湖南省娄底市涟源市行知高级中学2022-2023学年高一（下）期末数学试卷

第1页（共1页）湖南省娄底市涟源市行知高级中学2022-2023学年高一（下）期末数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分40分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分.1．（5分）已知集合A＝{1，3，5，7}，B＝{2，3，4，5}，则A∩B＝（）A．{3} B．{5} C．{3，5} D．{1，2，3，4，5，7}2．（5分）命题P：是命题Q：的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件3．（5分）若x＞0，y＞0，且x+y＝1，则xy的最大值是（）A． B． C． D．14．（5分）已知函数，则f（﹣1）＝（）A．4 B．3 C．2 D．15．（5分）函数y＝xcosx+sinx在区间[﹣π，π]上的图象可能是（）A． B． C． D．6．（5分）函数的单调递增区间是（）A．（﹣∞，2） B．（2，+∞） C．（2，5） D．（﹣1，2）7．（5分）已知，，则sinα＝（）A． B． C． D．8．（5分）已知函数是定义在（﹣b，b）的奇函数，则ab的取值范围为（）A．（0，4] B．（0，4） C．（1，4] D．（1，4）二、多项选择题：本题共4小题，每小题满分20分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分.（多选）9．（5分）设0＜b＜a＜1，则下列不等式成立的是（）A．b2＜ab＜1 B． C． D．a2＜ab＜1（多选）10．（5分）关于幂函数f（x）＝xa的性质下列说法中正确的是（）A．当a＝2024时，f（x）在（﹣∞，0）是单调递减 B．当a＝2023时，f（x）在（﹣∞，0）是单调递减 C．当时，f（x）是偶函数 D．当时，f（x）是偶函数（多选）11．（5分）函数的部分图象如图，则下列说法中正确的是（）A．函数的最小正周期为2π B．函数的表达式 C．函数的一个对称中心为 D．函数图象是由sin2x图象向左平移个单位而得到（多选）12．（5分）已知函数f（x）＝|cos2x|+cos|x|，有下列四个结论，其中正确的结论为（）A．f（x）在区间上单调递增 B．2π是f（x）的一个周期 C．f（x）的值域为 D．f（x）的图象关于y轴对称三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）计算：＝．14．（5分）不等式x2﹣3x﹣18＞0的解集是．15．（5分）已知函数f（x）＝sinx+cosx，则f（x）的最大值为．16．（5分）已知函数，方程[f（x）]2+bf（x）+1＝0有六个不相等实根，则实数b的取值范围是．四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）已知，求下列各式的值：（1）a+a﹣1；（2）．18．（12分）已知tanθ＝2．（1）若θ是第三象限角，求sinθ，cosθ的值；（2）先化简再求值：．19．（12分）已知函数f（x）＝是奇函数，并且函数f（x）的图象经过点（1，3）．（1）求实数a，b的值．（2）求函数f（x）在x＜0时的值域．20．（12分）声强级L1（单位：dB）由公式：给出，其中I为声强（单位：W/m2）．（1）一般正常人听觉能忍受的最高声强为1W/m2，能听到的最低声强为10﹣12W/m2．求人听觉的声强级范围；（2）平时老师上课时的声强约为10﹣4W/m2，求其声强级．21．（12分）已知函数．（1）求函数f（x）的最小正周期和对称轴；（2）若时，|f（x）|≤3恒成立，则实数a的取值范围．22．（12分）已知函数f（x）＝log2x．（1）用定义法证明：函数f（x）在（0，+∞）是单调递增函数；（2）若x∈[1，4]，求函数g（x）＝[f（x）+a][f（x）﹣3a]，a∈R的最小值h（a）．参考答案与试题解析一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分40分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分.1．（5分）已知集合A＝{1，3，5，7}，B＝{2，3，4，5}，则A∩B＝（）A．{3} B．{5} C．{3，5} D．