新教材2024版高考数学微专题小练习专练56含解析

Page7专练56高考大题专练(六)概率与统计的综合运用1．[2024·全国新高考Ⅰ卷]某学校组织“一带一路”学问竞赛，有A，B两类问题，每位参与竞赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学竞赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学竞赛结束．A类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分；B类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分．已知小明能正确回答A类问题的概率为0.8，能正确回答B类问题的概率为0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关．(1)若小明先回答A类问题，记X为小明的累计得分，求X的分布列；(2)为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由．2．[2024·全国卷Ⅰ]甲、乙、丙三位同学进行羽毛球竞赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；竞赛前抽签确定首先竞赛的两人，另一人轮空；每场竞赛的胜者与轮空者进行下一场竞赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人接着竞赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，竞赛结束．经抽签，甲、乙首先竞赛，丙轮空．设每场竞赛双方获胜的概率都为eq\f(1,2).(1)求甲连胜四场的概率；(2)求须要进行第五场竞赛的概率；(3)求丙最终获胜的概率．3．为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将200只小鼠随机分成A，B两组，每组100只，其中A组小鼠给服甲离子溶液，B组小鼠给服乙离子溶液．每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同．经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比．依据试验数据分别得到如下直方图：记C为事务：“乙离子残留在体内的百分比不低于5.5”，依据直方图得到P(C)的估计值为0.70.(1)求乙离子残留百分比直方图中a，b的值；(2)分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表).4．某科技公司新研制生产一种特别疫苗，为确保疫苗质量，定期进行质量检验．某次检验中，从产品中随机抽取100件作为样本，测量产品质量体系中某项指标值，依据测量结果得到频率分布直方图．(1)求频率分布直方图中a的值；(2)技术分析人员认为，本次测量的产品的质量指标值X听从正态分布N(μ，12.22)，若同组中的每个数据用该组区间的中间值代替，计算μ，并计算测量数据落在(187.8，212.2)内的概率；(3)设生产成本为y元，质量指标值为x，生产成本与质量指标值之间满意函数关系y＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(0.4x，x≤205，,0.8x－100，x>205.))假设同组中的每个数据用该组区间的中间值代替，试计算生产该疫苗的平均成本．参考数据：X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545.5.[2024·全国甲卷(理)，19]甲、乙两个学校进行体育竞赛，竞赛共设三个项目，每个项目胜方得10分，负方得0分，没有平局．三个项目竞赛结束后，总得分高的学校获得冠军．已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5，0.4，0.8，各项目的竞赛结果相互独立．(1)求甲学校获得冠军的概率；(2)用X表示乙学校的总得分，求X的分布列与期望．6.[2024·广东深圳模拟]“2024弘扬中华优秀传统文化阅历沟通大会”于2024年11月26日在深圳实行，会议同期实行了“深圳市中华优秀传统文化公益讲堂”启动仪式．从2024年1月起到12月，深圳市文化和健康发展促进会将连续举办52场中华优秀传统文化公益讲堂，邀请多位名家名师现场开讲．某学校文学社为响应这次活动，举办了中华古诗词背诵竞赛，统计的竞赛成果(单位：分)的数据如频率分布直方图所示，已知成果在[80，90)内的有50人．(1)求a的值及参与竞赛的总人数．(2)分别从[80，90)，[90，100]分数段中选取1人和2人组成“优胜”队，与另一学校的“必胜”队的3人进行友情赛，两队的选手每人均竞赛1局，共竞赛3局，胜1局得1分，输1局得0分，没有平局．已知“优胜”队中成果在[80，90)内的选手获胜的概率为eq\f(2,5)，在[90，100]内的2名选手获胜的概率分别为eq\f(2,3)，eq\f(3,7)，记“优胜”队的得分为随机变量X，求X的分布列和期望．7.[2024·全国卷Ⅱ]某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加．为调查该地区某种野生动物的数量，将其分成面积相近的200个地块，从这些地块中用简洁随机抽样的方法抽取20个作为样区，调查得到样本数据(xi，yi)(i＝1，2，…，20)，其中xi和yi分别表示第i个样区的植物覆盖面积(单位：公顷)和这种野生动物的数量，并计算得eq\i\su(i＝1,20,x)i＝60，eq\i\su(i＝1,20,y)i＝1200，eq\i\su(i＝1,20,)(xi－eq\o(x,\s\up6(－)))2＝80，eq\i\su(i＝1,20,)(yi－eq\o(y,\s\up6(－)))2＝9000，eq\i\su(i＝1,20,)(xi－eq\o(x,\s\up6(－)))(yi－eq\o(y,\s\up6(－)))＝800.