考点18 导数的综合应用8种常见考法归类-【考点通关】备战2024年高考数学一轮题型归纳与解题策略(新高考地区专用)含解析

考点18导数的综合应用8种常见考法归类-【考点通关】备战2024年高考数学一轮题型归纳与解题策略(新高考地区专用)考点18导数的综合应用8种常见考法归类考点一利用导数研究函数的图象和性质考点二证明不等式作差函数证明不等式构造双函数证明不等式（三）适当放缩法证明不等式（四）利用结论证明不等式（五）利用隐零点证明不等式（六）与数列有关的不等式证明考点三恒(能)成立问题（一）分离参数法（二）分类讨论法（三）同构法（四）隐零点法考点四讨论零点个数考点五根据函数零点情况求参数范围考点六与零点有关的不等式问题（一）比值代换（二）消参减元法（三）构造关联(对称)函数考点七利用导数研究双变量问题考点八导数中的极值点偏移问题1．利用导数研究函数的图象与性质函数图象的识别主要利用函数的定义域、值域、奇偶性、单调性以及函数值的符号等.解决此类问题应先观察选项的不同之处，然后根据不同之处研究函数的相关性质，进而得到正确的选项.如该题中函数解析式虽然比较复杂，但借助函数的定义域与函数的单调性很容易利用排除法得到正确选项.2．利用导数证明不等式利用导数证明不等式问题一般要用到构造法，构造法是指在证明与函数有关的不等式时，根据所要证明的不等式，构造与之相关的函数，利用函数单调性、极值、最值加以证明．常见的构造方法有：(1)直接构造法：证明不等式f(x)>g(x)(f(x)<g(x))转化为证明f(x)－g(x)>0(f(x)－g(x)<0)，进而构造辅助函数h(x)＝f(x)－g(x),然后利用h(x)的最值证明不等式；注：作差构造法：待证不等式的两边含有相同的变量时，一般地，可以直接构造“左减右”或“右减左”的函数，通过研究其单调性等相关函数性质证明不等式．利用构造差函数证明不等式的基本步骤：①作差或变形；②构造新的函数g(x)；③利用导数研究g(x)的单调性或最值；④根据单调性及最值，得到所证不等式．(2)适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩，二是利用常见的放缩结论，导数方法证明不等式中，最常见的是ex和lnx与其他代数式结合的问题，对于这类问题，可以考虑先对ex和lnx进行放缩，使问题简化，简化后再构建函数进行证明．如lnx≤x－1，ex≥x＋1，lnx<x<ex(x>0)，eq\f(x,x＋1)≤ln(x＋1)≤x(x>－1)；(3)构造“形似”函数：稍作变形再构造，对原不等式同解变形，如移项、通分、取对数，把不等式转化为左、右两边是相同结构的式子的形式，根据“相同结构”构造辅助函数；(4)构造双函数：若直接构造函数求导难以判断符号，导函数零点也不易求得，函数单调性与极值点都不易获得，则可构造函数f(x)和g(x)，利用其最值求解．在证明过程中，“隔离”转化是关键，将不等式不等号两端分别“隔离”出两个函数式f(x)，g(x)，使f(x)min>g(x)max恒成立，从而f(x)>g(x)，但f(x)与g(x)取到最值的条件不是同一个“x的值”；若不能直接转化为最值问题的不等式证明可将不等式的某一部分“隔离”开，单独进行研究，然后再纳入整体进行论证．(5)利用“隐零点”证明不等式：关键在于“设而不求”及“等量代换”，常见的有不含参和含参两种类型：①不含参函数的隐零点问题：已知不含参函数f(x)，导函数方程f′(x)＝0的根存在，却无法求出，设方程f′(x)＝0的根为x0，则(i)有关系式f′(x0)＝0成立；(ii)注意确定x0的合适范围.②含参函数的隐零点问题：已知含参函数f(x，a)，其中a为参数，导函数方程f′(x，a)＝0的根存在，却无法求出，设方程f′(x，a)＝0的根为x0，则(i)有关系式f′(x0，a)＝0成立，该关系式给出了x0，a的关系；(ii)注意确定x0的合适范围，往往和a的取值范围有关.3.对于函数f(x)＝ex在x＝0处的泰勒展开式如下：ex＝1＋eq\f(x,1！)＋eq\f(x2,2！)＋eq\f(x3,3！)＋…＋eq\f(xn,n！)＋…⇒ex≥x＋1.类似的，常用泰勒展开式拟合的不等式还有：ln(1＋x)＝x－eq\f(x2,2)＋eq\f(x3,3)－eq\f(x4,4)＋…＋(－1)n－1·eq\f(xn,n)＋…⇒ln(x＋1)≤x；sinx＝x－eq\f(x3,3！)＋eq\f(x5,5！)－…＋(－1)n－1·eq\f(x2n－1,（2n－1）！)＋…⇒sinx≤x；cosx＝1－eq\f(x2,2！)＋eq\f(x4,4！)－eq\f(x6,6！)＋…＋(－1)n·eq\f(x2n,（2n）！)＋…⇒cosx≥1－eq\f(1,2)x2.4.由ex≥x＋1演绎出的一些常见不等结构：5．与不等式恒成立、有解、无解等问题有关的参数范围问题（1）利用导数解决不等式的恒成立或有解问题的主要策略：①构造函数，利用导数求出最值，进而求出参数的取值范围；②分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题.有些不易分参的也可采用“同构”技巧.（2）若a>f(x)对x∈D恒成立，则只需a>f(x)max；若a<f(x)对x∈D恒成立，则只需a<f(x)min；若存在x0∈D，使a>f(x0)成立，则只需a>f(x)min；若存在x0∈D，使a<f(x0)成立，则只需a<f(x0)max．由此构造不等式，求解参数的取值范围．（3）分离参数法利用分离参数法确定不等式f(x，λ)≥0(x∈D，λ为参数)恒成立问题中参数范围的步骤：①将参数与变量分离，化为f1(λ)≥f2(x)或f1(λ)≤f2(x)的形式；②求f2(x)在x∈D时的最大值或最小值；③解不等式f1(λ)≥f2(x)max或f1(λ)≤f2(x)min，得到λ的取值范围．6．与函数零点有关的参数范围问题（1）方程有实根函数的图象与轴有交点函数有零点．（2）求极值的步骤：①先求的根（定义域内的或者定义域端点的根舍去）；②分析两侧导数的符号：若左侧导数负右侧导数正，则为极小值点；若左侧导数正右侧导数负，则为极大值点.（3）求函数的单调区间、极值、最值是统一的，极值是函数的拐点，也是单调区间的划分点，而求函数的最值是在求极值的基础上，通过判断函数的大致图象，从而得到最值,大前提是要考虑函数的定义域.（4）函数的零点就是的根，所以可通过解方程得零点，或者通过变形转化为两个熟悉函数图象的交点横坐标.（5）含参数的函数零点个数，可转化为方程解的个数，若能分离参数，可将参数分离出来后，用x表示参数的函数，作出该函数的图象，根据图象特征求参数的范围．由于利用零点存在定理时，一般不使用极限语言，故常常需要“取点”，可借助ex≥x＋1，lnx≤x－1等结构放缩，必要时可构造函数证明所取点的符号.（6）根据函数零点的情况求参数值或取值范围的基本方法：①利用零点存在的判定定理构建不等式求解；②分离参数后转化为函数的值域(最值)问题求解；③转化为两个熟悉的函数图象的位置关系问题，从而构建不等式求解.7．与不零点有关的不等式问题（1）证明双变量不等式的基本思路：首先进行变量的转化，即由已知条件入手，寻找双变量所满足的关系式，或者通过比值代换eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(令t＝\f(x2,x1)))，利用关系式将其中一个变量用另一个变量表示，代入要证明的不等式，化简后根据其结构特点构造函数，再借助导数，判断函数的单调性，从而求其最值，并把最值应用到所证不等式.（2）消参减元的主要目的是减元，进而建立与所求解问题相关的函数．消参减元法，主要是利用导数把函数的极值点转化为导函数的零点，进而建立参数与极值点之间的关系，消去参数或减少变元，从而简化目标函数．其解题要点如下．①建方程：求函数的导函数，令f′(x)＝0，建立极值点所满足的方程，抓住导函数中的关键——导函数解析式中变号的部分(一般为一个二次整式)；②定关系：即根据极值点所满足的方程，利用方程解的知识，建立极值点与方程系数之间的关系；③消参减元：即根据两个极值点之间的关系，利用和差或积商等运算，化简或转化所求解问题，消掉参数或减少变量的个数；④构造函数：即根据消参减元后的式子的结构特征，构造相应的函数；⑤求解问题：即利用导数研究所构造函数的单调性、极值、最值等，解决相关问题．