{1，2，3，4，5，7}【解答】解：∵集合A＝{1，3，5，7}，B＝{2，3，4，5}，∴A∩B＝{3，5}．故选：C．2．（5分）命题P：是命题Q：的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【解答】解：当时，α＝+2kπ或，k∈Z，当时，sin一定成立，所以P：是命题Q：的必要不充分条件．故选：B．3．（5分）若x＞0，y＞0，且x+y＝1，则xy的最大值是（）A． B． C． D．1【解答】解：由题意，解得，等号成立当且仅当，所以xy的最大值为．故选：B．4．（5分）已知函数，则f（﹣1）＝（）A．4 B．3 C．2 D．1【解答】解：由题，f（﹣1）＝f（1）＝2×1﹣4×1+3＝1．故选：D．5．（5分）函数y＝xcosx+sinx在区间[﹣π，π]上的图象可能是（）A． B． C． D．【解答】解：y＝f（x）＝xcosx+sinx，则f（﹣x）＝﹣xcosx﹣sinx＝﹣f（x），∴f（x）为奇函数，函数图象关于原点对称，故排除C，D，当x＝π时，y＝f（π）＝πcosπ+sinπ＝﹣π＜0，故排除B，故选：A．6．（5分）函数的单调递增区间是（）A．（﹣∞，2） B．（2，+∞） C．（2，5） D．（﹣1，2）【解答】解：根据题意，设t＝﹣x2+4x+5，则y＝log2t，必有t＝﹣x2+4x+5＞0，解可得﹣1＜x＜5，即函数的定义域为（﹣1，5），y＝log2t在（0，+∞）上为增函数，t＝﹣x2+4x+5，是对称轴为x＝2，开口向下的二次函数，故函数的单调递增区间是（﹣1，2）．故选：D．7．（5分）已知，，则sinα＝（）A． B． C． D．【解答】解：因为，，所以，所以＝．故选：A．8．（5分）已知函数是定义在（﹣b，b）的奇函数，则ab的取值范围为（）A．（0，4] B．（0，4） C．（1，4] D．（1，4）【解答】解：根据题意，函数是定义在（﹣b，b）的奇函数，则有，解得a＝2，即，f（x）有意义，，解得﹣2＜x＜2，所以有0＜b≤2，此时，满足在（﹣b，b）上为奇函数，由0＜b≤2，所以ab＝2b∈（1，4]．故选：C．二、多项选择题：本题共4小题，每小题满分20分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分.（多选）9．（5分）设0＜b＜a＜1，则下列不等式成立的是（）A．b2＜ab＜1 B． C． D．a2＜ab＜1【解答】解：因为0＜b＜a＜1，所以b2﹣ab＝b（b﹣a）＜0，所以b2＜ab，又ab＜1，所以b2＜ab＜1，所以A正确；当，，则，，所以，所以B不正确；因为0＜a＜1，所以，又0＜b＜a＜1，所以，即，所以C正确；因为0＜b＜a＜1，所以a2﹣ab＝a（a﹣b）＞0，即a2＞ab，所以D不正确．故选：AC．（多选）10．（5分）关于幂函数f（x）＝xa的性质下列说法中正确的是（）A．当a＝2024时，f（x）在（﹣∞，0）是单调递减 B．当a＝2023时，f（x）在（﹣∞，0）是单调递减 C．当时，f（x）是偶函数 D．当时，f（x）是偶函数【解答】解：对于A，由幂函数的性质可知，f（x）＝x2024在（0，+∞）单调递增，f（﹣x）＝（﹣x）2024＝x2024＝f（x），且定义域关于原点对称，即f（x）是偶函数，所以f（x）在（﹣∞，0）是单调递减，故A正确；对于B，当a＝2023＞0时，f（x）＝x2023在（0，+∞）单调递增，且注意到f（﹣x）＝（﹣x）2023＝﹣x2023＝﹣f（x），且定义域关于原点对称，即f（x）是奇函数，所以f（x）在（﹣∞，0）是单调递增，故B错误；对于C，当时，定义域为[0，+∞），它为非奇非偶函数，故C错误；对于D，当时，定义域为R，且，所以此时f（x）是偶函数，故D正确．故选：AD．（多选）11．（5分）函数的部分图象如图，则下列说法中正确的是（）A．函数的最小正周期为2π B．函数的表达式 C．函数的一个对称中心为 D．函数图象是由sin2x图象向左平移个单位而得到【解答】解：对于A，由图可知函数的最小正周期满足，解得T＝π，即函数的最小正周期为π，故A错误；对于B，由得ω＝2，由图可知A＝1，且，解得，又因为，所以只能，所以函数的表达式，故B正确；对于C，，即不是函数的对称中心，故C错误；对于D，由sin2x图象向左平移个单位得到图象所对应的函数解析式为，故D正确．故选：BD．（多选）12．（5分）已知函数f（x）＝|cos2x|+cos|x|，有下列四个结论，其中正确的结论为（）A．