(1)求该地区这种野生动物数量的估计值(这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生动物数量的平均数乘以地块数)；(2)求样本(xi，yi)(i＝1，2，…，20)的相关系数(精确到0.01)；(3)依据现有统计资料，各地块间植物覆盖面积差异很大．为提高样本的代表性以获得该地区这种野生动物数量更精确的估计，请给出一种你认为更合理的抽样方法，并说明理由．附：相关系数r＝eq\f(\i\su(i＝1,n,)（xi－\o(x,\s\up6(－))）（yi－\o(y,\s\up6(－))）,\r(\i\su(i＝1,n,)（xi－\o(x,\s\up6(－))）2\i\su(i＝1,n,)（yi－\o(y,\s\up6(－))）2))，eq\r(2)≈1.414.8．[2024·新高考Ⅰ卷，20]一医疗团队为探讨某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯(卫生习惯分为良好和不够良好两类)的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了100例(称为病例组)，同时在未患该疾病的人群中随机调查了100人(称为比照组)，得到如下数据：不够良好良好病例组4060比照组1090(1)能否有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异？(2)从该地的人群中任选一人，A表示事务“选到的人卫生习惯不够良好”，B表示事务“选到的人患有该疾病”，eq\f(P（B|A）,P（\o(B,\s\up6(－))|A）)与eq\f(P（B|\o(A,\s\up6(－))）,P（\o(B,\s\up6(－))|\o(A,\s\up6(－))）)的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度量指标，记该指标为R.(ⅰ)证明：R＝eq\f(P（A|B）,P（\o(A,\s\up6(－))|B）)·eq\f(P（\o(A,\s\up6(－))|\o(B,\s\up6(－))）,P（A|\o(B,\s\up6(－))）)；(ⅱ)利用该调查数据，给出P(A|B)，P(A|eq\o(B,\s\up6(－)))的估计值，并利用(ⅰ)的结果给出R的估计值．附：K2＝eq\f(n（ad－bc）2,（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）)，P(K2≥k)0.0500.0100.001k3.8416.63510.828专练56高考大题专练(六)概率与统计的综合运用1．解析：(1)由题可知，X的全部可能取值为0，20，100.Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(X＝0))＝1－0.8＝0.2；Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(X＝20))＝0.8eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－0.6))＝0.32；Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(X＝100))＝0.8×0.6＝0.48.所以X的分布列为X020100P0.20.320.48(2)由(1)知，Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(X))＝0×0.2＋20×0.32＋100×0.48＝54.4.若小明先回答B问题，记Y为小明的累计得分，则Y的全部可能取值为0，80，100.Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(Y＝0))＝1－0.6＝0.4；Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(Y＝80))＝0.6eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－0.8))＝0.12；Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(X＝100))＝0.8×0.6＝0.48.所以Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(Y))＝0×0.4＋80×0.12＋100×0.48＝57.6.因为54.4<57.6，所以小明应选择先回答B类问题．2．解析：(1)甲连胜四场的概率为eq\f(1,16).(2)依据赛制，至少须要进行四场竞赛，至多须要进行五场竞赛．竞赛四场结束，共有三种状况：甲连胜四场的概率为eq\f(1,16)；乙连胜四场的概率为eq\f(1,16)；丙上场后连胜三场的概率为eq\f(1,8).所以须要进行第五场竞赛的概率为1－eq\f(1,16)－eq\f(1,16)－eq\f(1,8)＝eq\f(3,4).(3)丙最终获胜，有两种状况：竞赛四场结束且丙最终获胜的概率为eq\f(1,8)；竞赛五场结束且丙最终获胜，则从其次场起先的四场竞赛依据丙的胜、负、轮空结果有三种状况：胜输赢胜，输赢空胜，负空胜胜，概率分别为eq\f(1,16)，eq\f(1,8)，eq\f(1,8).因此丙最终获胜的概率为eq\f(1,8)＋eq\f(1,16)＋eq\f(1,8)＋eq\f(1,8)＝eq\f(7,16).3．解析：(1)由已知得0.70＝a＋0.20＋0.15，故a＝0.35.b＝1－0.05－0.15－0.70＝0.10.