互化不正确的一组是()

A.e°=l与In1=0

11

3

B.8=2与log82=^

C.log24=2与42=2

D.log33=l与3'=3

答案C

解析由指对互化的关系：/=NOx=k)g〃N可知A、B,D都正确；C中log24=2=22=4.

题型二利用对数基本性质求值

例2求下列各式的值：

g321

(l)log33；(2)log5l；(3)3,°;(4)log,64；

2

(5)lg1+lg10+10叫(6)ine+lnl+eln3.

解(l)log33=l.

(2)log5l=0.

⑶3嗝21=21.

(4)10g,64=log,(1)6=-6.

22

(5)lg1+lg10+10lg5=0+1+5=6.

(6)lne+lnl+eln3：=l+0+3=4.

反思与感悟1.常见的公式log“l=0,logoa=1,=Ma>0且。#1).

2.求lo&N的值，只需将N写成/的形式再利用公式log/=b去解.

跟踪训练2求值：⑴/啕，(2)5"晦2.

解(1)9如'4=。2)驷"=3峭4=4.

(2)5"啕2=5-5匾2=5X2=10.

题型三利用对数基本性质解方程

例3求下列各式中的x的值.

23

(l)log^=一亨⑵10gt27=不

(3)log2(log5x)=0；(4)log3(lgx)=l.

2.2_2

解(1)由log8X=-W得x=83=(23)3=2、，

故尸：.

321

⑵由k>gr27=w得X，=27,即X，—3'\

4

故X=(33)3=34=81.

(3)由log2(log5x)=0得log5X=2°=1,

故x=5=5.

(4)由log3(lgx)=l得lgx=3,

故X=l()3=l000.

反思与感悟应熟练进行指数与对数间的相互转化，在解题过程中，看到对数就应想到它的

指数形式，看到指数就应想到它的对数形式.

(1)对数运算时的常用性质：log“a=l,log(,l=0.

(2)使用对数的性质时，有时需要将底数或真数进行变形后才能运用；对于多重对数符号的，

可以先把内层视为整体，逐层使用对数的性质.

跟踪训练3利用指数式、对数式的互化求下列各式中的x值.

(l)log2x=-2；(2)log,<25=2；

⑶log4=2.

1」、历

解(1)由log2X=-2»得22=x,.\x=2.

⑵由10gr25=2,得d=25.

•・3>0,且尢W1,***x=5.

(3)由log5A^=2,得d=5'*'•X=i5.

V52=25>0,(-5)2=25>0,

.•・x=5或x=-5.

易错点

忽视对数的真数大于。致误

例4方程lg（一1）=怆（%2—9）的根为（）

A.2或一4B.-4

C.2D.-2或4

错解由已知得一2x—l=f-9,

即X2+2X-8=0,

解得x=—4或x=2.故选A.

正解前同错解得x=-4或x=2.

经检验，x=2时，-2r-l<0,?-9<0,

与对数的真数大于0矛盾，故x=2舍去.

所以原方程的根为工=-4,故选B.

纠错心得在求解对数有关问题时一定要注意对数式有意义的条件：真数大于0,底数大于

0且不等于1.

跟踪训练4解方程Iog3（x-l）=log3而不1

解由题意得x—1=「x+5,

（x—I）2—x+5,即f—3x—4—0.

解得x=—1或x=4.

经检验，x=-l不合题意，故舍去；x=4是原方程的解.

；.原方程的解是x=4.

守当堂检测自查自纠

1.2、=3化为对数式是（）

A.x=log32B.x=log23

C.2=log#D.2=log.v3

答案B

X

解析V2=3,/.x=log23.

2.若log3%=3,则x等于（）

A.lB.3C.9D.27

答案D

解析Vlog3X—3,•*»x=3^=27.

3.化简：0.7腕。78等于（）

A.2啦B.8C.1D.2

o

答案B

4.已知log2%=2,贝Ix5=.

答案I

解析Vlog2X=2,.'.x—4,

-1-111

•„2—42—1—L

..X-4-----r-2-

42

5.若lg（lnx）=0,则x=.

答案e

解析Vlnx=l,.'.x—e.

|-课堂小结--------------------------------------1

1.对数概念与指数概念有关，指数式和对数式是互逆的，即J=Nolog“N=6（a>0,且“W1,

N>0）,据此可得两个常用恒等式：（l）log“/=6:（2）a'ogaN=N.

2.在关系式a*=N中，已知a和x求N的运算称为求赛运算，而如果已知a和N求x的运算

就是对数运算，两个式子实质相同而形式不同，互为逆运算.

3.指数式与对数式的互化

守课时精练建:解疑纠偏，训练检测

一、选择题

1.2-3=!化为对数式为（）

O

A.log।2=3B.log|(—3)=2

88

C.log2|=-3D.log2(-3)=|

答案C

解析根据对数的定义知选C.

2.有以下四个结论:®lg(lg10)=0；0ln(lne)=0；③若l0=lgx,则x10；④若e=lnx,

则x=e?.其中正确的是()

A.①③B.②④D.③④

答案C

解析lg(lg10)=lg1=0,ln(lne)=ln1=0,故①②正确；若10=lgx,则x=d°,故③错

误；若e=lnx,则％=/，故④错误.

3.若log3(log2x)=1,则x5等于()

AiB七C表D.克

答案C

解析Vlog3(log2x)=l,

log2x=3,

-1ii

.•.*=23=8,则X2=乖=豆.

4.方程2麻/=:的解是()

J诟

A.x=gB.x=C.x=y[3D/=9

答案A

2

解析•.,21og3X=：=2-2,/.log3x=­2,/•X=3-=1.

5.已知loga2=m,k)ga3=〃，则6产+”等于()

A.5B.7C.10D.12

答案D

解析・・・/=2,催=3,♦・・，M=/〃♦/=(/)2/=12.

6.若log.石=z,贝ij()

A.J=X"B.y=y~C.y=7x~D.y=z”

答案B

解析由10gx^=Z,得

，(你)'=(7)'，则尸铲.

二、填空题

7.1n1+log(^_n(V2-1)=-------------

答案1

解析Inl+log^^cV?-1)=0+1=1.

8.方程9'-6-3'—7=0的解是.

答案x=log37

解析设3*=«/>0),

则原方程可化为?-6/-7=0,

解得f=7或，=一1(舍去)，

：.t=l,即3*=7.

/.X=log37.

9.若log(i-x)(l+x)2=1,则x=.

答案一3

解析由题意知l—X=(l+x)2,

解得x=0,或x=-3.

验证知，当X=0时，log(|—X)(l+x)2无意义,

当x=0时不合题意，应舍去.

所以x=-3.

b

10.若a=lg2,Z?=lg3,则10。“一5的值为

答案3

解析Va-lg2,.-.10u=2.

VZ»=lg3,A10*=3.

10()W=^^=*

三、解答题

11.求下列各式中的x的值.

(1)10&27=2；

2

(2)log2x=

(3)log,(3+2啦)=-2；

(4)log5(log2x)=0；

332

32

解⑴由logx27=2,得.=27,*.x=21=3=9.

2—

(2)由log2]=_],得23=x,

.__1__啦

•»X————G-

我

(3)由logr(3+2吸)=-2,得3+2啦

_2

即x=(3+2的2=^2-1.

(4)由log5(log2x)=0,得log2X=l".x=2i=2.

⑸由X=log27号，得27*=*,即3"=3-2,

・••kJ

12.(1)若火10>=x,求43)的值;

⑵计算23+喝3+35-啕9.

解⑴令f=101则x=lgt,

.••W)=lgf,即1/(x)=lgx,.•J(