f（x）在区间上单调递增 B．2π是f（x）的一个周期 C．f（x）的值域为 D．f（x）的图象关于y轴对称【解答】解：对于A，由，可知f（x）在区间上不单调递增，故A项错误；对于B，f（x+2π）＝|cos[2（x+2π）]|+cos|（x+2π）|＝f（x）＝|cos2x|+cos|x|，故B项正确；对于C，由B选项分析可知2π是f（x）的一个周期，所以我们只需讨论函数f（x）在[0，2π]上的值域即可，当时，，，当时，，，当时，，，当时，，，当时，，，综上所述，f（x）的值域为，故C项错误；对于D，由题意f（﹣x）＝|cos（﹣2x）|+cos|﹣x|＝f（x）＝|cos2x|+cos|x|，所以f（x）是定义在R上的偶函数，其图象关于y轴对称，故D项正确．故选：BD．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）计算：＝0．【解答】解：由题意．故答案为：0．14．（5分）不等式x2﹣3x﹣18＞0的解集是（﹣∞，﹣3）∪（6，+∞）．【解答】解：由题意x2﹣3x﹣18＞0⇒（x﹣6）（x+3）＞0，解得x＜﹣3或x＞6，所以不等式x2﹣3x﹣18＞0的解集是（﹣∞，﹣3）∪（6，+∞）．故答案为：（﹣∞，﹣3）∪（6，+∞）．15．（5分）已知函数f（x）＝sinx+cosx，则f（x）的最大值为2．【解答】解：∵函数＝2sin（x+），∴f（x）的最大值为2，故答案为：2．16．（5分）已知函数，方程[f（x）]2+bf（x）+1＝0有六个不相等实根，则实数b的取值范围是．【解答】解：在同一平面直角坐标系中画出f（x）的图象以及直线y＝t，如图所示：发现当且仅当0＜t≤4时，关于x的方程f（x）＝t的根的个数最多，且有3个根，而关于t的一元二次方程t2+bt+1＝0最多有两个根，若方程[f（x）]2+bf（x）+1＝0有六个不相等实根，则当且仅当关于t的一元二次方程t2+bt+1＝0有两个不同的根t1，t2，且0＜t1，t2≤4，所以当且仅当，解得，即实数b的取值范围是．故答案为：．四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）已知，求下列各式的值：（1）a+a﹣1；（2）．【解答】解：（1）由题意，所以．（2）由题意，所以．18．（12分）已知tanθ＝2．（1）若θ是第三象限角，求sinθ，cosθ的值；（2）先化简再求值：．【解答】解：（1）因为，sin2θ+cos2θ＝1，若θ是第三象限角，则解得．（2）由题意，若tanθ＝2，则原式＝．19．（12分）已知函数f（x）＝是奇函数，并且函数f（x）的图象经过点（1，3）．（1）求实数a，b的值．（2）求函数f（x）在x＜0时的值域．【解答】解：（1）因为函数f（x）的图象经过点（1，3），所以f（1）＝3，即＝3，①因为f（x）＝是奇函数，所以f（﹣1）＝﹣3，即＝﹣3，②由①②解得a＝1，b＝﹣1，所以实数a，b的值为1、﹣1；（2）由（1）得，f（x）＝＝1+，又x＜0，则0＜2x＜1，﹣1＜2x﹣1＜0，所以＜﹣2，即1+＜﹣1，故函数f（x）在x＜0时的值域为（﹣∞，﹣1）．20．（12分）声强级L1（单位：dB）由公式：给出，其中I为声强（单位：W/m2）．（1）一般正常人听觉能忍受的最高声强为1W/m2，能听到的最低声强为10﹣12W/m2．求人听觉的声强级范围；（2）平时老师上课时的声强约为10﹣4W/m2，求其声强级．【解答】解：（1）由题意当I∈[10﹣12，1]时，由复合函数单调性可知单调递增，又，所以人听觉的声强级范围为[0，120]；（2）由题意，即平时老师上课时的声强级为80dB．21．（12分）已知函数．（1）求函数f（x）的最小正周期和对称轴；（2）若时，|f（x）|≤3恒成立，则实数a的取值范围．【解答】解：（1），则函数f（x）的最小正周期，由，解得，即函数f（x）的对称轴方程为；（2）因为时，可得，可得，所以﹣1+a≤f（x）≤2+a，由|f（x）|≤3恒成立，则有，即，解得﹣2≤a≤1，所以实数a的取值范围[﹣2，1]．22．（12分）已知函数f（x）＝log2x．（1）用定义法证明：函数f（x）在（0，+∞）是单调递增函数；（2）若x∈[1，4]，求函数g（x）＝[f（x）+a][f（x）﹣3a]，a∈R的最小值h（a）．【解答】解：（1）证明：根据题意，不妨设0＜x1＜x2，所以，因为0＜x1＜x2，所以，即f（x1）＜f（x2），所以函数f（x）在（0，+∞）是单调递增函