（3）极值点偏移问题，除了前述方法外，也常通过构造关联(对称)函数求解，常见步骤如下：①构造奇函数F(x)＝f(x0－x)－f(x0＋x)；②对F(x)求导，判断F′(x)的符号，确定F(x)的单调性；③结合F(0)＝0，得到f(x0－x)>f(x0＋x)(或f(x0－x)<f(x0＋x))；④由f(x1)＝f(x2)＝f(x0－(x0－x2))>(或<)f(x0＋(x0－x2))＝f(2x0－x2)得f(x1)>(或<)f(2x0－x2)；⑤结合f(x)的单调性，得x1>(或<)2x0－x2，得x1＋x2>(或<)2x0.其中也可考虑构造F(x)＝f(x)－f(2x0－x)等，具体视已知条件“执果索因”.8．解析式中含有,的两个模型（1）含有的函数模型常用的构造方法如下，①直接利用原函数，有时也可分为两个初等函数模型；②构造成“常数+因式·”型，求导后的运算不易受的干扰；③分离参数法构造函数模型，没有参数，避免了分类讨论，但是有时函数较复杂需多次求导.（2）含有的函数模型“独立与不独立”法消掉使的系数为常数，即“独立”,可一次求导解决单调性问题；当的系数不能消掉时，即"不独立",需两次求导，才能依次推导出单调性、零点、极值点等问题.考点一利用导数研究函数的图象和性质1．（2023·安徽芜湖·统考模拟预测）函数在区间的图像大致为（

）A． B．C． D．2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，若存在三个不相等的实数a，b，c，使得成立，则的取值范围是________.3．（2023春·河南·高三校联考阶段练习）已知函数，若不等式有且仅有1个整数解，则实数a的取值范围为______．4．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，若关于的方程有3个不同的实数根，则的取值范围为______．考点二证明不等式（一）作差构造函数证明不等式5．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，．(1)若，证明：当时；(2)当时，，求a的取值范围．6．（2023春·河南开封·高三统考期中）已知函数，.(1)若函数在上单调递增，求a的取值范围；(2)若，求证：.7．（2023春·吉林延边·高三延边第一中学校考开学考试）已知函数(1)当，且时，证明：；(2)是否存在实数a，使函数在上单调递增?若存在，求出a的取值范围；不存在，说明理由．8．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，，曲线与曲线在处的切线互相平行．（1）求的值；（2）求证：在上恒成立．（二）构造双函数证明不等式9．（2023秋·黑龙江大庆·高三铁人中学校考期末）已知.(1)求曲线在处的切线方程；(2)当时，证明.10．（2023春·四川成都·高三成都市锦江区嘉祥外国语高级中学校考期中）已知函数.(1)当时，求在点处的切线方程；(2)时，求证：.11．（2023·全国·高三专题练习）设函数，其中为自然对数的底数，曲线在处切线的倾斜角的正切值为．（1）求的值；（2）证明：．（三）适当放缩法证明不等式12．（2023·全国·高三专题练习）函数，其中，，为实常数(1)若时，讨论函数的单调性；(2)若，当时，证明：.13．（2023春·四川绵阳·高三四川省绵阳南山中学校考期中）已知函数．(1)讨论函数的极值情况；(2)证明：当时，．14．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，.(1)求函数的极值；(2)证明：当时，在上恒成立.（四）利用结论证明不等式15．（2023·全国·高三专题练习）已知函数.(1)证明：；(2)当时，证明不等式，在上恒成立.16．（2023春·吉林长春·高三长春市实验中学校考阶段练习）已知函数，.(1)求证：在区间上单调递增；(2)求证：.17．（2023·陕西宝鸡·宝鸡中学校考模拟预测）已知函数.(1)若都有，求正数的最大值；(2)求证：.（五）利用隐零点证明不等式18．（2023春·广东深圳·高三红岭中学校考期中）已知函数，其中.(1)求曲线在处的切线方程；(2)证明：.19．（2023春·山东日照·高三校联考期中）设函数.（1）讨论的导函数零点的个数；（2）证明：当时，.20．（2023春·四川成都·高三成都外国语学校校考期中）已知．(1)若，且对任意恒成立，求a的范围；(2)当时，求证：．21．（2023·河北保定·统考一模）已知函数．(1)当时，证明：当时，；(2)当时，恒成立，求a的取值范围．（六）与数列有关的不等式证明22．（2023·全国·高三专题练习）已知.(1)求函数的单调区间；(2)设函数，若关于的方程有解，求实数的最小值；(3)证明不等式：.23．（2023·全国·高三专题练习）设函数，，.(1)求在上的单调区间；(2)若在y轴右侧，函数图象恒不在函数的图象下方，求实数a的取值范围；(3)证明：当时，.24．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，.(1)当时，，求实数的取值范围；(2)已知，证明：.25．（2023·四川自贡·统考三模）已知函数（e为自然对数底数）．(1)判断，的单调性并说明理由；(2)证明：对，．考点三恒(能)成立问题（一）分离参数法26．（2023秋·北京·高三北京交通大学附属中学校考阶段练习）已知函数，若在区间内恒成立，则实数的范围为__．27．（2023秋·江西·高三校联考期中）已知函数(为自然对数的底数)，若在上恒成立，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．28．（2023·河南开封·统考二模）已知函数，若在上有解，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．29．（2023春·广东江门·高三台山市第一中学校考阶段练习）已知函数.（1）当a=1时，讨论f（x）的单调性；（2）当x≥0时，f（x）≥x3+1，求a的取值范围.（二）分类讨论法30．（2023春·吉林长春·高三东北师大附中校考期中）已知函数．(1)，恒成立，求实数的取值范围．(2)若存在两个不等正实数，，，且，求实数的取值范围．31．（2023春·安徽安庆·高三校考阶段练习）当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围是A． B． C． D．32．（2023·陕西榆林·陕西省神木中学校考模拟预测）已知函数.（1）当时，讨论的单调性；（2）设，若关于的不等式在上有解，求的取值范围.33．（2023·广西·统考模拟预测）已知函数，在处的切线与x轴平行.（1）求的单调区间；（2）若存在，当时，恒成立，求k的取值范围.34．（2023·全国·高三专题练习）已知为自然对数的底数，为常数，函数.(1)求函数的极值；(2)若在轴的右侧函数的图象总在函数的图象上方，求实数的取值范围.（三）同构法35．（2023·全国·高三专题练习）若不等式恒成立，则的取值范围为______.36．（2023春·湖南长沙·高三长沙麓山国际实验学校校考期中）已知函数，对任意的，恒成立，则的取值范围是__________.37．（2023·全国·高三专题练习）若，则实数的最大值为________.38．（2023·辽宁·大连二十四中校联考三模）关于的不等式在上恒成立，则的最小值是__________.（四）隐零点法39．（2023春·山东淄博·高三山东省淄博实验中学校联考期中）已知函数，．(1)求函数的单调区间；(2)若恒成立，求实数m的取值范围．40．（2023春·山东济南·高三统考期中）已知函数，若对任意两个不相等的正实数，都有，则实数a的取值范围为_________．考点四讨论零点个数41．（2023春·重庆九龙坡·高三统考期末）设函数，则（

