2024年吉林省长春市朝阳区吉林省第二实验学校6月中考考前最后一模数学试卷

第1页（共1页）2024年吉林省长春市朝阳区吉林省第二实验学校6月中考考前最后一模数学试卷一、选择题（本大题共8小题，每题3分，共24分）1．（3分）2024的相反数是（）A．2024 B．﹣2024 C． D．2．（3分）据统计，第15中国（长春）国际汽车博览会成交额约为6058000000，6058000000这个数用科学记数法表示为（）A．60.58×1010 B．6.058×1010 C．6.058×109 D．6.058×1083．（3分）下列几何体中，主视图和俯视图都为矩形的是（）A． B． C． D．4．（3分）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝8，将△ABC折叠，使B点与AC的中点D重合，折痕为EF，则线段BF的长是（）A． B．2 C． D．5．（3分）如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上．若∠ABD＝50°，则∠BCD的度数为（）A．30° B．35° C．40° D．45°6．（3分）如图，在已知的△ABC中，按以下步骤作图：①分别以B、C为圆心，以大于BC的长为半径作弧，两弧相交于点M、N；②作直线MN交AB于点D，连接CD，若CD＝AD，∠B＝20°，则下列结论中错误的是（）A．∠CAD＝40° B．∠ACD＝70° C．点D为△ABC的外心 D．∠ACB＝90°7．（3分）如图要测量小河两岸相对的两点P、A的距离，可以在小河边取PA的垂线PB上的一点C，测得PC＝50米，∠PCA＝44°，则小河宽PA为（）米．A．50sin44° B．50cos44° C．50tan44° D．50tan46°8．（3分）如图，平行四边形ABCD中A点的坐标为（0，﹣2），B在x轴的负半轴上，C、D两点落在反比例函数y＝kx﹣1上，且D点的横坐标为3，四边形AECD的面积是三角形ABE面积的3倍．k的值为（）A．3 B．4 C．5 D．6二、填空题（本大题共6小题，每题3分，共18分）9．（3分）计算：＝．10．（3分）已知二次函数有最大值﹣3，则实数a的值为．11．（3分）若a1，a2，a3…a10的方差为S1，那么4a1，4a2，4a3…4a10的方差为．12．（3分）如图，点O是圆形纸片的圆心，将整个圆形纸片按下列顺序折叠，使弧AB和弧AC都经过圆心O，则阴影面积占圆面积的（填分数）．13．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝7，E为CD的中点，若P、Q为BC边上的两个动点，且PQ＝2，若想使得四边形APQE的周长最小，则BP的长度应为．14．（3分）如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，AD⊥BC于点D，BE⊥AC于E点，AD与BC交于F，连接CF，DE，下列结论：①AC＝BC，②∠BED＝45°，③BE＝AE+2DC，④若ABF＝30°，则，其中，正确的结论序号是．三、解答题（本大题共10小题，共78分）15．（6分）先化简，再求值：（2x﹣1）2+（x+2）（x﹣2）﹣4x（x﹣1），其中x＝．16．（6分）国际数学家大会（ICM），是由国际数学联盟（IMU）主办的国际数学界规模最大也是最重要的会议，每四年举行一次，它是全球性数学科学学术会议，被誉为数学界的奥林匹克盛会．李颖和汪洋两人想通过玩游戏的方式，了解关于国际数学家大会的一些常识，他们给一个不透明的袋子里装了四个分别标有A、B、C、D的小球，这些小球除所标字母不同外其他都相同，汪洋先从四个小球中随机摸出一个，李颖再从剩下的三个小球中随机摸出一个，然后两人按照如图示各自搜索并回答自己所摸小球上字母对应的问题．