第08讲 难点探究专题：特殊平行四边形中折叠、旋转、最值、新定义问题（原卷版）-2024年九年级数学暑假讲义（北师版）

第08讲难点探究专题：特殊平行四边形中折叠、旋转、最值、新定义问题【题型一特殊平行四边形中折叠问题】例1．（23-24九年级上·陕西西安·期末）如图，菱形的周长为8，，点M为边的中点，点N是边上任一点，把沿直线折叠，点A落在图中的点E处，当是直角三角形时，的长度为．【变式1-1】（23-24八年级上·上海青浦·期末）如图已知长方形中，，，在边上取一点，将折叠使点恰好落在边上的点，则的长为cm．【变式1-2】（23-24八年级上·山东青岛·期末）如图，正方形纸片的边长为2，先将正方形纸片对折，折痕为，再把点B折叠到上，折痕为，点B对应点为H，则线段的长度为．【变式1-3】（22-23八年级下·江苏无锡·期末）如图，在菱形中，，折叠该菱形，使点落在边上的点处，折痕分别与边、交于点、当点与点重合时，的长为；当点的位置变化时，长的最大值为．

【题型二特殊平行四边形中旋转问题】例2.（23-24九年级上·重庆合川·期末）如图，菱形的对角线交于点O，将绕点D旋转得到，若菱形的面积为，，则．【变式2-1】（23-24九年级上·广西柳州·期末）如图，正方形，边长，对角线、相交于点O，将直角三角板的直角顶点放在点O处，三角板两边足够长，与、交于、两点，当三角板绕点O旋转时，线段的最小值为（）A．1 B．2 C． D．【变式2-2】（23-24九年级上·福建莆田·期末）已知如图，将矩形绕点C按顺时针方向旋转得到矩形，点B与点E对应，点E恰好落在边上，交于点H，求证：(1)(2)．【变式2-3】（23-24八年级上·山东烟台·期末）【问题呈现】四边形和都是正方形，直线，交于点P．【问题解决】（1）如图1，点G在边上，判断线段和的关系，并证明；【类比探究】（2）如图2，将正方形绕点A逆时针旋转一个锐角．①（1）中线段和的关系是否仍成立？说明理由；②若正方形的边长为，对角线与的交点为O，在正方形的旋转过程中，请直接写出点P与点O的距离________．【题型三特殊平行四边形中最值问题】例3.（22-23九年级上·四川成都·期末）如图，在正方形中，，是上的一点，且，是上的动点，且，，连接，当的值最小时，的长为．

【变式3-1】（22-23八年级上·山东泰安·期末）如图，在菱形中，E，F分别是边CD，上的动点，连接，，G，H分别为，的中点，连接．若，，则的最小值为（）A． B． C． D．【变式3-2】（22-23八年级下·河南驻马店·期末）在平面直角坐标系中，菱形的位置如图所示，点A的坐标为，点B的坐标为，点D在y轴上，．

(1)求点C和点D的坐标．(2)点P是对角线上一个动点，当最短时，求点P的坐标．【变式3-3】（22-23八年级下·广东广州·期末）如图，菱形中，，，点P为边上任意一点（不包括端点），连结，过点P作边点Q，点R线段上的一点．

(1)若点R为菱形对角线的交点，为的中位线，求的值；(2)当的值最小时，请确定点R的位置，并求出的最小值；(3)当的值最小时，在备用图中作出此时点P，Q的位置，写作法并写出的最小值．【题型四特殊平行四边形中新定义问题】例4.（22-23八年级下·湖北咸宁·期末）定义：我们把对角线相等的凸四边形叫做“等角线四边形”．理解：（1）在已经学过的“①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形”中，一定是“等角线四边形”的是__________（填写序号）；（2）如图1，在正方形中，点，分别在边，上，且连接，，求证：四边形是等角线四边形；运用：（3）如图2，中，已知，，，点为线段的垂直平分线上的一动点，若以点，，，为顶点的四边形是等角线四边形，求该四边形的面积．

【变式4-1】（22-23八年级下·浙江宁波·期末）【新知学习】定义：一组邻边相等，另一组邻边也相等的凸四边形叫做“筝形”．如在凸四边形中，若，，则四边形是“筝形”．（1）如图1，在边长为1的正方形网格中，画出“筝形”，要求点是格点；【问题探究】（2）如图2，在矩形中，，，“筝形”的顶点是的中点，点，，分别在，，上，且，求对角线的长；【拓展思考】（3）如图3，在“筝形”中，，，，、分别是、上的点，平分，，，求“筝形”的面积．

【变式4-2】（21-22八年级下·陕西西安·期末）定义：只有一组对角是直角的四边形叫做损矩形．如图1，，四边形是损矩形．我们发现损矩形的一边与另外两个顶点所构成的两个三角形中，公共边所对的两个角是相等的，比如图1中：和有公共边，所对的和相等；再比如和有公共边，此时．概念理解(1)请在图1中再找出一对相等的角：_________＝_________；（不另添字母且除外）(2)如图2，中，，以为一边向外作菱形，D为菱形对角线的交点．四边形_______损矩形（填“是”或“不是”）；问题探究(3)在（2）的条件下，连接，当平分时，①判断四边形为何种特殊的四边形？请利用图3画图并说明理由；②若，求四边形的面积．一、单选题1．（23-24八年级下·山东烟台·期中）如图，在菱形纸片中，，折叠该纸片，使点C落在直线（P为中点）上的点处，得到经过点D的折痕，则的度数为（）