）A．在区间，内均有零点B．在区间，内均无零点C．在区间内有零点，在区间内无零点D．在区间内无零点，在区间内有零点42．（2023·浙江·校联考模拟预测）已知函数.(1)若，证明：当时，；(2)讨论函数在上零点个数.43．（2023·浙江绍兴·统考二模）设函数，其中.(1)当时，求函数的值域；(2)设，当时，①证明：函数恰有两个零点；②若为函数的极值点，为函数的零点，且，证明：.44．（河南省安阳市2023届高三三模文科数学试题）已知函数.(1)证明：曲线在点处的切线经过坐标原点；(2)若，证明：有两个零点.45．（2023秋·河南濮阳·高三濮阳南乐一高校考阶段练习）已知函数．(1)证明：在区间存在唯一的极值点；(2)试讨论的零点个数.46．（2023·河南·校联考三模）已知函数.(1)判断的导函数在上零点的个数，并说明理由；(2)证明：当时，.注：.考点五根据函数零点情况求参数范围47．（2023春·河北·高三校联考期中）已知函数；(1)若无零点，求a的取值范围；(2)若有两个相异零点，证明：．48．（2023·安徽六安·六安一中校考模拟预测）已知函数（），若函数有唯一零点，则a的取值范围为（

）A． B．C． D．49．（2023秋·黑龙江鸡西·高三鸡西实验中学校考阶段练习）已知函数，若存在唯一的零点，且．则的取值范围是__．50．（2023·河北唐山·统考一模）已知，函数.（1）讨论的单调性；（2）若在上仅有一个零点，求的取值范围.51．（2023春·山东聊城·高三统考期末）已知函数，.（1）讨论的单调性；（2）若有两个零点，求的取值范围.52．（2023秋·山西阳泉·高三统考期末）已知函数.（1）讨论的单调性；（2）设，若且有两个零点，求的取值范围.53．（2023春·四川宜宾·高三统考期末）已知函数恰有三个零点，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．54．（2023秋·山东济南·高三济南市历城第二中学校考阶段练习）已知函数，.（1）求的极值；（2）若方程有三个解，求实数的取值范围.55．（2023春·浙江宁波·高三宁波市北仑中学校考期中）已知函数，．（Ⅰ）若，解不等式；（Ⅱ）设是函数的四个不同的零点，问是否存在实数，使得其三个零点成等差数列？若存在，求出所有的值；若不存在，说明理由．56．（2023秋·江西抚州·高三临川一中阶段练习）已知函数在区间上至少有一个零点，则实数的取值范围是A． B． C． D．考点六与零点有关的不等式问题（一）比值代换57．（2023·广东·高三专题练习）已知函数（是自然对数的底数）有两个零点.(1)求实数的取值范围；(2)若的两个零点分别为，，证明：.58．（2023春·河北·高三校联考阶段练习）已知函数.(1)讨论的单调性.(2)若存在两个零点，且曲线在和处的切线交于点.①求实数的取值范围；②证明：.59．（2023·全国·高三专题练习）已知函数在区间上有两个极值点，．(1)求实数a的取值范围；(2)证明：．60．（2023·云南曲靖·统考模拟预测）已知函数是的导函数.(1)求函数的极值；(2)若函数有两个不同的零点，证明：.61．（2023·广西·校联考模拟预测）已知函数(1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2)若，是方程的两个不等实根，且，证明：．（二）消参减元法62．（2023·全国·高三专题练习）已知函数．(1)讨论函数的单调性；(2)设函数有两个极值点，，证明：．63．（2023春·四川成都·高三四川省成都市新都一中校联考期中）已知函数.(1)讨论函数的单调性；(2)若是函数的两个不同极值点，且满足：，求证：.64．（2023秋·山西·高三校联考期末）已知函数，其中为非零实数.(1)讨论的单调性；(2)若有两个极值点，且，证明：.（三）构造关联（对称）函数65．（2023·全国·高三专题练习）已知函数.(1)讨论的单调性；(2)若有两个零点，且，证明：.66．（2023·浙江绍兴·统考模拟预测）已知函数，a为实数．(1)求函数的单调区间；(2)若函数在处取得极值，是函数的导函数，且，，证明：67．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，为常数，且.(1)判断的单调性；(2)当时，如果存在两个不同的正实数，且，证明：.考点七利用导数研究双变量问题68．（2023春·四川成都·高三四川省成都市新都一中校联考期中）已知函数，．(1)求函数的导函数在上的单调性；(2)证明：，有．69．（2023·全国·高三专题练习）已知，，若存在，，使得成立，则实数a的取值范围为（

）A． B． C． D．70．（2023秋·山东济宁·高三校考阶段练习）已知函数，，若，，使得，则实数的取值范围是____．71．（2023春·黑龙江哈尔滨·高三校考阶段练习）已知，，若对，，使得成立，则a的取值范围是______．72．（2023·河南·高三校联考阶段练习）已知函数.（1）讨论的单调性；（2）如果方程有两个不相等的解，且，证明：.73．（2023·湖北·校联考模拟预测）已知函数，（）．(1)若存在两个极值点，求实数的取值范围；(2)若，为的两个极值点，证明：．74．（2023·江苏·高三专题练习）已知函数．（1）若，证明：当时，；当时，．（2）若存在两个极值点，证明：．75．（2023秋·重庆巴南·高三重庆市清华中学校校考阶段练习）已知函（）有两个极值点，．（1）求的取值范围；（2）当时，证明：．76．（2023·海南·校联考模拟预测）已知函数在上单调递增.(1)求的取值范围；(2)若存在正数满足（为的导函数），求证：.考点八导数中的极值点偏移问题77．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，其中．(1)若有两个零点，求的取值范围；(2)若，求的取值范围．78．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，．(1)若，求函数在为自然对数的底数）上的零点个数；(2)若方程恰有一个实根，求的取值集合；(3)若方程有两个不同的实根，，求证：．79．（2023·云南·高三校联考期中）已知函数在点处的切线方程与轴平行．(1)求函数的极值；(2)若函数有两个不同的零点，．①求的取值范围；②证明：．80．（2023·浙江·高三专题练习）已知函数．（1）讨论f（x）的极值点的个数；（2）若f（x）有3个极值点x1，x2，x3（其中x1＜x2＜x3），证明：x1x3＜x22．81．（2023·全国·高三专题练习）82．（2023·江西鹰潭·统考二模）设函数，().（1）若在处的切线平行于直线，求实数的值；（2）设函数，判断的零点的个数；（3）设是的极值点，是的一个零点，且，求证：.考点18导数的综合应用8种常见考法归类考点一利用导数研究函数的图象和性质考点二证明不等式作差函数证明不等式构造双函数证明不等式（三）适当放缩法证明不等式（四）利用结论证明不等式（五）利用隐零点证明不等式（六）与数列有关的不等式证明考点三恒(能)成立问题（一）分离参数法（二）分类讨论法（三）同构法（四）隐零点法考点四讨论零点个数考点五根据函数零点情况求参数范围考点六与零点有关的不等式问题（一）比值代换（二）消参减元法（三）构造关联(对称)函数考点七利用导数研究双变量问题考点八导数中的极值点偏移问题1．利用导数研究函数的图象与性质函数图象的识别主要利用函数的定义域、值域、奇偶性、单调性以及函数值的符号等.解决此类问题应先观察选项的不同之处，然后根据不同之处研究函数的相关性质，进而得到正确的选项.如该题中函数解析式虽然比较复杂，但借助函数的定义域与函数的单调性很容易利用排除法得到正确选项.2．利用导数证明不等式利用导数证明不等式问题一般要用到构造法，构造法是指在证明与函数有关的不等式时，根据所要证明的不等式，构造与之相关的函数，利用函数单调性、极值、最值加以证明．常见的构造方法有：(1)直接构造法：证明不等式f(x)>g(x)(f(x)<g(x))转化为证明f(x)－g(x)>0(f(x)－g(x)<0)，进而构造辅助函数h(x)＝f(x)－g(x),然后利用h(x)的最值证明不等式；注：作差构造法：待证不等式的两边含有相同的变量时，一般地，可以直接构造“左减右”或“右减左”的函数，通过研究其单调性等相关函数性质证明不等式．