（1）汪洋随机摸出的一个小球是小球A的概率为；（2）请用列表法或画树状图的方法求游戏结束后，两人恰好回答完A、B两个问题的概率．17．（6分）某校为美化校园，计划对某一区域进行绿化，安排甲、乙两个工程队完成．已知甲队每天能完成绿化的面积是乙队每天能完成绿化的面积的2倍，并且在独立完成面积为400m2区域的绿化时，甲队比乙队少用4天，求甲、乙两工程队每天能完成绿化的面积分别是多少m2？18．（7分）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC的垂直平分线分别与AD、AC、BC交于点E、O、F．（1）求证：四边形AFCE是菱形．（2）若AC＝10，，求四边形AFCE的面积．19．（7分）某中学八、九两个年级各有学生180人，为了解这两个年级学生的体质健康情况，进行了抽样调查，过程如下：（1）收集数据从八、九两个年级各随机抽取20名学生，进行了体质健康测试，测试成绩（百分制）如下：八年级7886748175768770759075798170748086698377九年级9373888172819483778380817081737882807040（2）整理、描述数据按如下分数段整理、描述这两组样本数据：成绩x40≤x≤4950≤x≤5960≤x≤6970≤x≤7980≤x≤8990≤x≤100八年级0011171九年级1007102（说明：成绩80分及以上为体质健康优秀，70﹣79分为体质健康良好，60﹣69分为体质健康合格，60分以下为体质健康不合格）（3）分析数据两组样本数据的平均数、中位数、众数如下表，请将表格补充完整：平均数中位数众数八年级78.377.5九年级7881（4）得出结论①估计九年级全体学生中体质健康优秀的学生人数为②可以推断出年级学生的体质健康情况更好一些，理由为至少从两个不同的角度说明推断的合理性）20．（7分）如图，在正方形的网格中，点A，B，C均在格点上，点P为线段AB与网格线的交点，仅用无刻度的直尺完成以下作图，画图过程用虚线表示．（1）在图1中，画出△ABC的角平分线BE；（2）在图1中，在线段AC上画点Q，连接PQ，使得PQ∥BC；（3）在图2中，在线段AC上画点F，连接PF，使得tan∠APF＝3；（4）在图3中，分别在线段AC，线段BC上画M，N，连接PM，MN，使得PM+MN最小．21．（8分）甲、乙两人相约登山，甲、乙两人距地面的高度y（m）与登山时间x（min）之间的函数图象如图所示，根据图象所提供的信息解答下列问题；（1）t＝min；（2）求乙提速后，乙距地面的高度y（m）与登山时间x（min）之间的函数关系式；（3）若乙提速后，乙的登山速度是甲登山的速度的3倍，求甲乙相遇后多长时间甲登到山顶？22．（9分）如图，在四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点E，且DA＝DB＝DC．（1）求证：∠ADB＝2∠ACB；（2）如图2，点F在BC边上，AC与DF相交于点G，DE＝BF，若∠BAC＝30°，5CG＝3DG，试探究AG与DG的数量关系，并说明理由；（3）如图3，在（2）的条件下，BN与DF相交于点M，若2∠BNC﹣2∠BFD＝∠BCE，BC＝7，求线段DM的长．23．（10分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝6，动点P从点A出发，沿折线AC﹣CB以每秒5个单位长度的速度向点B运动，当点P不与A、B重合时，过点P作PD⊥AB，垂足为点D，将线段PD绕点P逆时针旋转90°得到线段PE，连接CE，点P、点D关于直线CE的对称点分别为点P'、D'．设点P的运动时间为t秒．（1）当P与C重合时，求t的值．（2）用含t的代数式表示PD的长．（3）当线段P′D′在△ABC内部时，求t的取值范围．