(2)甲离子残留百分比的平均值的估计值为2×0.15＋3×0.20＋4×0.30＋5×0.20＋6×0.10＋7×0.05＝4.05.乙离子残留百分比的平均值的估计值为3×0.05＋4×0.10＋5×0.15＋6×0.35＋7×0.20＋8×0.15＝6.00.4．解析：(1)由10×(a＋0.009＋0.022＋0.033＋0.024＋0.008＋a)＝1，解得a＝0.002.(2)依题意，μ＝170×0.02＋180×0.09＋190×0.22＋200×0.33＋210×0.24＋220×0.08＋230×0.02＝200，故X～N(200，12.22)，所以P(187.8≤X≤212.2)＝P(200－12.2≤X≤200＋12.2)≈0.6827，故测量数据落在(187.8，212.2)内的概率约为0.6827.(3)依据题意得平均成本为0.4×170×0.02＋0.4×180×0.09＋0.4×190×0.22＋0.4×200×0.33＋(0.8×210－100)×0.24＋(0.8×220－100)×0.08＋(0.8×230－100)×0.02＝75.04，故生产该疫苗的平均成本为75.04元．5．解析：(1)设三个项目竞赛中甲学校获胜分别为事务A，B，C，易知事务A，B，C相互独立．甲学校获得冠军，对应事务A，B，C同时发生，或事务A，B，C中有两个发生，故甲学校获得冠军的概率为p＝P(ABC＋eq\o(A,\s\up6(－))BC＋Aeq\o(B,\s\up6(－))C＋ABeq\o(C,\s\up6(－)))＝P(ABC)＋P(eq\o(A,\s\up6(－))BC)＋P(Aeq\o(B,\s\up6(－))C)＋P(ABeq\o(C,\s\up6(－)))＝0.5×0.4×0.8＋(1－0.5)×0.4×0.8＋0.5×(1－0.4)×0.8＋0.5×0.4×(1－0.8)＝0.16＋0.16＋0.24＋0.04＝0.6.(2)由题意得，X的全部可能取值为0，10，20，30.易知乙学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5，0.6，0.2，则P(X＝0)＝(1－0.5)×(1－0.6)×(1－0.2)＝0.16，P(X＝10)＝0.5×(1－0.6)×(1－0.2)＋(1－0.5)×0.6×(1－0.2)＋(1－0.5)×(1－0.6)×0.2＝0.44，P(X＝20)＝0.5×0.6×(1－0.2)＋0.5×(1－0.6)×0.2＋(1－0.5)×0.6×0.2＝0.34，P(X＝30)＝0.5×0.6×0.2＝0.06，所以X的分布列为X0102030P0.160.440.340.06则E(X)＝0×0.16＋10×0.44＋20×0.34＋30×0.06＝13.6．解析：(1)由题意得(0.01＋a＋0.02＋0.03)×10＝1，得a＝0.04.∵成果在[80，90)内的有50人，且成果在[80，90)内的频率为0.02×10＝0.2，∴参与竞赛的总人数为eq\f(50,0.2)＝250.(2)X的全部可能取值为3，2，1，0，P(X＝3)＝eq\f(2,3)×eq\f(2,5)×eq\f(3,7)＝eq\f(4,35)，P(X＝2)＝eq\f(2,3)×eq\f(2,5)×eq\f(4,7)＋eq\f(1,3)×eq\f(2,5)×eq\f(3,7)＋eq\f(2,3)×eq\f(3,5)×eq\f(3,7)＝eq\f(8,21)，P(X＝1)＝eq\f(2,3)×eq\f(3,5)×eq\f(4,7)＋eq\f(1,3)×eq\f(3,5)×eq\f(3,7)＋eq\f(1,3)×eq\f(2,5)×eq\f(4,7)＝eq\f(41,105)，P(X＝0)＝eq\f(1,3)×eq\f(3,5)×eq\f(4,7)＝eq\f(4,35).∴X的分布列为X0123Peq\f(4,35)eq\f(41,105)eq\f(8,21)eq\f(4,35)E(X)＝0×eq\f(4,35)＋1×eq\f(41,105)＋2×eq\f(8,21)＋3×eq\f(4,35)＝eq\f(157,105).7．解析：(1)由已知得样本平均数eq\o(y,\s\up6(－))＝eq\f(1,20)eq\i\su(i＝1,20,y)i＝60，从而该地区这种野生动物数量的估计值为60×200＝12000.(2)样本(xi，yi)，(i＝1，2，…，20)的相关系数r＝eq\f(\i\su(i＝1,20,)（xi－\o(x,\s\up6(－))）（yi－\o(y,\s\up6(－))）,\r(\i\su(i＝1,20,)（xi－\o(x,\s\up6(－))）2\i\su(i＝1,20,)（yi－\o(y,\s\up6(－))）2))＝eq\f(800,\r(80×9000))＝eq\f(2\r(2),3)≈0.94.(3)分层抽样：依据植物覆盖面积的大小对地块分层，再对200个地块进行分层抽样．理由如下：由(2)知各样区的这种野生动物数量与植物覆盖面积有很强的正相关．由于各地块间植物覆盖面积差异很大，从而各地块间这种野生动物数量差异也很大，接受分层抽样的方法较好地保持了样本结构与总体结构的一样性，提高了样本的代表性．从而可以获得该地区这种野生动物数量更精确的估计．8．解析：(1)由题意，得K2＝eq\f(200×（40×90－60×10）2,100×100×50×150)＝24>6.635，∴有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异．(2)(ⅰ)证明：，eq\f(P（A|B）,P（\o(A,\s\up6(－))|B）)·eq\f(P（\o(A,\s\up6(－))|\o(B,\s\up6(－))）,P（A|\o(B,\s\up6(－))）)＝eq\f(P（AB）,P（B）)·eq\f(P（B）,P（\o(A,\s\up6(－))B）)·eq\f