利用构造差函数证明不等式的基本步骤：①作差或变形；②构造新的函数g(x)；③利用导数研究g(x)的单调性或最值；④根据单调性及最值，得到所证不等式．(2)适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩，二是利用常见的放缩结论，导数方法证明不等式中，最常见的是ex和lnx与其他代数式结合的问题，对于这类问题，可以考虑先对ex和lnx进行放缩，使问题简化，简化后再构建函数进行证明．如lnx≤x－1，ex≥x＋1，lnx<x<ex(x>0)，eq\f(x,x＋1)≤ln(x＋1)≤x(x>－1)；(3)构造“形似”函数：稍作变形再构造，对原不等式同解变形，如移项、通分、取对数，把不等式转化为左、右两边是相同结构的式子的形式，根据“相同结构”构造辅助函数；(4)构造双函数：若直接构造函数求导难以判断符号，导函数零点也不易求得，函数单调性与极值点都不易获得，则可构造函数f(x)和g(x)，利用其最值求解．在证明过程中，“隔离”转化是关键，将不等式不等号两端分别“隔离”出两个函数式f(x)，g(x)，使f(x)min>g(x)max恒成立，从而f(x)>g(x)，但f(x)与g(x)取到最值的条件不是同一个“x的值”；若不能直接转化为最值问题的不等式证明可将不等式的某一部分“隔离”开，单独进行研究，然后再纳入整体进行论证．(5)利用“隐零点”证明不等式：关键在于“设而不求”及“等量代换”，常见的有不含参和含参两种类型：①不含参函数的隐零点问题：已知不含参函数f(x)，导函数方程f′(x)＝0的根存在，却无法求出，设方程f′(x)＝0的根为x0，则(i)有关系式f′(x0)＝0成立；(ii)注意确定x0的合适范围.②含参函数的隐零点问题：已知含参函数f(x，a)，其中a为参数，导函数方程f′(x，a)＝0的根存在，却无法求出，设方程f′(x，a)＝0的根为x0，则(i)有关系式f′(x0，a)＝0成立，该关系式给出了x0，a的关系；(ii)注意确定x0的合适范围，往往和a的取值范围有关.3.对于函数f(x)＝ex在x＝0处的泰勒展开式如下：ex＝1＋eq\f(x,1！)＋eq\f(x2,2！)＋eq\f(x3,3！)＋…＋eq\f(xn,n！)＋…⇒ex≥x＋1.类似的，常用泰勒展开式拟合的不等式还有：ln(1＋x)＝x－eq\f(x2,2)＋eq\f(x3,3)－eq\f(x4,4)＋…＋(－1)n－1·eq\f(xn,n)＋…⇒ln(x＋1)≤x；sinx＝x－eq\f(x3,3！)＋eq\f(x5,5！)－…＋(－1)n－1·eq\f(x2n－1,（2n－1）！)＋…⇒sinx≤x；cosx＝1－eq\f(x2,2！)＋eq\f(x4,4！)－eq\f(x6,6！)＋…＋(－1)n·eq\f(x2n,（2n）！)＋…⇒cosx≥1－eq\f(1,2)x2.4.由ex≥x＋1演绎出的一些常见不等结构：5．与不等式恒成立、有解、无解等问题有关的参数范围问题（1）利用导数解决不等式的恒成立或有解问题的主要策略：①构造函数，利用导数求出最值，进而求出参数的取值范围；②分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题.有些不易分参的也可采用“同构”技巧.（2）若a>f(x)对x∈D恒成立，则只需a>f(x)max；若a<f(x)对x∈D恒成立，则只需a<f(x)min；若存在x0∈D，使a>f(x0)成立，则只需a>f(x)min；若存在x0∈D，使a<f(x0)成立，则只需a<f(x0)max．由此构造不等式，求解参数的取值范围．（3）分离参数法利用分离参数法确定不等式f(x，λ)≥0(x∈D，λ为参数)恒成立问题中参数范围的步骤：①将参数与变量分离，化为f1(λ)≥f2(x)或f1(λ)≤f2(x)的形式；②求f2(x)在x∈D时的最大值或最小值；③解不等式f1(λ)≥f2(x)max或f1(λ)≤f2(x)min，得到λ的取值范围．6．与函数零点有关的参数范围问题（1）方程有实根函数的图象与轴有交点函数有零点．（2）求极值的步骤：①先求的根（定义域内的或者定义域端点的根舍去）；②分析两侧导数的符号：若左侧导数负右侧导数正，则为极小值点；若左侧导数正右侧导数负，则为极大值点.（3）求函数的单调区间、极值、最值是统一的，极值是函数的拐点，也是单调区间的划分点，而求函数的最值是在求极值的基础上，通过判断函数的大致图象，从而得到最值,大前提是要考虑函数的定义域.（4）函数的零点就是的根，所以可通过解方程得零点，或者通过变形转化为两个熟悉函数图象的交点横坐标.（5）含参数的函数零点个数，可转化为方程解的个数，若能分离参数，可将参数分离出来后，用x表示参数的函数，作出该函数的图象，根据图象特征求参数的范围．由于利用零点存在定理时，一般不使用极限语言，故常常需要“取点”，可借助ex≥x＋1，lnx≤x－1等结构放缩，必要时可构造函数证明所取点的符号.（6）根据函数零点的情况求参数值或取值范围的基本方法：①利用零点存在的判定定理构建不等式求解；②分离参数后转化为函数的值域(最值)问题求解；③转化为两个熟悉的函数图象的位置关系问题，从而构建不等式求解.7．与不零点有关的不等式问题（1）证明双变量不等式的基本思路：首先进行变量的转化，即由已知条件入手，寻找双变量所满足的关系式，或者通过比值代换eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(令t＝\f(x2,x1)))，利用关系式将其中一个变量用另一个变量表示，代入要证明的不等式，化简后根据其结构特点构造函数，再借助导数，判断函数的单调性，从而求其最值，并把最值应用到所证不等式.（2）消参减元的主要目的是减元，进而建立与所求解问题相关的函数．消参减元法，主要是利用导数把函数的极值点转化为导函数的零点，进而建立参数与极值点之间的关系，消去参数或减少变元，从而简化目标函数．其解题要点如下．①建方程：求函数的导函数，令f′(x)＝0，建立极值点所满足的方程，抓住导函数中的关键——导函数解析式中变号的部分(一般为一个二次整式)；②定关系：即根据极值点所满足的方程，利用方程解的知识，建立极值点与方程系数之间的关系；③消参减元：即根据两个极值点之间的关系，利用和差或积商等运算，化简或转化所求解问题，消掉参数或减少变量的个数；④构造函数：即根据消参减元后的式子的结构特征，构造相应的函数；⑤求解问题：即利用导数研究所构造函数的单调性、极值、最值等，解决相关问题．（3）极值点偏移问题，除了前述方法外，也常通过构造关联(对称)函数求解，常见步骤如下：①构造奇函数F(x)＝f(x0－x)－f(x0＋x)；②对F(x)求导，判断F′(x)的符号，确定F(x)的单调性；③结合F(0)＝0，得到f(x0－x)>f(x0＋x)(或f(x0－x)<f(x0＋x))；④由f(x1)＝f(x2)＝f(x0－(x0－x2))>(或<)f(x0＋(x0－x2))＝f(2x0－x2)得f(x1)>(或<)f(2x0－x2)；⑤结合f(x)的单调性，得x1>(或<)2x0－x2，得x1＋x2>(或<)2x0.其中也可考虑构造F(x)＝f(x)－f(2x0－x)等，具体视已知条件“执果索因”.8．解析式中含有,的两个模型（1）含有的函数模型常用的构造方法如下，①直接利用原函数，有时也可分为两个初等函数模型；②构造成“常数+因式·”型，求导后的运算不易受的干扰；③分离参数法构造函数模型，没有参数，避免了分类讨论，但是有时函数较复杂需多次求导.（2）含有的函数模型“独立与不独立”法消掉使的系数为常数，即“独立”,可一次求导解决单调性问题；当的系数不能消掉时，即"不独立",需两次求导，才能依次推导出单调性、零点、极值点等问题.考点一利用导数研究函数的图象和性质1．（2023·安徽芜湖·统考模拟预测）函数在区间的图像大致为（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】先根据函数解析式判断函数的奇偶性，发现是奇函数，排除C、D；观察A、B两项，发现图像在处的增减趋势不同，所以对函数进行求导，再把特殊值代入导函数中判断即可.【详解】因为，所以是奇函数，排除C、D两项；当时，，则，所以，所以在处的切线斜率为负数，故排除A项；故选：B.2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，若存在三个不相等的实数a，b，c，使得成立，则的取值范围是________.