（4）当P'D'∥AC时，直接写出t的值．24．（12分）在平面直角坐标系中，函数y＝x2﹣2mx+m2﹣4（m为常数）的图象记为G．（1）设m＞0，当G经过点（2，0）时，求此函数的表达式，并写出顶点坐标．（2）判断图象G与x轴公共点的个数，并说明理由．（3）当2m≤x≤m+3时，图象G的最高点与最低点纵坐标之差为9，求m的取值范围．（4）线段AB的端点坐标分别为A（0，2）、B（7，4），当图象G与x轴有两个公共点时，设其分别为点C、点D（点C在点D左侧），直接写出四边形ACDB周长的最小值及此时m的值．参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每题3分，共24分）1．（3分）2024的相反数是（）A．2024 B．﹣2024 C． D．【解答】解：2024的相反数是﹣2024，故选：B．2．（3分）据统计，第15中国（长春）国际汽车博览会成交额约为6058000000，6058000000这个数用科学记数法表示为（）A．60.58×1010 B．6.058×1010 C．6.058×109 D．6.058×108【解答】解：6058000000＝6.058×109，故选：C．3．（3分）下列几何体中，主视图和俯视图都为矩形的是（）A． B． C． D．【解答】解：A、此几何体的主视图是等腰三角形，俯视图是圆，故此选项错误；B、此几何体的主视图是矩形，俯视图是矩形，故此选项正确；C、此几何体的主视图是矩形，俯视图是圆，故此选项错误；D、此几何体的主视图是梯形，俯视图是矩形，故此选项错误；故选：B．4．（3分）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝8，将△ABC折叠，使B点与AC的中点D重合，折痕为EF，则线段BF的长是（）A． B．2 C． D．【解答】解：∵Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝8∴AC＝6∵D是AC中点∴AD＝CD＝3∵折叠∴DF＝BF∴设BF＝x，则CF＝8﹣x在Rt△DCF中，DF2＝CD2+CF2∴x2＝9+（8﹣x）2∴x＝∴BF＝故选：D．5．（3分）如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上．若∠ABD＝50°，则∠BCD的度数为（）A．30° B．35° C．40° D．45°【解答】解：连接AD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°．∵∠ABD＝50°，∴∠DAB＝90°﹣50°＝40°，∴∠BCD＝∠DAB＝40°．故选：C．6．（3分）如图，在已知的△ABC中，按以下步骤作图：①分别以B、C为圆心，以大于BC的长为半径作弧，两弧相交于点M、N；②作直线MN交AB于点D，连接CD，若CD＝AD，∠B＝20°，则下列结论中错误的是（）A．∠CAD＝40° B．∠ACD＝70° C．点D为△ABC的外心 D．∠ACB＝90°【解答】解：∵由题意可知直线MN是线段BC的垂直平分线，∴BD＝CD，∠B＝∠BCD，∵∠B＝20°，∴∠B＝∠BCD＝20°，∴∠CDA＝20°+20°＝40°．∵CD＝AD，∴∠ACD＝∠CAD＝＝70°，∴A错误，B正确；∵CD＝AD，BD＝CD，∴CD＝AD＝BD，∴点D为△ABC的外心，故C正确；∵∠ACD＝70°，∠BCD＝20°，∴∠ACB＝70°+20°＝90°，故D正确．故选：A．7．（3分）如图要测量小河两岸相对的两点P、A的距离，可以在小河边取PA的垂线PB上的一点C，测得PC＝50米，∠PCA＝44°，则小河宽PA为（）米．A．50sin44° B．50cos44° C．50tan44° D．