A． B． C． D．2．（2024·山东淄博·二模）如图，在平面直角坐标系中，矩形的边，分别在x轴，y轴上，点E在边上，将该矩形沿折叠，点B恰好落在边上的F处．若，，则点E的坐标是（

）

A． B． C． D．3．（2024·河南安阳·模拟预测）如图，在矩形中，，．点E在边上，且，M，N分别是边、上的动点，P是线段上的动点，连接，，使．当的值最小时，线段的长为（

）A．2 B． C．4 D．4．（2024·河南·三模）如图，菱形的顶点，，，若菱形绕点顺时针旋转后得到菱形，依此方式，绕点连续旋转次得到菱形，那么点的坐标是（

）A． B． C． D．二、填空题5．（2024·陕西·二模）如图，在菱形中，，，点F在边上，且，点E是对角线上的一个动点，当的值最小时，的长是．6．（2024·河南商丘·三模）如图，在正方形中，，点E为边的中点，点P是边上一动点，连接，沿折叠得到．当射线经过正方形的边的中点（不包括点E）时，的长为．7．（2023·江苏南通·二模）如图，在边长为的正方形中，点为边的中点，点为边上的动点，以为一边在的右上方作等边三角形，当最小时，的周长为．8．（23-24九年级下·山东淄博·期中）如图，在矩形中，，以点A为旋转中心，按逆时针方向旋转矩形，旋转角为，得到矩形，点的对应点分别为，设点P为的中点，连结，在矩形旋转的过程中，面积的最大值和最小值．三、解答题9．（23-24八年级下·江苏无锡·期中）如图，有一张矩形纸条，，，点、分别在边、上，．现将四边形沿折叠，使点、分别落在点、上，在点从点运动到点的过程中，若边与边交于点，(1)如图1，当点恰好落在边上时，求线段的长；(2)运动过程中，的面积有没有最小值，若有，求此时线段的长，若无，请说明理由；(3)求点相应运动的路径长．10．（23-24八年级下·江西南昌·期中）【定义】若一个直角三角形中两边的平方差等于另一个直角三角形两边的平方差，则称这两个直角三角形为“勾股三角形”．在正方形中，为上一点．(1)如图，连接，于点，图中有对“勾股三角形”；分别是哪几对？(2)如图，以为边作矩形，若点在上，，，求的长．（提示：连接）11．（23-24八年级下·重庆开州·期中）已知在正方形中，点是对角线上一点．(1)如图1连接，若，，求出的长．(2)如图2，过点作于点，交于点，点、分别在、上（不与端点重合），连接，，若，，求证：．(3)如图3，在（1）的条件下，线段上有一动点，当的值取得最小时，直接写出的值．12．（23-24八年级下·湖北省直辖县级单位·阶段练习）操作与探究：数学活动课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展操作与探究活动．操作一：对折正方形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平；操作二：在上选一点，沿折叠，使点落在正方形内部点处，连接．(1)操作发现：根据以上操作，当点落在折痕上时，如图1所示，此时______；(2)迁移探究：当点落在对角线上时，如图2所示，连接，与分别交于点，试判断线段与的数量关系，并说明理由；(3)拓展应用：如图3，连接，若正方形的边长为4，且，连接，则______．13．（2024·山东日照·二模）问题背景：在课外小组活动中，“创新小组”对“正方形旋转”问题进行了探究，如图，边长为的正方形的对角线相交于点，分别延长到点，到点，使，再以为邻边做正方形，连接；

(1)解决问题：与之间的数量关系是______，位置关系是______；(2)深入研究：如图正方形固定不动，将正方形绕点顺时针方向旋转，判断与的关系，并证明：(3)拓展延伸：如图，在正方形旋转过程中，分别交于点，连接．当时，求的值．14．（2023·江西九江·二模）问题提出在综合与实践课上，某数学研究小组提出了这样一个问题：如图1，在边长为4的正方形的中心作直角，的两边分别与正方形的边，交于点E，F（点E与点B，C不重合），将绕点O旋转．在旋转过程中，四边形的面积会发生变化吗？爱思考的浩浩和小航分别探究出了如下两种解题思路．浩浩：如图a，充分利用正方形对角线垂直、相等且互相平分等性质，证明了，则，．这样，就实现了四边形的面积向面积的转化．小航：如图b，考虑到正方形对角线的特征，过点O分别作于点G，于点H，证明，从而将四边形的面积转化成了小正方形的面积．（1）通过浩浩和小航的思路点拨﹐我们可以得到__________；__________．类比探究（2）①如图⒉，在矩形中，，，O是边的中点，，点E在上，点F在上，则__________．②如图3，将问题中的正方形改为菱形，且，当时，其他条件不变，四边形的面积还是一个定值吗？若是，请求出四边形的面积；若不是，请说明理由．拓展延伸（3）如图4，在四边形中，，，，，是的平分线，求四边形的面积．15．（23-24八年级下·山东烟台·期中）在学习了“特殊的平行四边形”这一章后，同学小明对特殊四边形的探究产生了浓厚的兴趣，他发现除了已经学过的特殊四边形外，还有很多比较特殊的四边形，勇于创新的他大胆地作出这样的定义：有一个内角是直角，且对角线互相垂直的四边形称为“双直四边形”．请你根据以上定义，回答下列问题：(1)下列关于“双直四边形”的