【答案】【分析】先求导得到的单调性，极值情况，得到若存在三个不相等的实数a，b，c，使得，则，将化为，得到.【详解】的定义域为R，且，令得或，令得，故在上单调递增，在上单调递减，所以在处取得极大值，在处取得极小值，，，画出的图象如下：设存在三个不相等的实数a，b，c，使得，对于方程可化为，整理得，故.故答案为：【点睛】设一元三次方程的三个根为，原方程可化为，整理得，比较左右两边同类项，得到一元三次的根与系数关系：.3．（2023春·河南·高三校联考阶段练习）已知函数，若不等式有且仅有1个整数解，则实数a的取值范围为______．【答案】【分析】在同一直角坐标系中，作出函数与直线的图象，根据恒过点和有且仅有一个整数解得不等式，从而解得a的取值范围．【详解】易知的定义域为，由有且仅有1个整数解，所以不等式有且仅有1个整数解．设，则，当时，，为增函数；当时，，为减函数．又，则当时，；当时，．设，则直线恒过点，在同一直角坐标系中，作出函数与直线的图象，如图所示，由图象可知，，要使不等式有且仅有1个整数解，则，解得，实数a的取值范围为．故答案为:．4．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，若关于的方程有3个不同的实数根，则的取值范围为______．【答案】【分析】将方程有3个不同的实数根，转化为必有一正一负两个根，利用数形结合及二次函数的性质结合条件即得.【详解】当，，则，令，得，当时，，当时，，所以在上递减，在上递增，，作出函数的大致图象，设，则有两个不同的实数根，由可知，与异号，不妨设，要使方程有3个不同的实数根，则或，①当时，，得；②当时，设，则，得，综上，的取值范围为．故答案为：．【点睛】已知函数有零点求参数常用的方法和思路：直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；分离参数法：先将参数分离，转化成函数的值域问题解决；数形结合法：先对解析式变形，在同一个平面直角坐标系中，画出函数的图像，然后数形结合求解.考点二证明不等式（一）作差构造函数证明不等式5．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，．(1)若，证明：当时；(2)当时，，求a的取值范围．【答案】(1)证明见解析(2)．【分析】（1）令，对求导，得到的单调性可证得，令，对求导，可得在上单调递增，即可证得，即可证得；（2）由题意分析可得要使恒成立即时，恒成立，通过放缩变形证明恒成立，即可求出a的取值范围.【详解】（1）当时，，所以即证：，，先证左边：，令，，在单调递增，∴，即．再证右边：，令，，∴在上单调递增，∴，即，∴时，．（2），令，，因为，所以题设等价于在恒成立，由（1）知，当时，，于是：①当时，恒成立；②当时，等价于，（i）当时，，令，因为在上递增，且，所以存在，使，所以当，，即，不合题意；(ii)当时，令，，则，，所以在上单调递增，所以，所以，所以.综上：a的取值范围为．【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式或在不等式中求参数的取值范围的问题，常见的几种方法有：（1）直接构造函数法：证明不等式转化为证明，进而构造辅助函数；（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.6．（2023春·河南开封·高三统考期中）已知函数，.(1)若函数在上单调递增，求a的取值范围；(2)若，求证：.【答案】(1)；(2)证明见解析.【分析】（1）对求导后，问题转化为在[1,4]上恒成立，进而求得的最小值即可求解；（2）由可得只需证明，令，求导后求得；令，求导后求得，从而可得，问题得证.【详解】（1），因为函数在[1,4]上单调递增，所以在[1,4]上恒成立，又在[1,4]上单调递增，所以，所以，解得，所以的取值范围是.（2）因为，所以要证，只需证，令，则.当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增.所以，令，则，当时，单调递减，当时，单调递增.所以时，取最小值,则,所以时，，因此.所以.7．（2023春·吉林延边·高三延边第一中学校考开学考试）已知函数(1)当，且时，证明：；(2)是否存在实数a，使函数在上单调递增?若存在，求出a的取值范围；不存在，说明理由．【答案】(1)证明见解析；(2)存在，.【分析】（1）将代入，利用导数求出函数在上的最小值，再借助对数函数的单调性推理作答.（2）求出函数的导数，利用导函数在上不小于0恒成立求解作答.【详解】（1）当时，，，求导得，当时，，当时，，在上单调递减，在上单调递增，所以.（2）若存在实数，使在上是增函数，则，恒成立，即在上恒成立，而函数，在时取得最小值，因此，又当时，，当且仅当时，，即函数在单调递增，所以当时，在上单调递增.8．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，，曲线与曲线在处的切线互相平行．（1）求的值；（2）求证：在上恒成立．【答案】（1）；（2）证明见解析．【分析】（1）先对函数求导，然后结合导数的几何意义即可求解；（2）转化为证，构造函数，结合导数分析函数的性质，可证．【详解】解：（1）因为，所以，，由题意得，所以，解得；证明（2），令，，则，当时，，单调递增，当时，，单调递减，故当时，取得最小值，所以，故，所以．（二）构造双函数证明不等式9．（2023秋·黑龙江大庆·高三铁人中学校考期末）已知.(1)求曲线在处的切线方程；(2)当时，证明.【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）利用导数的几何意义可求解；（2）将问题转化为证明成立，再分别求与的最值即可证明.【详解】（1）因为，则，，则，所以所求切线方程为，即.（2）由题意，可知，要证明，即证，令，则，当，当，所以在上单调递减，在上单调递增.所以.令，则，因为，所以当，当，所以在上单调递增，在上单调递减.所以，所以恒成立，即恒成立，所以当时，.【点睛】解决本题的关键一是对要证明的不等式进行变形，二是分别求两个新函数的最值.10．（2023春·四川成都·高三成都市锦江区嘉祥外国语高级中学校考期中）已知函数.(1)当时，求在点处的切线方程；(2)时，求证：.【答案】(1)y=2x－2ln2(2)证明见解析【分析】（1）将代入的解析式，求出和，再运用点斜式直线方程求解；（2）运用导数求出的最小值，只要证明最小值即可.【详解】（1）当a=1时，，x＞0，则，，而，所以在点处的切线方程为，即；（2）对求导得，x＞0，当a＞0时，令得，当时，f（x）单调递减；当时，f（x）单调递增，所以，只需证明≥

，即≥0

恒成立；设，，则，，当时，，单调递减；当时，，单调递增；所以是的最小值，故，表明≥0（a＞0）恒成立，故.11．（2023·全国·高三专题练习）设函数，其中为自然对数的底数，曲线在处切线的倾斜角的正切值为．（1）求的值；（2）证明：．【答案】（1）；（2）证明见解析．【分析】（1）求出函数的导函数，再代入计算可得；（2）依题意即证，即，构造函数，，利用导数说明其单调性与最值，即可得到，从而得证；【详解】解：（1）因为，所以，，解得．（2）由（1）可得即证．令，，于是在上是减函数，在上是增函数，所以（取等号）．又令，则，于是在上是增函数，在上是减函数，所以（时取等号）．所以，即．（三）适当放缩法证明不等式12．（2023·全国·高三专题练习）函数，其中，，为实常数(1)若时，讨论函数的单调性；(2)若，当时，证明：.【答案】(1)答案见解析(2)证明见解析【分析】（1）代入t的值，求得导函数，对a进行分类讨论，根据导数的正负确定单调区间即可．（2）要证明不等式成立，根据分析法得到只需证明成立即可．通过构造函数，利用导数研究其单调性与最值，根据最小值即可得证．【详解】（1）定义域为，，当时，，，在定义域上单调递增；当时，时，，单调递增；当时，．