50tan46°【解答】解：∵PA⊥PB，∴∠APC＝90°，∵PC＝50米，∠PCA＝44°，∴tan44°＝，∴小河宽PA＝PCtan∠PCA＝50•tan44°（米）．故选：C．8．（3分）如图，平行四边形ABCD中A点的坐标为（0，﹣2），B在x轴的负半轴上，C、D两点落在反比例函数y＝kx﹣1上，且D点的横坐标为3，四边形AECD的面积是三角形ABE面积的3倍．k的值为（）A．3 B．4 C．5 D．6【解答】解：∵四边形AECD的面积是三角形ABE面积的3倍，∴S△ABE＝S平行四边形ABCD＝，∴E是BC的中点，∵E在y轴上，横坐标是0，∴B、C两点的横坐标互为相反数，设C点横坐标为x，则B点横坐标为﹣x．∵平行四边形ABCD中A点的坐标为（0，﹣2），D点的横坐标为3，∴x﹣（﹣x）＝3﹣0，∴x＝1.5．设D（3，y），∵C、D两点落在反比例函数y＝kx﹣1上，∴C点纵坐标为＝2y，∴C（1.5，2y）．∵A（0，﹣2），B（﹣1.5，0），C（1.5，2y），D（3，y），且四边形ABCD是平行四边形，∴2y﹣y＝0﹣（﹣2），∴y＝2，∴D（3，2），∴k＝3×2＝6．故选：D．二、填空题（本大题共6小题，每题3分，共18分）9．（3分）计算：＝2023．【解答】解：＝2024﹣（﹣1）2＝2024﹣1＝2023，故答案为：2023．10．（3分）已知二次函数有最大值﹣3，则实数a的值为或＝．【解答】解：二次函数y＝﹣9x2﹣6ax﹣a2+2a的对称轴是直线x＝﹣，（1）若﹣≤﹣≤，即﹣1≤a≤1，抛物线开口向下，当x＝﹣时，y最大值＝2a，∵二次函数最大值﹣3，即a＝﹣与﹣1≤a≤1矛盾，舍去．（2）若﹣＜﹣，即a＞1当﹣≤x≤时，y随x增大而减小，当x＝﹣时，y最大值＝﹣a2+4a﹣1，由﹣a2+4a﹣1＝﹣3，解得a＝2±．又a＞1，∴a＝2+；（3）若﹣＞，即a＜﹣1．当﹣≤x≤时，y随x增大而增大，当x＝时，y最大值＝﹣a2﹣1，由﹣a2﹣1＝﹣3，解得a＝±．又a＜﹣1，∴a＝﹣．综上所述，a＝2+或a＝﹣．11．（3分）若a1，a2，a3…a10的方差为S1，那么4a1，4a2，4a3…4a10的方差为16S1．【解答】解：∵样本a1，a2，a3…a10的平均数＝，∴4a1，4a2，4a3…4a10的平均数＝＝＝4；4a1、4a2，…，4an的方差＝×[（4a1﹣4）2+（4a2﹣4）2+…+（4a10﹣4）2]＝×{16×[（a1﹣）2+（a2﹣）2+…+（a10﹣）2]}＝16×[（a1﹣）2+（a2﹣）2+…+（a10﹣）2]＝16S1．故答案为：16S1．12．（3分）如图，点O是圆形纸片的圆心，将整个圆形纸片按下列顺序折叠，使弧AB和弧AC都经过圆心O，则阴影面积占圆面积的（填分数）．【解答】解：作OD⊥AB于点D，连接AO，BO，CO，如图所示：根据题意得：OD＝AO，∴∠OAD＝30°，∴∠AOD＝60°，∴∠AOB＝2∠AOD＝120°，同理∠BOC＝120°，∴∠AOC＝120°，∴阴影部分的面积＝S扇形AOC＝×⊙O面积，故答案为：．13．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝7，E为CD的中点，若P、Q为BC边上的两个动点，且PQ＝2，若想使得四边形APQE的周长最小，则BP的长度应为．【解答】解：∵四边形APQE的周长中AE和PQ是定值，∴要使四边形APQE的周长最小，只要AP+QE最小即可；在AD上截取AF＝PQ＝2，作点F关于BC的对称点G连接GE与BC交于点Q，过点AAP∥FQ，过G作GH∥BC交CD于点H，∴GQ＝FQ＝AP，∵AB＝4，BC＝7，PQ＝2，E为CD的中点，∴EC＝2，CH＝4，GH＝5，∴EH＝6，∴，∴，∴CQ＝，∴BP＝7﹣2﹣＝；故答案为；14．（3分）如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，AD⊥BC于点D，BE⊥AC于E点，AD与BC交于F，连接CF，DE，下列结论：①AC＝BC，②∠BED＝45°，③BE＝AE+2DC，④若ABF＝30°，则，其中，正确的结论序号是②④．【解答】解：①∵AD⊥BC于点D，BE⊥AC于E点，∴∠BDF＝∠ADC＝∠BEC＝90°，∴∠DBF＝∠DAC＝90°﹣∠ACB，∵∠ADB＝90°，∠BAD＝45°，∴∠ABD＝∠BAD＝45°，∴BD＝AD，∴△BDF≌△ADC（ASA），∴AC＝BF，∵BC＞BF，∴BC＞AC．故①不符合题意．②过点D作DG⊥BF于点G，DH于⊥AC于点H，∵△BDF≌△ADC，∴∠DCH＝∠DFG，又∠DGF＝∠DHC＝90°，DF＝DC，∴△CDH≌△FDG（AAS），∴DH＝DG，∴ED平分∠CEF，又∠GEC＝90°，∴∠BED＝∠GEC＝45°，故②符合题意；③BE＝BF+EF＝AC+EF＝AE+CE+EF，∵△CDH≌△FDG，∴FG＝CH，∵∠BED＝45°，∠DGE＝90°，∴△EGD是等腰直角三角形，∴EG＝DG，同理可得：△EHD是等腰直角三角形，∴DH＝EH，在△DGE和△DHE中，∴△DGE≌△DHE（AAS），∴EG＝EH，∴EF＝CE＝EG﹣FG+EH+CH＝EG+EH＝2EH，∵△EHD是等腰直角三角形，∴EH＝DH＜CD，∴BE＝AE+CE+EF＝AE+2EH＜AE+2CD，故③不符合题意；④延长FE到点P，使EP＝EF，连接AP，CP，∵∠ABC＝45°，∠ABF＝30°，∴∠DBF＝15°，∵△BDF≌△ADC，∴∠FAE＝∠DBF＝15°，∵∠AEF＝∠AEP＝90°，AE＝AE，EF＝EP，∴△AEF≌△APE，∴∠PAE＝∠FAE＝15°，∠AFP＝∠APF，∴∠FAP＝30°，∴∠AFP＝∠APF＝（180°﹣30°）＝75°，∵∠DFC＝∠DCF＝45°，∴∠AFC＝135°，∴∠CFP＝60°，∵FE＝EP，AC⊥FP，∴AC垂直平分FP，∴CF＝CP，∴△CFP是等边三角形，∴CF＝PF，∵∠ABF＝30°，∠APB＝75°，∠BAP＝75°，∴AB＝BP＝BF+FP＝BF+CF，∴，故④符合题意：故答案为：②④．三、解答题（本大题共10小题，共78分）15．（6分）先化简，再求值：（2x﹣1）2+（x+2）（x﹣2）﹣4x（x﹣1），其中x＝．【解答】解：原式＝4x2﹣4x+1+x2﹣4﹣4x2+4x＝x2﹣3，当x＝时，原式＝2﹣3＝﹣1．16．（6分）国际数学家大会（ICM），是由国际数学联盟（IMU）主办的国际数学界规模最大也是最重要的会议，每四年举行一次，它是全球性数学科学学术会议，被誉为数学界的奥林匹克盛会．李颖和汪洋两人想通过玩游戏的方式，了解关于国际数学家大会的一些常识，他们给一个不透明的袋子里装了四个分别标有A、B、C、D的小球，这些小球除所标字母不同外其他都相同，汪洋先从四个小球中随机摸出一个，李颖再从剩下的三个小球中随机摸出一个，然后两人按照如图示各自搜索并回答自己所摸小球上字母对应的问题．（1）汪洋随机摸出的一个小球是小球A的概率为；（2）请用列表法或画树状图的方法求游戏结束后，两人恰好回答完A、B两个问题的概率．【解答】解：（1）汪洋随机摸出的一个小球是小球A的概率为，故答案为：；（2）根据题意列表如下：ABCDA（B，A）（C，A）（D，A）B（A，B）（C，B）（D，B）C（A，C）（B，C）（D，C）D（A，D）（B，D）（C，D）由上可得，一共有12种可能性，其中两人恰好回答完A、B两个问题的有2种结果，所以两人恰好回答完A、B两个问题的概率为＝．17．（6分）某校为美化校园，计划对某一区域进行绿化，安排甲、乙两个工程队完成．