单调递减；综上可知：当时，的增区间为，无减区间；当时，增区间为，减区间为；（2）要证明，即证明，只要证，即证，只要证明即可，令，在上是单调递增，，在有唯一实根设为，且，当时，单调递减，当时，，单调递增从而当时，取得最小值，由得，即，，故当时，证得：.【点睛】关键点睛：根据导数的正负分类讨论函数的单调性，结合分析法和构造法是解题的关键.13．（2023春·四川绵阳·高三四川省绵阳南山中学校考期中）已知函数．(1)讨论函数的极值情况；(2)证明：当时，．【答案】(1)答案见解析(2)证明见解析【分析】（1）求定义域，求导，分与两种情况，得到函数单调性和极值情况；（2）转化为证明，构造，二次求导，结合隐零点和基本不等式证明出结论.【详解】（1）函数，定义域为，①当时，，单调递增，没有极值；②当时，由，得，当时，，单调递增；当时，，单调递减；∴，无极大值综上讨论得：①当时，无极值；②当时，有极小值，无极大值．（2）当时，要证，即证，只需证；令，则，令，则，∴在单调递增，而，，故方程有唯一解，即，∴，则，∴，且时，，在单调递减；时，，在单调递增；∴，∴，故当时，.【点睛】隐零点的处理思路：第一步：用零点存在性定理判定导函数零点的存在性，其中难点是通过合理赋值，敏锐捕捉零点存在的区间，有时还需结合函数单调性明确零点的个数；第二步：虚设零点并确定取范围，抓住零点方程实施代换，如指数与对数互换，超越函数与简单函数的替换，利用同构思想等解决，需要注意的是，代换可能不止一次.14．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，.(1)求函数的极值；(2)证明：当时，在上恒成立.【答案】(1)极小值为，无极大值(2)证明见解析【分析】（1）求得，令，求得，结合，得到函数的单调性，进而求得极值；（2）由，根据题意，由且，放缩得到，令，求得，得出函数单调性，结合单调性求得，得出，即可得证.【详解】（1）解：由函数，可得定义域为，且，令，可得，所以单调递增，又因为，所以当时，，可得，单调递减；当时，，可得，单调递增，所以当时，函数取得极小值，极小值为，无极大值.（2）解：由，因为且，可得令，可得，因为，即或，又因为方程的两根都是负数根（舍去），所以，可得当时，，单调递减；当时，，单调递增，所以当时，函数取得极小值，同时也为在上的最小值，即，所以，所以，所以，

故当时，在恒成立.【点睛】方法点睛：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．（四）利用结论证明不等式15．（2023·全国·高三专题练习）已知函数.(1)证明：；(2)当时，证明不等式，在上恒成立.【答案】(1)答案见解析；(2)答案见解析.【分析】（1）求导，根据导函数分析的单调性，即可得到，即可证明；（2）令，求导，根据放缩的思路得到，然后利用在上的单调性即可证明.【详解】（1）证明：，当时，，单调递增；当时，，单调递减，，故，当且仅当时取等号，∴.（2）令，则，由（1）可得，即，又，所以，令，则，当时，，所以在上单调递增，所以当时，，则，在上单调递增，当时，，即，所以当时，不等式，在上恒成立.【点睛】导数中常见的放缩形式：（1）；（2）；（3）.16．（2023春·吉林长春·高三长春市实验中学校考阶段练习）已知函数，.(1)求证：在区间上单调递增；(2)求证：.【答案】(1)证明详见解析(2)证明详见解析【分析】（1）利用导数证得结论成立.（2）结合（1）的结论证得不等式成立.【详解】（1），，所以在上单调递增.（2）由（1）得在上单调递增，，所以当时，，当时，，对于不等式，当时，可化为，即，由上述分析可知：当时，成立.当时，可化为，即，由上述分析可知：当时，成立.综上所述，不等式成立.17．（2023·陕西宝鸡·宝鸡中学校考模拟预测）已知函数.(1)若都有，求正数的最大值；(2)求证：.【答案】(1)(2)证明见解析．【分析】（1）求出导函数，由的正负确定的单调性得最小值，其取得最小值的的值也使得函数的最大值，因此由的最大值不大于的最小值可得结论；（2）时，，不等式成立，在时，证明小于的最小值即可，为此用导数证明即可得．(1)，由已知，时，，时，，所以在上递减，在上递增，，时，又，，得时，，即，因此若都有，则，所以的最大值为；(2)由（1）时，设，时，，时，设，则，在上是增函数，所以，即，，所以，而，所以，综上，时，．（五）利用隐零点证明不等式18．（2023春·广东深圳·高三红岭中学校考期中）已知函数，其中.(1)求曲线在处的切线方程；(2)证明：.【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）由导数的几何意义求出切线的斜率，进而得出切线的方程；（2）根据在区间上的单调性，结合零点存在定理求得有唯一的根，且，利用函数的单调性求出的最小值，结合的范围即可证得结论.【详解】（1）因为，且，，所以曲线在处的切线方程为，即；（2）证明：由（1），知，，易知在区间上单调递增，且，，，所以，存在，使得，即有唯一的根，记为，则，对两边取对数，得，整理得，因为时，，函数单调递减，时，，函数单调递增，所以，，令，，，则在上单调递减，从而，所以．19．（2023春·山东日照·高三校联考期中）设函数.（1）讨论的导函数零点的个数；（2）证明：当时，.【答案】(1)当时，没有零点；当时，有一个零点；(2)证明见详解.【分析】（1）求导，将零点问题转化为函数值域的求解问题，则问题得解；（2）判断的单调性，求得其最小值，根据的零点与极值点之间的关系，即可容易证明.【详解】（1）因为，故可得，令，即可得.令则零点的个数等价于与图像的交点个数.又，故可得在单调递减.且当趋近于正无穷时，趋近于负无穷；当趋近于零时，趋近于零，绘制的图像如下所示：故当时，没有零点；当时，有一个零点.（2）由（1）可知，当时，为单调增函数，且存在唯一零点，故可得在区间单调递减，在单调递增，且；则，，故.故当时，恒成立.【点睛】本题考查利用导数研究函数的值域和单调性，涉及利用导数证明不等式，属综合困难题.20．（2023春·四川成都·高三成都外国语学校校考期中）已知．(1)若，且对任意恒成立，求a的范围；(2)当时，求证：．【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）利用分离参数得对任意恒成立，再设，利用导数求出其最值即可；（2）证法1：通过隐零点法得，然后构造新函数求解其范围即可；证法2：令，利用导数证明，则得.【详解】（1）∵，若对任意恒成立，则对任意恒成立，即对任意恒成立，令，则，令，解得，当时，，则单调递增，当时，，则单调递减，所以当时，函数取得最大值．所以.（2）证法1，由（1）可得时，在上单调递增．又因为，当x趋近于0时，趋近于．∴使得，即．当时，，时，．∴在递减，在递增．∴，，令，，当时，，，则在上，，∴单调递减，∴．∴当时，．证法2：令，，，当时，，当时，．∴在上单调递减，在上单调递增，∴，∴．∵，∴．∴．【点睛】关键点睛：本题通过隐零点法得到，利用导函数与函数最值关系得，再次构造函数，利用导数求出其范围即可.21．（2023·河北保定·统考一模）已知函数．(1)当时，证明：当时，；(2)当时，恒成立，求a的取值范围．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）法一：求导后利用放缩法得到，故；法二：多次求导，结合隐零点，得到先增后减，结合端点值的符号，得到在上恒成立，求出；（2）法一：构造，变形后结合，，，且在处取等号，得到时，符合题意，时，结合函数单调性及零点存在性定理得到矛盾，求出答案；法二：构造，求导后考虑，利用放缩法及函数单调性可证，再考虑，由在单调递增，且，分与两种情况，进行求解，得到答案.【详解】（1）法一：首先证明，，理由如下：构造，，则恒成立，故在上单调递减，故，所以，，，，，故在上恒成立，所以在单调递增，故法二：，，，且，令，则，令，则在上恒成立，所以单调递减，又，其中，故，故，使得，且当时，，当时，，所以先增后减，又，，∴在上恒成立，所以单调递增，；（2）法一：，，下证：，，，且在处取等号，令，则，故单调递增，故，且在处取等号，在（1）中已证明；令，则，故单调递增，故，且在处取等号，当时，，当时，即时，符合题意，当时，，，，其中当时，，，，故，令，，则在上恒成立，故在上单调递增，故，使得，在单调递减，故与矛盾，舍去；综上：a的取值范围为；法二：，，，①当时，，，在单调递增，且符合题意，②当时，在单调递增，，③当时，即时，