已知甲队每天能完成绿化的面积是乙队每天能完成绿化的面积的2倍，并且在独立完成面积为400m2区域的绿化时，甲队比乙队少用4天，求甲、乙两工程队每天能完成绿化的面积分别是多少m2？【解答】解：（1）设乙工程队每天能完成绿化的面积是x（m2），根据题意得﹣＝4解得：x＝50经检验：x＝50是原方程的解所以甲工程队每天能完成绿化的面积是50×2＝100（m2）答：甲、乙两工程队每天能完成绿化的面积分别是100m2、50m2．18．（7分）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC的垂直平分线分别与AD、AC、BC交于点E、O、F．（1）求证：四边形AFCE是菱形．（2）若AC＝10，，求四边形AFCE的面积．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，∴∠EAO＝∠FCO，∠AEO＝∠CFO，∵EF垂直平分AC，∴OA＝OC，EA＝EC，在△AOE和△COF中，，∴△AOE≌△COF（AAS），∴OE＝OF，∴四边形AFCE为平行四边形，∵EA＝EC，∴平行四边形AFCE是菱形；（2）解：由（1）四边形AFCE是菱形，∴EF＝2OF＝2OE，OC＝AC＝5，∵AC⊥EF，∴∠COF＝90°，∴，∴设OF＝3k，则CF＝5k，由勾股定理，得（5k）2＝（3k）2+52，解得：k＝，3k＝，∴EF＝2OF＝，∴S菱形AFCE＝AC•EF＝×10×＝，答：四边形AFCE的面积为．19．（7分）某中学八、九两个年级各有学生180人，为了解这两个年级学生的体质健康情况，进行了抽样调查，过程如下：（1）收集数据从八、九两个年级各随机抽取20名学生，进行了体质健康测试，测试成绩（百分制）如下：八年级7886748175768770759075798170748086698377九年级9373888172819483778380817081737882807040（2）整理、描述数据按如下分数段整理、描述这两组样本数据：成绩x40≤x≤4950≤x≤5960≤x≤6970≤x≤7980≤x≤8990≤x≤100八年级0011171九年级1007102（说明：成绩80分及以上为体质健康优秀，70﹣79分为体质健康良好，60﹣69分为体质健康合格，60分以下为体质健康不合格）（3）分析数据两组样本数据的平均数、中位数、众数如下表，请将表格补充完整：平均数中位数众数八年级78.377.575九年级7880.581（4）得出结论①估计九年级全体学生中体质健康优秀的学生人数为108②可以推断出九年级学生的体质健康情况更好一些，理由为两年级学生的平均数基本相同，而九年级的中位数以及众数均高于八年级，说明九年级学生的体质健康情况更好一些至少从两个不同的角度说明推断的合理性）【解答】解：（3）八年级体质健康测试成绩的众数为：75，九年级体质健康测试成绩的中位数为80.5；故答案为：75，80.5；（4）①估计九年级体质健康优秀的学生人数为180×＝108人，故答案为：108；（2）可以推断出九年级学生的体质健康情况更好一些，理由为两年级学生的平均数基本相同，而九年级的中位数以及众数均高于八年级，说明九年级学生的体质健康情况更好一些．故答案为：九；两年级学生的平均数基本相同，而九年级的中位数以及众数均高于八年级，说明九年级学生的体质健康情况更好一些．20．（7分）如图，在正方形的网格中，点A，B，C均在格点上，点P为线段AB与网格线的交点，仅用无刻度的直尺完成以下作图，画图过程用虚线表示．（1）在图1中，画出△ABC的角平分线BE；（2）在图1中，在线段AC上画点Q，连接PQ，使得PQ∥BC；（3）在图2中，在线段AC上画点F，连接PF，使得tan∠APF＝3；（4）在图3中，分别在线段AC，线段BC上画M，N，连接PM，MN，使得PM+MN最小．【解答】解：（1）在图1中线段BE即为所求；（2）在图1中，线段PQ即为所求；（3）在图2中，点即为所求；（4）在图3中，点M，N即为所求．21．（8分）甲、乙两人相约登山，甲、乙两人距地面的高度y（m）与登山时间x（min）之间的函数图象如图所示，根据图象所提供的信息解答下列问题；（1）t＝1min；（2）求乙提速后，乙距地面的高度y（m）与登山时间x（min）之间的函数关系式；（3）若乙提速后，乙的登山速度是甲登山的速度的3倍，求甲乙相遇后多长时间甲登到山顶？【解答】解：（1）依题意，，解得：t＝1，经检验是原方程的解；故答案为：1．（2）设乙登山过程中，地面的高度y与登山时间x之间的函数关系式为y＝kx+b，根据题意和函数图象可知：，解得，即乙登山过程中，地面的高度y与登山时间x之间的函数关系式为y＝30x﹣30；（3）由（2）问可知，乙提速后速度为30m/min，则甲的速度是10m/min，由图象可知甲登山过程中，地面的高度y与登山时间x之间的函数关系式为y＝10x+100，根据题意和函数图象可知，，解得，∵（300﹣100）÷10﹣6.5＝13.5（min），∴甲乙相遇后经过13.5min甲登到山顶．22．（9分）如图，在四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点E，且DA＝DB＝DC．（1）求证：∠ADB＝2∠ACB；（2）如图2，点F在BC边上，AC与DF相交于点G，DE＝BF，若∠BAC＝30°，5CG＝3DG，试探究AG与DG的数量关系，并说明理由；（3）如图3，在（2）的条件下，BN与DF相交于点M，若2∠BNC﹣2∠BFD＝∠BCE，BC＝7，求线段DM的长．【解答】解：（1）如图1，∵DA＝DB＝DC，∴∠DAB＝∠DBA，∠DAC＝∠DCA，∠DBC＝∠DCB，∴∠ADB＝180°﹣2∠DAB，∠BDC＝180°﹣2∠DCB，∴∠ADC＝360°﹣2∠DAB﹣2∠DCB，∴∠DCA＝∠DAC＝∠DAB+∠DCB﹣90°，∴∠ACB＝∠DCB﹣∠DCA＝90°﹣∠DAB，∴∠ADB＝2∠ACB；（2）如图2，在AC上截取AQ＝CG，连接DQ，∵∠BAC＝30°，∴由（1）的方法，同理可求∠BDC＝2∠BAC＝60°，∵BD＝CD，∴△BCD是等边三角形，∴∠DBC＝∠BDC＝60°，又∵CD＝BD，BF＝DE，∴△CDE≌△DBF（SAS），∴∠BDF＝∠DCE，∴∠BDC＝∠BDF+∠CDG＝∠DCE+∠CDG＝∠DGQ＝60°，设CG＝3a，DG＝5a，∵DA＝DC，∴∠DAQ＝∠DCG，又∵AQ＝CG，∴△DAQ≌△DCG（SAS），∴DG＝DQ＝5a，∴△DGQ是等边三角形，∴DQ＝QG＝5a，∴AG＝8a，∴AG＝DG；（3）设∠BCE＝β，由（2）知：∠DGE＝60°，∴∠CGF＝60°，∴∠BFD＝∠CGF+∠BCE＝60°+β，∵2∠BNC﹣2∠BFD＝∠BCE，∴2∠BNC﹣2（60°+β）＝β，∴∠BNC＝60°+β，∵∠BNC＝∠BDC+∠DBN＝60°+∠DBN，∴∠DBN＝β，∵∠CDF+∠DCG＝∠BCE+∠DCG＝60°，∴∠CDF＝∠BCE＝β，作BK∥DQ交DF于点K，作BL平分∠DBK交DF于点L，则四边形BKDQ是平行四边形，∴BK＝DQ＝5，DK＝BQ＝3，∵BL平分∠DBK，∴＝＝，∵KL+DL＝3，∴KL＝，DL＝，过点B作BW⊥DF于点W，过点Q作QJ⊥DF于点J，则BW＝QJ＝，∴DW＝＝＝，∴LW＝DW﹣DL＝﹣＝，KW＝DW﹣DK＝﹣3＝，∴BL＝＝＝，设MK＝x，则MW＝﹣x，∵∠LBK＝∠KBM＝β，∴＝，即＝，∴BM＝x，∵BW2+MW2＝BM2，∴（）2+（﹣x）2＝（x）2，解得：x1＝1，x2＝﹣（舍去），∴MK＝1，∴DM＝DL+KL+MK＝++1＝4．23．