在单调递增，符合题意，②当时，即时，，，，其中当时，，，，故，令，，则在上恒成立，故在上单调递增，故，使得，在单调递减，故与矛盾，舍去；综上：a的取值范围为.【点睛】方法点睛：隐零点的处理思路：第一步：用零点存在性定理判定导函数零点的存在性，其中难点是通过合理赋值，敏锐捕捉零点存在的区间，有时还需结合函数单调性明确零点的个数；第二步：虚设零点并确定取范围，抓住零点方程实施代换，如指数与对数互换，超越函数与简单函数的替换，利用同构思想等解决，需要注意的是，代换可能不止一次.（六）与数列有关的不等式证明22．（2023·全国·高三专题练习）已知.(1)求函数的单调区间；(2)设函数，若关于的方程有解，求实数的最小值；(3)证明不等式：.【答案】(1)单调增区间为，单调减区间为.(2)0.(3)证明见解析.【分析】（1）求导函数，分析导函数的符号，可得原函数的单调性；（2）求得函数的解析式，并对求导函数，分析其导函数的符号，得出函数的单调性和最值，从而求得答案；（3）由（2）得在上恒成立，令，则有，运用累加法可得证.【详解】（1）解：，，由得，当时，.函数的单调增区间为，单调减区间为.（2）解：函数，，，令，得.时，，时，，在递减，在递增，，关于的方程有解，则实数的最小值为0.（3）证明：由（2）得在上恒成立，令，则有，，，，，，，.23．（2023·全国·高三专题练习）设函数，，.(1)求在上的单调区间；(2)若在y轴右侧，函数图象恒不在函数的图象下方，求实数a的取值范围；(3)证明：当时，.【答案】(1)答案见解析(2)a≤1(3)证明见解析【分析】（1）求得，分和，两种情况讨论，结合导数的符号，即可求解函数的单调区间；（2）设函数，求得，令，求得，分和，两种情况讨论，求解函数的单调，进而求得的取值范围.（3）取，由（2）知，令，，令，化简得到，进而证得结论.【详解】（1）解：由函数，可得，当，即时，，此时函数在上单调递增；当，即时，令，解得；令，解得，函数在上单调递增，在上单调递减，综上，当时，函数单调递增区间为；当时，单调递增区间为，递减区间为.（2）解：设函数，则，令，则，当，即时，，即，即，所以成立，此时符合题意；当，即时，令，解得，所以在区间上单调递减，又由，此时在上单调递减，所以，显然不满足题意.综上可得，实数的取值范围为.（3）证明：取，由（2）知，因为，令，代入得到，即，且，令，，即，代入化简得到，所以成立.【点睛】方法总结：利用导数证明或判定不等式问题：1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性与极值（最值），从而得出不等关系；2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题，从而判定不等关系；3、适当放缩构造法：根据已知条件适当放缩或利用常见放缩结论，从而判定不等关系；4、构造“形似”函数，变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.24．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，.(1)当时，，求实数的取值范围；(2)已知，证明：.【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）证明出，在时，可得出，在时，，分析可知，综合可得出实数的取值范围；（2）由（1）变形可得，令，可得出，可得出，，证明出，可得出，，利用不等式的基本性质可证得结论成立.【详解】（1）解：令，则，当时，，则函数在上单调递增，当时，，则函数在上单调递减，所以，，即，所以，当时，，即，当时，取，由于，而，得，故，不合乎题意.综上所述，.（2）证明：当时，由（1）可得，则，可得，即，即，令，所以，，所以，，即，所以，，，令，则，且不恒为零，所以，函数在上单调递增，故，则，所以，，，所以，.【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下：（1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数；（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.25．（2023·四川自贡·统考三模）已知函数（e为自然对数底数）．(1)判断，的单调性并说明理由；(2)证明：对，．【答案】(1)在上单调递增，理由见解析；(2)证明见解析.【分析】（1）通过二次求导，即可求解；（2）由（1）可得，变形为，令得，令得，从而可得，利用裂项相消法，即可整理得证.【详解】（1）在上单调递增.理由如下：因为，所以，令，则，所以当，单调递增，所以，即，所以在上单调递增.（2）由（1）知，，令，则，令，则而所以，故对，.【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式常见类型及解题策略：（1）构造差函数，根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式；（2）根据条件，寻找目标函数，一般思路为利用条件将所求问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数.考点三恒(能)成立问题（一）分离参数法26．（2023秋·北京·高三北京交通大学附属中学校考阶段练习）已知函数，若在区间内恒成立，则实数的范围为__．【答案】【分析】在区间内恒成立，即在区间内恒成立，令，利用导数求出函数的最大值即可得出答案.【详解】解：在区间内恒成立，即在区间内恒成立，令，则，所以函数在上递减，所以，因为在区间内恒成立，所以实数的范围为.故答案为：.27．（2023秋·江西·高三校联考期中）已知函数(为自然对数的底数)，若在上恒成立，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】在上恒成立，等价于在上恒成立，构造，对函数求导判断出单调性与最值，可得实数的取值范围．【详解】在上恒成立，等价于在上恒成立，构造，则当时，；当时，故在单调递减，在单调递增的最小值为实数的取值范围是故选：D【点睛】本题考查利用导数解决恒成立问题，考查导数研究函数的单调性与最值，属于中档题．28．（2023·河南开封·统考二模）已知函数，若在上有解，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据题意，分析可得为上的增函数，结合可得在上有解，即存在使得，有解，在同一坐标系里画出函数与函数的图象；分析可得的取值范围，即可得答案．【详解】解：根据题意，函数，函数，其导数，在上为增函数，函数，在上为增函数，则函数在上为增函数；又由，即在上有解，即存在使得，有解，进而可得存在使得，有解，在同一坐标系里画出函数与函数的图象；对于，其导数，当时，曲线的切线的斜率；要满足存在使得，有解，则直线的斜率；故实数的取值范围为；故选：A．【点睛】本题考查函数的导数与单调性的关系，涉及数形结合的解题思想方法，曲线导数的几何意义，属于中档题.29．（2023春·广东江门·高三台山市第一中学校考阶段练习）已知函数.（1）当a=1时，讨论f（x）的单调性；（2）当x≥0时，f（x）≥x3+1，求a的取值范围.【答案】（1）当时，单调递减，当时，单调递增.（2）【分析】(1)由题意首先对函数二次求导，然后确定导函数的符号，最后确定原函数的单调性即可.(2)方法一：首先讨论x=0的情况，然后分离参数，构造新函数，结合导函数研究构造所得的函数的最大值即可确定实数a的取值范围.【详解】(1)当时，，，由于，故单调递增，注意到，故：当时，单调递减，当时，单调递增.(2)[方法一]【最优解】：分离参数由得，，其中，①.当x=0时，不等式为：，显然成立，符合题意；②.当时，分离参数a得，，记，，令，则，，故单调递增，，故函数单调递增，，由可得：恒成立，故当时，，单调递增；当时，，单调递减；因此，,综上可得，实数a的取值范围是.[方法二]：特值探路当时，恒成立．只需证当时，恒成立．当时，．只需证明⑤式成立．⑤式，令，则，所以当时，单调递减；当单调递增；当单调递减．从而，即，⑤式成立．所以当时，恒成立．综上．[方法三]：指数集中当时，恒成立，记，，①.当即时，，则当时，，单调递增，又，所以当时，，不合题意；②.若即时，则当时，，单调递减，当时，，单调递增，又，所以若满足，只需，即，所以当时，成立；③当即时，，又由②可知时，成立，所以时，恒成立，所以时，满足题意.综上，.【整体点评】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，本题主要考查利用导数解决恒成立问题，常用方法技巧有：方法一，分离参数，优势在于分离后的函数是具体函数，容易研究；方法二，特值探路属于小题方法，可以快速缩小范围甚至得到结果，但是解答题需要证明，具有风险性；方法三，利用指数集中，可以在求导后省去研究指数函数，有利于进行分类讨论，具有一定的技巧性！（二）分类讨论法30．（2023春·吉林长春·高三东北师大附中校考期中）已知函数．(1)，恒成立，求实数的取值范围．(2)若存在两个不等正实数，，，且，求实数的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】（1）分类讨论解决恒成立问题，恒成立及反例否定解题；（2）根据题意，化简变形已知，构造新函数，利用导数再应用零点存在定理求解即可.【详解】（1），定义域为，则，当单调递增,,故恒成立.当当时，单调递增；当时，单调递减，,不合题意舍；当单调递减；,不合题意舍.所以，.（2）设，由得，则，，又，，设，则，令，则，且，由题意可知，函数在区间上有零点，函数在上有一个实根，，解得.当单调递增，，当单调递减，，应用零点存在定理综上，实数的取值范围为.31．（2023春·安徽安庆·高三校考阶段练习）当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围是A． B． C． D．【答案】C【详解】试题分析：当x=0时，原式恒成立；当时，原式等价于恒成立；当时，原式等价于恒成立；令，，令，即，，可知为y的增区间，为y的减区间，所以当时，即时，t=1时，即；当时，即时，y在上递减，在上递增，所以t=-1时，即；综上，可知a的取值范围是，故选C.考点：不等式恒成立问题.32．（2023·陕西榆林·陕西省神木中学校考模拟预测）已知函数.（1）当时，讨论的单调性；（2）设，若关于的不等式在上有解，求的取值范围.【答案】(1)在上单调递增，在上单调递减；(2).【解析】（1）先对函数求导，得到，由判定恒成立，进而可确定函数单调性；（2）先得到，根据题中条件，得出存在，使得成立，令，对其求导，讨论，，三种情况，分别判定函数单调性，求出最值，列出对应不等式求出的值，即可得出结果.【详解】(1)由题意知，，令，当时，恒成立，∴当时，，即；当时，，即；∴函数在上单调递增，在上单调递减.

(2)因为，由题意知，存在，使得成立.即存在，使得成立；令，，①当时，对任意，都有，∴函数在上单调递减，成立，解得，；②当时，令，解得；令，解得，∴函数在上单调递增，在上单调递减，又，，解得无解；③当时，对任意的，都有，∴函数在上单调递增，，不符合题意，舍去；综上所述，的取值范围为.【点睛】思路点睛：根据导数的方法研究不等式恒成立（或能成立）求参数时，一般可对不等式变形，分离参数，根据分离参数后的结果，构造函数，由导数的方法求出函数的最值，进而可求出结果；有时也可根据不等式，直接构造函数，根据导数的方法，利用分类讨论求函数的最值，即可得出结果.33．（2023·广西·统考模拟预测）已知函数，在处的切线与x轴平行.（1）求的单调区间；（2）若存在，当时，恒成立，求k的取值范围.【答案】（1）在递增，在递减；（2）的取值范围是．【分析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（2）问题转化为，令，，通过讨论的范围，求出函数的单调区间，从而确定的范围即可．【详解】（1）由已知可得的定义域为，，（1），解得：，，令，解得：，令，解得：，故在递增，在递减；（2）不等式可化为，令，，，，令，的对称轴是，①当时，即，易知在上递减，，若，则，，在递减，（1），不适合题意．若，则（1），必存在使得时，，在递增，（1）恒成立，适合题意．②当时，即，易知必存在使得在递增，（1），，在递增，（1）恒成立，适合题意．综上，的取值范围是．【点睛】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，属于较难题．34．（2023·全国·高三专题练习）已知为自然对数的底数，为常数，函数.(1)求函数的极值；(2)若在轴的右侧函数的图象总在函数的图象上方，求实数的取值范围.【答案】(1)极小值为，无极大值(2)【分析】（1）首先求函数的导数，讨论和两种情况，求函数的极值；（2）根据不等式构造函数，并求函数的二阶导数，利用二阶导数，讨论的取值范围，判断函数的单调性，利用，即可求实数的取值范围.【详解】（1），当时，，函数单调递减，无极值；当时，由得，当时，，当时，，所以在区间单调递减，在单调递增，当时，函数取得极小值，极小值为，无极大值；（2），关于的不等式恒成立，设，则，，（ⅰ）当时，，单调递增，，当时，，所以存在，使，所以在上单调递减，当时，矛盾；（ⅱ）当时，令，解得：，在区间单调递减，在单调递增，若，即时，在单调递增，，在上单调递增，，满足条件；若时，在上单调递减，此时，在上单调递减，，矛盾综上，实数的取值范围.【点睛】本题考查利用导数研究函数的性质，以及研究不等式恒成立的综合应用，本题第二问的关键利用二阶导数讨论，由的正负，讨论函数的单调性，转化为判断是否成立.（三）同构法35．（2023·全国·高三专题练习）若不等式恒成立，则的取值范围为______.【答案】【分析】由题设得，构造研究单调性得，再构造研究单调性有，最后构造，利用导数研究最大值即可得参数范围.【详解】由题设且，即，令，易知在上单调递增，故，即，所以，又是单调递增函数，故.令，则.当时，，单调递增；当时，，单调递减.故，故.故答案为：【点睛】关键点点睛：将已知不等式化为，根据形式构造函数，根据单调性转化不等式为关键.36．（2023春·湖南长沙·高三长沙麓山国际实验学校校考期中）已知函数，对任意的，恒成立，则的取值范围是__________.【答案】【分析】分类讨论a，当时，则，即，设，求导得到在上单调递增，进而得到，设，求出，则可得到的取值范围.【详解】当时，不符合题意.当时，则，即，设，则恒成立，故在上单调递增.因为，，所以.因为，即，所以，所以，所以.设，则.由，得，由，得，则在上单调递增，在上单调递减，故，即的取值范围是.故答案为：37．（2023·全国·高三专题练习）若，则实数的最大值为________.【答案】【分析】将不等式化为，令，即，利用导数分析函数单调性，即可得到，即恒成立，令，利用导数分析函数单调性，进而求得，进而求解.【详解】由，则，令，即，所以，所以函数在上单调递增，由，可得，即恒成立，所以，令，则，令，则；令，则，所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以，所以，即，所以实数的最大值为.故答案为：.38．（2023·辽宁·大连二十四中校联考三模）关于的不等式在上恒成立，则的最小值是__________.【答案】【分析】不等式转化为，构造函数，判断函数单调递增得到，转化为，构造函数，根据函数的单调性计算最小值即得到答案.【详解】，即，设，恒成立，故单调递增.原不等式转化为，即，即在上恒成立.设，，当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减；故，即，解得.所以的最小值是.故答案为：.【点睛】方法点睛：将不等式化为，这种方法就是同构法，同构即结构形式相同，对于一个不等式，对其移项后通过各种手段将其变形，使其左右两边呈现结构形式完全一样的状态，接着就可以构造函数，结合函数单调性等来对式子进行处理了．（四）隐零点法39．（2023春·山东淄博·高三山东省淄博实验中学校联考期中）