（10分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝6，动点P从点A出发，沿折线AC﹣CB以每秒5个单位长度的速度向点B运动，当点P不与A、B重合时，过点P作PD⊥AB，垂足为点D，将线段PD绕点P逆时针旋转90°得到线段PE，连接CE，点P、点D关于直线CE的对称点分别为点P'、D'．设点P的运动时间为t秒．（1）当P与C重合时，求t的值．（2）用含t的代数式表示PD的长．（3）当线段P′D′在△ABC内部时，求t的取值范围．（4）当P'D'∥AC时，直接写出t的值．【解答】解：（1）由题意得5t＝6，解得；（2）在Rt△ABC中，由勾股定理得：，如图1所示，当点P在AC上，即时，∵∠A＝∠A，∠ADP＝∠ACB＝90°，∴△ADP∽△ACB，∴，即，∴PD＝4t；如图2所示，当点P在BC上，即，∴∵∠B＝∠B，∠BDP＝∠BCA＝90°，∴△BDP∽△BCA，∴，即，∴；综上所述，；（3）过点C作CF⊥AB于F，如图3﹣1所示，当CE在CF左侧时，设直线CE与AB交于点G，∵∠AFC＝90°，∴∠AGC＞90°，又∵点D'是D关于直线CE的对称点，∴此时点D'必然在△ABC的外部，不符合题意；如图3﹣2所示，当CE与CF恰好重合时，∵∠ADP＝∠EPD＝90°，∴PE∥AB，∴∠CPE＝∠A，∠CEP＝∠CFA＝90°，∴∠CEP＝∠BCA＝90°，∴△CPE∽△BAC，∴，由（2）得PD＝4t，∴由旋转的性质可得PE＝PD＝4t，∴，解得；如图3﹣3所示，当点P'恰好落在BC上时，由轴对称的性质可得，过点E作EH⊥CP于H，则△CHE为等腰直角三角形，∴CH＝HE，∵∠EHP＝∠BCA＝90°，∠EPH＝∠A，∴△EHP∽△BCA，∴，即，∴，∴，∴，解得；当点P在AC上运动，且时，此时点P'在△ABC外部，不符合题意；如图3﹣4所示，当点P在BC上运动时，由于点E在△ABC外部，则点P'在△ABC外部，不符合题意；综上所述，当线段P′D′在△ABC内部时，；（4）如图4﹣1所示，当P在AC上时，设PP'与直线CE交于点M，延长PD交直线CE于Q，连接MD，MD'，由轴对称的性质可得MD＝MD'，PM＝P'M，PD＝P'D'，∴△PDM≌△P'D'M（SSS），∴∠P'＝∠DPM，∵AC∥D'P'，∴∠CPP'＝∠P'，∴∠CPP'＝∠QPP'，又∵PM⊥CQ，∴∠CMP＝∠QMP＝90°，∵PM＝PM，∴△CMP≌△QMP（ASA），∴CP＝PQ，如图所示，以AB为x轴，以CF所在的直线为y轴建立平面直角坐标系，在Rt△ABC中，，，∴，，∴点C的坐标为（0，），在Rt△PAD中，AD＝AP•cosA＝3t，∴，∴点D的坐标为（，0），由旋转的性质可得PE＝PD＝4t，∠DPE＝∠ADP＝90°，∴PE∥x轴，∴点E的坐标为（，4t），设直线CE的解析式为，∴，∴，∴直线CE的解析式为，当时，，∴，∴，∴，∴，∴，解得；如图4﹣2所示，当点P在线段BC上时，同图4﹣1中建立坐标系，设DD'与BC交于N，过点D作DM⊥BC于M，过点N作NQ⊥PD于Q，过点B作BG⊥CE于G，过点G作GT⊥x轴于T，∵P'D'∥AC，AC⊥BC，DM⊥BC，∴DM∥AC∥P'D'，∴∠D'＝∠MDD'，同理可证∠D'＝∠PDN，∴∠PDN＝∠MDN，又∵NQ⊥PD，MN⊥DM，∴NQ＝NM，∠NQD＝∠NMD＝90°，∴△NQD≌△NMD（AAS），∴DQ＝DM，在Rt△ABC中，，∵∠ABC+∠DPB＝90°＝∠DPM+∠PDM，∴∠PDM＝∠ABC，∴，，∴，∴，同理可证∠PNQ＝∠PBD，∴，∴，∴，∵DD'⊥CG，∠CND'＝∠DNM，∠DMN＝90°，∴∠BCG＝∠NDM，∴，∵BG2+CG2＝BC2，∴10BG2＝BC2，∵BG⊥CE，DD'⊥CE，PD⊥AB，GT⊥AB，∴PD∥GT，DD'∥BG，∴∠BGT＝∠PDN＝∠NDM（